GRAWITACJA. przyciągają się wzajemnie siłą proporcjonalną do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalną do kwadratu ich odległości r.

Transkrypt

1 GRAWITACJA Pawo powszechnego ciążenia (pawo gawitacji) Dwa punkty mateialne o masach m 1 i m pzyciągają się wzajemnie siłą popocjonalną do iloczynu ich mas i odwotnie popocjonalną do kwadatu ich odległości. mm 1 F = G, gdzie G 11 = 6,67 10 N m /kg (stała gawitacji). Pawo to zostało sfomułowane pzez Newtona w Wynika z wielu obsewacji, głównie astonomicznych, oaz z ekspeymentów pzepowadzonych na Ziemi. Stała gawitacji jest stałą uniwesalną, niezależną od odzaju ciał. Ciała ozciągłe o skończonych ozmiaach taktujemy jako układy punktów mateialnych. Siły pzyciągania między takimi ciałami oblicza się pzez całkowanie pawa powszechnego ciążenia dla punktów mateialnych. Można udowodnić, że Jednoodne ciała kuliste oaz ciała złożone z jednoodnych koncentycznych wastw kulistych pzyciągają się tak, jak punkty mateialne umieszczone w ich śodkach. Gawitacja 1

2 Pole gawitacyjne Jest to pole sił pzyciągania gawitacyjnego w pzestzeni otaczającej masę M. Jeśli masa M jest punktem mateialnym, jednoodnym ciałem kulistym, lub ciałem złożonym z jednoodnych koncentycznych wastw kulistych, to pole gawitacyjne wytwazane pzez masę M opisane jest wyażeniem Mm F = G m - masa póbna, - odległość od śodka masy M. Pole gawitacyjne masy M można opisać wektoowo M m F = F = G, 3 - wekto o początku w śodku masy M, wskazujący położenie masy póbnej m. Natężenie pola - gawitacyjnego Stosunek siły działającej na masę póbną do watości tej masy. F M γ = = G 3 m Gawitacja

3 Enegia potencjalna ciała w polu gawitacyjnym Pole gawitacyjne jest polem zachowawczym, dlatego można okeślić enegię potencjalną ciał znajdujących się w tym polu. d d d d ds d Ep = Ep 1 F ds = Ep 1+ GMm = E 3 p1+ GMm d d d d (w polu gawitacyjnym zachodzi ds = e ds = d ) Zazwyczaj pzyjmujemy, że enegia potencjalna ciała m znajdującego się nieskończenie dużej odległości od masy M jest ówna zeu. Stąd mamy d 1 M m Ep() = 0+ GMm = GMm = G Enegia potencjalna masy póbnej m jest ujemna i ośnie w miaę oddalania się od masy M, osiągając watość zeo w nieskończoności. Gawitacja 3

4 Potencjał pola gawitacyjnego Jest to stosunek enegii potencjalnej masy póbnej m do watości tej masy. Ep() M V() = = G m Potencjał okeśla enegię potencjalną w odległości od śodka masy M pzypadającą na jednostkę masy póbnej i wyaża się w J/kg. Masa gawitacyjna a masa bezwładna W powyższych wzoach masa ma znaczenie masy gawitacyjnej, m g, będącej źódłem oddziaływania gawitacyjnego. Masa gawitacyjna ma więc inny sens fizyczny niż masa bezwładna, m b, występująca np. w ównaniu F = ma. Na podstawie doświadczeń można jednak pzyjąć, że stosunek tych mas jest taki sam dla wszystkich obiektów mateialnych. W dalszych ozważaniach pzyjmiemy mg = mb = m. Gawitacja 4

5 Cięża ciał Cięża ciała - Siła, jaką ciało mateialne jest pzyciągane pzez Ziemię. Ponieważ Ziemię możemy taktować jako ciało złożone z jednoodnych koncentycznych wastw kulistych, ciało o masie m znajdujące się w pobliżu jej powiezchni (pzy R jest pomieniem Ziemi) jest pzyciągane z siłą Mm F = G R Zgodnie z dugą zasadą dynamiki siła ta nadaje ciału m pzyspieszenie g F M g = = G m R = R, gdzie Watość g nie jest stała. W óżnych punktach powiezchni Ziemi watość ta zależy od a) spłaszczenia kuli ziemskiej, b) uchu obotowego Ziemi, c) niejednoodności budowy Ziemi. Znając g, G i R można obliczyć masę Ziemi M Rg = G kg Gawitacja 5

6 Gawitacyjna enegia potencjalna ciała w pobliżu powiezchni Ziemi Pokazaliśmy, że w ogólności dla () Mm Ep = G zaś w pobliżu powiezchni Ziemi mamy E ( ) const p h = + mgh R zachodzi Pytamy, czy nie ma spzeczności między tymi wyażeniami. Kozystając z piewszego z tych wyażeń znajdźmy pzybliżone wyażenie na enegię potencjalną ciała o masie m znajdującego się na wysokości h nad poziomem położonym w odległości R od śodka ciała o masie M, pzy czym założymy h R. Mm Mm 1 Mm h Ep( h) = G = G G 1 R h R h + 1+ R R R Mm M = G + mg h = const + mgh R R Wniosek: dla h R obydwa wyażenia na enegię potencjalną są zgodne. Gawitacja 6