Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie"

Transkrypt

1 Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 25/8 el: (7) fax: (7) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

2 . Sygnały jako funkcje uogólnione Skok jednoskowy Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja Różniczkowanie dysrybucyjne Działania z udziałem impulsu Diraca Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu Operacja splou Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

3 Liniowość obwodu elekrycznego Obwód liniowy spełnia zasadę addyywności i zasadę homogeniczności (proporcjonalności, jednorodności) w sosunku do wielkości wejściowych i wyjściowych. Zasada addyywności: Zasada homogeniczności (proporcjonalności): ( ) ( ) i ( ) ( ) () + () () + () x y x2 y2 x x y y 2 2 Liniowy ( ) y( ) () ay() x ax Liniowy Sacjonarność obwodu elekrycznego Obwód nazywamy sacjonarnym, jeśli jego paramery nie ulegają zmianie w czasie, a zaem odpowiedź nie zależy od chwili pojawienia się wymuszenia. Obwód sacjonarny jes inwarianny względem przyjęej chwili począkowej. Sacjonarny x () y ( ) x ( + τ ) y ( + τ ) Przyczynowość obwodu elekrycznego Obwód nazywamy przyczynowym, jeśli przy braku wymuszenia nie wykazuje odpowiedzi. W obwodzie przyczynowym skuek(odpowiedź) nie może pojawić się wcześniej od przyczyny (wymuszenia). Każdy obwód liniowy pasywny musi być przyczynowy. Przyczynowy ( ) y ( ) x = = 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

4 Bieżące podsumowanie w zakresie analizy sanu nieusalonego: Doychczas w analizie sanu nieusalonego wykorzysywaliśmy meodę klasyczną. Załączanie na napięcie sałe czy eż sinusoidalne ego samego obwodu było dla nas osobnym zagadnieniem, kóre rozwiązywaliśmy od począku do końca zgodnie z prawidłami meody klasycznej. Musimy eż pamięać, że dla ego rodzaju wymuszeń mamy szeroką wiedzę na ema wyznaczania składowej usalonej, kóra jes niezbędną dla określenia końcowej odpowiedzi. Pyania i problemy nasępne: Czy dla obwodów liniowych sacjonarnych (SLS czy LTI) musimy za każdym razem przeprowadzać pełną analizę sanu nieusalonego jeśli zmienimy np. rodzaj wymuszenia? Czy nie można danej srukurze obwodu przyporządkować jednoznacznej charakerysyki (lub charakerysyk) na podsawie, kórej da się określić szukaną odpowiedź np. dla dowolnego wymuszenia? Znaczenie akiej charakerysyki obwodu, byłoby ym większe, jeśli wymuszeniem byłby dowolny sygnał, wykraczający poza sandardy sygnału sałego bądź sinusoidalnego. Sprecyzujmy zagadnienie nasępująco: charakerysyki obwodu SLS w relacjach wejście wyjście, odpowiedź obwodu na dowolne wymuszenie, przejście sygnału przez obwód. x ( ) y ( ) WE SLS WY x ( ) np. e () e ( ) y ( ) np. u ( ) i ( ) C L dowolna relacja prądowonapięciowa 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

5 . Sygnały jako funkcje uogólnione Zanim spróbujemy rozwiązać posawiony problem relacji pomiędzy wejściem a wyjściem obwodu SLS musimy poszerzyć definicję funkcji, kóre służyć będą do opisu sygnałów. Zdążyliśmy się już zorienować, że w sanach nieusalonych nieciągłości ypu skok w sygnałach napięć czy prądów nie są niczym nadzwyczajnym, np. napięcie na cewce czy prąd płynący przez kondensaor, czy eż relacje napięciowoprądowe na rezysorze, mogą zmieniać się skokowo. Nawe, w szczególnych idealnych przypadkach, sygnały zachowawcze j. prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensaorze, mogą uracić swoją ciągłość. Wykracza o poza dziedzinę funkcji ciągłych, ponieważ nie możemy określić warości funkcji punk po punkcie, jak o ma miejsce w przypadku zwyczajnych funkcji. Poznajmy zaem dwie dodakowe funkcje, kóre w owarzyswie funkcji ciągłych, pozwolą w pełni opisać sygnały. Jes o ym bardziej isone, kiedy należy opisać analiycznie (maemaycznie wzorem) sygnał wejściowy i poddać go operacji przejścia przez obwód SLS.. Skok jednoskowy Funkcją Heaviside'a (skokiem jednoskowym, funkcją skoku jednoskowego) nazywamy funkcję () określoną nasępująco: () dla > = dla < ( ) 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

6 W ogólnym przypadku skok jednoskowy może być przesunięy na osi czasu o warość. Sosujemy wówczas zapis: dla > = dla < ( ) Wykorzysując skok jednoskowy można w prosy sposób zapisywać sygnały, kóre posiadają niejednorodny opis w różnych przedziałach czasowych. W ym celu określa się funkcję spełniającą rolę okna czasowego w(): w() ( ) = ( ) ( ) w 2 (- ) 2 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

7 Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów: 3 2 x c () a x a () 3 () = ( ) x e () ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 ( 2) ( 4) + ( 4) ( 5) x = c,9999 x b () ( - e -2 ) e -3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) xb = e ( ) ( ) e 2 4 x d () ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 6) ( 2) ( 4) + 2 ( 4) ( 5) xd = Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

8 Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów okresowych: Sygnał okresowy możemy zapisać definiując jeden okres xt ( ) jako -T x() A T 2T Sygnał piłokszałny A x x kt kt kt kt T () = ( ) = ( ) ( ) ( ) T k= k= x() () = ( ) x x kt A k= x T () A x T T T () = () ( ) Sygnał sinusoidalny wyprosowany dwupołówkowo (dwufalowo) π 2 sin( 2) π [ / ], 2 π π [ ] ω = 2rad s T= = s ω 3 2 π () = sin ( ) ( ) ( + ) 3 π π π 2 2 ( 2) π x ( ) = sin( 2) ( ) ( ) T 2 x 2 k k k k= x T () T π 2 T [s] 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

9 .2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja Kolejną funkcją wykraczająca poza definicje funkcji ciągłych, jes impuls Diraca (dysrybucja). Funkcja impulsowa jes ypowym przedsawicielem funkcji uogólnionych. Definicja impulsu Diraca ma swoje źródła w aproksymacji skoku jednoskowego i próbie określenia pochodnej ze skoku jednoskowego. (,ε ) ( ε > ) Funkcję skoku jednoskowego można rozparywać jako granicę funkcji z paramerem : ( ) = ( ε ) lim, Przykładowe aproksymacje skoku jednoskowego przedsawia poniższy rysunek: (,ε) -5 ε =..5 ε =.5 (, ε ) 2 π arcg = + ε 5 ε = ε + ε (,ε) ε 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

10 Różniczkując względem czasu dowolną funkcję aproksymującą skok jednoskowy,ε orzymujemy przebiegi posiadające kszał impulsu, pod kórym pole powierzchni (niezależnie od ε ) równe jes jeden. Teraz spróbujemy określić pochodne funkcji aproksymującej oraz wpływ parameru ε na ich kszał. Niech: ε =. ε =.2 3 δ (,ε) ε = -3 3 δ = (, ε ) (, ε ) ( ), arcg ε δ ε = + = π ε π ε + δ, ε spełniają granicznie definicję impulsu Diraca Funkcje ( ) ε dla = δ () = lim δ (, ε ) = ε + dla δ (,ε) ε δ 2ε 2 ε ( ) (, ε ) = ( + ε) ( ε) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

11 Impuls Diraca sanowi więc dysrybucyjną pochodną skoku jednoskowego. Przypomnijmy, pochodna w sensie zwykłym, w punkcie nieciągłości I-go rodzaju, jakim jes skok jednoskowy, nie isnieje. δ d () = lim (, ε) = lim (, ε) = () ε + ε + d Jednocześnie ak zdefiniowana funkcja impulsu Diraca, wciąż zachowuje właściwość: () δ d = Podobnie jak skok jednoskowy impuls Diraca może być przesunięy na osi czasu. Spełnia wówczas analogiczne: dla = δ ( ) =, ( ) d = dla δ Wzajemne relacje pomiędzy skokiem jednoskowym a impulsem Diraca podsumowują zależności: d d δ() = () ; () = δ ( τ ) dτ oraz δ ( ) = ( ) ( ) = δ ( ) -3 x() -4δ(+3) 2 5δ(-2) () = δ ( + ) + δ ( ) x d ; τ dτ d Impuls Diraca przedsawia się na wykresach symbolicznie za pomocą odcinka zakończonego groem. Warość impulsu np. -4 oznacza, że "pole" pod impulsem wynosi -4 (impuls ma w ym przypadku warość ujemną) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

12 .3 Różniczkowanie dysrybucyjne Wprowadzenie funkcji skoku jednoskowego oraz impulsu Diraca daje możliwości opisu znacznie szerszej klasy sygnałów niż yko sygnałów ciągłych. Daje eż możliwość różniczkowania sygnału oraz jednoznacznego odworzenia sygnału z jego pochodnej, co przy pominięciu elemenów dysrybucyjnych nie jes zawsze możliwe. Podobnie więc różniczkowanie dysrybucyjne wnosi większą ogólność, niezbędną częso przy zapisie sygnałów. Niech będzie dana funkcja f(), kóra w każdym skończonym przedziale owarym: - posiada co najwyżej skończoną liczbę punków nieciągłości I-go rodzaju; - jes różniczkowalna (w zwykłym sensie) wszędzie poza ww. punkami nieciągłości, zn. jes przedziałami funkcją ciągłą f c (). Wykorzysując skok jednoskowy funkcję ę można zapisać w posaci : f f f f ( ) = ( ) + ( + ) ( ) ( ) c k k k k Δf Pochodną dysrybucyjna, zawierać będzie przedziałami ciągłe pochodne od składników f c (), ale również w punkach nieciągłości składniki dysrybucyjne w posaci impulsów Diraca o warościach równych różnicy prawo- i lewosronnej granicy funkcji w ych punkach. d d d f f f d δ () = () + Δ ( ) k c k k k 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

13 Przykłady różniczkowania dysrybucyjnego: 2 ( ) x Teoria Obwodów 2 Przykład Przykład 2 Przykład 3 x () x 2 () x() ( ) δ δ 2 2 ( ) x 2 () - δ ( ) 2 δ ( 2) - x ( ) x ( ) δ ( ) 2δ ( 3) ( ) 2δ 3 δ ( 7) δ ( 7) sygnał pochodna ciągła pochodna dysrybucyjna 2 3 δ ( ) ( 3) 2 δ 7 δ ( 7) 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

14 .4 Działania z udziałem impulsu Diraca Przypomnijmy, co wiemy już o impulsie Diraca: d ( ) = δ () d d d + Teoria Obwodów 2 ( ) dτ = ( ) δ τ ( ) = δ ( ) δ( τ ) dτ = ( ) δ() d= = δ() d δ( ) = = δ( ) + + d d Kolejne działania z udziałem impulsu Diraca doyczą iloczynu z funkcją f() z impulsem Diraca δ ( ) ( n lub jego pochodną, ogólnie n-ego rzędu δ ) ( ): f δ = f δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ ( ) f f f f f 2f f Ogólnie dla n-ego rzędu pochodnej impulsu Diraca iloczyn da się wyrazić jako: Przykład: () ( ) = ( ) = ( ) n ( ) ( ) ( n ) ( ) ( ) + ( ) ( ) n k n k f δ = f δ k k= e 3 δ e δ δ 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

15 Charakerysyczną własnością impulsu Diraca, jes zw. własność filracyjna, umożliwiająca wyznaczenie warości funkcji lub jej pochodnych, za pomocą operacji całkowania. Własność ę orzymuje się wykorzysując m.in. omówioną powyżej operację iloczynu funkcji z impulsem Diraca lub jego pochodnymi: Dla funkcji (sygnału) własność filracyjna impulsu Diraca wyraża się jako: f () δ ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f δ d = f d = f δ W przypadku pierwszej pochodnej: W przypadku drugiej pochodnej () δ ( ) = ( ) ( ) ( ) δ = f d f d f () δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ( ) = ( ) f d f 2f f d f Osaecznie dla dowolnego n własność filracyjna impulsu Diraca przyjmuje posać: ( n ) n ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) f = f d δ 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

16 2. Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu Wprowadzenie pojęcia układu jes pewnym uogólnieniem ze względu na funkcję pełnioną przez dany obwód elekryczny, a akże wypadkową funkcję jednosek zbudowanych z wielu obwodów elekrycznych. Niezależnie od różnic w inerpreacji lub srukurze układów, zawsze można wyróżnić w układzie wejście, na kóre wprowadzany jes sygnał wejściowy (zw. pobudzenie lub wymuszenie) oraz wyjście, z kórego odbierany jes sygnał wyjściowy (zw. odpowiedź), kóry nasępnie może być przekazywany dalej - do innych układów przewarzania. Na przykład dla rozgałęzionego obwodu elekrycznego, w kórym wysępuję kilka źródeł auonomicznych, dowolnego rodzaju (prądowe, napięciowe), możemy przyjąć wielkości określone przez źródła jako sygnały wejściowe, naomias prądy i napięcia w gałęziach obwodu jako sygnały wyjściowe. Ogólnie, układy więc mogą być rakowane jako wielowymiarowe. Wedy wejściem jes wekor zawierający wymuszenia, a wyjściem układu jes wekor odpowiedzi. Układ, w kórym wymuszenie oraz odpowiedź są skalarami nazywamy jednowymiarowym DEFINICJA: Relacje pomiędzy wyjściem a wejściem układu SLS opare są na operacji splou z wykorzysaniem odpowiedzi impulsowej h ( ) lub odpowiedzi skokowej k( ) SLS x ( ) ( h ( ) WE k ( ) y ) WY d y() = x() k() d y ( ) = x ( ) h ( ) Całka Duhamela Całka sploowa 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

17 k( ) h ( ) UWAGA nowe pojęcia: odpowiedź jednoskowa, odpowiedź skokowa, splo, wymuszenie (wejście), odpowiedź (wyjście). Choć wymienione pojęcia wprowadzamy po raz pierwszy, okazuje się, że jedno z nich, j. odpowiedź jednoskowa nie jes nam zupełnie obca. Bowiem dla układu jednowymiarowego, dla kórego sygnałem wejściowym jes źródło napięcia, poszukiwanie odpowiedzi jednoskowej oznacza analizę obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu na źródło napięcia sałego V w chwili =. Określony sygnał wyjściowy, czy o dowolne napięcie czy prąd w obwodzie, będzie odpowiedzią jednoskową układu. Przypomnijmy w ym miejscu ideę poszukiwania ogólnego związku pomiędzy wejściem a wyjściem dla danego układ. Oóż, dla danej srukury układu odpowiedź jednoskową czy impulsową będziemy wyznaczać ylko raz, rakując e je jako charakerysyki czasowe układu. Na ich podsawie korzysając z operacji splou możemy wyznaczyć odpowiedź na dowolne wymuszenia i zaoszczędzić pełnych analiz układu w sanie nieusalonym dla każdego wymuszenia z osobna. 2. Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu () = () y () = k ( ) x WE SLS WY ( ) = ( ) x() () k y = Odpowiedź jednoskowa ( ) k (charakerysyka jednoskowa) Odpowiedź jednoskowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący skokiem jednoskowym. 7 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

18 ( ) = δ ( ) y() = h( ) x WE SLS WY Teoria Obwodów 2 ( ) = ( ) x() = () h y δ Odpowiedź impulsowa ( ) h (charakerysyka impulsowa) Odpowiedź impulsowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący impulsem Diraca jednoskowym. Ponado pomiędzy odpowiedzią jednoskową i impulsową isnieje wzajemna relacja różniczkowa aka, że: d d () = k () Przy czym należy pamięać, że różniczkowanie o ma sens ogólny, czyli dysrybucyjny. h Przykład wyznaczania odpowiedzi jednoskowej i impulsowej układu Niech dany będzie układ jak na rysunku, kórego sygnałem wyjściowym jes napięcie na kondensaorze. Do wyznaczenia odpowiedzi jednoskowej możemy posłużyć się analizą obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu napięcia sałego o warości E=V, poszukując napięcia na kondensaorze. R i() = R i() WE u R () u c () C WY Prakyczna realizacja odpowiedzi jednoskowej E= u R () u c () C WY k ( ) WE ( ) 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

19 Wracając do wykładu 3 przebieg napięcia na kondensaorze w szeregowym obwodzie załączanym na napięcie sałe o warości E ma posać: RORN = RSRN + RORJ uc() = ucu() + ucp() = E Ee = E e, dla > Adapując dla E=, możemy określić odpowiedź jednoskową k() = e = e, dla > Mając wiedzę o wykorzysaniu funkcji jednoskowych w zapisie sygnału, dopisek > możemy zasąpić formą: k e () = () Chcąc wyznaczyć odpowiedź impulsową należy dokonać różniczkowania dysrybucyjnego odpowiedzi jednoskowej, wykorzysując przy ym własność iloczynu funkcji z impulsem Diraca d d h () = k() = e () e () ( ()) = + e = d d e δ e e δ e e = + = + = () () () () () 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

20 2.2 Operacja splou Zanim wykorzysamy operację splou do wyznaczania odpowiedzi na dowolne wymuszenie przy danej charakerysyce jednoskowej lub impulsowej musimy poznać prawidła maemayczne rządzące ym przekszałceniem. Określmy je i poznajmy na podsawie dowolnych funkcji f ( ) i g( ) SPLOT DEFINICJA: Sploem funkcji (dysrybucji) ( ) i ( ) f g nazywamy funkcję (dysrybucję) określoną za pomocą całki: () = () () = ( ) ( ) s f g f τ g τ dτ Operację worzenia splou nazywamy splaaniem lub mnożeniem sploowym Do podsawowych własności splou należą: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

21 c.d. własności splou: Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Teoria Obwodów 2 ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s f g d f g Mnożenie splou s() = f ( ) g( ) + f ( ) g( ) przez Mnożenie splou przez funkcję a wykładniczą e () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, ( ) = ( ) ( ) s f g τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) f = f d = f d = f d = f d = f Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) ( n () ) ( n ( ) ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) - jedynka sploowa () δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

22 2.3 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji prawosronnych f = f, g = g kórych splo zdefiniować można jako: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ dτ Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, z granic nieoznaczonych możemy usalić na oznaczone na podsawie czynników ( τ ) oraz ( 2 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ >, τ = gdy τ < ( ) ( ) 2 2 Sąd : gdy < τ < 2 ( τ ) ( τ 2 ) = gdy τ < lub τ > 2 A granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ przejdą w z (, + ) w, 2 Ich wzajemne połączenie wyznacza przedział zmiennej, w kórym splo różny jes od zera, czyli > + 2. Zapewni o wymnożenie przez skok jednoskowy o począku w punkcie Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

23 2 () = ( + ) ( ) ( ) s f τ g τ dτ 2 Do zobrazowania powyższego rozumowania możemy wprowadzić pojęcie sałego i ruchomego okna τ. Okno ruchome należy rozumieć, jako zależne względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o ( ) od parameru, a więc ( τ ) 2 a) - 2 < ( τ ) (τ - ) τ okno ruchome b) = - 2 = okno sałe τ c) - 2 > przedział całkowania τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

24 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e y ( ) =? Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: ( τ ατ ) y() = x() h() = x( τ ) h( τ) dτ = e ( τ) e ( τ) dτ = ( τ ) α τ ατ = e e ( τ ) ( τ) dτ e e ( τ) ( τ) dτ = Określamy granice całki sploowej : τ = gdy τ >, τ = gdy τ >, τ < ( ) ( ) ( τ) ( τ) gdy < τ < = gdy τ < lub τ > 24 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

25 Określamy niezerowe warości splou < τ <, co względem zmiennej prowadzi do >. Zapewni o funkcja skoku jednoskowego () Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: () () () α τ y x h e e ( ) ( ) α τ = = τ τ dτ e e dτ () = = α τ e e () = = α τ e e ( ) = α α α e e () e α e e = = e () = α α α = e e () α 25 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

26 Przykład dla danych : α = 2R, = Ω, C= F h = e ; x () = e ( ) y = e e = e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).9.8 h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 26 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

27 2.4 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej Rozparzmy ogólnie przypadek splou funkcji lewosronnej i prawosronnej f = f, g = g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Należy zwrócić uwagę na zapis funkcji lewosronnej z wykorzysaniem lewosronnego skoku jednoskowego: Lewosronny skok jednoskowy Prawosronny skok jednoskowy ( ) ( ) ( ) τ vs ( ) τ Splo funkcji lewosronnej i prawosronnej zdefiniujemy jako: ( ) = ( τ ) ( τ) τ = ( τ) ( τ) ( τ) ( τ) 2 s f g d f g dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( ) 2 τ, przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ > j. τ <, τ = gdy τ < ( ) ( ) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

28 Sąd dolna granica całkowania pozosaje nieoznaczona, czyli będzie od wzajemnych relacji pomiędzy oraz 2 ( τ) ( τ) = gdy τ < { } min, 2 2 Granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ,,min,, co przejdą z ( + ) w { } osaecznie zdefiniuje splo w posaci min {, } () = ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ 2 Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o τ. Okno ruchome należy lewosronne ( ) rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( 2 τ ) a) b) c), zaś górna granica całkowania zależeć = okno ruchome ( τ ) - 2 < okno sałe - 2 = - 2 > 2 τ ( τ ) τ τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

29 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na lewosronne wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e lewosronne Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: R = Ω, C = F oraz α = R k e x = e WE u R () u c () i() C WY ( ) ( ) ( ) h ( ) = ( e ) ( ) y ( ) =? = ( ) ( ) ( ) lewosronne y =? 29 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

30 Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: τ () () () ( ) ( ) ( ) ( τ ) ( ) y = x h = x τ h τ dτ = e τ e τ dτ = 2 ( τ ) τ ( ) ( ) ( ) ( ) τ = e e τ τ dτ = e e τ τ dτ Określamy granice całki sploowej : ( ) ( ) τ = gdy τ >, j. τ <, τ = gdy τ >, τ < ( τ ) ( τ) =, gdy τ< min {, } Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: min {, } min {, } () ( ) () ( ) () y = e e dτ = e e = e e + e e = e + e 2τ 2τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

31 Przykład dla danych : α = R, = Ω, C= F x e h = e ; y = e + e ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

32 2.5 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji: prawosronnej i ogranioczonej f () = f ( ) ( ), g( ) = g( ) ( 3) ( 4) Splo funkcji prawosronnej i ograniczonej w czasie zdefiniujemy jako: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ τ dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( 3 τ ), ( 4 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. ( ) ( ) ( ) τ = gdy τ > j. τ >, τ τ = gdy < τ < Realizacja omawianych granic całkowania zależeć będzie od wzajemnych relacji pomiędzy a 3 oraz 4 32 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

33 Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej τ. Okno całkowania τ. Okno sałe o ( ) ruchome należy rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( τ ) ( τ ) 3 4 Szukany splo będziemy rozważać w dwóch warunkach j. a) kiedy obszar całkowania zawiera część okna ruchomego znajdującego się w obrębie okna sałego b) kiedy obszar całkowania zawiera pełne okno ruchome znajdujące się w obrębie okna sałego ( τ ) ) τ okno sałe okno ruchome ( τ ) ( τ ) τ 3 4 τ τ τ 3 < < > < < < > > + 4 <τ < Granice całkowania dla obszaru pierwszego wynoszą, przy niezerowych warościach splou 3 4, realizowanych jako ( ) ( + 3 ) ( ( + 4) ) + < < + 3. < τ < splou > + 4, realizowanych jako ( ( + 4) ). Granice całkowania dla obszaru drugiego wynoszą, przy niezerowych warościach Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

34 Osaecznie wyniki splou zawierać będzie dwa składniki 3 3 ( 3 ) ( ( 4) ) ( ) ( ) ( ( 4) ) ( ) ( ) () ( ) s = f τ g τ dτ + + f τ g τ dτ 4 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na ograniczone wymuszenie: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = A ( 2) [ 4] R i() x () = A ( 2) [ 4] ( ) WE u R () u c () C WY () = () k e h = e Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: WE R u c () i() C () () u R () ( ) ( ) ( ) WY y =? R = Ω, C = F oraz A=, =, 3 = 2, 4 = 4 k( ) = ( e ) ( ) x ( ) = ( 2) [ 4] y ( ) =? h e = 34 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

35 Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem oraz z właściwości przemienności splou τ () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = h x = h τ x τ dτ = e τ 2 τ 4 τ dτ = Obszar : operacja splou obejmuje część wejściowego sygnału ograniczonego Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : < τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4< 2< < 4 2 > realizowane przez ( 2) ( 4). Wedy : 2 τ τ 2 ( ) ( ) ( ) τ ( ) ( ) y = 2 4 e d = 2 4 e = ( ) ( ) ( ( 2) ) = 2 4 e ( τ ) 4 2 τ τ 35 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

36 Obszar 2: operacja splou obejmuje pełen wejściowy sygnał ograniczony Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako 2 ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : 4< τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4> > 4 2 > realizowane przez ( 4). Wedy : 2 2 ( ) ( ) τ τ τ ( ) ( ) ( ( 2) ( 4) ) y = 4 e d = 4 e = 4 e e y () = y() + y2( ) ( ) () ( ) ( ) Osaecznie splo ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) y = 2 4 e 4 e e ( τ ) τ 4 2 τ 36 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

37 Przykład dla danych : R Ω, C F Teoria Obwodów 2 = = h ( ) e ; ( ) () = ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x 2 4 = oraz A=,, 3, 4 = = 2 = 4 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) y = 2 4 e 4 e e.9.8 h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 37 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

38 2.6 Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności Nie zawsze konieczne jes wyznaczanie splou przez sprecyzowanie obszarów całkowania i wykonania poszczególnych całkowań. Niekiedy konsrukcja splou pozwala na wykorzysanie jego podsawowych właściwości: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Mnożenie splou przez Mnożenie splou przez funkcję wykładniczą e a () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s( ) = f ( ) g( ) s f g d f g () = ( ) ( ) + ( ) ( ) s f g f g () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, 38 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

39 Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) - f τ f τ dτ τ f τ dτ τ f dτ f τ dτ f ( ) δ ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) ( n () ) ( n () ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) f jedynka sploowa () δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) Przykład: Przykłady wykorzysania właściwości splou: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e + δ 2 = e wykorzysana właściwość: f ( ) δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) a) b) ( 2) ( ) ( ) δ ( 2) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) δ ( 2) = ( ) δ ( ) = ( ) ( ) + = + = + = wykorzysana właściwość dodakowo lokalnie splo ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) δ δ δ δ f f f ( + ) ( 2) = ( + 2) = ( ) + () () = ( τ) ( τ) τ = τ () = () d d 39 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

40 ponownie wykorzysana właściwość Teoria Obwodów 2 ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f ( ) δ ( ) = ( ) ( ) c) ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) δ ( + 3) = ( + 5) ( + 2) f ( ) g ( ) = f ( ) g( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) wykorzysana właściwość oraz f f f 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński

PROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne

Bardziej szczegółowo

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego

Bardziej szczegółowo

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator

Regulatory. Zadania regulatorów. Regulator Regulaory Regulaor Urządzenie, kórego podsawowym zadaniem jes na podsawie sygnału uchybu (odchyłki regulacji) ukszałowanie sygnału serującego umożliwiającego uzyskanie pożądanego przebiegu wielkości regulowanej

Bardziej szczegółowo

Część 1. Transmitancje i stabilność

Część 1. Transmitancje i stabilność Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości

Bardziej szczegółowo

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)

ĆWICZENIE NR 43 U R I (1) ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości

Bardziej szczegółowo

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ

ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA

LINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych

Bardziej szczegółowo

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia. Program ćwiczenia

POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia. Program ćwiczenia Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSOLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Poznanie podsawowych meod pomiaru częsoliwości i przesunięcia

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie E-5 UKŁADY PROSTUJĄCE

Ćwiczenie E-5 UKŁADY PROSTUJĄCE KŁADY PROSJĄCE I. Cel ćwiczenia: pomiar podsawowych paramerów prosownika jedno- i dwupołówkowego oraz najprosszych filrów. II. Przyrządy: płyka monaŝowa, wolomierz magneoelekryczny, wolomierz elekrodynamiczny

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Analityczny opis łączeniowych strat energii w wysokonapięciowych tranzystorach MOSFET pracujących w mostku

Analityczny opis łączeniowych strat energii w wysokonapięciowych tranzystorach MOSFET pracujących w mostku Pior GRZEJSZCZK, Roman BRLIK Wydział Elekryczny, Poliechnika Warszawska doi:1.15199/48.215.9.12 naliyczny opis łączeniowych sra energii w wysokonapięciowych ranzysorach MOSFET pracujących w mosku Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Politechniki Wrocławskiej STUDIA DZIENNE. Przełącznikowy tranzystor mocy MOSFET

Wydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Politechniki Wrocławskiej STUDIA DZIENNE. Przełącznikowy tranzystor mocy MOSFET Wydział Elekroniki Mikrosysemów i Fooniki Poliechniki Wrocławskiej STUDIA DZIENNE LABORATORIUM PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH Ćwiczenie nr 5 Przełącznikowy ranzysor mocy MOSFET Wykonując pomiary PRZESTRZEGAJ

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD

Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD 1. Cel ćwiczenia Ćwiczenie 6 WŁASNOŚCI DYNAMICZNE DIOD Celem ćwiczenia jes poznanie własności dynamicznych diod półprzewodnikowych. Obejmuje ono zbadanie sanów przejściowych podczas procesu przełączania

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z ELEKTRONIKI

LABORATORIUM Z ELEKTRONIKI LABORAORIM Z ELEKRONIKI PROSOWNIKI Józef Boksa WA 01 1. PROSOWANIKI...3 1.1. CEL ĆWICZENIA...3 1.. WPROWADZENIE...3 1..1. Prosowanie...3 1.3. PROSOWNIKI NAPIĘCIA...3 1.4. SCHEMAY BLOKOWE KŁADÓW POMIAROWYCH...5

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH

Zwój nad przewodzącą płytą METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH METODA ROZDZIELENIA ZMIENNYCH (2) (3) (10) (11) Modelowanie i symulacje obiektów w polu elektromagnetycznym 1 Rozwiązania równań (10-11) mają ogólną postać: (12) (13) Modelowanie i symulacje obiektów w

Bardziej szczegółowo

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24)

Podstawy Automatyki. wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak. Politechnika Wrocławska. Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Podstawy Automatyki wykład 1 (26.02.2010) mgr inż. Łukasz Dworzak Politechnika Wrocławska Instytut Technologii Maszyn i Automatyzacji (I-24) Laboratorium Podstaw Automatyzacji (L6) 105/2 B1 Sprawy organizacyjne

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonometrycznych na podstawie testów trafności prognoz

Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonometrycznych na podstawie testów trafności prognoz 233 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Porównanie jakości nieliniowych modeli ekonomerycznych na podsawie esów rafności prognoz Sreszczenie.

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw z systemem SAS Dr hab. E. Frątczak, ZAHZiAW, ISiD, KAE. Część VII. Analiza szeregu czasowego

Statystyka od podstaw z systemem SAS Dr hab. E. Frątczak, ZAHZiAW, ISiD, KAE. Część VII. Analiza szeregu czasowego Część VII. Analiza szeregu czasowego 1 DEFINICJA SZEREGU CZASOWEGO Szeregiem czasowym nazywamy zbiór warości cechy w uporządkowanych chronologicznie różnych momenach (okresach) czasu. Oznaczając przez

Bardziej szczegółowo

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM

TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 7 BADANIE ODPOWIEDZI USTALONEJ NA OKRESOWY CIĄG IMPULSÓW 1. Cel ćwiczenia Obserwacja przebiegów wyjściowych

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

PRACOWNIA ELEKTRONIKI

PRACOWNIA ELEKTRONIKI PRACOWNIA ELEKTRONIKI Tema ćwiczenia: BADANIE MULTIWIBRATORA UNIWERSYTET KAZIMIERZA WIELKIEGO W BYDGOSZCZY INSTYTUT TECHNIKI. 2. 3. Imię i Nazwisko 4. Daa wykonania Daa oddania Ocena Kierunek Rok sudiów

Bardziej szczegółowo

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie

Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e

Bardziej szczegółowo

Obwody elektryczne prądu stałego

Obwody elektryczne prądu stałego Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych

1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną

Bardziej szczegółowo

Wydział Mechaniczno-Energetyczny Laboratorium Elektroniki. Badanie zasilaczy ze stabilizacją napięcia

Wydział Mechaniczno-Energetyczny Laboratorium Elektroniki. Badanie zasilaczy ze stabilizacją napięcia Wydział Mechaniczno-Energeyczny Laboraorium Elekroniki Badanie zasilaczy ze sabilizacją napięcia 1. Wsęp eoreyczny Prawie wszyskie układy elekroniczne (zarówno analogowe, jak i cyfrowe) do poprawnej pracy

Bardziej szczegółowo

Systemy. Krzysztof Patan

Systemy. Krzysztof Patan Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału

Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,

Bardziej szczegółowo

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk

PROJEKT nr 1 Projekt spawanego węzła kratownicy. Sporządził: Andrzej Wölk PROJEKT nr 1 Projek spawanego węzła kraownicy Sporządził: Andrzej Wölk Projek pojedynczego węzła spawnego kraownicy Siły: 1 = 10 3 = -10 Kąy: α = 5 o β = 75 o γ = 75 o Schema węzła kraownicy Dane: Grubość

Bardziej szczegółowo

Technika analogowa 2. Wykład 5 Analiza obwodów nieliniowych

Technika analogowa 2. Wykład 5 Analiza obwodów nieliniowych Technika analogowa Wykład 5 Analiza obwodów nieliniowych 1 Plan wykładu Wprowadzenie Charakterystyki parametry dwójników nieliniowych odzaje charakterystyk elementów nieliniowych Obwody z nieliniowymi

Bardziej szczegółowo

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych

Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC. na tranzystorach bipolarnych Tranzystorowe wzmacniacze OE OB OC na tranzystorach bipolarnych Wzmacniacz jest to urządzenie elektroniczne, którego zadaniem jest : proporcjonalne zwiększenie amplitudy wszystkich składowych widma sygnału

Bardziej szczegółowo

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r)

gdzie M to mówimy, że na tym obszarze jest określone pole skalarne u( M) u( r) Wykłady z Maemayki sosowanej w inżynierii środowiska, II sem. Wykład. CAŁKA KRZYWOINIOWA ZORIENTOWANA.. Definicje i własności całek krzywoliniowych zorienowanych... Nekóre zasosowania całek krzywoliniowych

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacze operacyjne

Wzmacniacze operacyjne Wzmacniacze operacyjne Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest badanie podstawowych układów pracy wzmacniaczy operacyjnych. Wymagania Wstęp 1. Zasada działania wzmacniacza operacyjnego. 2. Ujemne sprzężenie

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Wzmacniacze operacyjne.

Wzmacniacze operacyjne. Wzmacniacze operacyjne Jacek.Szczytko@fuw.edu.pl Polecam dla początkujących! Piotr Górecki Wzmacniacze operacyjne Jak to działa? Powtórzenie: dzielnik napięcia R 2 Jeśli pominiemy prąd płynący przez wyjście:

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH

WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARSTWOWYCH WYTRZYMAŁOŚĆ KOMPOZYTÓW WARTWOWYCH Zagadnienia wyrzymałościowe w przypadku maeriałów kompozyowych, a mówiąc ściślej włóknisych kompozyów warswowych (np. laminay zbrojone włóknami) należy rozparywać na

Bardziej szczegółowo

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t

uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem próbkowania t takim, że T = t N 1 t 4. 1 3. " P r ze c ie k " w idm ow y 1 0 2 4.13. "PRZECIEK" WIDMOWY Rozważmy szereg czasowy {x r } dla r = 0, 1,..., N 1 uzyskany w wyniku próbkowania okresowego przebiegu czasowego x(t) ze stałym czasem

Bardziej szczegółowo

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH

O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 26 Krzyszof Heberlein Uniwersye Szczeciński O WYBRANYCH SPOSOBACH OPISU DYNAMIKI EKONOMICZNYCH STRUKTUR PRZESTRZENNYCH STRESZCZENIE W arykule

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

Kontroler ruchu i kierunku obrotów KFD2-SR2-2.W.SM. Charakterystyka. Konstrukcja. Funkcja. Przyłącze

Kontroler ruchu i kierunku obrotów KFD2-SR2-2.W.SM. Charakterystyka. Konstrukcja. Funkcja. Przyłącze Konroler ruchu i kierunku obroów Charakerysyka Konsrukcja -kanałowy separaor galwaniczny Zasilanie 4 V DC Wejścia ypu PNP/push-pull, syk lub Programowane częsoliwości graniczne wyjścia syku przekaźnika

Bardziej szczegółowo

20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła topnienia lodu L

20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła topnienia lodu L 20. Wyznaczanie ciepła właściwego lodu c pl i ciepła opnienia lodu L I. Wprowadzenie 1. Ciepło właściwe lodu i ciepło opnienia lodu wyznaczymy meodą kalorymeryczną sporządzając odpowiedni bilans cieplny.

Bardziej szczegółowo

Podstawy Konstrukcji Maszyn

Podstawy Konstrukcji Maszyn Podsawy Konsrukcji Maszyn Wykład 13 Dr inŝ. Jacek Czarnigowski Połączenia w konsrukcji maszyn Połączenia Pośrednie Rozłączne Kszałowe: - wpusowe, - klinowe, - kołkowe Nierozłączne Niowe Bezpośrednie Kszałowe:

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań

Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań I Matematyka dla DSFRiU zbiór zadań do użytku wewnętrznego Sumowanie skończone W zadaniach -4 obliczyć podaną sumę. dr Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski Wydział Zarządzania. 5 i. i= 4 i. i= 5 ( ) i i=

Bardziej szczegółowo

Laseryimpulsowe-cotojest?

Laseryimpulsowe-cotojest? Laseryimpulsowe-coojes? Pior Migdał marca5 Laseryciągłe Prawie każdy widział laser, choćby w posaci breloczka z odpowiednią diodą LED. Co jes charakerysyczne dla promienia emiowanego z akiego urządzenia?

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW

PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium Wybrane zagadnienia teorii obwodów Osoba odpowiedzialna za przedmiot (wykłady): dr hab. inż. Ryszard Pałka prof. PS ćwiczenia i projekt: dr inż. Krzysztof Stawicki e-mail: ks@ps.pl w temacie wiadomości

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 10. Ruch drgający tłumiony i wymuszony.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 1. Ruch drgający tłumiony i wymuszony Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html Siły oporu (tarcia)

Bardziej szczegółowo

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH

DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH Franciszek SPYRA ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian URBAŃCZYK Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice DOBÓR PRZEKROJU ŻYŁY POWROTNEJ W KABLACH ELEKTROENERGETYCZNYCH. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

Przekaźniki czasowe ATI opóźnienie załączania Czas Napięcie sterowania Styki Numer katalogowy

Przekaźniki czasowe ATI opóźnienie załączania Czas Napięcie sterowania Styki Numer katalogowy W celu realizowania prosych układów opóźniających można wykorzysać przekaźniki czasowe dedykowane do poszczególnych aplikacji. Kompakowa obudowa - moduł 22,5 mm, monaż na szynie DIN, sygnalizacja sanu

Bardziej szczegółowo

Laboratorum 2 Badanie filtru dolnoprzepustowego P O P R A W A

Laboratorum 2 Badanie filtru dolnoprzepustowego P O P R A W A Laboratorum 2 Badanie filtru dolnoprzepustowego P O P R A W A Marcin Polkowski (251328) 15 marca 2007 r. Spis treści 1 Cel ćwiczenia 2 2 Techniczny i matematyczny aspekt ćwiczenia 2 3 Pomiary - układ RC

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Różnica bilansowa dla Operatorów Systemów Dystrybucyjnych na lata (którzy dokonali z dniem 1 lipca 2007 r. rozdzielenia działalności)

Różnica bilansowa dla Operatorów Systemów Dystrybucyjnych na lata (którzy dokonali z dniem 1 lipca 2007 r. rozdzielenia działalności) Różnica bilansowa dla Operaorów Sysemów Dysrybucyjnych na laa 2016-2020 (kórzy dokonali z dniem 1 lipca 2007 r. rozdzielenia działalności) Deparamen Rynków Energii Elekrycznej i Ciepła Warszawa 201 Spis

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie

Niestacjonarne zmienne czasowe własności i testowanie Maeriał dla sudenów Niesacjonarne zmienne czasowe własności i esowanie (sudium przypadku) Nazwa przedmiou: ekonomeria finansowa I (22204), analiza szeregów czasowych i prognozowanie (13201); Kierunek sudiów:

Bardziej szczegółowo

Temat: Wzmacniacze operacyjne wprowadzenie

Temat: Wzmacniacze operacyjne wprowadzenie Temat: Wzmacniacze operacyjne wprowadzenie.wzmacniacz operacyjny schemat. Charakterystyka wzmacniacza operacyjnego 3. Podstawowe właściwości wzmacniacza operacyjnego bardzo dużym wzmocnieniem napięciowym

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU

SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu

Bardziej szczegółowo

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG

dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Instytut Technik Innowacyjnych EMAG dr inż. MARCIN MAŁACHOWSKI Insyu Technik Innowacyjnych EMAG Wykorzysanie opycznej meody pomiaru sężenia pyłu do wspomagania oceny paramerów wpływających na możliwość zaisnienia wybuchu osiadłego pyłu węglowego

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej

Całki podwójne. Definicja całki podwójnej. Jacek Kłopotowski. 25 maja Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Definicja całki podwójnej Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 25 maja 2016 Definicja całki podwójnej Załóżmy, że f : K R, gdzie K = a, b c, d R 2, jest funkcją ograniczoną. Niech x 0, x 1,...,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Elektroniki

Laboratorium Elektroniki Wydział Mechaniczno-Energetyczny Laboratorium Elektroniki Badanie wzmacniaczy tranzystorowych i operacyjnych 1. Wstęp teoretyczny Wzmacniacze są bardzo często i szeroko stosowanym układem elektronicznym.

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej

Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część VI Sprzężenie zwrotne Wzmacniacz operacyjny Wzmacniacz operacyjny w układach z ujemnym i dodatnim sprzężeniem zwrotnym Janusz Brzychczyk IF UJ Sprzężenie zwrotne Sprzężeniem

Bardziej szczegółowo

Badania trakcyjne samochodu.

Badania trakcyjne samochodu. Uniwersye Technologiczno-Humanisyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu Wydział Mechaniczny Insyu Eksploaacji Pojazdów i Maszyn Budowa samochodów i eoria ruchu Insrukcja do ćwiczenia Badania rakcyjne

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU

ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY

Bardziej szczegółowo

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe Pior Srożek * Kobiey w przedsiębiorswach usługowych prognozy nieliniowe Wsęp W dzisiejszym świecie procesy społeczno-gospodarcze zachodzą bardzo dynamicznie. W związku z ym bardzo zmienił się sereoypowy

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek

Równoległy algorytm analizy sygnału na podstawie niewielkiej liczby próbek Nauka Zezwala się na korzysanie z arykułu na warunkach licencji Creaive Commons Uznanie auorswa 3.0 Równoległy algorym analizy sygnału na podsawie niewielkiej liczby próbek Pior Kardasz Wydział Elekryczny,

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Wyrażeniem algebraicznym nazywamy wyrażenie zbudowane z liczb, liter, nawiasów oraz znaków działań, na przykład: Symbole literowe występujące w wyrażeniu algebraicznym nazywamy zmiennymi.

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Barbara Baóg Iwona Foryś PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH Wsęp Koszy dosarczenia wody

Bardziej szczegółowo