PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.

Transkrypt

1 PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/06 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zsdy ocenini ozwiązń zdń Copyight by Now E Sp. z o.o.

2 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi meytoycznie popwne i spełnijące wunki zdni. Zdnie. (0 ) Wymgni ogólne Wymgni szczegółowe Popwn odp. ( p.) II. Wykozystnie i intepetownie epezentcji..9. Równni i nieówności. Zdjący ozwiązuje ównni i nieówności z wtością bezwzględną, o poziomie tudności nie wyższym, niż: x + -, x + + x - >. A Zdnie. (0 ) II. Wykozystnie i intepetownie epezentcji... Ciągi. Zdjący wyzncz wyzy ciągu okeślonego wzoem ekuencyjnym. POZIOM PODSTAWOWY.. Liczby zeczywiste. Zdjący oblicz potęgi o wykłdnikch wymienych i stosuje pw dziłń n potęgch o wykłdnikch wymienych... Ciągi. Zdjący stosuje wzó n n-ty wyz i n sumę n początkowych wyzów ciągu geometycznego. C Zdnie. (0 ) I. Wykozystnie i twozenie infomcji... Równni i nieówności. Zdjący stosuje twiedzenie o piewistkch wymienych wielominu o współczynnikch cłkowitych. D Zdnie. (0 ) II. Wykozystnie i intepetownie epezentcji... Liczby zeczywiste. Zdjący stosuje w obliczenich wzó n logytm potęgi oz wzó n zminę podstwy logytmu. C Zdnie. (0 ) III. Modelownie mtemtyczne. 0.. Elementy sttystyki opisowej. Teoi pwdopodobieństw i kombintoyk. Zdjący wykozystuje wzoy n liczbę pemutcji, kombincji, wicji i wicji z powtózenimi do zliczni obiektów w bdziej złożonych sytucjch kombintoycznych. B z

3 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Zdnie 6. (0 ) II. Wykozystnie i intepetownie epezentcji... Ciągi. Zdjący oblicz gnice ciągów, kozystjąc z gnic ciągów typu n, n oz z twiedzeń o dziłnich n gnicch ciągów. Odpowiedź Schemt ocenini Zdjący otzymuje pkt gdy popwnie zkoduje cyfy:,,. Uwg: Ocenie podleg tylko zkodown odpowiedź. Zdnie 7. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii... Ciągi. Zdjący ozpoznje szeegi geometyczne zbieżne i oblicz ich sumy. Pzykłdowe ozwiązni I sposób Pzyjmijmy oznczenie: P n - pole n-tego kwdtu. Zuwżmy, że kżdy nstępny kwdt jest podobny do popzedniego w skli k, więc stosunek pól kżdych dwóch kolejnych kwdtów P n+ jest stły i ówny P ` n j 9. Pole obszu zznczonego koloem cznym możemy obliczyć nstępująco: P P - P+ P- P+... Jest to szeeg geometyczny zbieżny, w któym P ^ h 7 oz q - 9. P 7 Ztem P - q Schemt ocenini Zdjący otzymuje pkt gdy obliczy pole piewszego kwdtu P 7 i zuwży, że pole kżdego nstępnego kwdtu stnowi 9 pol kwdtu popzedniego. Zdjący otzymuje pkt gdy obliczy pole obszu zznczonego koloem cznym P P - P+ P- P+ f 8. II sposób Pzyjmijmy oznczenie: P n - pole n-tego cznego sześciokąt. Wtedy P PABCCBA ^ h - ` $ j 6. Zuwżmy, że kżdy nstępny sześciokąt cznego kolou jest podobny do popzedniego w skli 6 k 9, więc ich pol twozą nieskończony ciąg geometyczny o ilozie q ` 9 j 8. Ztem pole z

4 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą obszu zznczonego koloem cznym możemy obliczyć nstępująco: P P + P + P + P Jest to szeeg geometyczny zbieżny, w któym P 6 oz q 8. P 6 Ztem P - q Schemt ocenini Zdjący otzymuje pkt gdy obliczy pole piewszego cznego sześciokąt P 6 i zuwży, że pole kżdego nstępnego 6 cznego sześciokąt stnowi 8 pol popzedniego. Zdjący otzymuje pkt gdy obliczy pole obszu zznczonego koloem cznym P 8. Zdnie 8. (0 ) V. Rozumownie i gumentcj. Pzykłdowe ozwiązni I sposób 6.. Tygonometi. Zdjący stosuje wzoy n sinus i cosinus sumy i óżnicy kątów, sumę i óżnicę sinusów i cosinusów kątów. 7.. Plnimeti. Zdjący znjduje związki miowe w figuch płskich z zstosowniem twiedzeni sinusów i twiedzeni cosinusów. C D A α α B Zuwżmy, że BABC Z twiedzeni sinusów w tójkącie DAB otzymujemy: AD BD sin^90 - h sin Stąd: $ AD sin cos cos cos cos sin sin ^ + h - sin sincos cos^cos- sin h -sin sin AD sin cos - sin AD co kończy dowód. ^- sin h sin Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp Zdjący zstosuje twiedzenie sinusów w tójkącie DAB i zpisze ówność pkt AD BD. sin^90 - h sin z

5 Pokonnie zsdniczych tudności zdni Póbny egzmin mtulny z Nową Eą pkt Zdjący zstosuje wzoy n cosinus sumy kątów, sinus i cosinus podwojonego kąt i zpisze np. -sin -sin ówność AD sin. Rozwiąznie pełne pkt ^- sin h Zdjący pzeksztłci wyżenie do postci AD sin. II sposób C D A α α B Kozystmy z funkcji tngens w tójkątch postokątnych CAD i CAB: CD tg, stąd CD CA $ tg CA BC tg, stąd BC CA $ tg CA BD BC - CD CA $ ^tg-tgh Pzeksztłcmy wyżenie sin sin sin$ cos- sin$ cos tg- tg cos - cos cos$ cos. Stosujemy wzó sin^- bh sin$ cos- sin$ cos i upszczmy dlej powyższe wyżenie: sin cos tg - tg $ cos cos sin Wcmy do odcink BD: BD CA $ ^tg- tgh CA $ cos sin Stąd cos CA $ sin Wyznczmy tez długość odcink CD: cos sin cos CD CA $ tg $ sin $ cos $ cos Kozystmy z twiedzeni Pitgos w tójkącie CAD: cos cos AD CA CD + + k sin cos sin cos Dl kąt ostego wtości funkcji tygonometycznych są dodtnie, więc: $ cos $ cos cos cos cos sin sin AD sincos sincos ^ + h - sincos sincos cos^cos - sin h -sin sin AD sin cos - sin ^- sin h AD co kończy dowód. sin Zmist kozystć z twiedzeni Pitgos, możn w tójkącie CAD zstosowć definicję sinus: CD AD sin cos sin cos $ cos cos sin AD ^ - h ^ ^ - h- h cossin sin z

6 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą AD ^- sin h sin Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący pzeksztłci wyżenie tg- tg cos sin cos i wyznczy odcinek CA $ sin. Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący zstosuje twiedzenie Pitgos lub definicję sinus oz wzoy n cosinus sumy kątów, -sin sin sinus i cosinus podwojonego kąt i zpisze np. ówność AD - sin lub cos AD sin cos $. Rozwiąznie pełne pkt Zdjący pzeksztłci wyżenie do postci AD ^- sin h sin. Zdnie 9. (0 ) V. Rozumownie i gumentcj... Rchunek óżniczkowy. Zdjący znjduje ekstem funkcji wielominowych i wymienych. Pzykłdowe ozwiązni I sposób Wielomin f (x) x 0 - x 6 + jest funkcją ciągłą w zbioze liczb zeczywistych 0 i lim fx () lim x k, wystczy ztem wykzć, że njmniejsz wtość x"! x"! x x wielominu f jest dodtni. Wyznczmy pochodną: fl^xh 0x 9-0x i obliczmy jej miejsc zeowe: 9 fl^xh 0, x - x 0. Stąd: x (x - )0 x 0 lub x x 0 lub x lub x -. Szkicujemy pzybliżony wykes znku pochodnej: f (x) x Wielomin f jest funkcją mlejącą w kżdym z pzedziłów (-, -H oz G0, H i funkcją osnącą w kżdym z pzedziłów G-, 0H oz G, H, więc njmniejszą wtość funkcj osiąg dl x - lub x. f(-) f () - + jest to njmniejsz wtość wielominu, bo lim fx ^ h. Njmniejsz x "! wtość jest dodtni, ztem wielomin nie m piewistków zeczywistych, co kończy dowód. 6 z

7 Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp Zdjący wyznczy funkcję pochodną: f'(x) 0x 9 0x i obliczy jej miejsc zeowe: x d {-, 0, }. Pokonnie zsdniczych tudności zdni Póbny egzmin mtulny z Nową Eą pkt pkt Zdjący zbd znk pochodnej i ustli gumenty, dl któych wielomin może osiągnąć wtość njmniejszą. Rozwiąznie pełne pkt Zdjący obliczy wtość njmniejszą i pzez fkt, że jest on dodtni, udowodni pwdziwość tezy. II sposób Kozystmy z twiedzeni Bézout. Liczby i - są piewistkmi wielominu x 0 - x 6 +, ztem otzymujemy: x 0 - x 6 + x 0 - x ^x - h^x 8 + x 6 -x -x - h +. I dlej: ^x - h^x 8 + x 6 -x -x - h+ ^x - h ^x 6 + 6x + x + h + H 0, bo pzyste potęgi liczb zeczywistych są nieujemne. Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp Zdjący zuwży, że f(x) jest funkcją pzystą i wystczy zjmowć się tylko liczbmi x H 0. pkt Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący zpisze ówność x 0 - x 6 + x 0 - x (x - )(x 8 + x 6 - x - x - ) + Rozwiąznie pełne pkt Zdjący obliczy wtość njmniejszą funkcji i pzez fkt, że jest on dodtni, udowodni pwdziwość tezy. Zdnie 0. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii. 6. Tygonometi. Zdjący: ) stosuje wzoy n sinus i cosinus sumy i óżnicy kątów, sumę i óżnicę sinusów i cosinusów kątów; 6) ozwiązuje ównni i nieówności tygonometyczne typu sinx, sin x+ cosx, sin x+ cosx, cos x. Pzykłdowe ozwiązni I sposób W ównniu mmy funkcję tngens, zkłdmy więc, że x Y + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Nstępnie pzeksztłcmy ównnie: sin sin cos cos x x x x cos + x 0 sin x (cos x + cos x) 0 Stosujemy wzó n sumę cosinusów i zpisujemy ównnie w postci: sin x. cos x. cos x 0 7 z

8 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Jest ono ównowżne ltentywie ównń: sin x 0 lub cos x 0 lub cos x 0 x k x + k x + k- spzeczne z złożeniem x + k Ztem wszystkie liczby zeczywiste x ównież możemy zpisć w postci x k lub x + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Altentywne ozwiąznie ównni sinx (cosx + cosx) 0: sinx 0 lub cosx + cosx 0 cos x cosx cos (x + ), więc lbo x x + + k dl pewnej liczby cłkowitej k, lbo x (x + ) + k dl pewnej liczby cłkowitej k, co powdzi do wyniku otzymnego powyżej. II sposób W ównniu mmy funkcję tngens, zkłdmy więc, że x Y + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Pzeksztłcmy ównnie do postci: sinx cosx + sinx cosx 0 Kozystmy ze wzou sincos ^sin^+ bh+ sin^-bhh i zpisujemy ównnie: ^sinx+ sin^- xhh + sin x 0 sin x - sin x + sin x 0 Otzymujemy ównnie: sinx 0, czyli x k, skąd x k. Wśód uzysknych ozwiązń znjdują się te, któe nie spełniją złożeni, ztem osttecznie x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą i k + n dl n d C. III sposób Zkłdmy, że x Y + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Pzeksztłcmy ównnie do postci: sinxcosx + sinxcosx 0 Zuwżmy, że cosx cos^x+ xh cosxcosx- sinxsinx cosx^cosx-sin xh cosx cosx^- sin xh Po podstwieniu do ównni otzymujemy: sinxcosx^- sin xh + sinxcosx 0 sinxcosx^- sin x + h 0 8 z

9 sin x 0 lub cos x 0 lub sin x x k x + k sin x lub sin x spzeczne z zł. x + k Ztem wszystkie liczby zeczywiste x spełnijące ównnie możemy zpisć w postci x k lub x + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Schemt ocenini tzech sposobów Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni pkt Zdjący zpisze złożenie, że x Y + k i pzeksztłci ównnie do postci sin x cos x + sin x cos x 0 Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący pzeksztłci ównnie do postci sinx$ cos x$ cos x 0 i ozwiąże je: sin x 0 lub cos x 0 lub cos x 0 lbo sin x 0 lbo sin x cos x (- sin x ) 0 i ozwiąże je: sin x 0 lub cos x 0 lub sin x Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący pod ozwiązni otzymnych postych ównń: x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą (lub w innej ównowżnej postci). Rozwiąznie pełne pkt Zdjący uwzględni złożenie i zpisze wszystkie ozwiązni ównni: x k lub x + k, gdzie k jest liczbą cłkowitą. Uwgi. Jeżeli zdjący nie zpisze złożeni x Y + k i w ezultcie pod ozwiązni: x k, gdzie k jest liczbą cłkowitą (lub w innej ównowżnej postci), to otzymuje punkty.. Jeżeli zdjący pzeksztłci ównnie do postci sinx cosx + sinx cosx 0, nstępnie podzieli je obustonnie pzez sinx bez złożeni, że sinx 0 i popwnie ozwiąże ównnie cosx + cosx 0, to otzymuje punkt.. Jeżeli zdjący pzeksztłci ównnie do postci sinx cosx + sinx cosx 0, nstępnie podzieli je obustonnie pzez sinx z złożeniem, że sinx! 0, popwnie ozwiąże ównnie cosx + cosx 0, le nie uwzględni złożeni x Y + k oz nie ozptzy pzypdku sinx 0, to otzymuje punkty.. Jeżeli zdjący pzeksztłci ównnie do postci sinx cosx + sinx cosx 0, nstępnie podzieli je obustonnie pzez sinx z złożeniem, że sin x 0, popwnie ozwiąże ównnie cosx + cosx 0, uwzględnijąc złożenie x Y + k, le nie ozptzy pzypdku sinx 0, to otzymuje punkty.. Jeżeli zdjący pod tylko kilk ozwiązń ównni (np. z pzedziłu G0, H lub nie uwzględni ich okesowego powtzni się), to otzymuje punkt. - 9 z

10 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Zdnie. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii... Rchunek óżniczkowy. Zdjący kozyst z geometycznej i fizycznej intepetcji pochodnej. Pzykłdowe ozwiązni I sposób Współczynnik kieunkowy postej y x + b jest ówny tngensowi kąt nchyleni postej do osi Ox. Ztem tg. Współczynnik kieunkowy stycznej jest ówny pochodnej funkcji w punkcie styczności P(x 0, f(x 0 )): f'(x 0 ). Obliczmy pochodną funkcji: fl x + x x x l ^ h ` - x j, Df Df R \ - x - l ", i zpisujemy ównnie: ^ h ^ xh ^ - x h 0 ^x - h 0 x 0 - lub x x 0 lub x 0 - f(x 0 ) - f(x 0 ) Istnieją ztem dwie styczne do wykesu funkcji f w punktch P (, -) oz P (-, ) twozące z osią Ox kąt. Wyznczmy ównni stycznych, kozystjąc ze wzou y - f(x 0 ) f'(x 0 )(x - x 0 ): y + x - lub y - x +, y x - 6 lub y x +. Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni pkt Zdjący obliczy współczynnik kieunkowy postej: tg i wyznczy funkcję pochodną fl^xh ^ - xh Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący ułoży ównnie. ^ - xh Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący wyznczy punkty styczności: P (, -) oz P (-, ). Rozwiąznie pełne pkt Zdjący pod ównni stycznych: y x - 6, y x +. II sposób Współczynnik kieunkowy postej y x + b jest ówny tngensowi kąt nchyleni postej do osi Ox. Ztem tg, czyli ównnie stycznej możn zpisć w postci y x + b. x + -^x -h - Zuwżmy, że fx ^ - h - x x - x - -, gdzie x!. 0 z

11 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą y x Wykesem funkcji f jest hipebol, styczn do hipeboli m z nią dokłdnie jeden punkt wspólny, któego współzędne są ozwiązniem ukłdu ównń: y x+ b * x + y - x x + - x x + b x + bx - b + 0 Ukłd ównń m jedno ozwiąznie (tzn. post z hipebolą m dokłdnie jeden punkt wspólny), gdy wyóżnik otzymnego ównni kwdtowego jest ówny zeo. D 0 b -. (-b + ) 0 b + b - 0 b -6 lub b Są ztem dwie styczne spełnijące wunki zdni: y x - 6, y x +. Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni pkt y x+ b Zdjący obliczy współczynnik kieunkowy postej: tg i zpisze ukłd ównń * x +. y - x Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący wypowdzi z ukłdu ównnie kwdtowe z jedną niewidomą i pmetem b, np. x + bx - b + 0. Pokonnie zsdniczych tudności zdni Zdjący zpisze wunek D 0 i obliczy wtości pmetów b, dl któych jest on spełniony: b -6 lub b. Rozwiąznie pełne Zdjący pod ównni stycznych: y x - 6, y x +. pkt pkt z

12 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Zdnie. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii. 0.. Elementy sttystyki opisowej. Teoi pwdopodobieństw i kombintoyk. Zdjący wykozystuje wzoy n liczbę pemutcji, kombincji, wicji i wicji z powtózenimi do zliczni obiektów w bdziej złożonych sytucjch kombintoycznych. Pzykłdowe ozwiąznie Zdzenimi elementnymi są wszystkie dwuelementowe podzbioy zbiou {,,,, n}, czyli kombincje. Ztem liczb wszystkich możliwych wyników doświdczeni losowego jest ówn: n n! n$ ^n-h $ ^n-h! n$ ^n - h X k! $ ^n - h! $ ^n - h! Niech A ozncz zdzenie, że wylosowno dwie liczby óżniące się co njmniej o tzy. Łtwiej wskzć wyniki, któe nie spzyjją zdzeniu A, dltego ozwżmy zdzenie pzeciwne: A' wylosowno dwie liczby óżniące się o mniej niż tzy. Zdzenie A' jest sumą dwóch wykluczjących się zdzeń: B - wylosowno dwie liczby óżniące się o jeden; B - wylosowno dwie liczby óżniące się o dw. Zuwżmy, że B {{, }, {, }, {, },, {n -, n}}, więc B n -, B {{, },{, },{, },,{n -,n}}, więc B n -. Ztem A' B + B n -, czyli z klsycznej definicji pwdopodobieństw: Al ^ n - h PA ^ lh X nn ^ - h Skoo P^Ah 7, to P^Alh - PA ^ h. Ukłdmy ównnie: n - 6 n n - n - n 8n - 7 n - n któe spełniją dwie liczby: n, n 9. Liczb n nie jest liczbą cłkowitą, ztem dl n 9 7 pwdopodobieństwo wylosowni dwóch liczb, któe óżnią się co njmniej o tzy, jest ówne. Schemt ocenini Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni Zdjący: n zpisze liczbę wszystkich możliwych zdzeń elementnych X k lbo opisze zdzeni elementne spzyjjące zdzeniu A'. Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp Zdjący pod liczbę zdzeń elementnych spzyjjących zdzeniu A': A' n -. pkt pkt z

13 Pokonnie zsdniczych tudności zdni Póbny egzmin mtulny z Nową Eą pkt n n$ ^n- h Zdjący obliczy liczbę wszystkich możliwych zdzeń elementnych X k i zpisze Al ^ n - h pwdopodobieństwo P^Alh. X nn ^ - h Rozwiąznie pełne pkt n - 6 Zdjący ozwiąże ównnie n n, odzuci ozwiąznie spzeczne z wunkmi zdni - i pod odpowiedź: n 9. Zdnie. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii. 7. Plnimeti. Zdjący: ) stosuje twiedzeni chkteyzujące czwookąty wpisne w okąg i czwookąty opisne n okęgu; ) znjduje związki miowe w figuch płskich z zstosowniem twiedzeni sinusów i twiedzeni cosinusów. POZIOM PODSTAWOWY 7.. Plnimeti. Zdjący kozyst z włsności funkcji tygonometycznych w łtwych obliczenich geometycznych, w tym ze wzou n pole tójkąt ostokątnego o dnych dwóch bokch i kącie między nimi. Pzykłdowe ozwiązni I sposób A α c α D F h S E C c B Dne: AS BS 0 cos Śodek okęgu wpisnego w wielokąt jest punktem pzecięci dwusiecznych jego kątów wewnętznych, stąd BSAB BDAB. Pondto tójkąt ABS jest ównomienny, więc BASB Z twiedzeni cosinusów w tójkącie ABS otzymujemy: AB cos(80 - ) AB $ cos $ 0 AB 8 Z twiedzeni Pitgos w tójkącie AES obliczmy pomień okęgu wpisnego w tpez: 0 - ^ h 0, więc wysokość tpezu h. 6 Z jedynki tygonometycznej sin - cos, czyli sin. W tójkącie postokątnym AFD: h sin c, stąd c $. W ten tpez możn wpisć okąg, więc AB + CD c 0, ztem pole tpezu: PABCD ^ AB + CD h $ h $ 00 z

14 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą II sposób A α c α D F h S E C c B Dne: AS BS 0 cos Śodek okęgu wpisnego w wielokąt jest punktem pzecięci dwusiecznych jego kątów wewnętznych, stąd BSAB BDAB. Ze wzou n cosinus podwojonego kąt otzymujemy: cos -sin -sin sin W tójkącie postokątnym AES: sin 0 0 Stąd, więc wysokość tpezu h. Z twiedzeni Pitgos w tójkącie AES: AE 0 - ^ h, więc AB 8. 6 Z jedynki tygonometycznej sin - cos, czyli sin, stąd tg. W tójkącie postokątnym AFD: h tg AF AF Z włsności tpezu ównomiennego: CD AB - $ AF 8-6 Ztem pole tpezu: PABCD ^ AB + CD h $ h $ 00 h AF z

15 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą III sposób A α c α D F h S E C c B Dne: AS BS 0 cos Pzyjmijmy oznczeni: AB, CD b, AD BC c, DF h, AF x. W tójkącie postokątnym AFD: x cos c x c W ten tpez możn wpisć okąg, więc: + b c b + x c b+ c c b c Stąd AE x+ b c. Z twiedzeni Pitgos w tójkącie AFD: h c - x c - ` cj c Stąd ES h c. Z twiedzeni Pitgos w tójkącie AES: AE + ES AS ` cj + ` cj 00 c Pondto + b c 0, h c, więc pole tpezu: PABCD ^+ bh $ h $ 00 Schemt ocenini tzech sposobów Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni Zdjący: zstosuje twiedzenie cosinusów w tójkącie ABS: AB $ 0 $ cos^80 -h lbo zstosuje wzó n cosinus podwojonego kąt i obliczy sin pkt z

16 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą lbo zstosuje włsność czwookąt opisnego n okęgu i zpisze ówność b + x c lub wyznczy wysokość tpezu w zleżności od długości mieni h c. Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący: obliczy długość dolnej podstwy: AB 8 lub wysokość tpezu: h lbo zpisze ówność b c. Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący: obliczy długość dolnej podstwy: AB 8 lub wysokość tpezu: h lbo zpisze obie ówności: b c i h c. Rozwiąznie zdni do końc, lecz z ustekmi, któe jednk nie pzekeślją popwności ozwiązni (np. błędy chunkowe) pkt Zdjący: obliczy długość mieni tpezu: c i sumę długości jego podstw: AB + CD c 0 lbo obliczy długość gónej postwy tpezu: CD i popzestnie n tym lub ozwiąże zdnie do końc z błędem chunkowym (nwet n wcześniejszych etpch ozwiązni). Rozwiąznie pełne pkt Zdjący wyznczy pole tpezu: P ABCD 00. Zdnie. (0 ) IV. Użycie i twozenie sttegii. 7.. Plnimeti. Zdjący znjduje obzy niektóych figu geometycznych w jednokłdności (odcink, tójkąt, czwookąt itp.). 8. Geometi n płszczyźnie ktezjńskiej. Zdjący: ) posługuje się ównniem okęgu ^x- h + ^y- bh oz opisuje koł z pomocą nieówności; 7) oblicz współzędne oz długość wekto, dodje i odejmuje wektoy oz mnoży je pzez liczbę. Intepetuje geometycznie dziłni n wektoch. POZIOM PODSTAWOWY 8. Geometi n płszczyźnie ktezjńskiej. Zdjący: ) wyzncz współzędne śodk odcink; 6) oblicz odległość dwóch punktów. 6 z

17 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Pzykłdowe ozwiązni I sposób y 6 A(, 6) B(, ) O(0, ) B S A (, b) x + y x Punkt A' (, b) leży n postej x + y + 0 0, więc + b + 0 0, stąd -b - 0, ztem współzędne punktu A' (-b - 0, b). Z definicji jednokłdności: OAl k $ OA 6-b-0, k $ Z ówności wektoów otzymujemy ukłd ównń: -b- 0 k ' b- k k - któego ozwiązniem jest p '. b - Ztem skl jednokłdności k - oz A' (-,-). Z definicji jednokłdności wyznczmy tez współzędne punktu B' (b, b ): OBl k $ OB 6b, b - $ b 8 ( b B' (8, ) Ze wzou n współzędne śodk odcink ustlmy współzędne śodk okęgu, któego śednicą jest odcinek A'B': S' (, -) oz ze wzou n odległość dwóch punktów obliczmy pomień tego okęgu: ' SB ' ' ^8- h + ^+ h 0, więc ównnie tego okęgu: ^x- h + ^y+ h 0. 7 z

18 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą II sposób B(, ) S y 6 O(0, ) A(, 6) B S (, b ) A (, b) x + y x Z konstukcji obzu punktu w jednokłdności wynik, że punkt A' leży n postej AO, jest ztem punktem pzecięci tej postej z postą x + y Wyznczmy ównnie postej AO: i b, więc y x +. Współzędne punktu A' obliczmy, ozwiązując ukłd y x ównń: + * x+ y+ 0 0 x - ( y - A' (-, -) Z definicji jednokłdności wyznczmy sklę k: OA' k$ OA [-, -6] k [, ] k - Pzyjmujemy oznczeni: S śodek okęgu o śednicy AB, pomień tego okęgu. Wtedy ze wzou n współzędne śodk odcink wyznczmy S (-, ), ze wzou n odległość dwóch punktów SA ^+ h + ^6- h 0. Niech tez S' (', b') - śodek okęgu o śednicy A'B', ' pomień tego okęgu. Z włsności jednokłdności: ' k $ 0 oz OS' k$ OS [', b' - ] - [-, ] ', b' -, czyli S' (,-) Ztem ównnie okęgu o śednicy A'B': (x- ) + (y + ) 0. Schemt ocenini obu sposobów Rozwiąznie, w któym postęp jest niewielki, le konieczny n dodze do pełnego ozwiązni pkt wykozyst fkt, że punkt A' nleży do postej x + y + 0 0, i zpisze jego współzędne z jedną niewidomą, np. A' (-b-0, b) 8 z

19 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą lbo wyznczy współzędne śodk i pomień okęgu o śednicy AB: S (-, ), 0 lub zpisze y x ukłd ównń, z któego możn obliczyć współzędne punktu A': + *. x+ y+ 0 0 Rozwiąznie, w któym jest istotny postęp pkt Zdjący: wykozyst definicję jednokłdności i z ówności wektoów zpisze ukłd, z któego możn obliczyć -b- 0 k sklę jednokłdności i współzędne punktu A', np. ' b- k lbo y x ozwiąże ukłd ównń + * i pod współzędne punktu A' (-,-). x+ y+ 0 0 Pokonnie zsdniczych tudności zdni pkt Zdjący wyznczy współzędne śodk i pomień okęgu o śednicy AB: S (-, ), 0 i obliczy sklę jednokłdności k -. Rozwiąznie zdni do końc, lecz z ustekmi, któe jednk nie pzekeślją popwności ozwiązni (np. błędy chunkowe) pkt Zdjący obliczy współzędne śodk okęgu, któego śednicą jest odcinek A'B': S' (, -), oz pomień tego okęgu: ' 0 i popzestnie n tym lub ozwiąże zdnie do końc z błędem chunkowym (nwet n wcześniejszych etpch ozwiązni). Rozwiąznie pełne pkt Zdjący pod ównnie okęgu o śednicy A'B': (x- ) + (y + ) 0. Zdnie. (0 6) IV. Użycie i twozenie sttegii... Wyżeni lgebiczne. Zdjący używ wzoów skóconego mnożeni n ^! bh oz! b.. Równni i nieówności. Zdjący: ) stosuje wzoy Viète'; ) ozwiązuje ównni i nieówności liniowe i kwdtowe z pmetem; ) ozwiązuje ukłdy ównń powdzące do ównń kwdtowych; 7) ozwiązuje łtwe nieówności wielominowe. Pzykłdowe ozwiąznie Współzędne punktów pzecięci postej z pbolą to py liczb spełnijące ukłd ównń: y ^- hx+ + * y x - x x - x+ + 8 ^- hx+ + $ x -x - x + 6x x - 6^ - hx z

20 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Piewistki tego ównni są odciętymi x, x punktów wspólnych postej i pboli. Post z pbolą m dw punkty wspólne, gdy wyóżnik otzymnego ównni kwdtowego jest większy od ze. Ztem: D 0 6^ -h -$ 8 0 : 8 ^ - h 9 + lub - d c-, - m, c +, m Nstępnie kozystmy ze wzoów + b ^+ bh^ - b+ b h oz + b ^+ bh -b i pzeksztłcmy nieówność x + x G 9xx do postci: ^x+ xh^x - xx+ x h G 9xx ^x+ xh^^x+ xh - xx h G 9xx Po zstosowniu wzoów Viète' otzymujemy nieówność z niewidomą : 6^-h^6^-h - $ 8h G 9$ 8 : ^9$ 8h ^-h^^-h - h G ^-h^ h G G 0 Rozkłdmy wielomin n czynniki, wykozystując twiedzenie o piewistkch cłkowitych wielominu o współczynnikch cłkowitych i dzielenie pzez dwumin. Otzymujemy: ^-h^ - + h G 0 Jedynym piewistkiem tego wielominu jest, gdyż wyóżnik czynnik kwdtowego jest ujemny. Poniewż - + H 0, więc nieówność zchodzi dl G. D 0 N koniec wyznczmy iloczyn wunków (. x + x G 9xx Poniewż +, więc dl d c -, - m, c +, post o ównniu y ^- h x+ + pzecin pbolę o ównniu y x - x w dwóch punktch o odciętych x, x tk, że współzędne punktu P ^x, x h spełniją nieówność x + y G 9xy. Schemt ocenini Rozwiąznie zdni skłd się z czteech etpów. y ^- hx+ + Etp I poleg n zpisniu ukłdu ównń * i wypowdzeniu z niego y x - x ównni kwdtowego z niewidomą x i pmetem : x -6^- h x Z popwne ozwiąznie tego etpu zdjący otzymuje punkt. Etp II poleg n ozwiązniu nieówności D 0: d c-, - m, c +, m. Z popwne ozwiąznie tego etpu zdjący otzymuje punkt. Uwg: Jeżeli zdjący zpisze D H 0, to z tę część otzymuje 0 punktów. 0 z

21 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Etp III poleg n ozwiązniu nieówności x + x G 9xx. Z tę część ozwiązni zdjący otzymuje punkty. Podził punktów z tzeci etp ozwiązni jest nstępujący: punkt zdjący otzymuje z zstosownie wzoów skóconego mnożeni i zpisnie nieówności ^x + x h^^x + x h - xxh G 9xx. punkty zdjący otzymuje z zstosownie wzoów Viète' i upoządkownie nieówności z niewidomą do postci G 0. punkty zdjący otzymuje z ozwiąznie nieówności: d ^ -,. Etp IV poleg n wyznczeniu części wspólnej ozwiązń nieówności z etpu dugiego i tzeciego: d c -, - m, c +,. Z popwne ozwiąznie tego etpu zdjący otzymuje punkt. Uwg Z osttni etp punkt może zostć pzyznny tylko wówczs, gdy zdjący popwnie wykon etpy II i III ozwiązni lbo popwnie wykon etp II i popełni błędy w ozwiązniu ównni z etpu III, lbo gdy popełni błędy w etpie II i dobze ozwiąże nieówność z etpu III. Łącznie z popwne ozwiąznie cłego zdni (podnie odpowiedzi) zdjący otzymuje 6 punktów. Zdnie 6. (0 7) III. Modelownie mtemtyczne. 9.. Steeometi. Zdjący okeśl, jką figuą jest dny pzekój gnistosłup lub ostosłup płszczyzną..6. Rchunek óżniczkowy. Zdjący stosuje pochodne do ozwiązywni zgdnień optymlizcyjnych. Pzykłdowe ozwiąznie Pzyjmijmy oznczeni jk n ysunku. S G E K F h C A E D F G B Gnistosłup E'F'G'EFG jest gnistosłupem pwidłowym tójkątnym, gdyż tójkąty ABC i EFG są podobne. Odległość pzekoju EFG od płszczyzny podstwy ostosłup jest ówn wysokości tego gnistosłup. z

22 Tójkąt EFS jest podobny do tójkąt ABS, więc: EF SK AB SD Oznczmy EF, h DK. Ztem: 6 - h 6 $8 8 - h h 6 - Objętość gnistosłup jest okeślon wzoem: V $ h V ^ h $ `6 - j V ^ h ` - j, gdzie D: d ^0, h. Aby zbdć, dl jkiego gumentu objętość jest njwiększ, wyznczmy pochodną funkcji objętości: Obliczmy miejsc zeowe pochodnej: Bdmy znk pochodnej w dziedzinie: Póbny egzmin mtulny z Nową Eą V' ^h $ ^8- h, D' D ^0, h V' ^h 0, ^8- h 0 0, 8 V () V' ^h 0 dl d ^08, h oz V' ^h 0 dl d ^8, h. Ztem objętość V() ośnie w pzedzile ^ 08, i mleje w pzedzile 8h., Wynik stąd, że dl 8 objętość gnistosłup jest njwiększ. Obliczmy jeszcze wysokość tego gnistosłup: 6 h 6-6 Ztem pzekój ostosłup ABCS musi znjdowć się w odległości od jego podstwy. Schemt ocenini Rozwiąznie zdni możn podzielić n tzy etpy. Etp I skłd się z tzech części: ) wybó zmiennej, np. kwędź podstwy gnistosłup, i zpisnie z pomocą tej zmiennej wysokości gnistosłup: h 6 - ; b) zpisnie objętości gnistosłup w zleżności od jednej zmiennej, np. : V^h $ `6 - j; c) okeślenie dziedziny funkcji V: d ^0, h. z

23 Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Zdjący może otzymć mksymlnie po punkcie z elizcję kżdej części tego etpu, pzy czym: jeżeli w piewszej części zdjący popełni dobny błąd chunkowy, któy utudni zncząco dlsze obliczeni, i konsekwentnie pod objętość gnistosłup w zleżności od jednej zmiennej, to otzymuje punkt z elizcję dugiej części; jeżeli w piewszej części zdjący popełni błąd meytoyczny, to otzymuje 0 punktów z piewszą i dugą część tego etpu; z popwne wyznczenie dziedziny funkcji zgodnej z geometycznymi wunkmi zdni zdjący otzymuje punkt niezleżnie od popwności elizcji popzednich części tego etpu. Etp II skłd się z tzech części: ) wyznczenie pochodnej funkcji wielominowej V(): V' ^h $ ^8- h; b) obliczenie miejsc zeowych pochodnej: 0, 8; c) uzsdnienie (np. pzez bdnie monotoniczności funkcji), że funkcj V osiąg wtość njwiększą dl 8. Z popwne ozwiąznie kżdej części tego etpu zdjący otzymuje punkt, o ile popzedni część etpu zostł zelizown bezbłędnie. Etp III 6 Obliczenie wysokości gnistosłup dl 8: h. Z popwne ozwiąznie tego etpu zdjący otzymuje punkt. Łącznie z popwne ozwiąznie cłego zdni zdjący otzymuje 7 punktów. z