Metody analizy światłowodów wielomodowych

Transkrypt

1 Metody nlizy świtłowodów wielomodowych 1. Metod optyki geometycznej wyzncznie tou pomieni optycznego w świtłowodzie. Metod WKB wyzncznie w sposób pzybliżony modów świtłowodowych i wyznczenie obszów ich popgcji w pzekoju popzecznym świtłowodu 3. Rozwiąznie sklnych ównń Mxwell djące w mię pełny (bez uwzględnieni polyzcji fli świetlnej) opis flowodu z wyznczeniem odzjów modów i ozkłdów ich ntężeni w pzekoju popzecznym świtłowodu

2 Teoetyczny model świtłowodu wielomodowego Złożeni: - dzeń o skończonych wymich -okeślony pofil współczynnik złmni dzeni -płszcz o nieskończonych wymich zewnętznych

3 Dl wszystkich tzech metod nlizy ównnimi wyjściowymi są ównni Mxwell zpisne w postci sklnych ównń flowodowych: E n () ε μ H n () ε μ t E oz wunki bzegowe ówność stycznych skłdowych pól E i H n gnicy dzeń płszcz. Pzyjmując hmoniczną postć zmin fli optycznej w czsie (E, H) (E, H)e iωt ównni flowe (1) pzeksztłcmy w ównni Helmholtz: t H (1) E n ( ) k E H n ( ) k H () gdzie k ε μ ω c ε 1 μ.3 m/ns ω/c -stł popgcji fli w póżni, -pędkość fli świetlnej w póżni.

4 Toy pomieni w flowodzie cylindycznym Równnie tou pomieni w optycznym flowodzie cylindycznym otzymmy pzedstwijąc flę optyczną w postci fli hmonicznej z fzą zleżną od współzędnych w świtłowodzie E(, ϕ, z)e is(, ϕ, z) (3) gdzie, ϕ, z współzędne wlcowe świtłowodu. Współzędne wlcowe świtłowodu

5 Podstwijąc (3) do ównni () i wykonując opecję óżniczkowni, po pzeksztłcenich otzymmy ównnie fzy zwne ównniem eikonłu w postci ( S ) n k (4) stąd ównnie pomieni, któy w uchu flowym jest postopdły do płszczyzny stłej fzy S(, ϕ, z) d ds n d ds n (5)

6 Pzyjmując w uposzczeniu, że kąt odchyleni pomieni od osi świtłowodu jest mły, zmienimy óżniczkownie względem ds n óżniczkownie względem dz. Zkłdjąc, że współczynnik złmni zleży tylko od pomieni świtłowodu n(, ϕ, z) n() otzymmy ównnie pomieni dl skłdowych, ϕ, z d dz dϕ dz 1 n dn d d dz dϕ dz dz n nk cos θ β const ds β- stł popgcji pomieni, (6)

7 Z ozwiązni dwóch piewszych ównń otzymmy dw odzje pomieni jko pzypdki szczególne ogólnego ozwiązni: p1. pomienie południkowe; pzechodzące pzez oś świtłowodu 1 4 gdzie Ω -wtość stł. ( z) sin Ω( z z ) + ϕ( z) ϕ const + π (7)

8 . pomienie skośne (spilne); obcjące się wokół osi świtłowodu n ksztłt linii śubowej Świtłowód skokowy Świtłowód gdientowy gdzie Ω -wtość stł. (z) const ϕ(z) ϕ + (z z ) Ω (8)

9 Wnioski z metod optyki geometycznej: Świtłowód włóknisty może powdzić enegię świetlną wzdłuż chkteystycznych odzjów pomieni: pomieni południkowych, któe w świtłowodzie skokowym dochodzą do gnicy dzeń-płszcz zmienijąc kieunek n zsdzie pełnego odbici, w świtłowodzie gdientowym zś ulegją stopniowemu zkzywieniu tou do zminy kieunku włącznie (w obu pzypdkch pomienie te pzecinją oś świtłowodu) pomieni skośnych, któe w świtłowodzie skokowym odbijją się skośnie od gnicy dzeń-płszcz nie pzecinjąc osi flowodu, co twozy łmną linię spilną, w świtłowodzie gdientowym zś lini spiln upodbni się do ciągłej linii śubowej. W tej gupie pomieni śodek świtłowodu nie pzenosi enegii. Stł popgcji β dnego pomieni jest niezmienn w cłym pzekoju świtłowodu (wynik to z tzeciego ównni (6))

10 Modow stuktu fli świetlnej powdzonej flowodem Posłużymy się tutj metodą WKB ideowo zbliżoną do teoii pomieni. Równnie flowe (1) ozpisujemy n skłdowe E, E ϕ, E z, ozwiązni ównń zkłdmy w postci iloczynu funkcji zmiennych, ϕ, i z, pzy czym zkłdmy ozwiązni: - dl zmiennej ϕ w postci cos mϕ, - zmiennej z w postci e -iβz Funkcję zmiennej w postci F() znjdujemy z ozwiązni ównń (6)- (8) Mmy ztem wyżenie opisujące pole elektyczne w świtłowodzie w postci i ównnie flowe n funkcję F() d F d E F() cos mϕ e -iβz (9) ( ) 1 df( ) + d + n k β m F () (1) gdzie m liczb cłkowit

11 Funkcji F() szukmy w postci F() A() e is() (11) Podstwijąc ówn. (11) do (1) dostjemy wyżenie n mplitudę A() i wyżenie n fzę S() c () 1/4 m n k β A (1) gdzie m - liczb cłkowit 1/ m S() n k β d 1 (13)

12 O wtości S() decyduje człon pod piewistkiem podlegjący cłkowniu, któy pzyjmuje tzy wtości odpowidjące tzem odzjom uchu flowego: m is () () n k (14) β F Ae > oscylujący uch flowy (popgcj fli); < F() Ae -S() zniknie ekspotencjlne pol fli; F() const ozncz punkt zwotny w kieunku uchu fli (kustykę).

13 Z tego osttniego wunku możemy łtwo obliczyć położenie punktów zwotnych, ozwiązując ównnie n k m β (15) Podstwijąc n() dl świtłowodu gdientowego o ównniu pboloidlnym, otzymmy 1, 4n 1 Δ ( ) ± ( n n n n ) 1 ef 1 ef 8n 1 Δ k m 1/ (16) Z ozwiązni funkcji S() w postci wzou (13), otzymmy tzy chkteystyczne pzypdki popgcji fli optycznej w świtłowodzie. Gficzne pzedstwienie tego ozwiązni dl świtłowodu gdientowego podno n ysunkch

14 Mody flowodowe m Pole fli świetlnej w postci E F() cos mϕ sin[s()] e i(ωt-βz) twozy flę stojącą w pzekoju popzecznym świtłowodu, oscylującą między punktmi 1 i (16). Pole fli stojącej ozchodzi się w kieunku osi z ze stłą popgcji β. Ten odzj modów odpowid pomieniom skośnym w notcji optyki geometycznej.

15 Mody flowodowe m Podstwijąc m do wyżeni (16) oz wiedząc, że n n ef n 1, otzymmy 1 min n1 n Δn ef 1 dl świtłowodu gdientowego 1 min m x dl świtłowodu skokowego dl n ef n Pole fli świetlnej w postci E F()sin[S()] e i(ωt-βz) twozy tez flę stojącą w cłym pzekoju popzecznym świtłowodu. Sytucj t odpowid pomieniom południkowym w pzybliżeniu optyki geometycznej.

16 Mody dicyjne (umykjące) W obszze flowodu w pobliżu gnicy dzeń-płszcz może zjść sytucj, dl dużych wtości m, że zchodzi nieówność Wówczs S() < i w tym obszze wystąpi zniknie fli, jk to pokzno n ys. Dl większych wtości > 3 znów otzymmy popgcję fli, le już nie w postci fli stojącej w dzeniu, lecz w postci fli wypomieniownej z dzeni do obszu płszcz świtłowodu. T część enegii jest stcon z punktu widzeni flowodu i dltego mody wypowdzjące tę enegię nzywmy modmi dicyjnymi lub umykjącymi.

17 Pełne ozwiąznie ównń Mxwell Pełne nlityczne ozwiąznie ównń Mxwell możn otzymć dl świtłowodu skokowego lub o pofilu pbolicznym. Ogniczymy się tutj do modów flowodowych w świtłowodzie o pofilu skokowym. Rozwiąznie njczęściej konstuuje się w nstępujący sposób: -z ozwiązni ównni flowodowego dl współzędnej wyzncz się podłużne skłdowe pol E z i H z ; - nstępnie z ogólnie znnych zleżności wyzncz się skłdowe popzeczne E, Eϕ, H i H ϕ.

18 Rozwiązni n skłdowe podłużne poszukujemy w postci (17) A skłdowe E z () i H z () wyznczmy z ównni (18) Wpowdzmy bezwymiowe zmienne zleżne: -stł pol oscylcji popzecznych w dzeniu (19) -stł znikni pol w płszczu oz pmet - liczb flowodow lub częstotliwość względn świtłowodu () ) k (n u 1 β ) n k - ( w β ( ) 1 n n k w u V + ( ) () ( ) βz ωt i im z z z z e e H E H E ϕ () ( ) () H E m k n 1 z z β + +

19 Rozwiązni poszukujemy w postci funkcji Bessel: () u AJ E m z () u BJ H m z < () w CK E m z 1 z 1 z 1 z 1 z E E E E H H H H ϕ ϕ ϕ ϕ w dzeniu świtłowodu oz () w DK H m z > Wunki bzegowe n gnicy dzeń-płszcz dl płszcz (1) () (3)

20 Rozwiązując (18) i podstwijąc do (3) otzymmy ównnie wtości włsnych w postci k β n m u V 4 w w J' J m m ( u) ( u) K' + u K m m ( w) ( w) n n 1 w J' J m m ( u) ( u) K' + u K m m ( w) ( w) (4) Jeżeli tez złożymy m, to kżde z wyżeń w nwisch utwozy dw oddzielne ozwiązni. Wyznczjąc dl kżdego z tych ozwiązń skłdowe pol, stwiedzmy, że są to fle typu (mody): TE op,dl któych E z TM op,dl któych H z Ogólnie ozwiąznie ównni 4 dl m wyznczy tzw. mody hybydowe HE mp lub EH mp w któych istnieją obie skłdowe podłużne pol

21 Równnie chkteystyczne (4) możn z pewnym pzybliżeniem upościć i znleźć wtości liczby flowodowej V, pzy któej zczynją się kolejne mody np.: dl m otzymmy z (4) J (u) dl m 1 otzymmy z (4) J 1 (u), Wykes funkcji Bessel J (u) i J 1 (u) (wg T.Okoshi) Kolejne ze funkcji Bessel wyznczją liczbę p, wtość funkcji u w miejscch zeowych wyzncz wtość liczby flowodowej VV c, pzy któej występuje odcięcie popgcji kolejnego modu.

22 Dl wtości V od ze do,45 ozchodzi się tylko jeden mod HE 11. Jest to tzw. mod podstwowy popgowny w świtłowodch jednomodowych. V π λ n1 n,45 (5) Rozkłd modów n płszczyźnie fzowej z zznczeniem wunków popgcji jednomodowej (wg J.Senio)

23 Rozkłd ntężeni pol modów Moc niesioną świtłowodem obliczmy, bioąc wtość zeczywistą wekto Poynting E xh P z ReS Re (6) Rozkłd ntężeni świtł dl kilku piewszych modów świtłowodu wielomodowego (wg A.Snyde, W.Young)

24 Po podstwieniu wtości z E i H, otzymmy P z () A B β u ωμ β w ωμ J K m± 1 m± 1 u w moc w dzeniu ( < ) moc w płszczu ( ) (7) Stąd wynik, że moc optyczn w świtłowodzie jest niesion pocjmi pzez poszczególne mody z pędkością dnego modu V g dβ m /dω. Możn ównież wyznczyć stosunek mocy niesionej pzez dzeń świtłowodu do mocy cłkowitej e W π π Wc P P z z () () d d dϕ dϕ (8)

25 Liczb modów Liczbę modów N niesionych dnym świtłowodem wyzncz wtość liczby flowej V: V N -dl świtłowodu skokowego (9) 4 N V -dl świtłowodu pbolicznego (3) α V α N ( n1k ) Δ - ogólnie dl świtłowodów klsy α (31) α + α + N pzykłd dl świtłowodu o pmetch: 5 μm, Δ 1 -, n 1 1,46 liczb modów N wynosi N (λ,83 μm) N (λ 1,3 μm) α gdientowy α skokowy

26 W podsumowniu nlizy teoetycznej zestwimy poznne pomienie i mody, wskzując n ich tożsmość Pomienie Mody flowodowe Kustyki (punkty zwotu) Poosiowe podstwowe HE 11 Południkowe popzeczne TE op 1, TM op Skośne spilne hybydowe HE mp 1, EH mp

27 Podsumownie Mody hybydowe są modmi njwyższego zędu i one stnowią źódło modów dicyjnych Moc niesion pzez mody południkowe i mod poosiowy wypełni cły pzekój dzeni świtłowodu, ntomist moc niesion pzez mody hybydowe (spilne) pzepływ jkby ścinkmi utwozonej w dzeniu uki o gubości - 1 włściwej dl dnego modu

28 Pole modu HE 11 polyzcji y ( ) ( ) > < dl w K w K dl u J u J A H n Z E y x ( ) ( ) > < dl w K w K dl u J u J A H n Z E x y (1) () gdzie J, K funkcje Bessel zeowego zędu. Pole modu HE 11 polyzcji x Pzybliżon nliz świtłowodu jednomodowego

29 Pełn moc niesion flowodem pzez mod podstwowy π Nomlizując wtość mocy do 1, wyznczmy stłą A w ównnich pol () 1/ 1/ u K ( w) Z w J ( u) Z A V K1( w) π n V J1( u) π n (4) Równnie chkteystyczne (4) pzyjmie postć J1 ( w) K1( w) w J u K w Stłe ozkłdu pol u i w spełniją ówność P t E ( ) x H (3) (5) u + w V (6) Z ozwiązni ównń (5) i (6) otzymmy wyżenie n dwie stłe popgcji β x i β y odpowidjące ozchodzeniu się modów polyzcji P x i P y. * y d ( ) dϕ

30 Apoksymcj ozkłdu ntężeni modu podstwowego Znjąc wtości u i w możemy obliczyć ozkłd ntężeni pol modu HE 11 kozystjąc z ównń (1) i () lub stosując pzybliżone ozwinięcie funkcji Bessel Dl J (x) pzy x leżących w gnicch < x < 1,8 mmy nstępujące poksymcje funkcji Bessel: J (x) 1,5x +,5x 3 (błąd %) J (x) 1,1x (błąd 4%) (7) Dl J 1 (x) pzy x,5 J 1 (x),17x (3,7 x) (błąd 4%)

31 Apoksymcj funkcją Guss Rozkłd ntężeni pol obliczony wg funkcji Guss okeślonej nstępująco: 1/ Z Ex w π n o 1/ exp dl < n w Hx w Zπ (dzeń) oz 1/ 1/ w π w K exp dl > w (w płszczu) ε gdzie Z, w śednic wiązki optycznej (lub śednic μo plmki świeceni modu). (8) (9)

32 Apoksymcj funkcją Guss Poównnie ozkłdów ntężeni pol modu podstwowego obliczonych wg dokłdnych wzoów (1) i () lini ciągł, wg funkcji Guss lini pzeywn. Z poównni pzebiegu funkcji n ysunku zuwżymy zbieżność ozkłdu ntężeni pol dl V,4 otzymną z ozwiązni (1) i pzybliżeni funkcją Guss.

33 Apoksymcj funkcją Guss Funkcj Guss opisuje dokłdnie ozkłd mocy modu podstwowego dl pbolicznego ozkłdu współczynnik złmni, jko że dl pofilu pbolicznego dzeni świtłowodu istnieje ozwiąznie dokłdne. W ozptywnym pzypdku funkcj Guss jest pzybliżoną funkcją opisu pol, pzy czym jko kyteium poksymcji pzyjęto tutj współczynnik spwności spzężeni ρ. Pełną moc modu (5) zpisujemy w notcji (1) i (8), nomujemy do jedności i definiujemy współczynnik spwności spzężeni ρ 1 π 4 πw exp w ddϕ (1)

34 Stosunek mocy optycznej powdzonej w dzeniu świtłowodu do mocy powdzonej w płszczu możn wyzić z pomocą nstępujących wzoów: wyżenie dokłdne P( ) u K ( ) w 1 1 ( ) Pc V K1 w (11) wyżenie w poksymcji Guss ( ) P 1 exp (1) P c w gdzie P( ) moc w dzeniu świtłowodu, P c moc w płszczu. Dl długości fli λ λ c około 9% mocy ozchodzi się w dzeniu świtłowodu. Wykes stosunku mocy optycznej w dzeniu (P) i w płszczu (P c ) świtłowodu w zleżności od długości fli λ (wg L.Jeunhomme ).

35 Polyzcyjne włściwości świtłowodów Zbuzeni symetii flowodu w postci ) eliptyczności dzeni flowodu e 1 x y 1/ (1) b) nizotopii npężeń w obszze dzeni, któe z kolei pzez efekt elstooptyczny indukują nizotopię ozkłdu współczynnik złmni, c) nizotopii ozkłdu współczynnik złmni (zbuzenie kompozycji domieszek).

36 W obu pzypdkch (b i c) współczynnik złmni nie jest sklem n(), lecz tensoem n( x,y), eliptyczność pofilu flowodu m postć wzou () e n 1 n x y 1/ () Stłe popgcji β x i β y możemy wyzić w postci efektywnych współczynników złmni β β x y π n ef x ; nef y gdzie k k k n λ Flowód o powyższych włsnościch nzyw się dwójłomnym, dwójłomność zś definiujemy jko δn ef n efy -n efx lub δβ β y - β x

37 Dwójłomność wewnętzn i indukown Dwójłomność flowodu możemy zpojektowć i wpowdzić w pocesie wyciągni flowodu mówimy wówczs o dwójłomności wewnętznej flowodu lub o flowodzie pzenoszącym polyzcję. Wyóżnimy: dwójłomność ksztłtu (nizotopi dzeni), dwójłomność npężeń (nizotopi npężeń), dwójłomność pofilu (symeti ozkłdu współczynnik złmni). Po wykonniu flowodu możemy ównież wpowdzić (zindukowć) nizotopię optyczną dzeni pzez oddziływnie sił zewnętznych n flowód, np.: zginnie, skęcnie, ścisknie, oddziływnie pol elektycznego, mgnetycznego, tempetuy. Mówimy wówczs o dwójłomności indukownej. Pzy czym dwójłomność indukowć możemy zówno w odniesieniu do flowodów symetycznych, jk i z dwójłomnością wewnętzną.

38 Metody indukowni dwójłomności

39 Świtłowody utzymujące stn polyzcji