AERODYNAMIKA I WYKŁAD 3 TEORIA CIENKIEGO PROFILU LOTNICZEGO

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 TEORIA CIENKIEGO PROFILU LOTNICZEGO

2 TEMATYKA I CEL WYKŁADU: Przedstawić koncepcję modelowania dwuwymiarowego przepływu potencjalnego płynu nieściśliwego bazującego na wykorzystaniu rozłożonych nośników cyrkulacji Zastosować to podejście do przepływu w otoczeniu cienkiego proilu lotniczego Wyprowadzić i przedyskutować znaczenie ormuł opisujących siłę i moment aerodynamiczny oraz współczynniki aerodynamiczne Określić położenie środka parcia i środka aerodynamicznego Zademonstrować wykorzystanie teorii cienkiego proilu do proilu w klapą

3 . Pole prędkości indukowane przez linię wirową na płaszczyźnie Wyprowadziliśmy wcześniej prawo indukcji pola prędkości dla punktowego wiru potencjalnego. W zapisie zespolonym prawo to ma postać (środek wiru położony jest w punkcie z x iy) z z x x i( y y ) V ( z) i i i z z ( x x ) ( y y ) z z y y x x i u i ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y ) Zatem, składowe kartezjańskie indukowanego pola prędkości wyrażają się następująco u y y, x x ( x x ) ( y y ) ( x x ) ( y y )

4 Rozważmy teraz pole prędkości indukowane przez cyrkulację rozłożoną w sposób ciągły na linii opisanej równaniami x X ( s), y Y( s). Liniowa gęstość cyrkulacji na tej linii opisana jest unkcją () s. Pole prędkości indukowane przez linię wirową zadane jest wzorami S ( s)[ y Y( s)] ( s)[ x X ( s)] u ds, ds [ ( )] [ ( )] [ ( )] [ ( )] x X s y Y s x X s y Y s S

5 Jeżeli prędkość indukowana przez linię wirową w pewnym punkcie leżącym na tej linii jest skończona to: Prędkość normalna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się w sposób ciągły. Prędkość styczna obliczona wzdłuż dowolnego odcinka przecinającego linię wirową w tym punkcie zmienia się skokowo, przy czym wielkość skoku składowej stycznej jest równa wartości unkcji w tym punkcie linii. Uzasadnienie ostatniego stwierdzenia polega na wykorzystaniu Twierdzenia Stokesa zastosowanego do zacieniowanego obszaru na rysunku ABCD υds dxdy () s ds ABCD oraz ciągłości prędkości normalnej. Ćwiczenie: przeprowadź rozumowanie prowadzące do wniosku, że w punkcie na LW mamy lim υ lim υ ( s ) X P X P P P s s

6 Model proilu o niewielkiej grubości AERODYNAMIKA I Wariant Opływ proilu modelowany jest przez linię wirową o kształcie takim jak linia szkieletowa (LS) proilu. Rozkład cyrkulacji wzdłuż tej linii przyjmujemy tak, aby była ona linią prądu. Jeśli wygięcie LS jest małe to można przyjąć dalsze uproszczenia ułatwiające rachunki

7 Wariant (docelowy) Cyrkulacja rozłożona jest wzdłuż cięciwy proilu tj. na odcinku [, c ] położonym na osi Ox Z uwagi na małe wygięcie linii szkieletowej uznajemy że prędkość indukowana przez wirowość rozłożoną wzdłuż cięciwy w punkcie [ x, Y( x )] jest równa z przybliżeniu prędkości indukowanej w punkcie [ x,].

8 W konsekwencji przyjętych założeń upraszczających, prędkość indukowana normalna do linii szkieletowej w punkcie [ x, Y( x )] jest w przybliżeniu równa w, n[ x, Y( x)] u [ x,] nx[ x, Y( x)] [ x,] ny[ x, Y( x)] Jednostkowy wektor normalny w punkcie [ x, Y( x )] linii szkieletowej jest równy Y( x) nx Y ( x), n y [ Y( x)] [ Y( x)] Zatem w [ x, Y( x)] u [ x,] n [ x, Y( x)] [ x,] n [ x, Y( x)], n x y u [ x,] Y( x) [ x,] [ x,] c ( ) d x Warunek nieprzenikalności proilu szkieletowej, czyli - całkowity wektor prędkości jest styczny do linii V, n w, n

9 Z rysunku wynika, że V, n V sin( ) V ( ) V{ arctg[ Y( x)]} V[ Y( x)] Warunek nie przenikalności przyjmuje postać (r-nie podstawowe teorii cienkiego proilu) V ( ) d [ Y( x)] x c

10 Wprowadzimy sprytną zmianę współrzędnych c( cos ), x c( cos ) Wówczas d c oraz sin cos pkt. natarcia c cos pkt. splywu Rozważmy przypadek cienkiego proilu symetrycznego (w tej teorii jest nieodróżnialny od płaskiej płytki) tj. przyjmijmy, że Y( x). Podstawowe równanie teorii przyjmuje postać ( )sind V cos cos Z rozważań nt. prędkości indukowanej przez LW wynika, że musimy postawić warunek ( ) W przeciwnym razie prędkość styczna w punkcie wpływu ma skok czyli nie spełnia warunku Kutty-Żukowskiego!

11 Poszukiwanie rozwiązanie zaczniemy od wprowadzenia tzw. całek Glauerta W szczególności cosn sin n d cos cos sin sin nsin cos cos Rozważmy unkcję, n,,,... d cos n, n,,,... cos d cos cos ( ) K cos / sin Mamy ( )sin d K cos d K cos cos cos cos Jeśli dobrać stałą K tak, aby spełnia równanie! K V K V to unkcja ( ) V cos / sin V cot

12 Niestety, unkcja ( ) nie spełnia warunku K-Ż!!!! Ze względu na liniowość problemu, otrzymany rozkład można zmodyikować o dowolną unkcję ( ), byle spełniała ona równość Pierwszy typ całki Glauerta dla n daje ( )sin d cos cos cos cos d Wobec tego, poszukiwana unkcja to ( ) K. Pełny rozkład cyrkulacji ma postać sin cos ( ) V sin K sin Spełnienie warunku Kutty-Żukowskiego zapewnia wybór K V.

13 Ostatecznie, rozkład gęstości cyrkulacji zadany jest wzorem cos cos ( ) ( ) V V V cot( ) sin sin( )cos( ) Zauważmy, że na krawędzi natarcia gęstość cyrkulacji staje się nieograniczona!!! Obliczmy całkowity ładunek cyrkulacji. Mimo osobliwości, ładunek ten jest skończony c cos c ( ) d V sin sin d V c ( cos ) d V c

14 Siła i moment aerodynamiczny w teorii cienkiego proilu Ze wzoru Kutty-Żukowskiego wynika, że siła nośna równa jest L V ( sin e cos e ) L x y czyli wartość tej siły to L V c C V c C q c L L q Współczynnik siły nośnej równy jest C Nachylenie (liniowej) charakterystyki C C ( ) L L L dc L d UWAGA: w tradycji polskiej współczynnik siły nośnej oznaczany jest zazwyczaj symbolem C (a współczynnik oporu - C ). z x

15 Obliczymy moment aerodynamiczny względem krawędzi natarcia. Dla małych kątów natarcia mamy c c c c M xdl( x) x L( x) dx V x ( x) dx V x ( x) dx cos ( cos )( ) sin sin sin V c 4 cvc 4 c L V c V c d V c d Z przeprowadzonego rachunku wynika, że dla małych kątów natarcia punkt przyłożenia siły aerodynamicznej (tzw. środek parcia) na cienkim proilu symetrycznym jest położony w odległości ¼ cięciwy od noska proilu.

16 UWAGA: AERODYNAMIKA I W aerodynamice lotniczej przyjęła się umowa odnośnie znaku momentu moment obracający proil odwrotnie zegarowo (czyli opuszczający nosek, a więc zmniejszający kąt natarcia) uznaje się za ujemny. Wg tej umowy moment działający na proil symetryczny pod dodatnim kątem natarcia jest ujemny. Dostosowanie otrzymanej wcześniej ormuły do w/w umowy sprowadza się do zmiany znaku M 4 cl Współczynnik momentu aerodynamicznego deiniujemy następująco M cl L C m C q c q c 4qc 4 L 4, Moment względem innego punktu P o współrzędnej x x obliczamy następująco c c P P P 4 P M ( x x ) dl( x) xdl( x) x L ( c x ) L M P

17 W terminach współczynników aerodynamicznych W szczególności, dla ( c x ) L C x C C x C 4 P m, P ( ) P L m, P L qc 4 x, mamy oczywiście C, /4 P 4 Widzimy, że współczynnik momentu aerodynamicznego względem P 4 parcia) nie zależy (w zakresie małych kątów natarcia) od kąta natarcia czyli mc x (czyli środka dc mc, /4 d Wynika z tego, że środek parcia jest dla cienkiego proilu symetrycznego jednocześnie środkiem aerodynamicznym (SA), tj. takim punktem, że moment aerodynamiczny (względem SA) nie zależy od kąta natarcia.

18 Rozszerzmy rozważania rozważmy teraz opływ cienkiego proilu niesymetrycznego. Podstawowe równanie teorii ma teraz postać ( ) d V [ Y( x)] x a po zastosowaniu tej samej co poprzednio zamiany zmiennych ( )sind V V Y [ x( )] cos cos Rozwiązanie tego przypadku jest bardziej złożone. Poszukujemy rozkładu cyrkulacji w postaci szeregu cos ( ) V A A sinn sin n c n

19 Po podstawieniu do równania podstawowego otrzymujemy A cos sin n sin d A d Y [ x( )] n cos cos n cos cos Wykorzystując wprowadzone wcześniej całki Glauerta, otrzymujemy sin nsin cos cos d cos n cos cos d d d cos cos cos cos cos cos Równanie teorii cienkiego proilu sprowadza się do n pierwsza calka Glauerta dla n A An cos n Y[ x( )]

20 Równoważnie Y[ x( )] ( A ) A cosn n n Pomysł na wyznaczenie współczynników Aj, j,,,... jest prosty i sprowadza się do: wyrażenia unkcji Y Y( x) jako zależności od współrzędnej w przedziale [, ], obliczenia współczynników cosinusowego szeregu Fouriera tak otrzymanej unkcji. Oznaczmy zatem P( ) Y [ x( )]. Rozwijamy unkcję P( ) w szereg Z teorii szeregów Fouriera wynika, że P( ) B B cos n n n B P( ) d, B P( )cos n d n

21 Otrzymujemy zatem związki AERODYNAMIKA I A B ( ) P d A P( ) d A n Bn P( )cos n d W ten sposób wyznaczyliśmy rozkład cyrkulacji (warunek Kutty-Żukowskiego ( ) jest automatycznie spełniony!) Całkowita cyrkulacja związana z proilem to c c cos ( ) V A A sin n sin n ( ) d ( )sin d cv A ( cos ) d A sin n sind n n n

22 Ponieważ ( cos )d, to całkowita cyrkulacja zadana jest wzorem Stąd, siła nośna L i jej współczynnik AERODYNAMIKA I gdy n sin n sind gdy n cv ( A A ) C L są równe L V ( A A ) V c ( A A ) q c Konkretnie C ( A A ) L C L P( )(cos ) d

23 dc Jak widać, nachylenie charakterystyki L d szkieletowej., czyli nie zależy od wygięcia linii Komentarz: w Wykładzie pojawiło się zadanie polegające na wykazaniu, że nachylenie charakterystyki wsp. siły nośnej dla wygiętego proilu Żukowskiego o zerowej grubości (łuk dc okręgu) jest równe L ( ). Zauważmy, że poprawka jest proporcjonalna do d kwadratu względnego wygięcia proilu, czyli dla małych wartości tego wygięcia jest bardzo mała. Zaprezentowana teoria cienkiego proilu nie widzi tej poprawki (dlaczego?!) Otrzymana ormuła dla współczynnika siły nośnej może być zapisana w postaci C ( L gdzie ) P( )(cos ) d jest (ujemnym) kątem natarcia, przy którym wygięty proil nie wytwarza siły nośnej.

24 Obliczmy dalej moment aerodynamiczny względem punktu (krawędzi) natarcia c c ( ) ( ) 4 ( cos ) ( )sin cos V c ( cos ) A An sin n sind sin n M V x x dx V x x dx V c d n n V c A ( cos ) d A ( cos )sin n sin d Pojawiły się następujące całki ( cos ) d sin d gdy n ( cos )sin sin sin sin n d n d sin n sin d 4 gdy n gdy n{, }

25 Otrzymujemy wzór AERODYNAMIKA I M V c ( A A A ) 4 Ponownie, dostosowując konwencje znaków do zwyczajów aerodynamicznych mamy M V c ( A A A ) ( A A A ) q c 4 Współczynnik momentu aerodynamicznego jest zatem równy C ( A A A ) [ C ( A A )] m, 4 L Z wcześniejszych rozważań wynika, że C C C ( A A ) ( A A ), / mc m, L Otrzymana wartość momentu nie zależy od kąta natarcia. Wnioskujemy, że punkt 4 nie jest tym razem środkiem parcia (bo moment aerodynamiczny względem tego punktu nie jest na ogół równy zeru), ale jest środkiem aerodynamicznym. x c

26 Współrzędna środka parcia to taka wartość x P, że x P q c ( A A A ) c[ A A ( A A )] ( A A ) qc ( A A ) C L c c c ( A A ) ( A A ) 4 4 C 4 C L L

27 Cienki proil symetryczny z klapą Na koniec omówimy krótko prosty model cienkiego proilu symetrycznego z klapą (zakładamy, że wychylenie klapy jest niewielkie) Linia szkieletowa i jej pochodna Y( x) gdy x[, x ] tg ( x x ) gdy x ( x, c], x ( ) c gdy x[, x ) Y( x) tg gdy x [ x, c]

28 Stosujemy - jak poprzednio - zmianę współrzędnych x. Wyznaczamy wartość współrzędnej kątowej odpowiadającej punktowi obrotu (zawiasowi) klapy x ( ) c c( cos ) ( ) c Stąd cos Np. dla.5 mamy arccos(.7) Funkcja P( ) opisana jest następująco [, ) ( ) [ gdy P Y c( cos )] tg gdy [, ]

29 Obliczymy współczynniki Fouriera występujące we wzorach na siłę nośną i moment aerodynamiczny. Mamy P( ) d ( tg) d tg Zatem A ( ) tg I dalej A P( )cos d ( tg ) cos d ( tg )( sin ) sin tg A P( )cos d ( tg ) cos d ( tg )( sin ) sin tg

30 Współczynnik siły nośnej symetrycznego cienkiego proilu z klapą jest zadany wzorem C ( A A ) ( sin ) tg L ( sin ) Współczynnik momentu aerodynamicznego jest równy Po podstawieniu otrzymujemy C ( A A A ) m, C m, [ ( cos )sin ] Obliczmy wartości współczynników przy kącie wychylenia klapy dla proilu w klapą 5% (czyli.5). Wiemy, że ( sin ) 3. [ (cos )sin ].36

31 Otrzymaliśmy następujące zależności C 3., L Cm,.36 Współczynnik momentu C mc, /4 C A A tg tg, /4 4 ( ) m c 4 ( sin sin ) 4 (sin sin ) Dla klapy 5% C, /4.395 mc Zadanie: Przeprowadź analogiczna analizę dla cienkiego proilu symetrycznego z klapą przednią (slotem). Przyjmij, że zawias klapy znajduje się w odległości c od noska proilu. Wyznacz wartość liczbową współczynników stojących w wyrażeniach na C L i C mc, /4 przy kącie wychylenia slotu (zakładamy, że jest on niewielki, zatem tg ). Porównaj wpływ slotu i klapy tylnej na charakterystyki aerodynamiczne.