+Q -Q. Złożenie przepływów elementarnych tworzące potencjalny opływ cylindra z cyrkulacją.

Transkrypt

1 .9. Ckulcjn opłw wlc kołowego Jeżeli pzczną pdoksu d Alembet jest smetczn ksztłt linii pądu, to oczwistm sposobem umożliwijącm ich odksztłcenie jest zstosownie ckulcji czli wiu potencjlnego. Złożenie tego pzepłwu elementnego wz z dipolem i pzepłwem jednoodnm utwoz pzepłw złożon, któego linie pądu nie będą już smetczne względem osi (ptz s..). +Q -Q Rs... Złożenie pzepłwów elementnch twozące potencjln opłw clind z ckulcją. Zespolon potencjł tego pzepłwu możn zpisć: M z f(z) z + + i ln (.80) z jeżeli złożm, że zeow lini pądu winn twozć okąg o pomieniu, wówczs konieczne będzie b moment dipol pzjmowł wtość ówną: M co w ukłdzie współzędnch dje nstępując potencjł zespolon: f(z) + cos + i + sin ln Z powższego ównni mm funkcję potencjłu pędkości: ϕ + cos (.8) oz funkcję pądu: Ψ sin + ln (.8) Jeżeli złożm Ψ C, wówczs ównnie dowolnej linii pądu będzie nstępujące: C ln sin pzkłdową sitkę linii pądu i potencjłu, wliczoną dl pokzno n s..3. Możn tu zuwżć, że zeow lini pądu jest identczn jk dl potencjlnego opłwu wlc bez ckulcji, lecz zgodnie z oczekiwnimi pozostłe linie pądu utcił smetię względem osi. Nłożenie ckulcji nie zkłóciło jednk smetii linii pądu względem osi co sugeuje, że wpdkow ekcj w kieunku osi będzie ndl ówn zeu. 56

2 ϕ Nd clindem odległość międz poszczególnmi linimi pądu jest zncznie mniejsz niż pod spodem co ozncz, że ckulcj zwiększł pędkość n gónej powiezchni clind i zmniejszł ją n dolnej części powiezchni clind. Zmin pędkości muszą oczwiście oddziłwć n ozkłd ciśnieni i w efekcie możem oczekiwć pojwieni się sił wpdkowej w kieunku pionowm (wtość tej sił zostnie wliczon później). ϕ ϕ 3 ϕ ϕ 0 ϕ 6 ϕ 5 ϕ ϕ 3 ϕ ψ 0 ψ Rs..3. ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Sitk linii potencjłu i pądu dl opłwu clind z nłożoną ckulcją o wtości. Linie pądu pochodzące z pzepłwu ównoległego, któe dochodzą do okęgu poniżej osi twozą dw punkt stgncji. Położenie tch punktów możn wliczć z ównni opisującego pędkość spzężoną w punkcie stgncji, gdzie 0, tzn.: df i 0 dz Różniczkownie zl. (.80) powdzi do nstępującego ównni: i M z + z 0 jego ozwiąznie opisuje położenie punktów stgncji:, ± z + Jeżeli wżenie pod piewistkiem jest dodtnie, tzn.: co wmg: < wówczs n powiezchni clind mm dw punkt stgncji położone smetcznie względem osi, któch współzędne są nstępujące:, ± + + ; > 0 57

3 58 Jeżeli zwiększm wtość ckulcji do: wówczs otzmm podwójn punkt stgncji: z, i o nstępującch współzędnch: ; 0 ± Dlsze zwiększnie ckulcji powżej wtości gnicznej: > dje ozwiąznie uojone: ± i z, i osttecznie otzmujem dw punkt stgncji o współzędnch:,, ; 0 ± co ozncz, że obdw punkt stgncji leżą n osi. Odległość punktów stgncji od początku ukłdu współzędnch możn wliczć w sposób nstępując: z > + z < + co ozncz, że uojone punkt stgncji są położone lbo n zewnątz lub wewnątz okęgu. Oczwiście ten osttni pzpdek nie m sensu fizcznego i dltego też jednie pzepłw o ckulcji spełnijącej wunek: będzie ozwżn dlej. Zjmijm się tez nlizą pol pędkości, któe w biegunowm ukłdzie współzędnch może bć opisne jko pędkość spzężon: ( ) ( ) ( ) i i ep i ep i ep dz df i + co po ozdzile n część zeczwistą i uojoną dje: cos (.83.) sin + (.83.b) Spwdzeni, cz spełnione są wunki bzegowe w nieskończoności możn dokonć podstwijąc do ówn. (.83. oz b), co dje nstępujące wtości skłdowch pędkości: sin cos oz wtość modułu wekto pędkości: +

4 Możn ztem stwiedzić, że wunki bzegowe w nieskończoności są spełnione, gdż otzmujem pzepłw jednoodn w nieskończenie dużej odległości od początku ukłdu współzędnch. Dugi zestw wunków bzegowch powinien bć spełnion n powiezchni clind, gdzie podstwijąc do ówn. (.83. oz b) możem npisć: 0 c c sin + gdzie c ozncz powiezchnię clind. Możn ztem stwiedzić, że tkże dugi zestw wunków bzegowch jest spełnion, poniewż powższe zleżności potwiedzją fizcznie popwną stucję, kied n powiezchni clind istnieje tlko stczn skłdow pędkości. Zleżność wżjąc moduł wekto pędkości, któą możn zpisć nstępująco: c + c sin + c + c (.8) potwiedz, że pędkość n powiezchni wlc jest supepozcją pędkości wnikjącej z bezckulcjnego opłwu (pokznego n s...): c sin oz pol pędkości indukownego ckulcją (s...b), któ n powiezchni wlc wnosi: c ) b) c ψ 0 c c) c c Rs... Pędkość w dwóch pzkłdowch punktch n powiezchni clind indukown pzez pzepłw wokół clind ), ckulcję b) oz ich supepozcj c). Jk pokzno n s...c, n góze clind (punkt ) skłdowe pędkości c oz c sumują się, podczs gd w punkcie ich zwot są pzeciwne, czego skutkiem jest niesmetczn ozkłd pędkości i ciśnieni wzdłuż obwodu wlc. W punkcie 59

5 zloklizownm n góze clind dl /, obwodow skłdow pędkości m zwsze wtość mksmlną: c m c + c + 3 podczs gd n dole clind, tzn. dl zwsze wstępuje minimum pędkości: c min c c + Dl ktcznej wtości ckulcji ównej: cit minimln pędkość wnosi c min 0 w podwójnm punkcie stgncji zloklizownm w 3. Tblic 3. Obz pzepłwu dl pzkłdowch wtości ckulcji Г. 0 Π Π > Π 3 cm sin 0 Π fo 0 0 c Π 7 Π ; Π Π V c m V c m Vc m Podsumownie powższej dskusji podno w tbl. 3, któ pzedstwi ównież schemtczne obz pzepłwu dl pzkłdowch wtości ckulcji. Możn tu zuwżć, że wz ze wzostem linie pądu stją się coz bdziej smetczne względem osi, ntomist punkt stgncji pzesuwją się w kieunku dolnej powiezchni clind. Jeżeli ckulcj pzekcz ktczną wtość: cit wówczs zeow lini pądu otcz clinde i pzepłw pzestje pzejwić podobieństwo do jkiegokolwiek fizcznie możliwego pol pzepłwu. Nleż pmiętć, że ozwżn pzepłw jest ndl potencjln, nwet jeżeli ckulcj obliczon wzdłuż zmkniętego kontuu s otczjącego clinde nie jest ówn zeu, tzn.: ( ) + cos,ds ds + sin d o 60

6 Wjśnienie tej spzeczności jest identczne jk w pzpdku wiu potencjlnego, minowicie w śodku ukłdu współzędnch wstępuje punkt osobliw funkcji opisnej ówn. (.80). Njwżniejszm pmetem pzepłwu z plikcjnego punktu widzeni jest ozkłd ciśnieni, któ możn wliczć tk smo jk dl pzepłwu wokół clind bez nłożonej ckulcji, tzn. z ównni Benoulliego: p c p + q Jeżeli chcem wliczć ozkłd ciśnieni n powiezchni clind, wówczs po podstwieniu z ówn. (.8): c sin + i po wpowdzeniu powższego związku do ównni Benoulliego, możn zpisć wżenie n współcznnik ciśnieni: pc p C p sin q + (.85) Równnie powższe wskzuje wźnie, że ciśnienie n gónej części clind ( 0 < < ) jest niższe niż n części dolnej ( < < ). Jeżeli koniecznm jest okeślenie położeni punktów, w któch ciśnienie n powiezchni clind jest ówne ciśnieniu sttcznemu w pzepłwie niezkłóconm p, możn to wliczć z nstępującego wunku: C p sin + 0 co dje: sin ± Położenie chktestcznch punktów, w któch współcznnik ciśnieni pzjmuje wtości ekstemlne możn wliczć z wunku: d ( C p ) sin cos 0 d + Ozncz to, że dl położeń okeślonch nstępującm wunkiem: sin otzmujem n powiezchni clind punkt stgncji, w któch ciśnienie pzbie wtość mksmlną: p c m p + q 3 Jeżeli cos 0, wówczs w punktch okeślonch wtością kąt ; ciśnienie n powiezchni clind osiąg minimum: p c min p + q ± + (.86) Rozkłd współcznnik ciśnieni wzdłuż powiezchni clind pokzno n s..5 zówno dl pzpdku opłwu bezckulcjnego ( 0) jk ównież dl kilku chktestcznch wtości ckulcji nłożonej n opłw clind. Jk możn łtwo zuwżć, wzost ckulcji zmniejsz ciśnienie n dolnej części clind i zwiększ je n części gónej. Biegunow wkes współcznnik C p dl pokzn n s..6. pokzuje w sposób pzekonwując, że ozkłd ciśnieni n powiezchni clind jest 6

7 smetczn względem osi i niesmetczn względem osi. Możn ztem oczekiwć wstąpieni sił wpdkowej L (s..6.b), postopdłej do kieunku pzepłwu głównego i skieownej pionowo w góę. Tk sił wpdkow nzwn jest siłą nośną i uwzględnijąc ozkłd współcznnik C p z s..5 możn oczekiwć, że jej wielkość będzie osł wz ze wzostem ckulcji. Sił opou D dziłjąc n clinde w kieunku npłwjącego stumieni, któą tkże pokzno n tm sunku, będzie zecz jsn ówn zeu z powodu smetcznego względem osi ozkłdu ciśnieni. Rs Π Π Π C p Π 3 Π Π Π Rozkłd współcznnik ciśnieni n powiezchni clind dl pzkłdowch wtości ckulcji. ) p C p 0 b) L D Rs..6. Biegunow wkes współcznnik ciśnieni C p dl ckulcji ) oz szkic wpdkowej sił nośnej b). 6

8 Pwdziwość tego stwiedzeni możn udowodnić obliczjąc skłdowe sił wpdkowej dziłjącej n powiezchnię clind (ptz ozdz..8): P D P L o o pc cos d pc sin d i wpowdzjąc p c z ówn. (.80) otzmujem po scłkowniu: P D 0 Podstwijąc q ρ P L q otzmujem osttecznie związek międz siłą nośną i ckulcją: P L ρ (.87) znn jko twiedzenie Kutt-Żukowskiego. To słnne ównnie, wpowdzone niezleżnie w. 90 pzez W.M.Kutt i w. 906 pzez N.Żukowskiego możn ująć nstępująco:...zgodnie z teoią pzepłwów potencjlnch, sił nośn L pzpdjąc n jednostkę długości clind opłwnego stumieniem jednoodnm płnu nielepkiego jest popocjonln do gęstości płnu ρ, pędkości pzepłwu niezkłóconego oz wtości ckulcji nłożonej n clinde. Wpdkow sił nośn jest pz tm obócon pod kątem 90 o względem npłwjącego stumieni w kieunku pzeciwnm do zwotu ckulcji. Znczenie tego twiedzeni wnik z nieoczekiwnej włsności tej bdzo postej teoii pzepłwu nielepkiego, jką jest możliwość dokłdnego wliczeni sił nośnej wtwznej pzez skzdł smolotów, łoptki mszn pzepłwowch, śmigł itp. Teoi t wjśni ównież szeeg zjwisk, któe znm z żci codziennego, np. odchlenie tou piłki tenisowej, któej w sposób celow ndno otcję (piłk podcięt ). Wobźm sobie, że pouszjącej się piłce (s..7.) gcz ndje otcję o kieunku zgodnm ze wskzówkmi zeg (w żgonie tenisowm lob) i wówczs zgodnie z twiedzeniem Kutt-Żukowskiego pojwi się sił nośn skieown pionowo w góę, któ wzniesie piłkę pond jej tjektoię blistczną. W ezultcie piłk pouszć się będzie toem bdziej stomm w poównniu z tjektoią, po któej pouszłb się on, gdbśm uwzględnili tlko pędkość początkową i kąt zutu oz opó powietz. ) b) P P Rs..7. Ilustcj sił pojwijącej się n piłce podciętej (tzw. lob) ) oz ściętej b). 63

9 Jeżeli ntomist piłce ndn zostnie otcj w kieunku pzeciwnm do uchu wskzówek zeg (tzw. ścięcie piłki s..7.b), wówczs sił wpdkow skieown będzie pionowo w dół i piłk pouszć się będzie poniżej tjektoii blistcznej. Zjwisko to zostło odkte już w wieku XVIII, kied kuliste pociski wstzeliwne z mt lecił niekied po pzpdkowch toch. Związek odchleni tou pocisku z jego otcją zostł po z piewsz odkt pzez niemieckiego nukowc H.G.Mgnus i nzwn jest od tej po efektem Mgnus. l Rs..8. Geometi wiującego clind i geneowne pzezeń pole pędkości pz bezpoślizgowm wunku n ścinie. Inn niemiecki nukowiec A.Flettne zpojektowł w. 9 sttek wposżon w kilk wiującch clindów, któe wtwzł ciąg dzięki witowi opłwjącemu sttek i dwł mu siłę nośną opisną twiedzeniem Kutt-Żukowskiego. Zletą tego ozwiązni jest niezleżność sił ciągu od kieunku npłwjącego witu, uzskiwn dzięki możliwości odwcni kieunku otcji clindów, eliminując podstwową wdę sttków żglowch. Pzepłw witu wokół obcjącego się clind jest fizczną elizcją modelowego pzepłwu utwozonego pzez dipol, potencjln wi o ckulcji oz pzepłw ównoległ z pędkością identczną z pędkością witu. Zkłdjąc, że pędkość obwodow (s..8) n powiezchni clind wnosi: ω pzjmujem, że dzięki siłom lepkości n stku powiezchni cił i płnu otzmujem tę smą pędkość obwodową płnu jk n powiezchni clind (wunek bezpoślizgow). W tkim pzpdku ckulcj indukown pzez obcjąc się clinde wnosi: ω i wówczs teoetczn sił nośn L t wtwzn pzez clinde o wsokości l może bć wliczon z ówn. (.87) w sposób nstępując: Lt L l ρ l ρ ω l (nleż tu pmiętć, że wzó Kutt-Żukowskiego podje siłę nośną pzpdjącą n jednostkę wsokości clind). Teoetczn współcznnik sił nośnej ówn jest: L C T Lt q S gdzie Sl jest polem pzekoju popzecznego clind w płszczźnie pzechodzącej pzez jego oś, po postch pzeksztłcenich otzmujem związek: 6

10 ω l ω C Lt V ρ l z któego wnik liniow popocjonlność teoetcznej sił nośnej do stosunku pędkości obwodowej clind do pędkości npłwjącego stumieni: ω V. Teoetczn współcznnik opou wnosi: Dt CDt 0 q S poniewż teoetczn sił opou zgodnie z pdoksem d Alembet ówn jest zeu, tzn. D t 0. N s..9 pokzno ekspementlną łódź npędzną winikiem Flettne, któ zostł zbudown pzez studentów niwestetu Rhode Islnd. Gón część s..9 pzedstwi poównnie pomiędz teoetcznmi ozkłdmi C L oz C D wżonmi w funkcji stosunku pędkości V, z wtościmi okeślonmi ekspementlnie pzez H. Rouse. Możn zuwżć, że wtości C L okeślone ekspementlnie są zwsze mniejsze niż wtości teoetczne i jednie w ogniczonm zkesie stosunków pędkości (V < 3) zmienność C L okeślon z ekspementu może bć z pewnm pzbliżeniem poksmown linią postą (jednk kąt nchleni tej linii jest wźnie óżn od teoetcznego). Dl większch wtości V ozkłd zeczwistch wtości C L stje się wźnie nieliniow i pz dlszm wzoście V współcznnik C L okeślon ekspementlnie dąż smptotcznie do stłej wtości. Ekspementlnie okeślone wtości współcznnik opou C D nie są zecz jsn ówne zeu jego zmienność jest nieliniow w funkcji stosunku pędkości V. Wto ównież zuwżć, że tkże i zeczwiste wtości współcznnik opou C D zdążją smptotcznie do stłej wtości wz ze wzostem stosunku pędkości V. Wniki te są zecz jsn cłkowicie spzeczne z ezulttmi nliz pzepłwu potencjlnego potwiedzjąc w ten sposób ogniczeni wskzne pzez pdoks d Alembet. Njwżniejszm powodem óżnic międz teoetcznmi i zeczwistmi ozkłdmi współcznników opou C D i sił nośnej C L jest zecz jsn lepkość płnu, któ w nlizie pzepłwów potencjlnch jest cłkowicie pomijn. Sił lepkości są odpowiedzilne z spzeczną z teoią niezeową wtość współcznnik opou. Jk wjśniono w ozdzile poświęconm wstwie pzściennej, opó eodnmiczn więc tkże i współcznnik opou w pzepłwie płnu nieściśliwego skłd się z dwóch części: C D CDV + CDP gdzie: C DV współcznnik opou tci, C DP współcznnik opou ciśnieniowego. Pominięcie lepkości w teoii pzepłwów potencjlnch jest ównoznczne z pzjęciem zeowej wtości współcznnik opou tci C DV, podczs gd w pzepłwie zeczwistm opó tci jest oczwiście niezeow. Lepkość spwi ównież, że n powiezchni clind wstępuje zjwisko odewni powdzące do wstąpieni omówionego w ozdz..8 śldu lepkiego, czego konsekwencją jest niesmetczn względem osi ozkłd ciśnieni n powiezchni wlc. W ezultcie otzmujem w pzepłwie zeczwistm niezeową wtość współcznnik opou ciśnieniowego C DP, podczs gd w ozwiązniu potencjlnm ozkłd ciśnieni n powiezchni wlc jest smetczn względem osi. Obdwie te pzczn wjśniją ztem ozbieżność międz teoetcznm i zeczwistm pzebiegiem współcznnik opou C D pokznm n s..9. Odewnie stumieni i istnienie śldu lepkiego jest ównież pzczną ozbieżności międz teoetcznm i zeczwistm pzebiegiem współcznnik sił nośnej C L, pz czm s..9 sugeuje, że wz ze wzostem wtości V odewnie stumieni i śld lepki odgwją coz większą olę. 65

11 Rs..9. Ekspementln łódź z otomi Flettne zbudown pzez studentów nivesit of Rhode Islnd (ct. wg książki F.M.White). 66

12 ządzenie zpojektowne pzez Flettne nie zostło zstosowne w pktce, mimo iż sił nośn wtwzn pzez obcjąc się clinde jest większ niż wtwzn pzez pofil eodnmiczn o poównwlnej cięciwie. Powodem jest duż wtość opou eodnmicznego, co po uwzględnieniu konieczności dostczeni dodtkowej enegii do npędu wlców spwi, że npęd żglow okzuje się bdziej ekonomiczn. Jeżeli dodm do tego poblem konstukcjne i eksplotcjne z obcjącmi się dużmi wlcmi, wówczs stnie się jsne, dlczego ozwiąznie to jest obecnie jednie ciekwostką, wkozstwną niekied dl celów ddktcznch, czego pzkłdem jest pokzn n s..9 łódk. Njwżniejszm jednk wnikiem tego ozdziłu jest teoetczn model powstwni sił nośnej dn pzez twiedzenie Kutt-Żukowskiego (ówn..87). Model ten jest powszechnie wkozstwn w teoii pofili lotniczch, gdzie uposzczon, nielepki opis pzepłwu dje zdumiewjąco użteczne wniki. 67