Modele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony

Transkrypt

1 Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej sfomułowane, ale ich sens jest synonimiczny wobec schematu, oaz inne odpowiedzi, niepzewidziane w kluczu, ale popawne. Zdający otzymuje po punkcie za. Zdający spowadzi wyażenie do najpostszej postaci ^9x - 4h^x+ h ^- h^+ h^x+ h ^+ h^- h^x+ h -, + x = -- + $ x = = ^ h - ^+ h ^x- h^x+ h^+ h x - gdzie x!, x!-, x!-. Zdający zapisze iloaz w postaci sumy dwóch składników, z któych jeden jest liczbą całkowitą. Np.: - ( x - ) + = = + x - x - x - ozwiązanie do końca, ale z ustekami Zdający ozważy tylko dzielniki liczby, będące liczbami natualnymi, lub nie spawdzi, czy znalezione liczby należą do dziedziny wyażenia. Zdający zauważy, że watość wyażenia jest liczbą całkowitą, gdy x - jest dzielnikiem. x - = lub x - =- Zdający zapisze odpowiedź. x = lub x = 0 obie te liczby należą do dziedziny wyażenia.. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający wyóżni pzedziały: -,-, -, 4h, 4, ). ] g Zdający zapisze ównanie w poszczególnych pzedziałach. Np.: x! (-,-) -x- + x- 4 = 6 x! -4, h x! 4, ) x+ + x- 4 = 6 x+ - x+ 4 = 6 Zdający ozwiąże ównania. Zdający ustali, że dla x! (-,-) ównanie nie ma, dla x! -4, h ównanie nie ma, dla x! 4, ) ównane jest tożsamościowe każda liczba zeczywista należąca do tego pzedziału spełnia ównanie. pkt pkt

2 Zdający otzymuje po punkcie za Zdający poda odpowiedź: Do pzedziału 4, ) należy co najmniej jedna liczba niewymiena, np. 9. Liczba ta należy do zbiou ozwiązań ównania.. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający obliczy długość pomienia okęgu i jego śednicę d. = = 6,5 d = Zdający zauważy, że pzekątna tapezu jest postopadła do jednego z amion (kąt wpisany opaty na śednicy jest posty) i obliczy długość x tego amienia. x + =, x = 5 Zdający obliczy wysokość tapezu. 60 $ h = $ 5, h = Zdający zauważy, że tapez jest ównoamienny i obliczy długość kótszej podstawy. 9 b = Zdający obliczy pole tapezu P = 5 d + $ n = ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zapisze wielomian Wx () za pomocą wielomianu niezeowego Qx (), wielomianu Px () i eszty Rx () = ax + bx+ c. Wx () = Qx () $ Px () + ax + bx+ c Zdający zauważy, że eszta z dzielenia wielomianu Wx () pzez x- a jest ówna Wa ( ) i zapisze odpowiednie ówności. a+ b+ c = a- b+ c =- 4a- b+ c = Zdający ozwiąże otzymany układ ównań. 5 5 a =, b =, c =- Zdający zapisze esztę. 5 5 Rx () = x + x- 5. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający obliczy wyóżnik tójmianu. D = ^m - 5h -4^m- 7h = m - 4m+ 5 pkt pkt

3 Zdający otzymuje po punkcie za Zdający zapisze wyóżnik np. w postaci D = ^m - 7h + 4 i stwiedzi, że watość tego wyażenia jest zawsze dodatnia, zatem ównanie ma dla każdej liczby zeczywistej m dwa óżne piewiastki. Zdający zapisze waunek podany w zadaniu, wykozystując np. wzoy Viete a. x x + = ^x xx ( m 7) m + x h - = 6 -( m -5)@ - $ - = - m+ 9 Zdający zapisze sumę kwadatów piewiastków ównania w postaci x + x = ( m- 6) +. Zdający stwiedzi, że watość wyażenia ^m - 6 h + jest najmniejsza, gdy m = 6. pkt 6. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający obliczy wysokość H ganiastosłupa i długość x jego kawędzi podstawy. 6x+ H = 60 6x+ ( x+ ) = 60 x = 6, H = 8 Zdający spoządzi ysunek ganiastosłupa, zaznaczając odpowiedni pzekój lub naysuje odpowiedni tójkąt. pkt c a x Zdający obliczy długość c pzekątnej ściany bocznej ganiastosłupa i długość amienia a tójkąta, będącego pzekojem. c = 6+ 8 = 0 a = 6+ 4 = 5 Zdający stwiedzi, że ozpatywany pzekój jest tójkątem ównoamiennym o podstawie 0 i amieniu 5 i obliczy wysokość tego tójkąta. h = 5-5 = 7 Zdający obliczy pole pzekoju. P = $ 0 $ 7 = 5

4 Zdający otzymuje po punkcie za 7. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający pzekształci ozpatywane wyażenie, wykozystując odpowiednie wzoy. cos( a+ b) $ cos a- b = cos a cos b- sin a sin b cos a cos b+ sin a sin b = = cosa cosb-sina sinb ] g ] g] g Zdający wykozysta związki między funkcjami tygonometycznymi tego samego kąta do zapisania wyażenia za pomocą jednej funkcji tygonometycznej. Np.: cos a cos b- sin a sin b = cos a cos b-^-cos ah^-cos bh. Zdający pzekształci otzymane wyażenie do postaci cosa+ cosb-. Zdający zauważy, że cos a+ cos b G, zatem cos a+ cos b- G. 8. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający wykaże, że utwozone w ten sposób czwookąty są kwadatami C jest ombem, w któym każdy kąt ma miaę 90, jest więc kwadatem. Podobnie następne czwookąty są kwadatami. pkt Zdający wykaże, że pole każdego z następnych kwadatów jest ówne połowie pola kwadatu, z któego powstał. Zdający zauważy, że ciąg pól twozonych kwadatów jest ciągiem geometycznym o piewszym wyazie 8 i iloazie. Zdający zastosuje wzó na sumę m wyazów ciągu geometycznego, twoząc i ozwiązując odpowiednie ównanie. m - b l 8 $ = m 6 - b l = 64 b l m m = 6 = 64 Zdający wyznaczy liczbę n. n = 6- = 5 pkt 4

5 Zdający otzymuje po punkcie za 9. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zapisze za pomocą wyażenia algebaicznego pawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skapetek zielonych. x liczba skapetek zielonych PZZ ( ) x x - = $ - Zdający zapisze za pomocą wyażenia algebaicznego pawdopodobieństwo wyciągnięcia dwóch skapetek óżnych koloów. x x x x PRK ( ) = $ $ Zdający zapisze odpowiednie ównanie i spowadzi je do najpostszej postaci. x x - x x x x $ + = $ $ x - 9 4x + = - - Zdający ozwiąże ównanie obliczy liczbę skapetek zielonych. x = 4 Zdający poda liczbę wszystkich skapetek: 4+ 8 =. 0. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zapisze ównanie okęgu ^x - h + ^y - h = 7 i zauważy, że każdy punkt leżący na osi OX ma współzędne x, 0. ] g Zdający wyznaczy współzędne pzecięcia okęgu z osią OX. ^x - h + = 7 ( x -) - 6 = 0 x -- 4 = 0 lub x = 6 lub x =- A = ] 6, 0g B = (-, 0) x = 0 Zdający wyznaczy długość odcinka AB : AB = 8 oaz odległość d punktu C od osi OX. pkt pkt $ 8 $ d = 4 d = 6 ozwiązanie do końca, lecz z ustekami, któe jednak nie pzekeślają popawności (np. błędy achunkowe) 5

6 Zdający otzymuje po punkcie za Zdający wyznaczy piewszą współzędną punktu C, wiedząc, że duga współzędna jest ówna 6 lub = 0 lub -^- 6h+ = 0 x = lub x =- Zdający poda współzędne punktu C. C 6, lub C = ^-, -6h = ] g. ozwiązanie, w któym postęp jest niewielki, ale konieczny na dodze do pełnego Zdający zauważy, że wykes funkcji f powstał w wyniku pzekształcenia pzez symetię względem osi OX wykesu funkcji sin ax oaz dwukotnego ozciągnięcia go wzdłuż osi OY. Okesem funkcji sin ax jest, stąd a =. Zdający zapisze wzó funkcji. fx () = ( - sin ) x =-sin x Zdający zapisze i pzekształci odpowiednie ównanie - sin x =- sin x = x = + k lub x = - + k, k! C Zdający poda ozwiązanie ównania. x = + k lub x = + k dla k! C 6 pkt 6