3. Kinematyka ruchu jednostajnego, zmiennego, jednostajnie zmiennego, rzuty.

Transkrypt

1 3 Kinemk uchu jednosjnego zmiennego jednosjnie zmiennego zu Wbó i opcownie zdń 3-3: Bb Kościelsk zdń 33-35: szd J Bczński 3 Zleżność dogi pzebej pzez punk meiln od czsu możn opisć ównniem: () A B C 3 gdzie A B i C są wielkościmi słmi wżonmi w odpowiednich jednoskch Znleźć zleżność pędkości i pzspieszeni ego punku od czsu 3 * kie uswion jes n wsokości h nd powiezchnią ziemi Po scie pousz się pionowo w góę jej pzspieszenie zmieni się zgodnie z zleżnością k gdzie k jes słą wżoną w odpowiednich jednoskch Znleźć zleżność pędkości oz dogi kie od czsu 33 Pom kusuje pomiędz punkmi A i B leżącmi n pzeciwległch bzegch zeki Odległość międz punkmi A i B wnosi d lini AB woz ką α z bzegiem zeki Pędkość wod w zece jes sł n cłej szeokości zeki Jkie powinn bć wość i kieunek pędkości pomu względem wod b pzebł on dogę d w czsie? 34 * Pędkość wod w zece zmieni się wz z szeokością zeki według ównni: [m/s] gdzie /b ( jes odległością od bzegu b szeokością zeki) O jki odcinek pąd wod w zece zniesie łódkę pz pzepwie n dugi bzeg jeżeli pędkość l łódki względem wod jes sł i m kieunek posopdł do bzegu zeki szeokość zeki wnosi d 35 Znleźć czs pzelou smolou międz dwom punkmi odległmi od siebie o L jeżeli pędkość smolou względem powiez wnosi pędkość pzeciwnego wiu skieownego pod kąem α względem kieunku uchu smolou wnosi 36 Ciło zucono pod kąem α do poziomu ndjąc mu pędkość () Npisć kinemczne ównni uchu cił (b) Npisć ównni ou cił (c) obliczć czs lou cił (d) Obliczć zsięg zuu (e) Znleźć mksmlną wsokość n jką wzniesie się ciło 37 N jkiej wsokości weko pędkości cił wzuconego z pędkością począkową pod kąem α do poziomu uwoz ką β (α>β)? Nie uwzględnić opou powiez Npisć kinemczne ównni uchu cił 38 Z jką pędkością poziomą powinien lecieć lonik n wsokości h nd omi w chwili gd pzeluje on nd punkem A b puszczon pzez niego łdunek fił w uciekjąc z pędkością pociąg kó znjduje się w odległości d od A (smolo i pociąg pouszją się w m smm kieunku)?

2 39 Dw cił wzucono jednocześnie z dwóch óżnch punków Jedno ciło zosło zucone poziomo z pędkością z wież o wsokości h dugie wzucono pionowo z pędkością z miejsc odległego o od podnóż wież Jk powinn bć pędkość b cił zdezł się w powiezu? 3 Ciło spd swobodnie z wież W chwili gd pzebło ono dogę ówną L z punku położonego o h meów niżej od wiezchołk wież zczn spdć dugie ciło Ob cił spdją n ziemię w ej smej chwili Znleźć wsokość wież 3 Z smolou lecącego n wsokości h ze słą pędkością poziomą zosje zzucon bomb Npisć ównni uchu pędkości i pzspieszeni bomb względem obsewo sojącego n ziemi oz względem pilo smolou 3 W wgonie pociągu jdącego ze słą pędkością jeden z psżeów upuścił z wsokości h względem podłogi wgonu pudełko zpłek Npisć ównnie ou ego pudełk w ukłdzie odniesieni związnm z: () wgonem (b) sznmi 33 Koło zmchowe wkonujące n 4 ob/min zzmuje się w czsie 5 min Pzjmując że uch jes jednosjnie zmienn obliczć ile oboów koło wkonło do chwili zzmni się 34 ównni uchu punku znjdującego się n obwodzie koł oczącego się bez poślizgu wzdłuż osi mją posć: sinω ω cosω Oblicz pędkość i pzspieszenie punku n obwodzie w chwili gd współzędn m wość () minimlną (b) mksmlną (c) m / 35 Obęcz o pomieniu ocz się bez poślizgu po posej Pędkość śodk O obęcz jes sł i wnosi Oblicz wości oz wskż kieunki i zwo chwilowch pędkości i pzspieszeń ch punków cz kóe w ozwżnej chwili znjdują się w punkch oznczonch liemi A B i C 36 Obęcz o pomieniu ocz się bez poślizgu po posej Pzspieszenie śodk O obęcz jes słe i wnosi Oblicz wości oz wskż kieunki i zwo chwilowch pzspieszeń ch punków cz kóe w ozwżnej chwili znjdują się w punkch oznczonch liemi A B i C

3 37 Koniec lin (A) pzesuw się ze słą pędkością skieowną w pwo Lin nwinię jes n ukłd współśodkowch kołowch cz pokznch n sunku (pomień młego koł dużego ) Oblicz wości oz wskż kieunki i zwo chwilowch pędkości i pzspieszeń ch punków cz kóe w ozwżnej chwili znjdują się w punkch oznczonch liemi B C D E i F 38 N szpulę o pomienich i nwinięo linę kóej koniec A m słą pędkość u Obliczć jką dogę S B pzebędzie koniec A lin gd odcinek AB lin nwinie się n szpulę 39 Koło obc się wokół swojej osi Znleźć jego pzspieszenie kąowe jeżeli widomo że po upłwie czsu od ozpoczęci uchu jednosjnie pzspieszonego weko cłkowiego pzspieszeni punku położonego n obwodzie woz ką α z kieunkiem pędkości liniowej ego punku 3 Punk meiln zczn pouszć się po okęgu z pzspieszeniem scznm s Znleźć jego wpdkowe pzspieszenie w po u obou 3 * Tśm mgneofonow jes pzewijn z dugiej szpulki n piewszą kó obc się ze sł pędkością kąową ω W chwili począkowej pomienie kążków nwinięej śm bł odpowiednio ówne i gubość śm wnosi Znleźć: ()zleżność długości nwinięej śm od czsu (b) zleżność pędkości pzesuwu śm od czsu 3 Ciło zucono z pewnej wsokości z pędkością w kieunku poziomm Obliczć jego pędkość pzspieszenie sczne i nomlne oz pomień kzwizn ou po czsie Opo powiez pominąć 33 Nciz n nch wodnch pousz się częsokoć zncznie szbciej niż ciągnąc go mooówk Jk o jes możliwe? 34 Ssem npędu smochodu posid w oze pzeniesieni npędu k zwn mechnizm óżnicow kó pozwl obcć się kołom smochodu z óżną pędkością Dlczego jes o konieczne? 35 Ciło pousz się wzdłuż osi według zleżności Asin(ω) gdzie A i ω są wielkościmi słmi Nsuj wkes położeni pędkości i pzspieszeni w funkcji czsu Jkie są mksmlne wości pędkości i pzspieszeni?

4 ozwiązni: 3 Kozsjąc z definicji pędkości chwilowej oz pzspieszeni chwilowego ozmm nsępujące ównni opisujące zleżność pędkości i pzspieszeni od czsu: oz 3 * d A B 3C d d B 6C d Pzspieszenie kie dne jes ównniem: Pzspieszenie chwilowe: Z () i (): () () k d d d k d d k d 3 k d k ( 3) C 3 gdzie C jes słą Widomo że w chwili czsu Po podswieniu ch wości do ównni (3) ozmm słą C czli zleżność pędkości kie od czsu: Pędkość chwilow: Z (4) i (5): (4) (5) k 3 ds d ds k 3 d 3 ds k 3 d s k d k ( 6) C 3 gdzie C jes słą Widomo że w chwili czsu kie znjdowł się n wsokości h nd powiezchnią ziemi czli s h Podswijąc e wości do ównni (6) ozmm słą C h czli zleżność dogi pzebej pzez kieę od czsu: 3

5 s h 4 k 33 Pędkość pomu względem bzegu jes wpdkową pędkości wod w zece i pędkości pomu względem wod Weko pędkości możn ozłożć n dwie skłdowe: ównoległą (' ) i posopdłą do bzegu zeki ('' ) Wości ch skłdowch możn zpisć: () ' '' cosα sinα Widomo iż pom musi pokonć dogę d w czsie czli jego pędkość : ównni () pzbioą wówczs posć: Z sunku wnik że: d d ' cosα d '' sinα d d ' '' ( cosα ) ( sinα) Kieunek weko pędkości znjdujem znjdując wość ką β: n β '' ' dsinα dcosα 34 * Odcinek s o jki pąd wod w zece zniesie łódkę w czsie jej pzepw n dugą sonę zeki: gdzie: () Czs pzepw możn zdefiniowć jko: s d / b

6 Czs w kóm łódk znjduje się w odległości od bzegu: skąd: Wówczs ównnie (): b s l b l b d l l b ( 4 4 5) d 35 Wskzówk: Pędkość smolou względem ziemi jes wpdkową pędkości smolou względem powiez oz pędkości wiu Wówczs czs pzelou smolou międz dwom punkmi odległmi od siebie o L wnosi: l d b l ( 4 3 5) 7 b l 36 L sin α cosα () ównni uchu mją posć: () () cosα g sinα g

7 (b) ównnie ou cił: Wznczjąc czs z ównni (): cosα i podswijąc do ównni () ozmm ównnie ou cił: g nα cos α Toem cił jes pbol skieown mionmi w dół (c) Czs lou cił z możn obliczć podswijąc w ównniu () : g z z sinα Czli: sin α lub z z g Czs z ozncz momen w kóm dopieo ozpoczn się lo kmieni czli czs lou cił z z : ( 3) z sinα g (d) Zsięg zuu z możn obliczć podswijąc w ównniu () z (czli czs cłego lou opisn ównniem (3)) Wówczs współzędn będzie ówn zsięgowi zuu z: Ozmm wówczs: z cosα z sin α z g (e) Czs w jkim ciło wzniesie się n mksmln wsokość jes ówn połowie czsu z (ównnie (3)) Podswijąc w ównniu () ½ z ozmm mksmlną wsokość n jką wzniesie się ciło: g hm sin z α sin α hm g 37 Odpowiedź: ównni uchu są kie sme jk w zdniu 36 szukn wsokość wnosi: h ( α α β ) sin cos n g z

8 38 ównni uchu pocisku () i pociągu () w pzedswionm n sunku ukłdzie współzędnch mją posć: () h g () d Współzędne i pocisku muszą w momencie fieni bć ówne współzędnm i pociągu W ezulcie ozmujem: d h g 39 Odpowiedź: h 3 Odpowiedź: H ( L h) 4L 3 Z punku widzeni obsewo sojącego n ziemi pędkość bomb w kieunku poziomm jes ówn pędkości smolou i pozosje sł ównni uchu bomb w ukłdzie odniesieni ( ) związnm z obsewoem sojącm n ziemi mją posć: h g óżniczkując powższe ównni uchu ozmujem ównni pędkości:

9 g óżniczkując ównni opisujące pędkość ozmm pzspieszeni: g W ukłdzie odniesieni ( ) związnm z piloem ównni uchu bomb w pzjęm ukłdzie współzędnch mją posć: g óżniczkując powższe ównni uchu ozmujem ównni pędkości: g óżniczkując ównni opisujące pędkość ozmm pzspieszeni: g 3 () W ukłdzie odniesieni ( ) związnm z wgonem ównni uchu mją posć: czli ównnie ou: g (b) W ukłdzie odniesieni ( ) związnm z sznmi: ównnie ou: h g g h

10 33 Ilość oboów możn zdefiniowć jko sosunek dogi kąowej ϕ kóą pzebł dowoln punk znjdując się n obwodzie koł w czsie do ką π: ϕ ( ) N π uch koł jes uchem jednosjnie opóźnionm czli dog kąow pzeb pzez wbn punk znjdując się n jego obwodzie: () ϕ ω Poniewż po czsie koło się zzmuje więc: czli: Z () i (3) ozmm: Podswijąc (4) do () ozmm: ω ω 34 ównni uchu punku mją posć: ε ε ( 3) ω ε π n ( 4) ϕ π n n N 6 oboów () sinω ω cosω óżniczkując ównni uchu ozmm pędkość: () d d d d ω cosω ω ω sinω óżniczkując ównni pędkości ozmm pzspieszenie: (3) d d d d ω ω sinω cosω

11 () Z ównń uchu () wnik że współzędn m wość minimlną (czli ) gd cos(ω) - Pędkość () i pzspieszenie (3) punku są wówczs odpowiednio ówne: ω (b) Z ównń uchu () wnik że współzędn m wość mksmlną (czli ) gd cos(ω) Pędkość () i pzspieszenie (3) punku są wówczs odpowiednio ówne: ω ω (c) Z ównń uchu () wnik że współzędn m wość ówną połowie wości mksmlnej (czli ) gd cos(ω) Pędkość () i pzspieszenie (3) punku są wówczs odpowiednio ówne: ω ω ω

12 35 Punk A: Pędkość w punkcie A jes sumą pędkości z jką pousz się śodek obęcz oz pędkości scznej do obęcz wnikjącej z jej uchu oboowego W ozwżnm pzpdku wość pędkości scznej jes ówn A Pędkość kąow ω punków znjdującch się n obęcz: ω Pzspieszenie punku A jes pzspieszeniem dośodkowm: A d ω Pzspieszenie wszskich punków znjdującch się n obęcz jes kie smo Punk B: Punk C: A ω B d C ω B d

13 36 Pzspieszenie sczne w punkcie A jes sumą pzspieszeń z jkim pousz się śodek obęcz oz pzspieszeni scznego wnikjącego z jej uchu oboowego Wość pzspieszeni scznego wnosi A Pzspieszenie kąowe ε punków znjdującch się n obęcz: ε Pzspieszenie kąowe wszskich punków znjdującch się n obęcz jes kie smo Pzspieszenie dośodkowe punku A w dnej chwili czsu : ( ) d ω Pzspieszenie dośodkowe wszskich punków znjdującch się n obęcz jes kie smo Punk B: Punk C: A ε ( ) d ω C ε ( ) d ω 37

14 Punk F: Wpdkow pędkość punku F jes ówn pędkości z kóą pzesuw się punk A: F Pędkość w punkcie F możn ozłożć n dwie skłdowe: pędkość kó jes pędkością uchu posępowego szpuli oz pędkość wnikjącą z uchu oboowego szpuli wokół punku E: ) ( ω ω ω skąd ω Pzspieszenie dośodkowe F punku F wnosi: ) ( d F ω Punk E: E ω E Punk D: D ) ( d D ω Punk B: B ω ) ( d B ω Punk C: ) ( ) ( C ω ω ) ( d C ω 38

15 Wskzówk: W jednkowm czsie dog (S ) śodk O szpuli będzie większ o odcinek AB od dogi (S B ) punków kóe w ozwżnej chwili znjdują się w punkch oznczonch lieą B: S S AB B S S B u gdzie: Odpowiedź: S B AB( ) 39 Wpdkow weko pzspieszeni w jes sumą wekoów pzspieszeń scznego i dośodkowego jego wość możn zpisć jko: () w d s Pzspieszenie sczne s : oz ( ) cosα s w ( 3) ε gdzie ε jes pzspieszeniem kąowm Z () i (3): s ( 4) w Pzspieszenie dośodkowe d : ε cosα (5) d Podswijąc (3) (4) i (5) do () ozmm: skąd ε cos α ε ω 4 4 ε ε gα ε cos α

16 3 Odpowiedź: w s 4π u 3 * () Pomień szpulki pz jej obocie o ką ϕ możn opisć ównniem: ϕ ± π gdzie znk docz nwijni - odwijni się śm Zem długość śm nwinięej po obocie szpulki o pewien ką ϕ : ϕ ϕ s ( ) dϕ ϕ ϕ π 4π Poniewż szpulki obcją się ze słą pędkością o: ϕ ω gdzie ozncz czs w ciągu kóego szpulk obócił się o ką ϕ Wówczs długość śm s wnosi: (b) Pędkość pzesuwu śm: s ds d ω ω 4π ω ω π 3 Pędkość kmieni w chwili czsu jes wpdkową pędkości w kieunku poziomm i pędkości w kieunku pionowm Jej wość wnosi: g

17 Pzspieszenie sczne: Pzspieszenie dośodkowe: s gcosα g g g g g g g d gsinα g g 33 Jeżeli złożm że lin łącząc nciz i mooówkę jes cł czs npię o w kżdm memencie jednie zu chwilowej pędkości nciz i łodzi n kieunek lin musi bć jednkow Wość kżdej z pędkości będzie zleżł od ką pomiędz jej kieunkiem kieunkiem lin 34 N zkęcie koł wewnęzne pokonują mniejszą dogę niż zewnęzne Jeżeli koł błb związne n szwno musiłb wsąpić poślizg jednego z kół Mechnizm óżnicow kó pozwl obcć się kołom smochodu z óżną pędkością zpobieg emu poślizgowi (Tmwje sego pu nie posidł mechnizmu óżnicowego i n zkęch powodowł spo hłs) 35 Odpowiedź: Mksmln wość pędkości: m Aω mksmln wość pzspieszeni: m Aω