Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur"

Transkrypt

1 Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu: 1. Kwdrtury Newton-Cotes ) wzory: trpezów, prbol etc. b) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson b) Metod Romberg c) Metody dptcyjne 3. Kwdrtury Guss ) Guss-Legendre' b) Guss-Hermitte' c) Guss-Lguerre' 4. Cłkownie funkcji wielu zmiennych

2 Cłkownie numeryczne ozncz zstosownie metod numerycznych w celu wyznczeni przybliżonej wrtości cłki oznczonej. C = f(x)dx Skoro funkcję podcłkową możemy interpolowć to wielomin interpolcyjny możn wykorzystć do cłkowni. Dl dnego ciągu wrtości funkcji podcłkowej f(x 0 ), f(x 1 ),...,f(x N ) definiujemy wielomin interpolcyjny Lgrnge': '(x) = L N (x) = k (x)f (x k ) k (x) = (x x 0 )(x x 1 ) : : : (x x k 1 )(x x k+1 ) : : : (x x N ) (x k x 0 )(x k x 1 ) : : : (x k x k 1 )(x k x k+1 ) : : : (x k x N ) = Y j=0 j6=k x x j x k x j

3 Podstwimy wielomin interpolcyjny w miejsce funkcji podcłkowej: F (x)dx ¼ Powyższe wzory definiują tzw. kwdrturę. A k są współczynnikmi kwdrtur. Jeśli spełniony jest wrunek To wtedy = A k = '(x)dx = k (x)dx A k F (x k ) jf(x) '(x)j < "; x [; b] F (x)dx A k F (x k ) = (F (x) '(x))dx 6 "(b ) Jeśli funkcj podcłkow posid osobliwości (np. jest nieogrniczon, lub przedził cłkowni jest nieskończony) wówczs powyższy schemt cłkowni uleg modyfikcji funkcję podcłkową zstępujemy iloczynem funkcji wgowej i nowej głdkiej funkcji: F (x) = p(x)f(x) Funkcj wgow p(x) zwier wszystkie osobliwości funkcji F(x) lub jej dobór wynik z zstosownych wielominów ortogonlnych: F (x)dx = ¼ A 0 k = p(x)f(x)dx ¼ p(x)'(x)dx = p(x) k (x)dx A 0 kf(x k ) Dokłdność wyznczonej wrtości cłki jest ogrniczon dokłdnością przybliżeni funkcji podcłkowej wielominem (lub inną funkcją). 3

4 Chcemy wyznczyć wrtość cłki: I(f) = Stosując wzór S(f) = p(x)f(x)dx A k f(x k ); x [; b] Powyższy wzór nosi nzwę kwdrtury, punkty x 1,x...,x N węzłmi kwdrtury. Błąd przybliżeni cłki kwdrturą (błąd metody): E(f) = I(f) S(f) Kryterium dokłdności kwdrtury możn przyjąć zgodność I(W) z S(W), gdy W jest wielominem. Wówczs mówimy że dn kwdrtur jest rzędu r (r 1 ) jeśli I(W ) = S(W ) dl wszystkich wielominów stopni mniejszego niż r. Kwdrtur jest zbieżn dl kżdej funkcji f C([,b]) wtedy gdy: 1) Jest on zbieżn dl kżdego wielominu ) Istnieje liczb M niezleżn od N tk że B N = ja N k j 6 M; N = 1; ; : : : Kwdrtury Newton-Cotes Rozwżmy przypdek z węzłmi równoodległymi x i =+ih, i=0,1,,...,n. Jeśli końce przedziłu są również węzłmi wówczs kwrdtury noszą nzwę kwdrtur zmkniętych. Przybliżmy funkcję podcłkową wielominem Lgrnge' stopni conjwyżej N f(x i ) = L N (x i ); L N (x) = f(x k ) k (x) k (x) = Y j=0 j6=k x x j x k x j Błąd przybliżeni (interpolcji) Wprowdzmy nową zmienną t i = 0; 1; ; : : : ; N R N+1 (x) = f(x) L N (x) 1 = (N + 1)!! N+1(x)f (N+1) (»)» (; b) x = + ht k (t) = Y j=0 j6=k t j k j 4

5 Osttecznie otrzymujemy: gdzie: f(x)dx = S(f) = = = h = h A k f k A k = h ( 1)N k k!(n k)! Z N 0 f k = f( + kh) h = b N '(x)dx = f k k (x)dx Z N f k ' k (t)dt 0 f k A k t(t 1) : : : (t N) (t k) Włsności: 1) Gdy N jest nieprzyste wówczs kwdrtur jest rzędu (N+1) (dokłdn dl wielominów stopni N), dl przystego N rząd kwdrtury wynosi (N+) ) Jeżeli funkcj podcłkow jest r-krotnie różniczkowln, wówczs błąd metody możn przedstwić w postci: E(f) = C r f (r) (»);» [; b] współczynnik C r nie zleży od f. 3) Dl dużych N oszcownie błędu jest trudne ze względu n pochodne wysokich rzędów lub ze względu n numeryczne ksownie się współczynników A k 4) Współczynniki A k zleżą od N. W szczególności (wzór n A k ) zchodzi lim ja kj = 1 N!1 dltego metod kwdrtur Newton-Cotes nie jest zbieżn w klsie funkcji ciągłych. W prktyce przedził cłkowni dzieli się n m podprzedziłów. W kżdym podprzedzile określ się N (N=1,,3) i przeprowdz cłkownie. Tk procedur prowdzi do uzyskni kwdrtur złożonych. 5

6 Kwdrtury dl N=1,,...,6 (cłkownie w podprzedzile) N=1 (wzór trpezów) h = b A 0 = h A 1 = h Z 1 0 Z 1 0 (t 1)dt = 1 h tdt = 1 h S(f) = 1 h(f 0 + f 1 ) Ze wzoru n błąd interpolcji wynik, że kwdrtur jest N+1= rzędu, dokłdnie przybliż wielomin N=1 stopni. Ztem błąd wyznczeni przybliżonej wrtości cłki wynosi E(f) = 1! (x )(x b)f () (»)dx = 1 1 h3 f () (»);» [; b] N= (wzór prbol Simpson) A 0 = 1 3 h h = b A 1 = 4 3 h A = 1 3 h S(f) = 1 3 h(f 0 + 4f 1 + f ) Poniewż N jest przyste więc kwdrtur jest dokłdn dl wielominów stopni N+1 i jest rzędu N+. Dlczego? Zgodnie z wzorem n błąd wzoru interpolcyjnego dostjemy E(f)» z powodu nieprzystości funkcji podcłkowej. Dodjmy więc dodtkowy węzeł w x=(+b)/, który nie zmieni wrunku interpolcji. Wówczs stopień wielominu czynnikowego rośnie o 1: E(f) = f (4) (» 1 ) 4! = 1 90 h5 f (4) (») µ (x ) (funkcj podcłkow terz jest przyst) x + b (x b)dx = 0 µ (x ) x + b (x b)dx» [; b] 6

7 N w A 0 /w A 1 /w A /w A 3 /w A 4 /w A 5 /w A 6 /w błąd wzór 1 (1/)h 1 1 h 3 (1/1) f () (») trpezów (1/3)h h 5 (1/90) f (4) (») prbol 3 (3/8)h h 5 (3/80) f (4) (») 3/8 4 (4/90)h h 7 (8/945) f (6) (») Milne' 5 (5/88)h h 7 (75/1096) f (6) (») (6/840)h h 9 (9/1400) f (8) (») Weddle' Kwdrtury złożone Newton-Cotes Kwdrtury wyższych rzędów są rzdko stosowne. Ntomist błąd kwdrtur niższych rzędów jest proporcjonlny do długości przedziłu cłkowni w odpowiedniej potędze. Ztem niski rząd kwdrtury może nie zpewinić wymgnej dokłdności. Problemu tego możn uniknąć, dzieląc przedził cłkowni n m podprzedziłów, w których przeprowdz się cłkownie kwdrturmi niższych rzędów wyniki cłkowni sumuje się. 7

8 Wzór złożony trpezów Przedził cłkowni dzieli się n m poprzedziłów: S(f) = Gdzie h = b m = h Zkłdmy że m 1 X 1 h(f k + f k+1 ) µ 1 f 0 + f 1 + : : : + f m f m f k = f( + k h) f C ([; b]) Błąd złożonego wzoru trpezów Wyrz 1 m m 1 X f () (» k ) = f () (»);» [; b] jest średnią rytmetyczną wrtości drugiej pochodnej w przedzile cłkowni. Możn więc zpisć E(f) = (b )3 1m f () (») Błąd zleży od 3 potęgi długości przedziłu. Ale zwiększjąc m możn istotnie ogrniczyć jego wrtość. E(f) = h3 1 m 1 X (b )3 = 1m f () (» k ) 1 m m 1 X» k ( + kh; + (k + 1)h) f () (» k ) 8

9 Wzór złożony prbol. Przedził cłkowni [,b] dzielimy n m podprzedziłów (m jest przyste). W podprzedziłch [,+h],..., [+(m-1)h,b] stosuje się wzór prbol wyniki cząstkowe sumuje: Ze względu n ciągłość pochodnej istnieje tki punkt że: m m= X k=1 f (4) (» k ) = f (4) (») S(f) = h 3 m= X (f k + 4f k 1 + f k ) k=1 Wówczs błąd złożonego wzoru prbol wyrż się wzorem = h 3 [f 0 + f m + (f + f 4 + : : : + f m ) + 4(f 1 + f 3 + : : : + f m 1 )] (b )5 E(f) = 180m 4 f (4) (») Zkłdmy f C 4 ([; b]) E(f) = h5 90 m= X k=1 f (4) (» k )» k ( + (k 1)h; + kh) 9

10 Ekstrpolcj Richrdson (przypdek dl różniczkowni le zstosownie ogólne) Rozwijmy funkcję f(x) w szereg Tylor w otoczeniu punktów f(x + h) = f(x h) = x h 1X 1X 1 k! hk f (k) (x) 1 k! ( 1)k h k f (k) (x) f(x + h) = f(x) + hf (1) (x) + h f () (x) + h3 6 f (3) (x) + : : : f(x h) = f(x) hf (1) (x) + h f () (x) h3 6 f (3) (x) + : : : i odejmujemy od siebie ob wyrżeni f(x + h) f(x h) = hf (1) (x) + 3! h3 f (3) (x) + 5! h5 f (5) (x) + : : : nstępnie przegrupowujemy wyrzy by obliczyć pierwszą pochodną f (1) (x) = f(x + h) f(x h) h 1 3! h f (3) (x) + 1 5! h4 f (5) (x) + 1 7! h6 f (7) (x) + O(h 8 ) 10

11 Powyższ formuł w postci ogólnej L h;1 = Á (h) + h + 4 h h 6 + : : : co możn interpretowć jko przybliżenie f (1) (x). Z h podstwimy h/ L h=;1 = Á µ h i obliczmy różnicę + h h h : : : L = (4 1 L h=;1 L h;1 )=(4 1 1) = 4 µ h 3 Á 1 3 Á(h) h h : : : L 3 = (4 L h=; L h; )=(4 1) = 15 µ h 16 Ã 1 15 Ã(h) b h Ã(h) : : : Podstwijąc do L Otrzymujemy '(h) = Ã µ h 1 15 Ã(h) L h;3 = '(h) + c 6 h 6 + c 8 h 8 + : : : Ztem L 1 przybliż f (1) (x) z dokłdnością O(h 4 ) (wyrzów rzędu h 4 ). Dokonujemy podstwieni Ã(h) = 4 µ h 3 Á 1 3 Á(h) Powtrzjąc M-krotnie powyższy proces dostniemy corz lepsze przybliżenie pierwszej pochodnej tzn. dokłdność jej przybliżeni jest n poziomie O(h M ). (o ile h<<1). w L L h; = Ã(h) + b 4 h 4 + b 6 h 6 + : : : L h=; = Ã µ h h 4 + b b h

12 Algorytm dl powyższej procedury jest nstępujący 1. Wybiermy h i liczymy D n;0 = Á µ h n. Nstępnie obliczmy 4 k D n;k = 4 k 1 D n;k k 1 D n 1;k 1 k = 1; ; : : : ; M n = k; k + 1; : : : ; M Obliczjąc rekurencyjnie wyrzy wg dostjemy przybliżeni D n;0 = L + O(h ) D n;1 = L + O(h 4 ) D n; = L + O(h 6 ) D n;3 = L + O(h 8 ) : : : : : : : : : : : : ; n = 0; 1; ; : : : ; M D n;k 1 = L + O(h k ); h! 0 Algorytm ten definiuje tzw. ekstrpolcję Richrdson. Generlnie jest to proces rekurencyjnego wyznczni pewnej wielkości (pochodnej, cłki), co możn zdefiniowć przy pomocy wzoru D n;k 1 = L + 1X µ j h A jk n j=k co w połączeniu z pkt. dje szukne przybliżenie D m,m. Kolejne kroki lgorytmu możn zpisć w postci tblicy D 0;0 D 1;0 D 1;1 D ;0 D ;1 D ; D M;0 D M;1 D M; : : : D M;M 1

13 Metod Romberg Korzytmy z wzoru trpezów h = b n à X n S n = h f( + ih) i=0! f() + f(b) Łtwo zuwżyć, że do obliczeni T n możn wykorzystć już obliczone T n S = 1 S µ 1 f S 4 = 1 S + 1 µ µ 1 3 f + f S 6 = 1 S µ µ 1 3 f + f + f µ 5 + f 8 µ 7 8 Jeśli x [0; 1] to dl kolejnych wrtości n dostjemy poniższy ciąg przybliżeń wrtości cłki S 0 = 1 f(0) + 1 f(1) S = 1 4 f(0) + 1 µ 1 f f(1) S 4 = 1 8 f(0) + 1 µ µ µ f + f + f f(1) S 6 = 1 16 f(0) + 1 µ µ µ µ f + f + f + f µ µ µ f + f + f f(1) co ogólnie dl przedziłu cłkowni [,b] możn zpisć jko S n = 1 S (n 1) + h nx f( + (i 1)h) i=1 13

14 W metodzie Romberg zkłdmy, że odległość między (n+1) węzłmi wynosi h n = b n Do obliczeni cłki wykorzystujemy rekurencyjną formułę z wzorem trpezów R 0;0 = 1 (b ) [f() + f(b)] R n;0 = 1 R n 1;0 + b n X n 1 i=1 Wrtości kolejnych przybliżeń możn uporządkowć w postci tblicy podobnie jk w przypdku ekstrpolcji Richrdson. Obliczeni przeryw się gdy spełniony jest wrunek jr k;k R k 1;k 1 j "; " R f µ + (i 1) b n R n;m = R n;m 1 + 4m R n;m 1 R n 1;m 1 4 m 1 Metody dptcyjne Liczymy numerycznie cłkę np. wzorem prbol f(x)dx = S(; b) S(; b) = b 6» [; b] f() + 4f (b )5 90 f (4) (») µ + b Dzielimy przedził [,b] n n podprzedziłów i stosujemy wzór prbol w kżdym z nich f(x)dx = gdzie: e i jest loklnym błędem przybliżeni wrtości cłki w i-tym podprzedzile [x i-1,x i ]. Złóżmy że jego wrtość możemy oszcowć zgodnie z poniższym wzorem nx (S i + e i ) i=1 + f(b) lub po osiągnięciu zdnej liczby itercji k. Metod Romberg jest przykłdem kwdrtury dptcyjnej. je i j " x i x i 1 b 14

15 wówczs oszcownie błędu cłkowitego od góry jest nstępujące nx e i i=1 nx i=1 je i j " b nx (x i x i 1 ) = " i=1 co pozwl oszcowć wrtość bezwzględną błędu cłki wyznczonej numerycznie f(x)dx nx S " i i=1 Wniosek: przy złożonej wrtości, odpowiednio niski poziom błędu wrtości cłki osiągniemy zwiększjąc liczbę węzłów cłkowni. 15

16 Kwdrtury Guss Ndl rozptrujemy kwdrtury typu: S(f) = A k = A k f(x k ) p(x) k (x)dx le nieco zmienimy metodologię postępowni. Ustlmy funkcję wgową p(x) orz liczbę węzłów (N+1). Szukmy: ) położeni węzłów b) współczynników A k tk by rząd kwdrtury był jk njwyższy. Kwdrtur tego typu nosi nzwę kwdrtury Guss. Do wyznczeni kwdrtur Guss używ się wielominów ortogonlnych. Ciąg wielominów f' n (x)g = f' 0 (x); ' 1 (x); : : : ; ' N (x)g Tw.1. Wielominy ortogonlne mją tylko pierwistki rzeczywiste, leżące w przedzile [,b]. Tw.. Nie istnieje kwdrtur Guss rzędu wyższego niż (N+1). Kwdrtur Guss jest rzędu (N+1) wtedy i tylko wtedy, gdy węzły x k są pierwistkmi wielominu P N+1 (x). Tw. 3. Wszystkie współczynniki A k w kwdrturch Guss są dodtnie. Dlczego rząd kwdrtury Guss jest tk wysoki? Musimy ustlić położeni N+1 węzłów orz współczynniki kombincji liniowej N+1 wielominów ortogonlnych. Dje to n+ rząd. Metod kwdrtur Guss jest zbieżn do kżdej funkcji ciągłej w [,b]. Kwdrtury te są dokłdne dl wielominów stopni N+1. Nzywmy ortogonlnymi w przedzile [,b] jeśli zchodzi pomiędzy nimi związek: (' r ; ' s ) = p(x)' r (x)' s (x)dx = 0 r 6= s 16

17 Korzystmy z tożsmości Christoffel-Drboux nx ' k (x)' k (y) = ' n+1(x)' n (y) ' n (x)' n+1 (y) k n n (x y) Korzystmy terz z definicji wielominu interpolcyjnego Lgrnge' f(x) = nx f(x j )l j (x) j=0 k = k+1 k k = p(x)' k(x)dx l j (x) =! n (x) (x j )! 0 n ( j) Wybiermy oczywiście przypdek tki że: β k współczynnik stojący w wielominie ϕ k przy zmiennej w njwyższej potędze Podstwmy z y zero wielominu n-tego stopni n 1 X y = d j ' k (x)' k (d j ) = ' n(x)' n+1 (d j ) k n n (x d j ) Po wykonniu mnożeni nstępnie cłkowni otrzymmy ' 0 (d j ) 0 0 = ' n+1(d j ) n n p(x) ' 0(x)' n (x) dx x d j = p(x)' 0 (x)! n (x) = ' n (x) orz korzystmy z fktu 1 = ' n+1(d j ) n n ' 0 (x) = 1 = ' n+1(d j )' 0 n(d j ) n n p(x) ' n(x) x d j dx = ' n+1(d j )' 0 n(d j ) n n A j p(x)l j (x)dx 17

18 Skąd otrzymujemy ogólny wzór n współczynniki kwdrtury A j n+1 n A j = n' n+1 (d j )' 0 n (d j) j = 1; ; : : : ; n Kwdrtur dl przedziłu skończonego (Guss-Legendre'). Dl tego typu kwdrtury przyjmujemy: p(x) = 1 Wzór n błąd cłkowni n E = n (n)!f(n) ( ) (; b) Jeśli uwzględnimy że węzły indeksujemy od 0 do n to wielomin będzie wyższego rzędu zstępujemy n przez n+1 [; b] = [ 1; 1] W tym przedzile ciąg wielominów ortogonlnych tworzą wielominy Legendre' P n (x) = 1 n n! d n dx n (x 1) n n+ n+1 A j = n+1 ' n+ (d j )' 0 n+1 (d j) j = 1; ; : : : ; n; n

19 Współczynniki A k : A k = (N + )P N+ (x k )P 0 N+1 (x k) Błąd kwdrtury: E(f) = N+3 ((N + 1)!) 4 (N + 3)((N + )!) 3 f (N+3) (») 1 <» < 1 P 0 (x) = 1 P 1 (x) = x P (x) = 3x 1 P 3 (x) = 5x3 3x Węzły x k stnowią pierwistki wielominu P N+1 (x). (jk je znleźć? => metody poszukiwni zer wielominów) Dl kwdrtur niskiego rzędu węzły i współczynniki A k są stblicowne. Aby zstosowć wzory z przedziłu [-1,1] w przedzile [,b] nleży dokonć trnsformcji liniowej zmiennej niezleżnej: x [ 1; 1]; t [; b] t = + b + b x Z 1 f(t)dt = b g(x)dx 1 µ + b g(x) = f + b x 19

20 W prktyce nie używ się kwdrtur wysokiego rzędu. O wiele lepszym rozwiązniem jest zstosownie kwdrtur złożonych tj. kwdrtur niskiego rzędu w kżdym podprzedzile wyniki sumuje się. N k x k A k 1 0, 1 (-/+) f(t)dt ¼ S(f) = b t k = + b 0, 1 0, 3 1, 0,4 1, 3 + b x k (-/+) (-/+) (-/+) (-/+) (-/+) A k f(t k ) 5/9 8/ Kwdrtury dl przedziłu jedno- i obustronnie nieskończonego Kwdrtur Guss-Lguerre' [; b] = [0; 1) p(x) = e x Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Lguerre': L n (x) = ( 1) n e x dn dx n (xn e x ) L 0 (x) = 1 L 1 (x) = 1 x L (x) = x 4x + L 3 (x) = x3 + 9x 18x

21 Węzły x k są pierwistkmi wielominu L N+1 (x). Ciąg wielominów ortogonlnych stnowią wielominy Hermite' A k = E(f) = ((N + 1)!) L 0 N+1 (x k)l N+ (x k ) ((N + 1)!) (N + )! f (N+) ( ) (0; 1) H n (x) = ( 1) n e x dn dx n e x H 0 (x) = 1 H 1 (x) = x H (x) = 4x H 3 (x) = 8x 3 1x Wzór cłkowni: Z 1 0 e x f(x)dx ¼ S(f) = A k f(x k ) Kwdrtur Guss-Hermite' p(x) = e x (; b) = ( 1; 1) 1

22 x k są zermi wielominu H N+1 A k = E(f) = N+ (N + 1)! H 0 N+1 (x k)h N+ (x k ) (N + 1)!p ¼ N+1 (N + )! f (N+) ( ) ( 1; 1) Uwgi końcowe: 1) Kwdrtury Guss są dokłdniejsze od kwdrtur Newton-Cotes przy uwzględnieniu tej smej liczby węzłów ) Kwdrtury Guss mją rząd r=n+ dl (N+1) węzłów, podczs gdy kwdrtury NC osiągją ten rząd dl (N+1) węzłów 3) Po ustleniu rzędu kwdrtury stosuje się wzory złożone dl corz mniejszego kroku cłkowni do momentu brku zmin w kolejnym przybliżeniu 4) Cłkownie stblicownej funkcji podcłkowej lepiej wykonć przy użyciu kwdrtur Newton- Cotes' (użycie kwdrtur Guss może wymgć dodtkowej interpolcji) Wzór przybliżonego cłkowni: Z +1 1 e x f(x)dx ¼ S(f) = A k f(x k )

23 Cłkownie funkcji wielu zmiennych Przy cłkowniu funkcji wielu zmiennych pojwiją się problemy: 1) Konstrukcj wielominów interpolcyjnych jest możliw tylko dl odpowiednio położonych węzłów i regulrnych obszrów cłkowni ) Czs obliczeń rośnie brdzo szybko wrz z liczbą zmiennych. W prktyce liczb zmiennych nie przekrcz 4. Zkłdmy, że obszr cłkowni możn opisć ukłdem nierówności: ½ R M 1 x 1 b 1 (x 1 ) x b (x 1 ) : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : M (x 1 ; x 1 ; : : : ; x M 1 ) x M b M (x 1 ; x ; : : : ; x M 1 ) Szukmy wrtości cłki wielokrotnej: I(f) = Z Z : : : f(x 1 ; x ; : : : ; x M )dx 1 : : : dx M {z } 3

24 I(f) = 1 1 dx 1 (x 1 ) (x 1 ) dx : : : M (x 1 ;x ;:::;x M 1 ) M (x 1 ;x ;:::;x M 1 ) f(x 1 ; x ; : : : ; x M )dx M Wrtość cłki wielokrotnej oblicz się poprzez M-krotne zstosownie kwdrtur jednowymirowych. Przykłd dl dwóch wymirów. I(f) = 1 1 g(x 1 )dx 1 g(x 1 ) = f(x 1 ; x )dx I N1 (g) = XN 1 n=0 A n g(x 1;n ) g(x 1;n ) ¼ I N ;n(f n ) = N ;n X º=0 B º;n f(x 1;n ; x ;º ) Po złożeniu obu kwdrtur otrzymujemy: I(f) = ZZ f(x 1 ; x )dx 1 dx = XN 1 n=0 N ;n X º=0 A n B º;n f(x 1;n ; x ;º ) + R N1 (g) + + N ;n X A n R N ;n(f n ) 4 n=0

25 gdzie: R N1 (g) -reszt kwdrtury I N1 (g) R N;n (f n ) -reszt kwdrtury I N;n (f n ) Uwgi: 1) Przedził cłkowni po zmiennej x może się zmienić wrz z wrtością x 1 ) Liczb węzłów kwdrtur może być różn dl kżdego węzł x 1,n 3) Liczb użytych węzłów I N;n (f n ) XN 1 n=0 (N ;n + 1) Jeśli liczb w kżdej kwdrturze byłby jednkow i równ (N+1) wówczs obliczenie wrtości cłki w M wymirowej przestrzeni wiązłoby się z wykonniem (N+1) M obliczeń. Przykłd. Jeśli N=10 i M=10 wówczs (N+1) M > Przy dużej liczbie wymirów (M>4) lepiej jest posługiwć się zncznie wydjniejszą metodą Monte Crlo. 5

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Cłkownie numeryczne przy użyciu kwdrtur Pln wykłdu:. Kwdrtury ewton-cotes ) wzory: trpezów, prol etc. ) kwdrtury złożone. Ekstrpolcj ) Ekstrpolcj Richrdson ) Metod Romerg c) Metody dptcyjne. Kwdrtury Guss

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ew Pbisek Adm Wostko Piotr Pluciński Mtemtyk stosown i metody numeryczne Konspekt z wykłdu 0 Cłkownie numeryczne Wzory cłkowni numerycznego pozwlją n obliczenie przybliżonej wrtości cłki: I(f) = f(x) dx

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p.

Metody numeryczne. Całkowanie. Janusz Szwabiński. nm_slides-4.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 23/10/ :07 p. Metody numeryczne Cłkownie Jnusz Szwbiński szwbin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-4.tex Metody numeryczne Jnusz Szwbiński 23/10/2002 10:07 p.1/69 Cłkownie numeryczne 1. Kilk uwg ogólnych 2. Kwdrtury Newton Cotes

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I rok kdemicki 01/013 Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew

Bardziej szczegółowo

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE

CAŁKOWANIE NUMERYCZNE Wprowdzenie Kwdrtury węzły równoodległe Kwdrtury Guss Wzory sumcyjne Trnsport, studi niestcjonrne I stopni, semestr I Instytut L-5, Wydził Inżynierii Lądowej, Politechnik Krkowsk Ew Pbisek Adm Wostko Wprowdzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy

Analiza numeryczna. Stanisław Lewanowicz. Całkowanie numeryczne. Definicje, twierdzenia, algorytmy http://wwwiiuniwrocpl/ sle/teching/n-wdrpdf Anliz numeryczn Stnisłw Lewnowicz Styczeń 008 r Cłownie numeryczne Definicje, twierdzeni, lgorytmy 1 Pojęci wstępne Niech IF IF [, b] ozncz zbiór wszystich funcji

Bardziej szczegółowo

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014)

Prace Koła Matematyków Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie (2014) Prce Koł Mt. Uniw. Ped. w Krk. 1 014), 1-5 edgogicznego w Krkowie PKoło Mtemtyków Uniwersytetu Prce Koł Mtemtyków Uniwersytetu Pedgogicznego w Krkowie 014) Bet Gwron 1 Kwdrtury Newton Cotes Streszczenie.

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość

Bardziej szczegółowo

1 Definicja całki oznaczonej

1 Definicja całki oznaczonej Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 14

Obliczenia naukowe Wykład nr 14 Obliczeni nuowe Wyłd nr 14 Pweł Zielińsi Ktedr Informtyi, Wydził Podstwowych Problemów Technii, Politechni Wrocłws Litertur Litertur podstwow [1] D. Kincid, W. Cheney, Anliz numeryczn, WNT, 2005. [2] A.

Bardziej szczegółowo

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne

Modelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):

Bardziej szczegółowo

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur

Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Całkowanie numeryczne przy użyciu kwadratur Plan wykładu: 1. Kwadratury Newtona-Cotesa a) wzory: trapezów, parabol etc. b) kwadratury złożone 2. Ekstrapolacja a) ekstrapolacja Richardsona b) metoda Romberga

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.

RACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I. RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)

Bardziej szczegółowo

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)

f(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2) Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co

Bardziej szczegółowo

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona

VI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x

Bardziej szczegółowo

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,

Realizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych, Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1)

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki oznaczone. lim δ n = 0. σ n = f(ξ i ) x i. (1) Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki oznczone. Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj f ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podziey n n podprzedziłów punktmi = x < x

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7.

Matematyka dla biologów Zajęcia nr 7. Mtemtyk dl biologów Zjęci nr 7. Driusz Wrzosek 21 listopd 2018 Mtemtyk dl biologów Zjęci 7. 21 listopd 2018 1 / 20 Przypomnienie: funkcj pierwotn Niech F : D, gdzie D to odcinek otwrty lub cł prost ).

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna

Wykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna 1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2

N(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2 Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas

Całki oznaczone. Funkcja górnej granicy całkowania. Zastosowania całek oznaczonych. Całki niewłaściwe. Małgorzata Wyrwas Cłki oznczone Definicj, włsności i oblicznie cłek oznczonych. Wrtość średni funkcji. Funkcj górnej grnicy cłkowni. Zstosowni cłek oznczonych. Cłki niewłściwe. Młgorzt Wyrws Ktedr Mtemtyki Wydził Informtyki

Bardziej szczegółowo

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych

Zadania. I. Podzielność liczb całkowitych Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.

Bardziej szczegółowo

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju

Całki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych

Bardziej szczegółowo

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)

< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1) Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu: 1. Podstwow metod Monte Crlo 2. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB

Elementy metod numerycznych DEMN LMO Materiały na ćwiczenia dla grupy 1CB Elementy metod numerycznych DEMN LMO Mteriły n ćwiczeni dl grupy CB Prowdzący: Łuksz Smg 0 pździernik 0 Spis treści Błąd reprezentcji i rytmetyk zmiennoprzecinkow Uwrunkownie zdni, wskźnik uwrunkowni zdni

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk

Całka Riemanna. Analiza Matematyczna. Alexander Denisjuk Anliz Mtemtyczn Cłk Riemnn Alexnder Denisjuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych zmiejscowy ośrodek dydktyczny w Gdńsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdńsk Anliz Mtemtyczn p.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona

Analiza matematyczna i algebra liniowa Całka oznaczona Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Cłk oznczon Wojciech Kotłowski Instytut Informtyki Politechniki Poznńskiej emil: imię.nzwisko@cs.put.poznn.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultcje: piątek 15:10-16:40

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim

Analiza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,

Bardziej szczegółowo

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU

CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o

Bardziej szczegółowo

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P.

nazywamy odpowiednio dolną oraz górną sumą Darboux funkcji f w przedziale [a, b] wyznaczoną przez podział P. Rozdził 10 Cłk Drboux 10.1 Doln i górn sum Drboux Definicj podziłu. Niech, b R, < b. Kżdy skończony ciąg P postci (10.1) P = (x 0,..., x n ), gdzie n N, = x 0 < x 1

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Ciągi liczbowe Definicj. Rzeczywistym nieskończonym ciągiem liczbowym nzywmy funkcję określoną n zbiorze liczb nturlnych o wrtościch w zbiorze liczb rzeczywistych f : N R, n n. Ciąg

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna (część II)

Analiza Matematyczna (część II) Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)

Bardziej szczegółowo

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,

PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6, Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y

Maciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =

Bardziej szczegółowo

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej.

III. Rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej. III. Rchunek cłkowy funkcji jednej zmiennej. 1. Cłki nieoznczone. Niech f : I R, I R - przedził n prostej. Definicj 1.1. (funkcji pierwotnej) Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I,

Bardziej szczegółowo

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6

Niewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6 Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,

Bardziej szczegółowo

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 15. CAŁKI OZNACZONE. Egzaminy I termin poniedziałek :00 Aula B sala 12B Wydział Informatyki Ekoenergetyk Mtemtyk 1. Wykłd 15. CAŁKI OZNACZONE Egzminy I termin poniedziłek 31.01 14:00 Aul B sl 12B Wydził Informtyki Definicj (podził odcink) II termin poprwkowy czwrtek 9.02 14:00 WE-030 Podziłem

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag.

Całka oznaczona. Matematyka. Aleksander Denisiuk. Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza Elblag. Mtemtyk Cłk oznczon Aleksnder Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblsk Uczelni Humnistyczno-Ekonomiczn ul. Lotnicz 2 82-3 Elblg Mtemtyk p. 1 Cłk oznczon Njnowsz wersj tego dokumentu dostępn jest pod dresem

Bardziej szczegółowo

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:

Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco: Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna

Analiza Matematyczna. Całka Riemanna Anliz Mtemtyczn. Cłk Riemnn Aleksnder Denisiuk denisiuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Jpońsk Wyższ Szkoł Technik Komputerowych Wydził Informtyki w Gdńsku ul. Brzegi 55 8-45 Gdńsk 29 kwietni 217 1 / 2 Cłk Riemnn

Bardziej szczegółowo

Całkowanie metodą Monte Carlo

Całkowanie metodą Monte Carlo Cłkownie metodą Monte Crlo Pln wykłdu:. Podstwow metod Monte Crlo. Metody MC o zwiększonej efektywności ) losowni wżonego b) zmiennej kontrolnej c) losowni wrstwowego d) obniżni krotności cłki Przypomnienie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach

WYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,

Bardziej szczegółowo

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą

Równania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą 50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej

Bardziej szczegółowo

MES-1 08 Element 3-węzłowy. Całkowanie numeryczne

MES-1 08 Element 3-węzłowy. Całkowanie numeryczne MES- 8 Element -węzłowy. Cłkownie numeryczne Elementy drugiego rzędu (kwdrtowe) Co nm dje interpolcj kwdrtow liniow kwdrtow Interpolcj kwdrtow pozwl n lepsze odzwierciedlenie nie tylko funkcji, le i jej

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6

1 Rachunek zdań 3. 2 Funkcje liczbowe 6 Spis treści 1 Rchunek zdń 3 2 Funkcje liczbowe 6 3 Ciągi liczbowe 9 3.1 Grnic włściw ciągu 10 3.2 Grnic niewłściw ciągu 11 3.3 Grnice pewnych ciągów 12 4 Grnice funkcji 13 4.1 Podstwowe definicje 13 4.2

Bardziej szczegółowo

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki

Pochodne i całki, macierze i wyznaczniki Cłk oznczon Cłk niewłściw Wzór Tylor Mcierze Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Stnisłw Jworski Ktedr Ekonometrii i Sttystyki Zkłd Sttystyki Stnisłw Jworski Pochodne i cłki, mcierze i wyznczniki Cłk

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM

WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY Ia TECHNIKUM WYMAGANIA NA OCENĘ DOPUSZCZAJĄCĄ DLA UCZNIÓW KLASY I TECHNIKUM Egzmin poprwkowy n ocenę dopuszczjącą będzie obejmowł zdni zgodne z poniższymi wymgnimi n ocenę dopuszczjącą. Egzmin poprwkowy n wyższą ocenę

Bardziej szczegółowo

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu

usuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)

2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P) Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy

Bardziej szczegółowo

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1

Wektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1 Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem

Bardziej szczegółowo

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych

Macierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk n kierunku Biologi w SGGW Zgdnieni.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI

MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI MATEMATYKA 1 MACIERZE I WYZNACZNIKI Definicj 1. Niech A i B będą dowolnymi zbiormi. Zbiór A B = {(, b) : A b B} wszystkich pr uporządkownych (, b) tkich, że A i b B nzywmy iloczynem krtezjńskim zbiorów

Bardziej szczegółowo

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych

O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć

Bardziej szczegółowo

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux

Całka Riemanna Dolna i górna suma całkowa Darboux Doln i górn sum cłkow Drboux π = {x 0,..., x k }, x 0 =, x k = b - podził odcink [, b]; x i = x i x i 1, i = 1, 2,..., k; P = P[, b] - rodzin podziłów odcink [, b]. m i = m i (f, π) := inf x [xi 1,x i

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych

PODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f

Bardziej szczegółowo

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,

PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b, WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć?

Kombinowanie o nieskończoności. 4. Jak zmierzyć? Kombinownie o nieskończoności.. Jk zmierzyć? Projekt Mtemtyk dl ciekwych świt spisł: Michł Korch 9 kwietni 08 Trochę rzeczy z wykłdu Prezentcj multimediln do wykłdu. Nieskończone sumy Będzie nm się zdrzć

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM

WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Kls drug A, B, C, D, E, G, H zkres podstwowy 1. FUNKCJA LINIOWA rozpoznje funkcję liniową n podstwie wzoru lub wykresu rysuje

Bardziej szczegółowo

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP

Programowanie z więzami (CLP) CLP CLP CLP. ECL i PS e CLP Progrmowie z więzmi (CLP) mjąc w PROLOGu: p(x) :- X < 0. p(x) :- X > 0. i pytjąc :- p(x). dostiemy Abort chcelibyśmy..9 CLP rozrzeszeie progrmowi w logice o kocepcję spełii ogriczeń rozwiązie = logik +

Bardziej szczegółowo

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH

Wykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak

Całka oznaczona funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Autorzy: Witold Majdak Cłk oznczon funkcji jednej zmiennej rzeczywistej Autorzy: Witold Mjdk 6 Spis treści Definicj cłki oznczonej Riemnn Włsności cłki Riemnn Twierdzenie o średniej cłkowej funkcji Pierwsze zsdnicze twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne

Wymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych

Bardziej szczegółowo

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx

O SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym

Bardziej szczegółowo

Wyrównanie sieci niwelacyjnej

Wyrównanie sieci niwelacyjnej 1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i

Bardziej szczegółowo

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności.

Wartość bezwzględna. Proste równania i nierówności. Wrtość bezwzględn Proste równni i nierówności Dl liczb rzeczywistych możemy zdefiniowć opercję zwną wrtością bezwzględną lub modułem liczby Definicj 7,, Sens powyższej definicji jest nstępujący Jeżeli

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 2006/7 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY WSB-NLU 006/7 3. Liczby nturlne i rzeczywiste; funkcje elementrne.. Funkcje. Niech X i Y będą zbiormi. Definicj.. Funkcją (inczej: odwzorowniem) z X do Y nzyw się przyporządkownie

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki krzywoliniowe 8.04.018 1. efinicj cłki krzywoliniowej nieskierownej Rozwżmy nstępujący problem. ny jest przewód elektryczny n którym rozmieszczone

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte

Rozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach

Wyk lad 1 Podstawowe wiadomości o macierzach Wyk ld 1 Podstwowe widomości o mcierzch Oznczeni: N {1 2 3 } - zbiór liczb nturlnych N 0 {0 1 2 } R - ci lo liczb rzeczywistych n i 1 + 2 + + n i1 1 Określenie mcierzy Niech m i n bed dowolnymi liczbmi

Bardziej szczegółowo

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02

Wymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02 Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie

Bardziej szczegółowo

Pierwiastek z liczby zespolonej

Pierwiastek z liczby zespolonej Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć

Bardziej szczegółowo

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1

Matematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 Wykład 1 Mtemtyk II Bezpieczeństwo jądrowe i ochron rdiologiczn Semestr letni 2018/2019 Wykłd 1 Zsdy współprcy przypomnienie Wykłdy są nieobowiązkowe, le Egzmin: pytni teoretyczne z łtwymi ćwiczenimi (będzie list)

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcjami sklejanymi

Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolcj funkcjmi sklejnymi Kzimierz Jkubczyk 19 lutego 2008 Przykłd Rungego Jedyną możliwością uzyskni lepszego przybliżeni w interpolcji wielominowej jest zwiększenie stopni wielominu interpolcyjnego,

Bardziej szczegółowo

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka

Piotr Stefaniak. Materiały uzupełniające do wykładu Matematyka Zchodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Piotr Stefnik Mteriły uzupełnijące do wykłdu Mtemtyk dl studentów Wydziłu Nuk o Żywności i Rybctwie Szczecin, 3 grudni 208 Spis treści Mcierze i

Bardziej szczegółowo

SZTUCZNA INTELIGENCJA

SZTUCZNA INTELIGENCJA SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 9. ZBIORY ROZMYTE Częstochow 204 Dr hb. inż. Grzegorz Dudek Wydził Elektryczny Politechnik Częstochowsk ZBIORY ROZMYTE Klsyczne pojęcie zbioru związne jest z logiką dwuwrtościową

Bardziej szczegółowo

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii

Całka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii

Bardziej szczegółowo

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad

Wspomaganie obliczeń za pomocą programu MathCad Wprowdzenie do Mthcd' Oprcowł:M. Detk P. Stąpór Wspomgnie oliczeń z pomocą progrmu MthCd Definicj zmiennych e f g h 8 Przykłd dowolnego wyrŝeni Ay zdefinowc znienną e wyierz z klwitury kolejno: e: e f

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń

Bardziej szczegółowo

Sprawozdanie pracownia z Analizy numerycznej

Sprawozdanie pracownia z Analizy numerycznej Sprwozdnie prcowni z Anlizy numerycznej List nr 3 Zdnie nr 6 Grup p. Pwł Woźnego Jkub Kowlski Nr lbumu: 7 Wrocłw, 7 styczni 8 Spis treści Sformułownie zdni. Sformułownie lgorytmu.............................

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7)

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 2014/2015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A2, A3, A4, A6, A7) EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 01/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ROZWIĄZANIA ZADAŃ I SCHEMATY PUNKTOWANIA (A1, A, A, A, A6, A7) GRUDZIEŃ 01 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych Nr zdni 1 5 Odpowiedź

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej

MATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera

Wykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane?

INSTRUKCJA. - Jak rozwiązywać zadania wysoko punktowane? INSTRUKCJA - Jk rozwiązywć zdni wysoko punktowne? Mturzysto! Zdni wysoko punktowne to tkie, z które możesz zdobyć 4 lub więcej punktów. Zdni z dużą ilość punktów nie zwsze są trudniejsze, często ich punktcj

Bardziej szczegółowo

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH

Grażyna Nowicka, Waldemar Nowicki BADANIE RÓWNOWAG KWASOWO-ZASADOWYCH W ROZTWORACH ELEKTROLITÓW AMFOTERYCZNYCH Ćwiczenie Grżyn Nowick, Wldemr Nowicki BDNIE RÓWNOWG WSOWO-ZSDOWYC W ROZTWORC ELETROLITÓW MFOTERYCZNYC Zgdnieni: ktywność i współczynnik ktywności skłdnik roztworu. ktywność jonów i ktywność elektrolitu.

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa

Analiza matematyczna i algebra liniowa Anliz mtemtyczn i lgebr liniow Mteriły pomocnicze dl studentów do wykłdów Mcierze liczbowe i wyznczniki. Ukłdy równń liniowych. Mcierze. Wyznczniki. Mcierz odwrotn. Równni mcierzowe. Rząd mcierzy. Ukłdy

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań

KONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy

Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstawowy Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIB. Rok szkolny 2013/2014 Poziom podstwowy FUNKCJA KWADRATOWA Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: 2 rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności

Bardziej szczegółowo

4. RACHUNEK WEKTOROWY

4. RACHUNEK WEKTOROWY 4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie

Bardziej szczegółowo

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

a a a b M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I Relcje równowr wnowżności i klsy Definicj: Relcją określoną n zbiorze A nzywmy dowolny test porównwczy pomiędzy uporządkownymi prmi elementów elementów zbioru A. Jeśli pr (, b) œ A ä A spełni ten test,

Bardziej szczegółowo

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10

R + v 10 R0, 9 k v k. a k v k + v 10 a 10. k=1. Z pierwszego równania otrzymuję R 32475, 21083. Dalej mam: (R 9P + (k 1)P )v k + v 10 a 10 Zdnie. Zkłd ubezpieczeń n życie plnuje zbudownie portfel ubezpieczeniowego przy nstępujących złożenich: ozwiąznie. Przez P k będę oznczł wrtość portfel n koniec k-tego roku. Szukm P 0 tkie by spełnił:

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby

Bardziej szczegółowo

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne

Redukcja układów sił działających na bryły sztywne 1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd

Bardziej szczegółowo