Środek masy i geometryczne momenty bezwładności figur płaskich 1

Transkrypt

1 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Środek ms fgur płskej Zleżnoś n współrzędne środk ms, fgur płskej złożonej z fgur regulrnh rs.. możem zpsć w nstępują sposób: gdze:. pole powerzhn -tej fgur regulrnej,. odległość środk ms -tej fgur regulrnej od os dowolnego ukłdu współrzędnh, odległość środk ms -tej fgur regulrnej od os dowolnego ukłdu współrzędnh. Rs.. Fgur płsk przedstwon n rs... skłd sę z fgur regulrnh prostokąt pole powerzhn, środek ms w punke, prostokąt pole powerzhn, środek ms w punke orz trójkąt pole powerzhn, środek ms w punke. W opru o zleżnoś.. możem zpsć ztem:

2 . Wtrzmłość mterłów Geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh Geometrzne moment bezwłdnoś moment dewj fgur płskh wrżne są w jednostkh długość, np. m, m, mm. Moment bezwłdnoś przjmują tlko wrtoś dodtne, ntomst moment dewj mogą bć zrówno dodtne, jk ujemne. Znk momentu dewj zleż od położen fgur, o przedstwono n rs.... Rs.. Rs.. Geometrzne moment bezwłdnoś wbrnh fgur regulrnh zestwono w tbel.. Twerdzene Stener Twerdzene Stener dl zgdneń D rs.. przjmuje postć: dl momentów bezwłdnoś dl momentu dewj : gdze:, :... entrln moment bezwłdnoś względem os entrlnej, entrln moment bezwłdnoś względem os entrlnej,

3 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Fgur Tbel.. hrkterstk geometrzne wbrnh fgur regulrnh Pole powerzhn Współrzędne środk ms entrlne moment bezwłdnoś entrln moment dewj bh b h b h b h b bh h bh b h h b 7 b bh h bh b h π r π r π r r π r π π r π r π π r r π r π π r π π r π r π

4 . Wtrzmłość mterłów entrln moment dewj względem os entrlnh, pole powerzhn fgur płskej, odległość środk ms fgur płskej od os dowolnego ukłdu współrzędnh odległość pomędz osą orz osą, odległość środk ms fgur płskej od os dowolnego ukłdu współrzędnh odległość pomędz osą orz osą. Rs.. W opru o twerdzene Stener możem wznzć moment bezwłdnoś dewj fgur płskej względem os, dowolnego ukłdu współrzędnh, prz zm ose te muszą bć równoległe do os entrlnh rs... W przpdku, gd znm moment bezwłdnoś dewj względem os, dowolnego ukłdu współrzędnh, możem wznzć moment entrlne wkorzstują odwrotne twerdzene Stener. Możem je zpsć w nstępująej forme: dl entrlnh momentów bezwłdnoś, : dl momentu dewj : W przpdku fgur złożonej z fgur regulrnh rs.., twerdzene Stener dl -tej fgur skłdowej możem zpsć w nstępująej post:..7 gdze:. moment bezwłdnoś -tej fgur względem os, moment bezwłdnoś -tej fgur względem os, moment dewj -tej fgur względem os, entrln moment bezwłdnoś -tej fgur względem os, entrln moment bezwłdnoś -tej fgur względem os,

5 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Rs.. entrln moment dewj -tej fgur względem os, pole powerzhn -tej fgur, odległość os od os dowolnego ukłdu współrzędnh, odległość os od os dowolnego ukłdu współrzędnh, odległość os od os dowolnego ukłdu współrzędnh, odległość os od os dowolnego ukłdu współrzędnh, Główne entrlne moment bezwłdnoś b określć główne entrlne moment bezwłdnoś rozptrwnej fgur nleż znleźć główne ose bezwłdnoś, zl tke, dl którh moment dewj fgur będze równ zeru. Wzor trnsformująe moment bezwłdnoś dewj względem entrlnego ukłdu współrzędnh do ukłdu os ξ, η obróonego o kąt φ rs.. są nstępująe: ξ os φ sn φ snφ. η sn φ os φ snφ. snφ ξη os. φ Rs.. Moment dewj względem os głównh jest równ zeru. Tk wę przeksztłją osttn z powższh wzorów otrzmm kąt φ, o któr nleż obróć ukłd os, b uzskć zerowe moment dewj:

6 . Wtrzmłość mterłów snφ os φ snφ os tg φ φ φ rtg. Ose ξ, η ukłdu obróonego o kąt φ nzwm osm głównm entrlnm oznzm frm. Moment bezwłdnoś względem th os rs..7 osągją wrtoś ekstremlne mksmlną orz mnmlną :.. Przekroje enkośenne Rs..7 Rozptrują przekroje enkośenne, jk n rs.., możem w h ksztłe wodrębnć prostokąt o wmrh b δ, prz zm wmr poprzezn δ jest dużo mnejsz nż wmr wzdłużn b. Rs.. Moment bezwłdnoś są w tkm przpdku równe: bδ. b δ.

7 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh.7 Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs... Rozwązne Wprowdzm ukłd współrzędnh Rs..,, jk n rs... Rozptrwn fgur posd jedną oś smetr. Dltego njprktznej jest przjąć ukłd współrzędnh tk, b jedn z jego os pokrwł sę włśne z osą smetr. Oś t w nszm przkłdze oś będze jedną z głównh entrlnh os bezwłdnoś. Rs.. Rozptrwną fgurę dzelm n dw prostokąt o wmrh orz. Pol powerzhn orz współrzędne środk ms kżdego z prostokątów wnoszą: prostokąt : ; ; prostokąt : ; ; Wkorzstują zleżnoś.. wznzm współrzędne środk ms rozptrwnej fgur: 7

8 . Wtrzmłość mterłów Wznzm moment bezwłdnoś prostokątów względem os przehodząh przez h środk ms rs..: entrlne moment bezwłdnoś rozptrwnej fgur są sumą lgebrzną momentów bezwłdnoś fgur skłdowh względem os entrlnh,. Do wznzen th momentów wkorzstujem twerdzene Stener Wznzone moment entrlne rozptrwnej fgur są jednoześne głównm entrlnm momentm bezwłdnoś rs... Moment dewj. 7 Rs..

9 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs... Rozwązne Wprowdzm ukłd współrzędnh Rs..,, jk n rs... Rozptrwn fgur posd dwe ose smetr, które są zrzem głównm entrlnm osm bezwłdnoś. Współrzędne środk ms fgur są równe,. Rozptrwną fgurę dzelm n trz prostokąt dw o wmrh orz jeden o wmrh. Pol powerzhn orz współrzędne środk ms kżdego z prostokątów wnoszą: prostokąt : ; ; prostokąt : prostokąt : ; ; ; ; Rs..

10 . Wtrzmłość mterłów Wznzm moment bezwłdnoś prostokątów względem os przehodząh przez h środk ms: Wznzm entrlne moment bezwłdnoś łej fgur: 7 7 Główne entrlne moment bezwłdnoś są równe rs..: Rs..

11 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs... Rs.. Rozwązne Wprowdzm ukłd współrzędnh,, jk n rs... Rozptrwn fgur ne posd żdnej os smetr. Fgurę dzelm n trz prostokąt o wmrh, orz. Pol powerzhn orz współrzędne środk ms kżdego z prostokątów wnoszą: prostokąt : prostokąt : prostokąt : ; ; ; ; 7 ; ; Rs..

12 . Wtrzmłość mterłów Wkorzstują zleżnoś.. wznzm współrzędne środk ms rozptrwnej fgur: 7 Wznzm moment bezwłdnoś prostokątów względem os przehodząh przez h środk ms rs..: Wznzm entrlne moment bezwłdnoś łej fgur: W elu określen położen głównh entrlnh os bezwłdnoś konezne będze wznzene momentu dewj rozptrwnej fgur. Moment dewj kżdego prostokąt względem os przehodząh przez środek jego ms są równe zeru. entrln moment dewj łej fgur jest równ:

13 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. 7 Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh rs..7, b moment dewj bł równ zeru: 7, rtg 7 rtg rtg φ Główne entrlne moment bezwłdnoś są równe..:, 7 7, 7 7 Rs..7

14 . Wtrzmłość mterłów Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Rs.. Rozwązne W rozptrwnej fgurze możem wodrębnć trójkąt prostokątn o wmrh m orz -stopnow wnek koł o promenu m rs... Rs.. hrkterstk fgur skłdowh są nstępująe n podstwe tbel.: trójkąt rs.. 7 m m m, m m

15 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh., m moment dewj dodtn rs.. 7 wnek koł rs..b π 7, m π π π π,7 m,7 m π π, m, m, m moment dewj dodtn rs.. π Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe: 7 7,,7 7 7, 7 7,,7 7 7,,7 m, m entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe:, 7,,,,,7, m, 7,,7, 7,7, 7,,7,7,7,,,7 m, 7,7,, 7,,7,7,7,,,,,7, m Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru: φ, rtg rtg rtg,,,7,

16 . Wtrzmłość mterłów Wznzm główne entrlne moment bezwłdnoś..:,,7,,7, m,,7,,,7,,7,77 m,,7, N rs.. przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś, obróone o wznzon kąt φ. Rs..

17 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh.7 Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Rs.. Rozwązne Rozptrwn fgur skłd sę z trzeh fgur podstwowh dwóh prostokątów o wmrh m m orz trójkąt prostokątnego o wmrh m rs... Rs.. hrkterstk fgur skłdowh są nstępująe n podstwe tbel.: prostokąt rs.. m m m m

18 . Wtrzmłość mterłów m prostokąt rs..b m m m m 7 m trójkąt rs.. m m m m m m 7 moment dewj dodtn rs.. Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe: m m entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe: m 7

19 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Rs.. m m Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru: 7, 7 rtg 7 rtg rtg φ Wznzm główne entrlne moment bezwłdnoś..:, m 7 7

20 . Wtrzmłość mterłów,7 m 7 7 N rs.. przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś, obróone o wznzon kąt φ. Rs..

21 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Rs.. Rozwązne Rozptrwn fgur skłd sę z dwóh fgur podstwowh prostokąt o wmrh m orz trójkąt prostokątnego o wmrh m rs... Rs.. hrkterstk fgur skłdowh są nstępująe n podstwe tbel.: prostokąt m m m m 7 m

22 . Wtrzmłość mterłów trójkąt m m 7 m m m m 7 moment dewj dodtn rs.. Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe: m 7 m 7 entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe: m 7 m m Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru:, rtg rtg rtg φ

23 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Wznzm główne entrlne moment bezwłdnoś..: 7, m 7 7 m, 7 N rs..7 przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś, obróone o wznzon kąt φ. Rs..7

24 . Wtrzmłość mterłów Zdne.7. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Rs.. Rozwązne W rozptrwnej fgurze możem wodrębnć trz wnk kół o promenh, odpowedno m m rs.. orz m rs..b. Rs.. hrkterstk fgur skłdowh są nstępująe n podstwe tbel.: połówk koł π, m m π π π, m π, m, m połówk koł π, m

25 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. m, m π π,7 m π π, m połówk koł π, 7 m m π π π,7 m π, m, m Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe:,,, 7, m,,, 7,,,,, 7,7, m,,, 7 Rs..

26 . Wtrzmłość mterłów entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe:,,,,,, 7,7, 7,,7,, m,7,,,,,,,, 7,,7,,, m,,,,,,,,,,,, 7,,7,,,, 7, m Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru: φ 7, rtg rtg rtg,,,, Wznzm główne entrlne moment bezwłdnoś..:,,,, 7, 7,7 7,7, m,, 7,7 7,7, m,, 7, N rs.. przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś, obróone o wznzon kąt φ.

27 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh.7 Rs..

28 . Wtrzmłość mterłów Zdne.. Określć położene głównh entrlnh os bezwłdnoś orz wznzć wrtoś głównh entrlnh momentów bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Wnk podć z dokłdnośą do ztereh fr po przenku. Rs.. Rozwązne W rozptrwnej fgurze możem wodrębnć fgur regulrnh: prostokąt o wmrh m m orz ćwrtkę koł o promenu m rs.., orz trójkąt prostokątn o wmrh m połówkę koł o promenu m rs..b. hrkterstk geometrzne fgur zestwono ponżej: prostokąt m m m m m prostokąt m m m,7 m,7 m ćwrtk koł π, m Rs..

29 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh.,77 m π, m π, m π π, m π π, m π trójkąt m m m m, m, m 7 połówk koł m 7, π m,7 m π, m π π, m π Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe: 7,7 m 7,, 7,,77,

30 . Wtrzmłość mterłów Rs.., m 7,,,7 7,,, entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe:, m 7,7,,,77,,,7 7,,,,,,,,,7,, m 7,7,7,77 7, 7, 7,7 7,, 7,7, 7,7,77,, 7,7,7 7,7, m,,,, 77,7, 7,7,7 7,, 7,7,, 7,7,,77,,, 7,7, 7,7

31 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru:,, rtg,,, rtg rtg φ Główne entrlne moment bezwłdnoś są równe..:, m, 7,,,,,,, m, 7,,,,,, N rs.. przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś. Rs..

32 . Wtrzmłość mterłów Zdne.. Wznzć środek ężkoś orz główne entrlne moment bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs.. podzłk :. Rs.. Rozwązne Wprowdzm ukłd współrzędnh,, jk n rs..7. Rozptrwn fgur posd jedną oś smetr. Dltego njprktznej jest przjąć ukłd współrzędnh tk, b jedn z jego os pokrwł sę włśne z osą smetr. Oś t w nszm przkłdze oś będze jedną z głównh entrlnh os bezwłdnoś. Moment dewj łej fgur będze równ zeru. W rozptrwnej fgurze złożonej możem wodrębnć trz prostokąt rs..7 dw o wmrh m orz jeden o wmrh m. hrkterstk geometrzne fgur zestwono ponżej: prostokąt m m m m m prostokąt m m m m

33 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Rs..7 m prostokąt m m m m m Współrzędne środk ms fgur rs..7 są równe: entrlne moment bezwłdnoś rozptrwnej fgur są równe: m m m Wznzone moment entrlne rozptrwnej fgur są jednoześne głównm entrlnm momentm bezwłdnoś.

34 . Wtrzmłość mterłów Zdne.. Wznzć środek ężkoś orz główne entrlne moment bezwłdnoś fgur przedstwonej n rs... Rs.. Rozwązne Wprowdzm ukłd współrzędnh,, jk n rs... W rozptrwnej fgurze możem wodrębnć dw prostokąt o wmrh 7,, m orz, m. hrkterstk geometrzne prostokątów zestwono ponżej: prostokąt,, m, m m,, m,, m prostokąt 7,,,7 m, m, m 7,,,7 m 7,,, m Rs..

35 Środek ms geometrzne moment bezwłdnoś fgur płskh. Współrzędne środk ms fgur rs.. są równe:,,,7,,,7,,7,,,7, m, m entrlne moment bezwłdnoś moment dewj fgur są równe:,,,,7,7,,, m,,,,,,7,,, m,,,,,7,,,,, m Korzstją z zleżnoś. wznzm kąt φ, o jk nleż obróć ukłd współrzędnh, b moment dewj bł równ zeru: φ, rtg rtg rtg,,,, Główne entrlne moment bezwłdnoś są równe..:,,,,,,,77,7 m,,,,77 7, m,,, N rs.. przedstwono rozwązne końowe, tj. położene środk ms, entrlne ose bezwłdnoś orz główne entrlne ose bezwłdnoś, obróone o wznzon kąt φ.

36 . Wtrzmłość mterłów Rs..