AERODYNAMIKA I WYKŁAD 1 PRZEPŁYWY POTENCJALNE CZĘŚĆ 1
|
|
- Adrian Pietrzak
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 AERODYNAMIKA I WYKŁAD 1 PRZEPŁYWY POTENCJALNE CZĘŚĆ 1
2 Polog ównnie Cocco Równnie uchu (Eule) w fomie Lmb-Gomeki (pzepływ stcjonny, potencjlne pole sił zewnętznych) Piewsz Zsd Temodynmiki ωυ p p 1 1 f 1 Ts i p Tds de pd d e dp di dp Podstwimy do ównni uchu Niech: 1 i const i ωυ Ts 1 f - pzepływ izoenegetyczny const s - pzepływ izoentopowy Wówczs: ωυ 0! W pzypdku D implikuje to ówność ω 0, czyli pole pędkości ośodk jest polem potencjlnym istnieje pole sklne (potencjł) tkie, że υ
3 Ustlone i nieściśliwe pzepływy potencjlne Złożymy dlej, że ośodek jest nieściśliwy. Poniewż pzepływ jest potencjlny, to pole pędkości spełni jednocześnie wunki υ 0, υ 0 Z wunku ciągłości wynik, że jest funkcją hmoniczną. υ 0 0, tj. potencjł pędkości Z dugiej stony, kżde pole wektoowe z zeową dywegencją może być zwsze pzedstwione jko otcj pewnego pol wektoowego (potencjłu wektoowego). W pzypdku pol pędkości pzepływy nieściśliwego możemy ztem npisć ówność υ ψ pzy czym bez utty ogólności możemy złożyć, że sm potencjł wektoowy m zeową dywegencję, tj. ψ 0. Jeśli dodtkowo pole pędkości jest potencjlne, to 0 υ ( ψ) ( ψ) Δψ Δψ 0
4 Δψ Ztem, 0, tj. potencjł wektoowy nieściśliwego pzepływu potencjlnego jest wektoowym polem hmonicznym. υ ue e W pzypdku dwuwymiowym mmy x y Rotcj tego pol m tylko jedn niezeową skłdową postopdle do płszczyzny pzepływu - wiowość jest zoientown υ ( ) e z e z x y u W pzypdku D, wektoowy potencjł pędkości m postć ψ z nzywmy funkcją pądu. Zgodnie z ogólną metodą liczeni otcji mmy e e e x y z υ e e ( ) e z x y z y x x y 0 0 Ztem, y u u x e, gdzie pole sklne
5 Jeśli pole pędkości jest potencjlne, to u 0 0 x y x y Widzimy, że 0, tj. funkcj pądu nieściśliwego dwuwymiowego pzepływu potencjlnego jest ównież funkcją hmoniczną Linie (w D) stłych wtości potencjłu pędkości nzywmy linimi ekwipotencjlnymi. Linie (w D) stłych wtości funkcji pądu nzywmy linimi pądu. Podczs kusu Mechniki Płynów I dowiedzieliśmy się, że w kżdym punkcie dowolnej linii pądu (niezeowy) wekto pędkości jest do tej linii styczny. Pmiętmy ównież, że w uchu stcjonnym linie pądu są tożsme z tjektoimi elementów płynu. Pokżemy, że linie pądu i linie ekwipotencjlne pzecinją się pod kątem postym. Wystczy pokzć, że pol wektoowe gdientów i są (w kżdym egulnym punkcie) postopdłe. Istotnie, mmy z definicji tych wielkości x x y y u u 0 W ten sposób, odzin linii ekwipotencjlnych i odzin linii pądu twozą n płszczyźnie sitkę otogonlną.
6 Zuwżmy dlej, że funkcje i twozą pę Riemnn, tj. spełniją ówności (Riemnn): u, x y y x W nlizie mtemtycznej dowodzi się, że w tkiej sytucji funkcje te są odpowiednio częścią zeczywistą i częścią uojoną funkcji zmiennej zespolonej z x iy postci ( z) ( x, y) i ( x, y) Funkcję nzywmy potencjłem zespolonym. Zgodnie z teoią funkcji zespolonych, pochodn tej funkcji dn jest wzoem z i i u i () x x y y W teoii pzepływów potencjlnych D wpowdz się pojęcie pędkości zespolonej V ( z) ( z). Jk widć z powyższej ówności skłdowe ktezjńskie pol wektoowego pędkości wyżją się wówczs wzomi u( x, y) Re{ V ( x iy)}, ( x, y) Im{ V ( x iy)}
7 W szeegu pzypdków kozystnym jest zstosownie opisu we współzędnych biegunowych x cos, y sin x y y x, tn( ) Wzoy tnsfomcyjne skłdowych pol pędkości w ukłdch ktezjńskim i biegunowym pzedstwiją się nstępująco ucos sin, usin cos cos sin, sin cos u Gdient pol sklnego we współzędnych biegunowych zdny jest wzoem (, ) e e Ztem 1 1, Biegunowe skłdowe pol pędkości wyżją się z pomocą funkcji pądu nstępująco 1,
8 Weszcie, (sklny) opeto Lplce we współzędnych biegunowych m postć f f f f ( f ) f
9 Elementne pzypdki pzepływów potencjlnych w D 1. Stumień jednoodny ( x, y) Ux V y, ( x, y) V x Uy (, ) U cos V sin, (, ) V cos U sin. Źódło/upust Q, 0 Q 0 - źódło, Q 0 - upust. Potencjł i funkcj pądu to K Q Q (, ) ln, (, ) Wielkość Q to wydjność (wydtek objętościowy) źódł/upustu. Istotnie, mmy Q υn ds (, ) 0 d Q
10 3. Wi potencjlny 0,. Wielkość to mi intensywności wiu fktyczny sens objśnimy dlej. Potencjł pędkości i funkcj pądu mją postć (, ), (, ) ln Policzmy cykulcję pol pędkości indukownej pzez wi wzdłuż kontuu kołowego śodku w początku ukłdu odniesieni i pomieniu K, o K υds τ ds K K Zuwżmy, że potencjł jest funkcją wielowtościową. W powyższej fomule, symbol [ f ] ozncz pzyost funkcji f, któego doznje on po jednokotnym pzejściu wzdłuż kieunku odwotnie zegowym). K (w
11 Zgodnie z definicją potencjłu pzyost ten jest ówny K K Zuwżmy, że pole pędkości jest potencjlne w kżdym punkcie z wyjątkiem punktu (0,0). Cłk kzywoliniow z pol pędkości po dowolnym kontuze zmkniętym nieotczjącym tego punktu (śodk wiu) jest ztem ówn zeu. Ogólniej: cykulcj (pol pędkości) wzdłuż dowolnej linii zmkniętej jest ówn wyżeniu ( n1 n), gdzie n 1 to liczb okążeń pzeciw zegowych, n - liczb okążeni zgodnie zegowych wokół śodk wiu.
12 4. Dipol (o osi pokywjącej się z osią 0x) Rozwżmy pzepływ otzymny w wyniku pzejści gnicznego polegjącego n ściągnięciu do jednego punktu (dl uposzczeni początku ukłdu odniesieni) py źódłoupust i identycznych (co do modułu) wydtkch, któych wtość wzst w tkcie pocesu zbliżni odwotnie popocjonlnie do odległości od punktu docelowego. Potencjł pol pędkości indukownej pzez pę Z/U ( x, y) ln ( x ) y ln ( x ) y D 1 D 1 D ln ( x ) y ln ( x ) y 1 1 Pzechodzimy do gnicy 0 (D - moment dipol) ln ( x ) y ln ( x ) y ( x, y) lim ( x, y) Dlim... fomul de lhospitl x Dx y
13 Ćwiczenie: ( xy, ) Dy y Pokż, że funkcj pądu dipol to Wypowdź wzoy n ktezjńskie współzędne pol pędkości indukownego pzez dipol x Linie pądu py źódło/upust (po lewej) i dipol (po pwej)
14 Supepozycj i pzepływu złożone Dowolnie złożone pzepływy potencjlne w D mogą być uzyskne n dodze supepozycji pzepływów elementnych. Popwność tkiej poceduy jest konsekwencją liniowości opeto Lplce (dowoln kombincj funkcji hmonicznych jest w części wspólnej ich dziedzin funkcją hmoniczną). Pzykłd 1: supepozycj stumieni jednoodnego i źódł/upustu (, ) (, ) (, ) V cos ln sc (, ) (, ) (, ) sin Q sc V Ćwiczenie: Oblicz skłdowe biegunowe pol pędkości Wyzncz liczbę tką, że u(,0) 0 (punkt spiętzeni) 1 Pokż, że (,0) Q (, ) Znjdź ksztłt linii 1 Q x y Q
15 Pzykłd : supepozycj stumieni jednoodnego oz py źódło/upust (opływ owlu Rnkin) (, ) sin Q Q V (, ) (, ) Rozwżmy funkcję pądu postci 1 y sin 1 tn tn x cos gdzie y sin tn tn x cos Ćwiczenie: u( x, y) V Q x x ( x) y ( x) y 1) pokż, że ) pokż, że punkty spiętzeni to ( x, y) ( b,0), gdzie b Q V 3) pokż, że lini 0 opisn jest niejwną fomułą Y ( x) x Y ( x) tn[ V Y ( x) / Q]
16 Pzykłd 3: Symetyczny opływ pofilu kołowego (cylind) Rozwżmy nstępującą kombincję stumieni jednoodnego i dipol We współzędnych biegunowych ( x, y) U x U x x y cos (, ) cos U U U 1 cos Pole pędkości we współzędnych biegunowych U U U cos cos 1 cos U 1 Usin sin U 1 sin
17 Dl otzymujemy (, ) 0 (, ) U sin to lini pądu! Ztem, otzymliśmy potencjlny opływ pofilu Wnioskujemy, że lini kołowego o pomieniu ównym i śodku w początku ukłdu współzędnych. Zstosujemy ównnie Benoulliego do obliczeni ozkłdu ciśnieniu n pofilu kołowym. Mmy p U p(, ) V (, ) 1 1 Poniewż V (, ) 4U sin, otzymujemy p p U 1 ( ) (1 4sin ) W eodynmice często posługujemy się współczynnikiem ciśnieni ( ) p( ) p c 1 4sin p 1 U
18 Zuwżmy, że: - ciśnienie spiętzeni ( c 1) 1 pmx p(,0) p(, ) p U p q min p p(, ) p(, ) p U p 3q - ciśnienie minimlne ( c 3) p p Zuwżmy tkże, że ozkłd ciśnieni wykzuje symetię względem obu osi 0x i 0y. Wnioskujemy, że cłkowit sił eodynmiczn jest ówn zeu. W szczególności, nie pojwi się sił opou. Wynik ten pozostje w jwnej spzeczności z włściwościmi opływu pofilu kołowego płynem zeczywistym (lepkim). Pokżemy, że w mch teoii pzepływów potencjlnych nieściśliwym możliwe jest uzysknie opływu z siłą nośną. W tym celu musimy dodć jeszcze jeden skłdnik wi potencjlny. U cos (, ) U cos stumien jednoodny Zuwżmy, że po dodniu wiu (położonego w śodku pofilu kołowego) pofil kołowy pozostje ndl lini pądu zmodyfikownego pzepływu! dipol wi
19 Aktulnie, skłdowe biegunowe pol pędkości wyżją się nstępująco: U 1 cos 1 U 1 sin N smym pofilu mmy ozkłdy (, ) 0 (, ) U sin Okeślimy położenie punktów spiętzeni (stgncji) U sin 0 sin 4U
20 Mmy ozwiązni sin, sin 4 4U,1,1 U o ile tylko 4U. W pzypdku gnicznym 4U n pofilu istnieje tylko 1 jeden punkt stgncji (w zleżności od znku cykulcji wiu odpowid mu kąt lub 3 ). Jeśli 4 U punkt stgncji pojwi się w polu pzepływu, nie n kontuze. Pole ciśnieni obliczmy z -ni Benoulliego Tym zem p p U V 1 (, ) [ (, )] V (, ) ( U sin ) U 4U sin sin 4
21 Ztem U p(, ) p U (1 4sin ) sin 4 1 Zuwżmy, że skłdow x-ow siły eodynmicznej (czyli opó) jest w wyniku symetii ozkłdu ciśnieni względem osi 0y - ndl ówn zeu. Obecność wiu łmie jednk symetię tego ozkłdu względem osi 0x. Obliczmy ztem siłę nośną. L p(, )sind e 0 y Obliczeni pzebiegją nstępująco 0 p(, )sind 1 3 U [ p sin 0 U (sin 4sin ) sin sin ] d 8 U U sin d 0
22 Otzymliśmy bdzo postą fomułę (zwną wzoem Kutty-Żukowskiego) pokżemy później, że obowiązuje on ównież w pzypdku pofilów o dowolnym ksztłcie (gdzie w oli U nleży podstwić po postu wtość pędkości w stumieniu niezbuzonym) LU e y Podkeślmy ponownie, że sił opou w otzymnym pzepływie jest ówn zeu, czyli D p(, )cosd 0 x e 0 Wynik ten jest szczególnym pzypdkiem tzw. pdoksu d Alembet.
23 Tnsfomcj konfoemn infomcj ogóln Pzypdek pofilu kołowego jest istotny bowiem opływ potencjlny tego pofilu możn pzeksztłcić w opływ potencjlny cił (kontuu) o w zsdzie dowolnym ksztłcie, posługując się odpowiednio skonstuowną tnsfomcją punktów płszczyzny, zwnej tnsfomcj konfoemną. Tnsfomcj konfoemn pzeksztłc obsz (D) pzepływu potencjlnego w tki sposób, że potencjł pol pędkości i funkcj pądu pozostją funkcjmi hmonicznymi. Dokłdniej, spw pzedstwi się nstępująco. Niech n płszczyźnie (, ) zdny będzie potencjł pędkości ˆ ˆ(, ) tki, że ˆ 0. Jeśli pzeksztłceni ( x, y), ( x, y) jest konfoemne to funkcj ( x, y) ˆ [ ( x, y), ( x, y)] spełni ównnie Lplce xy 0 czyli jest popwnym potencjłem pędkości pzepływu tnsfomownego. Okzuje się, że jest tk wówczs, gdy funkcje ( xy, ) i spełniją wunki Riemnn, czyli gdy są odpowiednio częścią zeczywistą i uojoną pewnej funkcji zespolonej. Pzykłdem podęcznikowym tnsfomcji konfoemnej jest tnsfomcj Żukowskiego. Pozwl on pzeksztłcić pzepływ wokół pofilu kołowego w opływ pofilu eliptycznego (w skjnym pzypdku opływ płskiej płytki), tkże w opływu kontuów o ksztłcie zbliżonym do wybnych pofili lotniczych. Zletą jest fkt, że otzymny opis pzepływu jest cłkowicie nlityczny.
24 Twiedzenie Milne-Thomson Niech zdny będzie pzepływ potencjlny, któego potencjł pędkości i funkcj pądu ówne są odpowiednio - ˆ( xy, ) i ˆ( xy, ). Twiedzenie M-T wyjśni jk zmodyfikowć ten pzepływ, by osiągnąć jednocześnie dw cele: Pofil kołowy o ównniu x y jest linią pądu w zmodyfikownym pzepływie Cłkowity łdunek cykulcji w pzepływie pozostje niezmienny. Oto jwne fomuły dl funkcji pądu i potencjłu pędkości (wsp. ktezjńskie) ˆ ˆ ˆ ˆ x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y Dowód popwności tych fomuł jest dość posty. W szczególności, jeśli punkt ( xy, ) spełni x y wówczs ( xy, ) 0. Dowód popwności wzou dl potencjłu pozostwimy jko ćwiczenie. ównnie któej 0, czyli punkt ten nleży do linii pądu, wzdłuż
25 Anlogiczne fomuły we współzędnych biegunowych są jeszcze postsze (, ) ˆ(, ) ˆ (, ), ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) Istotnie, mmy ntychmist kołowy jest linią pądu. (, ) ˆ(, ) ˆ (, ) 0, co pokzuje, że kontu Innym sposobem spwdzeni popwności podnych fomuł jest obliczenie skłdowej pomieniowej (czyli n kontuze kołowym nomlnej do bzegu) popzez zóżniczkownie potencjłu pędkości ˆ ˆ ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Mmy ztem ˆ ˆ. (, ) (, ) (, ) 0 Zobczmy co dzieje się ze skłdową styczną. Obliczmy skłdową zymutlną pedkości ˆ ˆ ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, )
26 Wobec tego, n kontuze otzymujemy ˆ ˆ ˆ (, ) (, ) (, ) (, ) Widzimy, że modyfikcj pzepływu zgodnie z eceptą Milne-Thomson ksuje skłdową nomlną i podwj skłdową styczną n bzegu pofilu kołowego. Pzykłdy: 1. Włożenie pofilu kołowego w stumień jednoodny Mmy ˆ( x, y) U x. Zgodnie z twiedzeniem M-T mmy (, ) ˆ (, ) ˆ x y (, ) x y x y U x U x y x y x y Otzymliśmy znną już fomułę. Wychodząc od postci we współzędnych biegunowych otzymujemy czyli ponownie popwny wzó. ˆ ˆ U U (, ) (, ) (, ) cos cos x
27 . Włożenie pofilu kołowego do pzepływu indukownego pzez wi potencjlny Niech oyginlny pzepływ będzie efektem indukcji wiu potencjlnego położonego w punkcie (c,0). Wyjściow funkcj pądu m postć ˆ( x, y) ln ( x c) y Zgodnie z twiedzeniem M-T, funkcj pądu pzepływu po modyfikcji m postć czyli ˆ ˆ x y ( x, y) ( x, y) (, ) x y x y ( x c) y ( x c) y ( xy, ) ln ln 4 4 x x x x ( 4 ( c) c) x y ( x y ) x y ( x y ) Pokżemy, że powyższy wzó opisuje de fcto pzepływ indukowny pzez tzy odpowiednio umieszczone wiy potencjlne.
28 W tym celu pzeksztłćmy wyżenie logytmowne w nstępujący sposób ( x c) y [( x c) y ]( x y ) x x y ( c) x ( x y )[ xc c ( x y ) ] x y ( x y ) x y x y [( x c) y ]( x y ) [( x c) y ]( x y ) [( x c) y ]( x y ) 4 xc c ( x y ) c [( ) x x y ] c [( x c c ) y ] c Ztem, funkcj pądu może być zpisn w postci ( x c) y [( x c) y ]( x y ) ( xy, ) ln ln 4 4 ( c) 4 c [( x ) y ] x x x y ( x y ) c ln ( x c) y ln x y ln ( x c ) y oyginlny wi ( ) wi w (0,0) ( ) wi w punkcie inwesji ( ) ln c nieistotn stl
29 A oto ukłd linii pądu. Anlogicznie, możn wyznczyć pzepływ po włożeniu pofilu kołowego do pzepływu wywołnego obecnością źódł/upustu (ćwiczenie wzoy i intepetcj) Oto linie pądu tego pzepływu
30 A może włożyć pofil kołowy do pzepływu wywołnego kombincją wiu i źódł/upustu
Zadania do rozdziału 7.
Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły
Bardziej szczegółowoPrędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu kulistym
Pędkość i pzyspieszenie punktu były w uchu kulistym Położenie dowolnego punktu były okeślmy z pomocą wekto (o stłej długości) któego współzędne możemy podć w nieuchomym ukłdzie osi x y z ) z b) ζ ζ η z
Bardziej szczegółowomagnetycznym. Rozwiązanie: Na elektron poruszający się z prędkością υ w polu B działa siła Lorentza F L, wektorów B i υ.
Zdni do ozdziłu 8. Zd.8.. Elekton (o msie 3 9 m 9, 0 kg i łdunku elektycznym e.6 0 C ) wpd z pędkością υ 0 7 m / s w obsz jednoodnego pol mgnetycznego o indukcji B 0 T postopdle do linii sił tego pol.
Bardziej szczegółowoSieć odwrotna. Fale i funkcje okresowe
Sieć odwotn Fle i funkcje okesowe o Wiele obiektów w pzyodzie d; o Różne fle ozchodzą się w pzestzeni (zówno w póżni jk i w mteii); o Aby mtemtycznie opisć tkie okesowe zminy stosuje się funkcje sinus
Bardziej szczegółowomgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk d inż. Zbigniew Szklski szkl@gh.edu.pl http://le.uci.gh.edu.pl/z.szklski/ Wstęp Opis uchu KINEMATYKA Dlczego tki uch? Pzczn uchu DYNAMIKA MECHANIKA 08.03.018 Wdził Infomtki, Elektoniki
Bardziej szczegółowoZnajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Bardziej szczegółowoMetody analizy światłowodów wielomodowych
Metody nlizy świtłowodów wielomodowych 1. Metod optyki geometycznej wyzncznie tou pomieni optycznego w świtłowodzie. Metod WKB wyzncznie w sposób pzybliżony modów świtłowodowych i wyznczenie obszów ich
Bardziej szczegółowoZadania otwarte. 2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10.
Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 05 skle.oeon.l/mtu
Bardziej szczegółowoRuch obrotowy. Wykład 6. Wrocław University of Technology
Wykład 6 Wocław Univesity of Technology Oboty - definicje Ciało sztywne to ciało któe obaca się w taki sposób, że wszystkie jego części są związane ze sobą dzięki czemu kształt ciała nie ulega zmianie.
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semest: II (Mechanika I), III (Mechanika II), ok akademicki 2017/2018 Liczba godzin: sem. II*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III*) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. (dla
Bardziej szczegółowoMechanika techniczna. przykładowe pytania i zadania
Mechnik techniczn pzykłdowe pytni i zdni sttyk. Zcytowć i zilustowć zsdę ównoległooku (zsd sttyki).. Kiedy dwie siły pzyłożone do cił sztywnego ównowżą się?. okzć, że w sttyce siły pzyłożone do cił sztywnego
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoMETODY HODOWLANE - zagadnienia
METODY HODOWLANE METODY HODOWLANE - zgdnieni. Mtemtyczne podstwy metod odowlnyc. Wtość cecy ilościowej i definicje pmetów genetycznyc. Metody szcowni pmetów genetycznyc 4. Wtość odowln cecy ilościowej
Bardziej szczegółowoMechanika techniczna
Mechnik techniczn pzykłdowe pytni i zdni sttyk. Zcytowć i ziustowć zsdę ównoegłooku (zsd sttyki).. Kiedy dwie siły pzyłożone do cił sztywnego ównowżą się?. okzć, że w sttyce siły pzyłożone do cił sztywnego
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 0 Zdni zmknięte
Bardziej szczegółowoVI. Rachunek całkowy. 1. Całka nieoznaczona
VI. Rchunek cłkowy. Cłk nieoznczon Niech F : I R i f : I R będą funkcjmi określonymi n pewnym przedzile I R. Definicj. Funkcję F nzywmy funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I, gdy F (x) = f(x) dl x
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. Metody numeryczne w modelowaniu: Różniczkowanie i całkowanie numeryczne
Modelownie i obliczeni techniczne Metody numeryczne w modelowniu: Różniczkownie i cłkownie numeryczne Pochodn unkcji Pochodn unkcji w punkcie jest deiniown jko grnic ilorzu różnicowego (jeżeli istnieje):
Bardziej szczegółowoWyznaczanie profilu prędkości płynu w rurociągu o przekroju kołowym
1.Wpowadzenie Wyznaczanie pofilu pędkości płynu w uociągu o pzekoju kołowym Dla ustalonego, jednokieunkowego i uwastwionego pzepływu pzez uę o pzekoju kołowym ównanie Naviea-Stokesa upaszcza się do postaci
Bardziej szczegółowoRealizacje zmiennych są niezależne, co sprawia, że ciąg jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych,
Klsyczn Metod Njmniejszych Kwdrtów (KMNK) Postć ć modelu jest liniow względem prmetrów (lbo nleży dokonć doprowdzeni postci modelu do liniowości względem prmetrów), Zmienne objśnijące są wielkościmi nielosowymi,
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoPęd, d zasada zac zasad a zac owan owan a p a p du Zgod Zg n od ie n ie z d r d u r g u im g pr p a r wem e N ew e tona ton :
Mechanika ogólna Wykład n 13 Zasady zachowania w dynamice. Dynamika były sztywnej. Dynamika układu punktów mateialnych. 1 Zasady zachowania w dynamice Zasada: zachowania pędu; zachowania momentu pędu (kętu);
Bardziej szczegółowo5. Mechanika bryły sztywnej
W ozdzie dpowiedzi i wskzówki znjdują się odpowiedzi do wszystkich zdń, znjdziesz tm ównież wskzówki do ozwiązń tudnych zdń. Pełne ozwiązni zdń możesz uzyskć pzysyłjąc e-mi n des: kons@x.wp.p 5. Mechnik
Bardziej szczegółowoElementarne przepływy potencjalne (ciąg dalszy)
J. Szanty Wykład n 4 Pzepływy potencjalne Aby wytwozyć w pzepływie potencjalnym siły hydodynamiczne na opływanych ciałach konieczne jest zyskanie pzepływ asymetycznego.jest to możliwe pzy wykozystani kolejnego
Bardziej szczegółowoRedukcja układów sił działających na bryły sztywne
1 Redukcj ukłdów sił dziłjących n bryły sztywne W zdnich tego rozdziłu wykorzystuje się zsdy redukcji ukłdów sił wykłdne w rmch mechniki ogólnej i powtórzone w tomie 1 podręcznik. Zdnie 1 Zredukowć ukłd
Bardziej szczegółowoWykład 2. Pojęcie całki niewłaściwej do rachunku prawdopodobieństwa
Wykłd 2. Pojęcie cłki niewłściwej do rchunku prwdopodobieństw dr Mriusz Grządziel 4 mrc 24 Pole trpezu krzywoliniowego Przypomnienie: figurę ogrniczoną przez: wykres funkcji y = f(x), gdzie f jest funkcją
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE W PRÓŻNI. W roku 1820 Oersted zaobserwował oddziaływanie przewodnika, w którym płynął
POLE MAGNETYCZNE W PÓŻNI W oku 8 Oested zaobsewował oddziaływanie pzewodnika, w któym płynął pąd, na igłę magnetyczną Dopowadziło to do wniosku, że pądy elektyczne są pzyczyną powstania pola magnetycznego
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowo9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu
9. PLANIMETIA 9.. Okąg i koło ) Odinki w okęgu i kole S Cięiw okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu d S Śedni okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu pzeodząy pzez śodek okęgu (koł)
Bardziej szczegółowoNiewymierność i przestępność Materiały do warsztatów na WWW6
Niewymierność i przestępność Mteriły do wrszttów n WWW6 Piotr Achinger 23 sierpni 2010 1 Wstęp 1.1 Liczby wymierne i niewymierne Pytnie 1. Czy istnieją liczby niewymierne? Zdnie 1. Wykzć, że 1. 2 / Q,
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
ZNI SMZIELNE RZWIĄZNI łski ukłd sił zbieżnych Zdnie 1 Jednoodn poziom belk połączon jest pzegubowo n końcu z nieuchomą ściną oz zwieszon n końcu n cięgnie twozącym z poziomem kąt. Znleźć ekcję podpoy n
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/06 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zsdy ocenini ozwiązń zdń Copyight by Now E Sp. z o.o. Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi meytoycznie
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w popzednim odcinku 1 8 gudnia KOLOKWIUM W pzyszłym tygodniu więcej infomacji o pytaniach i tym jak pzepowadzimy te kolokwium 2 Moment bezwładności Moment bezwładności masy punktowej m pouszającej się
Bardziej szczegółowoPrawo Coulomba i pole elektryczne
Prwo Coulomb i pole elektryczne Mciej J. Mrowiński 4 pździernik 2010 Zdnie PE1 2R R Dwie młe kulki o msie m, posidjące ten sm łdunek, umieszczono w drewninym nczyniu, którego przekrój wygląd tk jk n rysunku
Bardziej szczegółowoTemat ćwiczenia. Pomiary kół zębatych
POLITECHNIKA ŚLĄSKA W YDZIAŁ TRANSPORTU Temt ćwiczeni Pomiy kół zębtych I. Cel ćwiczeni Zpoznnie studentów z metodmi pomiu uzębień wlcowych kół zębtych o zębch postych oz pktyczny pomi koł. II. Widomości
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna.
Rchunek rwdoodobieństw i sttystyk mtemtyczn. Zd 8. {(, : i } Zleżność tą możn rzedstwić w ostci nstęującej interretcji grficznej: Arkdiusz Kwosk Rfł Kukliński Informtyk sem.4 gr. Srwdźmy, czy odne zmienne
Bardziej szczegółowoEnergia kinetyczna i praca. Energia potencjalna
negia kinetyczna i paca. negia potencjalna Wykład 4 Wocław Univesity of Technology 1 NRGIA KINTYCZNA I PRACA 5.XI.011 Paca Kto wykonał większą pacę? Hossein Rezazadeh Olimpiada w Atenach 004 WR Podzut
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoPole magnetyczne. 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki. przewodniki z prądem. 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne
Rozdział 5 Pole magnetyczne 5.1 Oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki i pzewodniki z pądem 5.1.1 Podstawowe zjawiska magnetyczne W obecnym ozdziale ozpatzymy niektóe zagadnienia magnetostatyki. Magnetostatyką
Bardziej szczegółowosymbol dodatkowy element graficzny kolorystyka typografia
Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/00 Elementy podstwowe symbol dodtkowy element grficzny kolorystyk typogrfi Identyfikcj wizuln Fundcji n rzecz Nuki Polskiej 1/01 Elementy podstwowe /
Bardziej szczegółowoWykład: praca siły, pojęcie energii potencjalnej. Zasada zachowania energii.
Wykład: paca siły, pojęcie enegii potencjalnej. Zasada zachowania enegii. Uwaga: Obazki w tym steszczeniu znajdują się stonie www: http://www.whfeeman.com/tiple/content /instucto/inde.htm Pytanie: Co to
Bardziej szczegółowocz. 2 dr inż. Zbigniew Szklarski
Wykłd 11: Elektrosttyk cz. 2 dr inż. Zbigniew Szklrski szkl@gh.edu.pl http://lyer.uci.gh.edu.pl/z.szklrski/ Pole elektryczne przewodnik N powierzchni metlicznej (przewodzącej) cły łdunek gromdzi się n
Bardziej szczegółowoPODSTAWY BAZ DANYCH Wykład 3 2. Pojęcie Relacyjnej Bazy Danych
PODSTAWY BAZ DANYCH Wykłd 3 2. Pojęcie Relcyjnej Bzy Dnych 2005/2006 Wykłd "Podstwy z dnych" 1 Rozkłdlno dlność schemtów w relcyjnych Przykłd. Relcj EGZ(U), U := { I, N, P, O }, gdzie I 10 10 11 N f f
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Konkusy w województwie podkpkim w oku szkolnym 0/0 KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Kluz odpowiedzi do ETAPU WOJEWÓDZKIEGO Akusz zwie tylko zdni otwte, któe nleży oenić według zmieszzonego poniżej
Bardziej szczegółowoJĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE
ZBIÓR ZADAŃ do WYKŁADU prof. Tdeusz Krsińskiego JĘZYKI FORMALNE I AUTOMATY SKOŃCZONE rozdził 2. Automty skończone i języki regulrne Wyrżeni i języki regulrne Zdnie 2.1. Wypisz wszystkie słow nleżące do
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Metody Lgrnge i Hmilton w Mechnice Mriusz Przybycień Wydził Fizyki i Informtyki Stosownej Akdemi Górniczo-Hutnicz Wykłd 3 M. Przybycień (WFiIS AGH) Metody Lgrnge i Hmilton... Wykłd 3 1 / 15 Przestrzeń
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowoO pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych O pewnych zgadnieniach optymalizacyjnych
Spis tresci 1 Spis tresci 1 W wielu zgdnienich prktycznych brdzo wżne jest znjdownie optymlnego (czyli njlepszego z jkiegoś punktu widzeni) rozwiązni dnego problemu. Dl przykłdu, gdybyśmy chcieli podróżowć
Bardziej szczegółowoTORY PLANET (Rozważania na temat kształtów torów ruchu planety wokół stacjonarnej gwiazdy)
Rysz Chybicki TORY PLANET (Rozwżni n tet ksztłtów toów uchu lnety wokół stcjonnej gwizy) (Posługiwnie się zez osoby tzecie ty tykułe lub jego istotnyi fgenti bez wiezy uto jest wzbonione) MIELEC Plnecie
Bardziej szczegółowoKARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p
KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni
Bardziej szczegółowo+Q -Q. Złożenie przepływów elementarnych tworzące potencjalny opływ cylindra z cyrkulacją.
.9. Ckulcjn opłw wlc kołowego Jeżeli pzczną pdoksu d Alembet jest smetczn ksztłt linii pądu, to oczwistm sposobem umożliwijącm ich odksztłcenie jest zstosownie ckulcji czli wiu potencjlnego. Złożenie tego
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowo3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego, rzuty.
3 Kinemk uchu jednosjnego zmiennego jednosjnie zmiennego zu Wbó i opcownie zdń 3-3: Bb Kościelsk zdń 33-35: szd J Bczński 3 Zleżność dogi pzebej pzez punk meiln od czsu możn opisć ównniem: () A B C 3 gdzie
Bardziej szczegółowoII.6. Wahadło proste.
II.6. Wahadło poste. Pzez wahadło poste ozumiemy uch oscylacyjny punktu mateialnego o masie m po dolnym łuku okęgu o pomieniu, w stałym polu gawitacyjnym g = constant. Fig. II.6.1. ozkład wektoa g pzyśpieszenia
Bardziej szczegółowoPraca, potencjał i pojemność
Prc, potencjł i pojemność Mciej J. Mrowiński 1 listopd 2010 Zdnie PPP1 h Wyzncz wrtość potencjłu elektrycznego w punkcie oddlonym o h od cienkiego, jednorodnie nłdownego łdunkiem Q pierścieni o promieniu.
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki krzywoliniowe
Mciej Grzesik Instytut Mtemtyki Politechniki Poznńskiej Cłki krzywoliniowe 8.04.018 1. efinicj cłki krzywoliniowej nieskierownej Rozwżmy nstępujący problem. ny jest przewód elektryczny n którym rozmieszczone
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO
POLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO Wykład 8 lato 2015/16 1 Definicja wektoa indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakzywia
Bardziej szczegółowo2. Tensometria mechaniczna
. Tensometri mechniczn Wstęp Tensometr jk wskzywłby jego nzw to urządzenie służące do pomiru nprężeń. Jk jednk widomo, nprężeni nie są wielkościmi mierzlnymi i stnowią jedynie brdzo wygodne pojęcie mechniki
Bardziej szczegółowof(x)dx (1.7) b f(x)dx = F (x) = F (b) F (a) (1.2)
Cłk oznczon Cłkę oznczoną będziemy zpisywli jko f(x)dx (.) z fnkcji f(x), któr jest ogrniczon w przedzile domkniętym [, b]. Jk obliczyć cłkę oznczoną? Obliczmy njpierw cłkę nieoznczoną z fnkcji f(x), co
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I R, jeżeli. F (x) = f (x), dla każdego x I.
RACHUNEK CAŁKOWY Funkcj F jest funkcją pierwotną funkcji f n przedzile I R, jeżeli F (x) = f (x), dl kżdego x I. Przykłd. Niech f (x) = 2x dl x (, ). Wtedy funkcje F (x) = x 2 + 5, F (x) = x 2 + 5, F (x)
Bardziej szczegółowoPOMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA
Ćwiczenie 50 POMIAR OGNISKOWEJ SOCZEWEK METODĄ BESSELA 50.. Widomości ogólne Soczewką nzywmy ciło pzeźoczyste oczyste ogniczone dwiem powiezchnimi seycznymi. Post pzechodząc pzez śodki kzywizny ob powiezchni
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Iloczyn skalarny. 1. Iloczyn skalarny wektorów na płaszczyźnie i w przestrzeni. a b = a b cos ϕ. j) (b x. i + b y
Mciej Grzesik Iloczyn sklrny. Iloczyn sklrny wektorów n płszczyźnie i w przestrzeni Iloczyn sklrny wektorów i b określmy jko b = b cos ϕ. Bezpośrednio z definicji iloczynu sklrnego mmy, że i i = j j =
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Rozdział Wprowadzenie Całki niewłaściwe I rodzaju
Rozdził 3 Cłki niewłściwe 3. Wprowdzenie Omwine w poprzednim rozdzile cłki oznczone są cłkmi funkcji ciągłych n przedzile domkniętym, więc funkcji ogrniczonych n przedzile skończonym. Wiele zgdnień prktycznych
Bardziej szczegółowoModelowanie przepływu cieczy przez ośrodki porowate Wykład III
Modelowanie pzepływu cieczy pzez ośodki poowate Wykład III 6 Ogólne zasady ozwiązywania ównań hydodynamicznego modelu pzepływu. Metody ozwiązania ównania Laplace a. Wpowadzenie wielkości potencjału pędkości
Bardziej szczegółowoWyrównanie sieci niwelacyjnej
1. Wstęp Co to jest sieć niwelcyjn Po co ją się wyrównje Co chcemy osiągnąć 2. Metod pośrednicząc Wyrównnie sieci niwelcyjnej Metod pośrednicząc i metod grpow Mmy sieć skłdjącą się z szereg pnktów. Niektóre
Bardziej szczegółowoRACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE
Pzedmiot: Fizk RACHUNEK WEKTOROWY W FIZYCE Wkłd 2 2015/2016, zim 1 Pzedmiot: Fizk Pln Pojęcie wekto Dziłni n wektoch Wekto w ktezjńskim ukłdzie współzędnch Pzkłd wkozstni wektoów i dziłń n nich w fizce
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. y xy (1.1) x y (1.2) z xyz (1.3)
ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne
Bardziej szczegółowo1. Ciało sztywne, na które nie działa moment siły pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem obrotowym jednostajnym.
Wykład 3. Zasada zachowania momentu pędu. Dynamika punktu mateialnego i były sztywnej. Ruch obotowy i postępowy Większość ciał w pzyodzie to nie punkty mateialne ale ozciągłe ciała sztywne tj. obiekty,
Bardziej szczegółowo2. PODSTAWY STATYKI NA PŁASZCZYŹNIE
M. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE. DSTY STTYKI N ŁSZZYŹNIE.. Zsdy dynmiki Newton Siłą nzywmy wektorową wielkość, któr jest mirą mechnicznego oddziływni n ciło ze strony innych cił. dlszej części ędziemy rozptrywć
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna (część II)
Anliz Mtemtyczn (część II) Krzysztof Trts Witold Bołt n podstwie wykłdów dr. Piotr Brtłomiejczyk 25 kwietni 24 roku 1 Rchunek cłkowy jednej zmiennej. 1.1 Cłk nieoznczon. Definicj 1.1.1 (funkcj pierwotn)
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Uniwersytet Mikołj Kopernik w Toruniu Wydził Mtemtyki i Informtyki Krzysztof Frączek Anliz Mtemtyczn I Wykłd dl studentów I roku kierunku informtyk Toruń 206 Spis treści Liczby rzeczywiste 2 Ciągi liczbowe
Bardziej szczegółowoPOLE MAGNETYCZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO
POLE MAGNETYZNE ŹRÓDŁA POLA MAGNETYZNEGO Wykład lato 01 1 Definicja wektoa indukcji pola magnetycznego F = q( v B) Jednostką indukcji pola B jest 1T (tesla) 1T=1N/Am Pole magnetyczne zakzywia to uchu ładunku
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zadań z dynamicznego ruchu płaskiego część I 9
ozwiązywnie zdń z dyniczneo ruchu płskieo część I 9 Wprowdzenie ozwiązywnie zdń w oprciu o dyniczne równni ruchu (D pole n uwolnieniu z więzów kżdeo z cił w sposób znny ze sttyki. Wrunki równowi są zbliżone
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ
Ćwiczenie 9 WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWEK CIENKICH ZA POMOCĄ ŁAWY OPTYCZNEJ 9.. Opis teoretyczny Soczewką seryczną nzywmy przezroczystą bryłę ogrniczoną dwom powierzchnimi serycznymi o promienich R i
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa. Mechanika kwantowa. dx dy dz. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki? Równanie Schrödingera. zasada zachowania energii
Mecnik kwntow Jk opisć tom wodou? Jk opisć inne cąstecki? Mecnik kwntow Równnie Scödinge Ĥ E ψ H ˆψ = Eψ opeto óżnickow Hmilton enegi funkcj flow d d d + + m d d d opeto enegii kinetcn enegi kinetcn elektonu
Bardziej szczegółowoAERODYNAMIKA I WYKŁAD 3 TEORIA CIENKIEGO PROFILU LOTNICZEGO
WYKŁAD 3 TEORIA CIENKIEGO PROFILU LOTNICZEGO TEMATYKA I CEL WYKŁADU: Przedstawić koncepcję modelowania dwuwymiarowego przepływu potencjalnego płynu nieściśliwego bazującego na wykorzystaniu rozłożonych
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej
Bardziej szczegółowoWykład 6 Dyfrakcja Fresnela i Fraunhofera
Wykłd 6 Dyfrkcj Fresnel i Frunhofer Zjwisko dyfrkcji (ugięci) świtł odkrył Grimldi (XVII w). Poleg ono n uginniu się promieni świetlnych przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg szczeliny). Wyjśnienie
Bardziej szczegółowomagnetyzm ver
e-8.6.7 agnetyz pądy poste pądy elektyczne oddziałują ze soą. doświadczenie Apèe a (18): Ι Ι 1 F ~ siła na jednostkę długości pzewodów pądy poste w póżni jednostki w elektyczności A ape - natężenie pądu
Bardziej szczegółowoFizyka 1- Mechanika. Wykład 10 7.XII Zygmunt Szefliński Środowiskowe Laboratorium Ciężkich Jonów
Fizyka - Mechanika Wykład 0 7.XII.07 Zygmunt Szefliński Śodowiskowe Laboatoium Ciężkich Jonów szef@fuw.edu.pl http://www.fuw.edu.pl/~szef/ Pawo powszechnego ciążenia F G mm Opisuje zaówno spadanie jabłka
Bardziej szczegółowoKodowanie liczb. Kodowanie stałopozycyjne liczb całkowitych. Niech liczba całkowita a ma w systemie dwójkowym postać: Kod prosty
Kodownie licz Kodownie stłopozycyjne licz cłkowitych Niech licz cłkowit m w systemie dwójkowym postć: nn 0 Wtedy może yć on przedstwion w postci ( n+)-itowej przy pomocy trzech niżej zdefiniownych kodów
Bardziej szczegółowoO SZEREGACH FOURIERA. T (x) = c k e ikx
O SZEREGACH FOURIERA Funkcję postci. Wielominy i szeregi trygonometryczne. T x = N k= N c k e ikx nzywmy wielominem trygonometrycznym. Jk widć, wielomin trygonometryczny jest funkcją okresową o podstwowym
Bardziej szczegółowoWektor kolumnowy m wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze n=1 Wektor wierszowy n wymiarowy macierz prostokątna o wymiarze m=1
Rchunek mcierzowy Mcierzą A nzywmy funkcję 2-zmiennych, któr prze liczb nturlnych (i,j) gdzie i = 1,2,3,4.,m; j = 1,2,3,4,n przyporządkowuje dokłdnie jeden element ij. 11 21 A = m1 12 22 m2 1n 2n mn Wymirem
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoGRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.
GRAWITACJA Pawo powszechnego ciążenia (pawo gawitacji) Dwa punkty mateialne o masach m 1 i m pzyciągają się wzajemnie siłą popocjonalną do iloczynu ich mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu ich odległości.
Bardziej szczegółowo< f g = fg. f = e t f = e t. U nas: e t (α 1)t α 2 dt = 0 + (α 1)Γ(α 1)
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PŁASZCZYZNY
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,
Bardziej szczegółowo( ) Lista 2 / Granica i ciągłość funkcji ( z przykładowymi rozwiązaniami)
List / Grnic i ciągłość funkcji ( z przykłdowymi rozwiąznimi) Korzystjąc z definicji grnicy (ciągowej) funkcji uzsdnić podne równości: sin ) ( + ) ; b) ; c) + 5 Obliczyć grnice funkcji przy orz : + ) f
Bardziej szczegółowoFizyka 1 Wróbel Wojciech. w poprzednim odcinku
w popzednim odcinku 1 Zasady zachowania: enegia mechaniczna E E const. k p E p ()+E k (v) = 0 W układzie zachowawczym odosobnionym całkowita enegia mechaniczna, czyli suma enegii potencjalnej, E p, zaówno
Bardziej szczegółowoN(0, 1) ) = φ( 0, 3) = 1 φ(0, 3) = 1 0, 6179 = 0, 3821 < t α 1 e t dt α > 0. f g = fg. f = e t f = e t. U nas: g = t α 1 g = (α 1)t α 2
Zdnie X,..., X 5 N(6, 5 ) Y,..., Y 6 N(7, 5 ) X N(6, 5 6 ) Ȳ N(7, 5 6 ) Przy złożeniu niezleżności zmiennych mmy: X Ȳ N(, ) po stndryzcji otrzymmy: Ȳ X N(, ) Pr(Ȳ X < ) = Pr(Ȳ X < ) = φ(, 3) = φ(, 3) =,
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna v.1.6 egzamin mgr inf niestacj 1. x p. , przy założeniu, że istnieją lim
Anliz mtemtyczn v..6 egzmin mgr inf niestcj Oznczeni: f, g, h : J R funkcje rzeczywiste określone n J R J przedził, b),, b], [, b), [, b], półprost, b),, b],, ), [, ) lub prost R α, β [min{α, β}, m{α,
Bardziej szczegółowoFizyka 2. Janusz Andrzejewski
Fizyka 2 wykład 2 Pawo Coulomba Jeżeli dwie naładowane cząstki o ładunkach q1 i q2 znajdują się w odległości, to siła elektostatyczna pzyciągania między nimi ma watość: F k k stała elektostatyczna k 1
Bardziej szczegółowo