Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH"

Katarzyna Dudek
7 lat temu
Przeglądów:

1 Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 1 / 15

2 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH {y t }: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ), gdzie: µ t : warto± oczekiwana, która mo»e by staª lub dana np. modelem VAR Σ t : warunkowa macierz kowariancji, która zale»y od swoich przeszªych realizacji {Σ t p : q = 1, 2,..., Q} oraz od przeszªych relizacji skªadnika losowego {ϵ t p ϵ t p : p = 1, 2,..., P} MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 2 / 15

modelem VAR Σ t : warunkowa macierz kowariancji, która zale»y od swoich przeszªych realizacji {Σ t p : q

3 Klasykacja modeli MGARCH Modele MGARCH mo»na podzieli na trzy kategori, w zale»no±ci od specykacji równania dla wariancji (za Bauwens, Laurent i Rombouts, 2006): 1. Bezpo±rednie uogólnienie jednowymiarowych modeli GARCH (VEC GARCH oraz BEKK) 2. Liniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (GO-GARCH oraz FactorGARCH) 3. Nieliniowe kombinacje jednorównaniowych modeli GARCH (DCC-GARCH) MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 3 / 15

Bezpo±rednie uogólnienie jednowymiarowych modeli GARCH (VEC GARCH oraz BEKK) 2.

4 Model VEC-GARCH Posta modelu VEC-GARCH(1,1) (Bollerslev, Engle i Wooldridge, 1988): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) h t = ω + Ae t 1 + Bh t 1 h t = vech(σ t ) e t = vech(ϵ t ϵ t) gdzie operator vech(σ) oznacza wektor zªo»ony z N(N+1) 2 elementów macierzy Σ znajduj cych si na gªównej przek tnej oraz powy»ej tej przek tnej. MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 4 / 15

gdzie operator vech(σ) oznacza wektor zªo»ony z N(N+1) 2 elementów macierzy Σ znajduj cych

5 Model VEC-GARCH Wady modelu VEC: 1. Du»a liczba parametrów: macierze A i B s wymiarów N(N+1) N(N+1) Skomplikowane restrykcje na ω, A i B gwarantuj ce, aby Σ t speªniaªa warunki macierzy kowariancji. W celu zmniejszenia liczby parametrów, Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988) zaproponowali model DVEC-GARCH (diagonal VEC), w którym macierze A i B s diagonalne, a tym samym: h ij,t = ω ij + a ij ϵ i,t 1 ϵ j,t 1 + b ij h ij,t 1. W modelu DVEC-GARCH pozostaje problem (2). MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 5 / 15

W celu zmniejszenia liczby parametrów, Bollerslev, Engle i Wooldridge (1988) zaproponowali model DVEC-GARCH (diagonal VEC), w

6 Model BEKK-GARCH Posta restrykcji na parametry macierzy ω, A i B modelu VEC-GARCH, które gwarantuj póª-dodatni okre±lono± Σ t, zostaªa zaproponowana przez Engle'a i Kroner (1995) w modelu BEKK-GARCH(1,1) postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) Σ t = ΩΩ + Aϵ t 1 ϵ t 1 A + BH t 1 B, gdzie Ω jest macierz górno-trójk tn, za± A i B s macierzami kwadratowymi o wymiarach N N. MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 6 / 15

BEKK-GARCH(1,1) postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) Σ t = ΩΩ + Aϵ t 1 ϵ t 1 A + BH t 1 B, gdzie Ω

7 Model Factor-GARCH Dla wysokich warto±ci N mo»na stosowa modele, w których zakªada si,»e Σ t jest opisywana przez K N liczb wspólnych czynników. Tego typu modelem jest Factor GARCH(K,1,1) (por. Engle, Ng i Rothschild, 1990): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Λf t + η t, η t N(0, Ω) Ω = diag(ω 2 1, ω 2 2,..., ω 2 N) f t N(0, H t ) H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Kt ) h kt = γ k + α k f 2 k,t 1 + β k h k,t 1 dla k = 1, 2,..., K Σ t = ΛH t Λ + Ω Macierz Λ o wymiarach N K oraz warto± i dla f t warto±ci mo»na wyznaczy np. metod gªównych skªadowych MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 7 / 15

Engle, Ng i Rothschild, 1990): y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Λf t + η t, η t N(0, Ω) Ω = diag(ω 2 1, ω 2 2,.

8 Model GO-GARCH Model GO-GARCH(1,1) (Generalized Orthogonal GARCH, Van der Weide, 2002), który mo»na traktowa jako model Factor GARCH(N,1,1), jest postaci: y t = µ t + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = Zx t, x t N(0, H t ) H t = diag(h 1t, h 2t,..., h Nt ) h it = γ i + α i x 2 i,t 1 + β i h it 1 dla i = 1, 2,..., N Idea modelu: wielowymiarowa macierz kowariancji warunkowej o wymiarze N(N+1) 2 jest zªo»eniem N jednowymiarowych modeli GARCH MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 8 / 15

h 2t,..., h Nt ) h it = γ i + α i x 2 i,t 1 + β i h it 1 dla i = 1, 2,.

9 Model GO-GARCH Nieobserwowalne skªadniki x i,t s wzgl dem siebie niezale»ne o warunkowej wariancji h it oraz jednostkowej wariancji bezwarunkowej E(H t ) = I. Oznacza to,»e: Σ t = ZH t Z oraz E(Σ t ) = ZZ Jak uzyska Z? Macierz bezwarunkowej wariancji Σ = Var(y t ) jest zapisywana jako: Σ = ZZ = (V Λ 1/2 U)(U Λ 1/2 V ), gdzie: V : macierz wektorów wªasnych Σ Λ: diagonalna macierz warto±ci wªasnych Σ U: ortonormalna macierz rotacji MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 9 / 15

Macierz bezwarunkowej wariancji Σ = Var(y t ) jest zapisywana jako: Σ = ZZ = (V Λ 1/2 U)(U Λ 1/2 V ), gdzie: V :

10 GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD > library(gogarch) > z <- gogarch(y, ~garch(1, 1)); summary(z) Odwrotnosc macierzy Z (y = Zx): Modele GARCH(1,2) dla y1 oraz y2 Est. StDev Prob Est. StDev Prob omega alpha beta MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 10 / 15

79 Modele GARCH(1,2) dla y1 oraz y2 Est. StDev Prob Est. StDev Prob omega 0.015 0.010 1.257 0.

11 GO-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD Conditional variance for EUR_PLN Conditional variance for EUR_USD Conditional covariance Conditional correlation MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 11 / 15

4 5 1 2 3 4 5 Conditional covariance Conditional

12 DCC-GARCH Model DCC-GARCH (Dynamic Conditional Correlation, Engle 2002) jest postaci: y t = mu + ϵ t, ϵ t N(0, Σ t ) ϵ t = D t z t, Var(z t ) = P t Σ t = D t P t D t D t = diag( h 1t, h 2t,..., h Nt ) h t = ω + Aϵ t 1 ϵ t 1 + Bh t 1 P t = (Q t I ) 0.5 Q t (Q t I ) 0.5 Q t = (1 α β)q + αz t 1 z t 1 + βq t 1 gdzie P t jest macierz warunkowej korelacji, za± jest iloczynem Hadamarda (element by element) MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 12 / 15

.., h Nt ) h t = ω + Aϵ t 1 ϵ t 1 + Bh t 1 P t = (Q t I ) 0.5 Q t (Q t I ) 0.

13 DCC-GARCH: przykªad > library(ccgarch); library(tseries) > z1 <- garch(y[,1], order = c(1, 1)); z1 <- coef(z1) > z2 <- garch(y[,2], order = c(1, 1)); z2 <- coef(z2) > omega <- c(z1[1], z2[1]); > A <- diag(c(z1[2],z2[2])); B <- diag(c(z1[3],z2[3])) > uncr <- cor(y) # unconditional correlation > dcc.para <- c(0.1,0.1) # alpha i beta > z <- dcc.estimation(inia=omega, inia=a, inib=b, ini.dcc=dcc.para, dvar=y, model="diagonal") > z$out # oszacowania parametrow a1 a2 A11 A22 B11 B22 alpha beta est StDev > z$h # wariancje warunkowe (diagonala D_t) [1,] [2,] [3,] > z$dcc # warunkowe korelacje (macierz P_t) [1,] [2,] [3,] MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 13 / 15

para, dvar=y, model="diagonal") > z$out # oszacowania parametrow a1 a2 A11 A22 B11 B22 alpha beta est. 0.053 1.092 0.089 0.214 0.873 0.000 0.128 0.732 StDev 0.020 0.031 0.043 0.287 0.100 0.228 0.

14 DCC-GARCH: Przyklad dla EUR/PLN oraz EUR/USD Conditional variance for EUR_PLN Conditional variance for EUR_USD Conditional covariance Conditional correlation MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 14 / 15

5 6 7 2 4 6 8 10 Conditional covariance Conditional

15 Literatura: 1. Bauwens, L., Laurent, S. and Rombouts, J. (2006), Multivariate GARCH models: a survey, Journal of Applied Econometrics 21(1): Bollerslev T, Engle R.F., Wooldridge J.M. (1988), A capital asset pricing model with time varying covariances, Journal of Political Economy 96: Engle, R.F. (2002), Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models, Journal of Business and Economic Statistics 20: Engle R., Kroner F.K., (1995), Multivariate simultaneous generalized ARCH, Econometric Theory 11: Engle R., Ng V.K., Rothschild M. (1990). Asset pricing with a factor-arch covariance structure: empirical estimates for treasury bills. Journal of Econometrics 45: Van der Weide, R. (2002), GO-GARCH: A Multivariate Generalized Orthogonal GARCH Model, Journal of Applied Econometrics 17(5): MPGzR (dodatek 2) Modele MGARCH 15 / 15

(2002), Dynamic Conditional Correlation: A Simple Class of Multivariate Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity Models, Journal of Business and Economic Statistics 20: 339350. 4.

Podobne dokumenty

Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch

Dodatek 2. Wielowymiarowe modele GARCH model GoGarch MODELOWANIE POLSKIEJ GOSPODARKI z R MPGzR (dodatek 2) Model GoGARCH 1 / 14 Ogólna specykacja modelu MGARCH Ogólna posta dla N-wymiarowego procesu MGARCH