KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p

Save this PDF as:

WORD PNG TXT JPG

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "KARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p"

Danuta Paluch
2 lat temu
Przeglądów:

Transkrypt

1 KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni ( + ) = + PROENTY Poent Ułmek o minowniku 00 p p% = 00 Olizeni poentowe Oliznie poentu dnej lizy Oliznie lizy n podstwie dnego jej poentu Oliznie, ile poent jednej lizy stnowi dug liz Oliznie, o ile poent jedn liz jest większ (mniejsz) od dugiej lizy p% lizy = p 00 Liz x, któej p% jest ówne 00 x = p Liz stnowi > 00% lizy Liz jest o - 00% większ od lizy Liz jest o - 00% mniejsz od lizy POTĘGI Potęg n wykłdnik potęgi Potęg o wykłdniku ntulnym podstw potęgi n N n > n = n = = n = 0 i 0 0 = n zynników wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

stnowi dug liz Oliznie, o ile poent jedn liz jest większ (mniejsz) od dugiej lizy p% lizy = p 00 Liz x, któej p% jest ówne 00 x = p Liz stnowi > 00% lizy Liz jest o - 00% większ od lizy

2 Potęg o wykłdniku łkowitym ujemnym Dl 0 i n N -n = n W szzególnośi - = To znzy: - jest odwotnośią lizy Notj wykłdniz Zpis lizy dodtniej w posti ilozynu, w któym piewszy zynnik jest lizą nie mniejszą od i mniejszą od 0, dugi zynnik jest łkowitą potęgą lizy 0 k ( 0, gdzie < 0 i k jest lizą łkowitą) Dziłni n potęg Twiedzenie o ilozynie potęg o jednkowy podstw n i k i ( 0, gdy n 0 lu k 0) n k = n+k Twiedzenie o ilozie potęg o n i k i 0 jednkowy podstw n n-k = k Twiedzenie o ilozynie potęg o jednkowy wykłdnik n i ( 0 i 0, gdy n 0) n n =( ) n Twiedzenie o ilozie potęg o n i 0 i ( 0, gdy n 0) jednkowy wykłdnik n n = n Twiedzenie o potęgowniu potęgi n i k i ( 0, gdy n 0 lu k 0) ( n ) k nk = PIERWISTKI Piewistek liz podpiewistkow symol piewistk dugiego stopni (kwdtowego) liz podpiewistkow Piewistek dugiego stopni 0 i 0 symol piewistk tzeiego stopni =, gdy = Piewistek tzeiego stopni =, gdy = Dziłni n piewistk 0 Twiedzenie o ilozynie piewistków dugiego stopni Twiedzenie o ilozynie piewistków tzeiego stopni Twiedzenie o ilozie piewistków dugiego stopni = i ( ) = = i ( ) = 0 i 0 = = 0 i > 0 wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

Twiedzenie o ilozie potęg o n i k i 0 jednkowy podstw n n-k = k Twiedzenie o ilozynie potęg o jednkowy wykłdnik n i ( 0 i 0, gdy n 0) n n =( ) n Twiedzenie o ilozie potęg o n i 0 i ( 0, gdy n 0)

3 Twiedzenie o ilozie piewistków tzeiego stopni = 0 = WIELKOŚI WPROST I ODWROTNIE PROPORJONLNE Wielkośi wpost popojonlne x, y wielkośi wpost popojonlne, Dwie wielkośi zmienne tkie, Ŝe w x = k, gdzie k jest wielkośią stłą i poesie zmin ty wielkośi i y y 0 iloz pozostje stły k - współzynnik popojonlnośi Popoj Równość dwó stosunków Popoj = 0, d 0 d, d wyzy skjne, - wyzy śodkowe Ilozyn wyzów skjny jest ówny ilozynowi wyzów śodkowy, to znzy: d = d Wielkośi odwotnie popojonlne Dwie wielkośi zmienne tkie, Ŝe w poesie zmin ty wielkośi i ilozyn pozostje stły x, y wielkośi odwotnie popojonlne, gdzie jest wielkośią stłą x y = WIELOKĄTY Tójkąt Wunek tójkąt Sum długośi dowolny dwó oków tójkąt jest większ od długośi tzeiego oku + > + > + > Tójkąt ównoozny Wszystkie oki ównej długośi Postokąt - wszystkie kąty poste i dwie py oków ównej długośi, - pzekątne ównej długośi i dzielą się n połowy Ow = + + P =,, długośi oków długość wysokośi popowdzonej do oku o długośi α + β + γ =80 = Ow = P = 4 długość oku długość wysokośi Ow = + P =, długośi oków α γ β wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

jest ówny ilozynowi wyzów śodkowy, to znzy: d = d Wielkośi odwotnie popojonlne Dwie wielkośi zmienne tkie, Ŝe w poesie zmin ty wielkośi i ilozyn pozostje stły x, y wielkośi odwotnie popojonlne, gdzie

4 Kwdt - wszystkie kąty poste i wszystkie oki ównej długośi, - pzekątne ównej długośi, postopdłe i dzielą się n połowy Równoległook - dwie py oków ównoległy i ównej długośi, - pzekątne dzielą się n połowy Ow = 4 P = P = = długość oku długość pzekątnej Ow = + P = =, długośi oków, długośi wysokośi Rom - wszystkie oki jednkowej długośi, - pzekątne postopdłe i dzielą się n połowy Ow = 4 P= P = d długość oku długość wysokośi, d długośi pzekątny d Deltoid - dwie py sąsiedni oków ównej długośi, - pzekątne są postopdłe, - punkt pzeięi pzekątny dzieli o njmniej jedną z ni n połowy Ow = + P = d, długośi oków, d długośi pzekątny d Tpez - o njmniej jedn p oków ównoległy Sześiokąt foemny - wszystkie oki jednkowej długośi i wszystkie kąty o ówny mi Ow = d + P =, długośi podstw, d długośi mion długość wysokośi Ow = 6 P = d długość oku 0 Włsnośi tójkątów postokątny o kąt osty 0, 60 oz 45, 45 Tójkąt postokątny ównomienny = wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

długość oku długość wysokośi, d długośi pzekątny d Deltoid - dwie py sąsiedni oków ównej długośi, - pzekątne są postopdłe, - punkt pzeięi pzekątny dzieli o njmniej jedną z ni n połowy Ow = + P = d,

5 Tójkąt postokątny kąt osty 0, 60 o = = 0 60 Wielokąt foemny - wszystkie oki ównej długośi, - wszystkie kąty wewnętzne o ówny mi α - mi kąt wewnętznego n kąt foemnego, gdzie n N i n > o o 60 α = 80 - n k liz pzekątny n kąt wypukłego, gdzie n N i n > n (n-) k = s sum mi kątów wewnętzny n kąt wypukłego, gdzie n N i n > s = (n ) 80 KOŁO Koło Ow = π P= π długość pomieni koł Liz π Stosunek długośi okęgu do długośi śedniy tego okęgu L π = d L długość okęgu d długość śedniy okęgu π,4 lu Pieśień kołowy P = π(r ) R długość pomieni koł długość pomieni koł R > π 7 R Długość łuku okęgu π α ł = o 80 α mi kąt śodkowego (w stopni) długość pomieni okęgu ł długość łuku okęgu α ł wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

długość pomieni koł Liz π Stosunek długośi okęgu do długośi śedniy tego okęgu L π = d L długość okęgu d długość śedniy okęgu π,4 lu Pieśień kołowy P = π(r ) R długość pomieni koł

6 Pole wyink kołowego α π Pw = o 60 α mi kąt śodkowego (w stopni) długość pomieni koł P w pole wyink kołowego α Okąg opisny n tójkąie ównooznym i okąg wpisny w tójkąt ównoozny = 6 R = R = R + R = długość oku tójkąt ównooznego długość pomieni okęgu wpisnego w tójkąt ównoozny R długość pomieni okęgu opisnego n tójkąie ównooznym długość wysokośi tójkąt ównooznego TWIERDZENIE PITGORS JeŜeli tójkąt jest postokątny, to sum kwdtów długośi pzypostokątny jest ówn kwdtowi długośi pzeiwpostokątnej JeŜeli = 90, to + = TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENI PITGORS JeŜeli w tójkąie sum kwdtów JeŜeli + =, długośi dwó oków jest ówn to kwdtowi długośi oku tzeiego, = 90 to tójkąt jest postokątny TWIERDZENIE TLES JeŜeli mion kąt pzetniemy kilkom postymi ównoległymi, to odinki wyznzone pzez te poste n jednym mieniu kąt są popojonlne do odpowiedni (leŝąy między tymi smymi postymi ównoległymi) odinków wyznzony pzez te poste n dugim mieniu kąt JeŜeli D, to O = O D lu O = O D O D wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

tójkąt jest postokątny, to sum kwdtów długośi pzypostokątny jest ówn kwdtowi długośi pzeiwpostokątnej JeŜeli = 90, to + = TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENI PITGORS JeŜeli w tójkąie sum kwdtów JeŜeli

7 TWIERDZENIE ODWROTNE DO TWIERDZENI TLES JeŜeli mion kąt pzetniemy JeŜeli kilkom postymi tk, Ŝe odinki O wyznzone pzez te poste n =, O D jednym mieniu kąt są popojonlne do odpowiedni to O odinków wyznzony pzez te D poste n dugim mieniu kąt, to te poste są ównoległe D EY PRZYSTWNI TRÓJKĄTÓW e (ok, ok, ok) JeŜeli oki jednego tójkąt mj tkie sme długośi jk odpowiednie oki dugiego tójkąt, to te tójkąty są pzystjąe JeŜeli = i = i =, to e k (ok, kąt, ok) JeŜeli dw oki jednego tójkąt mją tkie sme długośi jk odpowiednie oki dugiego tójkąt i kąty między tymi okmi mją jednkowe miy, to te tójkąty są pzystjąe e kk (kąt, ok, kąt) JeŜeli ok jednego tójkąt m tką smą długość jk ok dugiego tójkąt i kąty jednego tójkąt leŝąe pzy tym oku mją tkie sme miy jk odpowiednie kąty dugiego tójkąt, to te tójkąty są pzystjąe JeŜeli = i = i =, to JeŜeli = i = i =, to EY PODOIEŃSTW TRÓJKĄTÓW e kk (kąt, kąt) JeŜeli dw kąty jednego tójkąt są ówne dwóm kątom dugiego tójkąt, to te tójkąty są podone JeŜeli = i =, to wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

tójkąty są pzystjąe JeŜeli = i = i =, to e k (ok, kąt, ok) JeŜeli dw oki jednego tójkąt mją tkie sme długośi jk odpowiednie oki dugiego tójkąt i kąty między tymi okmi mją jednkowe miy, to te tójkąty

8 e (ok, ok, ok) JeŜeli długośi oków jednego tójkąt są popojonlne do odpowiedni oków dugiego tójkąt, to te tójkąty są podone JeŜeli = =, to e k (ok, kąt, ok) JeŜeli dw oki jednego tójkąt są popojonlne do dwó oków dugiego tójkąt oz kąty zwte między tymi okmi mją tę smą mię to te tójkąty są podone JeŜeli = oz = to Stosunek owodów figu podony JeŜeli figu f jest podon do figuy f w skli k, to stosunek owodu figuy f do owodu figuy f jest ówny skli podoieństw Owf f f w skli k, to k Ow = f Stosunek pól figu podony JeŜeli figu f jest podon do figuy f w skli k, to stosunek pol figuy f do pol figuy f jest ówny kwdtowi skli podoieństw Pf f f w skli k, to k P = f Stosunek ojętośi ył podony JeŜeli ył f jest podon do yły f w skli k, to stosunek ojętośi yły f do ojętośi yły f jest ówny sześinowi skli podoieństw Vf f f w skli k, to k V = f POL POWIERZNI I OJĘTOSI RYŁ Gnistosłup posty P = P p + P P pole powiezni łkowitej P p pole podstwy P pole powiezni oznej V = P p wysokość gnistosłup podstw wysokość Postopdłośin P = ( + + ) V =,, długośi kwędzi postopdłośinu wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

owodu figuy f do owodu figuy f jest ówny skli podoieństw Owf f f w skli k, to k Ow = f Stosunek pól figu podony JeŜeli figu f jest podon do figuy f w skli k, to stosunek pol figuy f do pol figuy f

9 Sześin P = 6 V = = d = długość kwędzi sześinu długość pzekątnej śiny sześinu d długość pzekątnej sześinu Gnistosłup pwidłowy zwookątny P = + 4 V = d długość kwędzi podstwy wysokość gnistosłup Gnistosłup pwidłowy tójkątny P = + 4 V = 4 długość kwędzi podstwy wysokość gnistosłup Ostosłup P = P p + P P pole powiezni łkowitej P p pole podstwy P pole powiezni oznej V = P p wysokość ostosłup Ostosłup pwidłowy zwookątny P = + 4 = + wysokość podstw V = długość kwędzi podstwy wysokość ostosłup wysokość śiny oznej Ostosłup pwidłowy tójkątny P = + 4 V = = 4 4 długość kwędzi podstwy wysokość ostosłup wysokość śiny oznej wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

pole podstwy P pole powiezni oznej V = P p wysokość ostosłup Ostosłup pwidłowy zwookątny P = + 4 = + wysokość podstw V = długość kwędzi podstwy wysokość ostosłup

10 zwoośin foemny P = 4 4 V = 6 = = długość kwędzi zwoośinu foemnego wysokość zwoośinu foemnego Wle P = P p + P P pole powiezni łkowitej P p pole podstwy P pole powiezni oznej V = P p wysokość wl P p = π P = π P = π + π V=π pomień podstwy wysokość wl StoŜek P = P p + P P pole powiezni łkowitej P p pole podstwy P pole powiezni oznej wysokość stoŝk P p = π P = πl P = π + πl V = π V = Pp l pomień podstwy l długość twoząej wysokość stoŝk Kul P = 4π 4 V = π pomień kuli wwwzdjmypl intenetowy sewis dl gimnzjlistów

StoŜek P = P p + P P pole powiezni łkowitej P p pole podstwy P pole powiezni oznej wysokość stoŝk P p = π P = πl P = π + πl V =

Podobne dokumenty

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu

9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu 9. PLANIMETIA 9.. Okąg i koło ) Odinki w okęgu i kole S Cięiw okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu d S Śedni okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu pzeodząy pzez śodek okęgu (koł)