ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO

Transkrypt

1 ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW SKOŃCZONEGO TYPU PRINJEKTYWNEGO NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ. Moduły prnjektywne posety skończonego typu prnjektywnego Nech I będze skończonym posetem. Przez max I oznaczać będzemy zbór elementów maksymalnych posetu I, zaś I = I \ max I. Dla cała K przez KI oznaczać będzemy algebrę ncydencyjną posetu I. Moduł M nazywamy prnjektywnym, jeśl stneje cąg dokładny 0 P 0 P M 0 tak, że P 0 P są projektywnym KI-modułam oraz moduł P 0 jest półprosty. Pełną podkategorę kategor modułów złożoną z modułów prnjektywnych będzemy oznaczać przez prn KI. Wadomo, że podkategora prn KI jest dzedzczna oraz jest zamknętą ze względu na rozszerzena. Z posetem I stowarzyszamy formę Ttsa q I : Z I Z daną wzorem q I (x) = x 2 + x x j x x p. I j I p max I Z modułem prnjektywnym M możemy zwązać wektor współrzędnych cdn M dany wzorem { dm K M max I, (cdn M) = dm K (top M) I. Mówmy, że poset I jest skończonego typu prnjektywnego, jeśl stneje tylko skończene wele klas zomorfzmu nerozkładalnych prnjektywnych KI-modułów. Twerdzene. Nech K będze całem oraz nech I będze skończonym spójnym posetem. Następujące warunk są równoważne: () Poset I jest skończonego typu prnjektywnego. (2) Forma q I jest słabo dodatna. (3) Kołczan Auslandera Reten kategor prn KI jest kołczanem preprojektywnym. (4) Odwzorowane X cdn X ndukuje bjekcję pomędzy klasam zomorfzmu nerozkładalnych modułów prnjektywnych oraz dodatnm perwastkam formy q I. Data:

2 2 NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ Posety skończonego typu prnjektywnego można równeż scharakteryzować poprzez ops zabrononych podposetów pkowych. Konsekwencją powyższego twerdzena jest mędzy nnym możlwość takego uporządkowana reprezentantów klas zomorfzmu modułów nerozkładalnych X,..., X l, że Ext(X, X j ) = 0 dla j oraz Hom(X, X j ) = 0 dla > j. Zauważmy także, że w powyższej sytuacj kołczan Auslandera Reten kategor modułów prnjektywnych ne zależy od cała K. Dla werzchołka x tego kołczanu przez M(x) = M(x, K) oznaczać będzemy odpowedn moduł. Nech B będze zborem wszystkch funkcj ze zboru werzchołków kołczanu Auslandera Reten do zboru lczb naturalnych. Dla a B pszemy M(a) = M(a, K) = x M(x)ax. Dla I nech S oraz P oznaczają odpowedno prosty projektywny KI-moduł odpowadający werzchołkow. Ponadto, dla I nech Q będze obcęcem modułu P do I, tzn. Q = P / soc P. Zauważmy, że moduły Q, I, oraz S, max I, są modułam prnjektywnym. 2. Algebry Halla Nech K będze całem skończonym oraz nech I będze skończonym spójnym posetem skończonego typu prnjektywnego. Dla prnjektywnych KI-modułów X, Y, Z defnujemy F Y Z,X = {U Y U X, Y/U Z}. Ogólnej, dla Y, X,..., X t prn KI pszemy F Y X,...,X t = {Y = Y 0 Y t = 0 Y /Y X, =,..., t}. Nech H prn (KI) będze przestrzeną lnową nad C z baza u M ndeksowaną klasam zomorfzmu prnjektywnych KI-modułów. W H prn (KI) defnujemy mnożene wzorem u N u N2 = [M] F M N,N 2 u M. Mnożene to zadaje w H prn (KI) strukturę łącznej C-algebry z jedynką u 0. Nech u p = u Sp dla p max I, u = u Q dla I oraz q = K. Lemat. W algebrze H prn (KI) spełnone są relacje: () u u j = qu j u, j I, (2) u u j = u j u,, j I, j oraz j, (3) u u 2 p (q + )u p u u p + qu 2 pu = 0, p max I, (4) u 2 u p (q + )u u p u + qu p u 2 = 0, p max I, (5) [u j, [u, u p ]] = 0, j p max I. Relacje opsane w powyższym lemace będzemy oznaczać R q I.

3 ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW 3 Dowód. Relacje te są konsekwencją elementarnych rozważań wykorzystujących następujące równośc zachodzące dla, j I oraz p, q max I: Hom(Q, Q j ) = K, j, Ext(Q, Q j ) = 0, Hom(Q, Q j ) = 0, j, Ext(S p, S q ) = 0, Hom(S p, S p ) = K, Ext(S p, Q ) = 0, Hom(S p, S q ) = 0, p q, Ext(Q, S p ) = K, p, Hom(S p, Q ) = 0, Ext(Q, S p ) = 0, p, Hom(Q, S p ) = 0, oraz fakt, że kategora modułów prnjektywnych jest skerowana. Podobnym metodam dowodzmy następujący fakt. Stwerdzene. Nech X,..., X m będą nerozkładalnym prnjektywnym KI-modułam takm, że Jeśl a N m, to oraz Ext(X, X j ) = 0, j, Hom(X, X j ) = 0, > j. u a X u am X m = u X a m = u X am m ψ a (q)u m = Xa = u m = Xa gdze ψ e (T ) = ( T ) ( T e ) ( T ) e Z[T ]. Zauważmy, że ψ e () = e!. Lemat. Przypuśćmy, że I = {,..., n} oraz max I = {n +,..., n + k}, przy czym j mplkuje, że < j. Wtedy u Q dn n u d n+ S n+ u d n+k S n+k = u M. u Q d, cdn M=d oraz S = S d. Z poprzednego stwerdze- Dowód. Nech Q = Q d na wynka, że u Q d u Q dn n u d n+ S n+ u d n+k S n+k = u Q u S. Teza wynka w łatwy sposób z tej obserwacj. Lemat. Algebra H prn (KI) jest generowana przez elementy u, I. Dowód. Przez ndukcję ze względu na cdn M udowodnmy, że u M należy do podalgebry A generowanej przez elementy u, I. Gdy cdn M = 0, to teza jest oczywsta, załóżmy zatem, że d = cdn M 0.

4 4 NA PODSTAWIE REFERATU JUSTYNY KOSAKOWSKIEJ Jeśl moduł M jest rozkładalny, to teza wynka z powyższego stwerdzena oraz założena ndukcyjnego. Gdy N jest modułem nerozkładalnym, to z poprzednego lematu wemy, że u M = v u N, cdn N=d, N M dla pewnego v A. Poneważ moduł N jest rozkładalny, jeśl cdn N = d oraz N M, węc teza wynka z udowodnonej już częśc tezy ndukcyjnej. 3. Specjalzacja algebry Halla do Twerdzene. Nech I będze posetem skończonego typu prnjektywnego, a, b, c B. Istneją welomany ϕ b c,a Z[T ] take, że dla dowolnego cała skończonego K zachodz ϕ b c,a( K ) = F M(b,K) M(c,K),M(a,K) Wykorzystując powyższe twerdzene możemy zdefnować C(t)-algebrę H prn (I) z bazą lnową u a, a B, mnożenem u a u b = c ϕ c a,bu c. Analogczne defnujemy algebrę H = H prn (I) nad C wykorzystując wartośc welomanów ϕ c a,b w. Wnosek. Algebra H prn (I) (odpowedno, H prn (I) ) jest generowana przez elementy u, I, oraz generatory te spełnają relacje R t I (R I ). Dowód. Poneważ ψ e () = e! 0, węc możemy powtórzyć argumenty z poprzednego paragrafu. Nech K = K prn (I) będze C-podprzestrzeną lnową algebry H generowana przez elementy odpowadające perwastkom formy q I. Stwerdzene. () K jest podalgebrą Lego algebry H ze standardowym nawasem Lego. (2) H jest unwersalną algebrą obejmującą algebry K. (3) K jest generowana jako algebra Lego przez elementy u, I, oraz spełnone są relacje R I. Dowód. Punkt (a) jest konsekwencją następującego twerdzena. Twerdzene. Nech x y będą perwastkam formy q I oraz nech a B I będze modułem rozkładalnym. Wtedy ϕ a x,y() = ϕ a y,x(). Dla dowodu punktu (b) zauważmy, że możemy uporządkować x,..., x m perwastk formy q I w ten sposób że dla każdego cała K Ext (M(x ), M(x j )) = 0, j, oraz Hom(M(x ), M(x j )) = 0, > j.

5 ALGEBRY HALLA DLA POSETÓW 5 Wtedy u a = u a(x x ) a(x. Powyższy wzór wraz z twerdzenem o baze )! Poncare-Brkhoff-Wtta mplkuje tezę. Punkt (c) wynka z faktu, że H jest unwersalną algebrą obejmującą oraz, że jest generowana przez elementy u, I. Na zakończene referatu udowodnmy następujące twerdzene. Twerdzene. K C Le u I /RI oraz H C u I /RI. Zauważmy, że mamy oczywsty epmorfzm L = C Le u I /RI K. Aby pokazać, że jest to zomorfzm wystarczy udowodnć, że dm C L dm C K, który jest równy lośc perwastków formy q I. Rozważmy dwulnową formę symetryczną (x, y) = q I (x+y) q I (x) q I (y). Wtedy e, x = 2x + x j + x j x p, I, j j I p max I oraz e p, x = 2x p j p x j, p max I. Lemat. () Jeśl x jest perwastkem formy q I, to x e, x e jest równeż perwastkem formy q I. (2) Jeśl x jest dodatnm perwastkem q I, I oraz x e, to e, x q(x e ) > 0. (3) Jeśl x jest perwastkem formy q I, to e, x = 2 wtedy tylko wtedy, gdy x = e. (4) Jeśl z jest perwastkem formy q I, to stneje cąg x (),..., x (m) perwastków formy q I tak, że x () = z, x () = x ( ) e j, = 2,..., m dla pewnego j I, oraz x (m) = e j dla pewnego j. Nech u = [u,..., u n ] = [u, [..., u n ]...]. Wadomo, że elementy tej postac tworzą zbór generatorów algebry L. Element u nazywamy nerozkładalnym, jeśl e k, e k+ + + e n =, k =,..., n. Teza twerdzena wynka z następujących faktów, które dowodz sę kombnatoryczne: () Nech u będze elementem nerozkładalnym oraz I. Jeśl e, e u, to [u, u] = 0, gdze e u = e + + e n. (2) Nech 0 u będze elementem nerozkładalnym. Jeśl dla pewnej permutacj σ S n element u σ = [u σ(..., u σ(n) ] jest równeż nerozkładalny różny od 0, to u = u σ.