Wykład 5 Elementy teorii układów liniowych stacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie
|
|
- Józef Szewczyk
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wykład 5 Elemeny eorii układów liniowych sacjonarnych odpowiedź na dowolne wymuszenie Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 25/8 el: (7) fax: (7) omasz.sikorski@pwr.wroc.pl Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
2 . Sygnały jako funkcje uogólnione Skok jednoskowy Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja Różniczkowanie dysrybucyjne Działania z udziałem impulsu Diraca Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu Operacja splou Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
3 Liniowość obwodu elekrycznego Obwód liniowy spełnia zasadę addyywności i zasadę homogeniczności (proporcjonalności, jednorodności) w sosunku do wielkości wejściowych i wyjściowych. Zasada addyywności: Zasada homogeniczności (proporcjonalności): ( ) ( ) i ( ) ( ) () + () () + () x y x2 y2 x x y y 2 2 Liniowy ( ) y( ) () ay() x ax Liniowy Sacjonarność obwodu elekrycznego Obwód nazywamy sacjonarnym, jeśli jego paramery nie ulegają zmianie w czasie, a zaem odpowiedź nie zależy od chwili pojawienia się wymuszenia. Obwód sacjonarny jes inwarianny względem przyjęej chwili począkowej. Sacjonarny x () y ( ) x ( + τ ) y ( + τ ) Przyczynowość obwodu elekrycznego Obwód nazywamy przyczynowym, jeśli przy braku wymuszenia nie wykazuje odpowiedzi. W obwodzie przyczynowym skuek(odpowiedź) nie może pojawić się wcześniej od przyczyny (wymuszenia). Każdy obwód liniowy pasywny musi być przyczynowy. Przyczynowy ( ) y ( ) x = = 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
4 Bieżące podsumowanie w zakresie analizy sanu nieusalonego: Doychczas w analizie sanu nieusalonego wykorzysywaliśmy meodę klasyczną. Załączanie na napięcie sałe czy eż sinusoidalne ego samego obwodu było dla nas osobnym zagadnieniem, kóre rozwiązywaliśmy od począku do końca zgodnie z prawidłami meody klasycznej. Musimy eż pamięać, że dla ego rodzaju wymuszeń mamy szeroką wiedzę na ema wyznaczania składowej usalonej, kóra jes niezbędną dla określenia końcowej odpowiedzi. Pyania i problemy nasępne: Czy dla obwodów liniowych sacjonarnych (SLS czy LTI) musimy za każdym razem przeprowadzać pełną analizę sanu nieusalonego jeśli zmienimy np. rodzaj wymuszenia? Czy nie można danej srukurze obwodu przyporządkować jednoznacznej charakerysyki (lub charakerysyk) na podsawie, kórej da się określić szukaną odpowiedź np. dla dowolnego wymuszenia? Znaczenie akiej charakerysyki obwodu, byłoby ym większe, jeśli wymuszeniem byłby dowolny sygnał, wykraczający poza sandardy sygnału sałego bądź sinusoidalnego. Sprecyzujmy zagadnienie nasępująco: charakerysyki obwodu SLS w relacjach wejście wyjście, odpowiedź obwodu na dowolne wymuszenie, przejście sygnału przez obwód. x ( ) y ( ) WE SLS WY x ( ) np. e () e ( ) y ( ) np. u ( ) i ( ) C L dowolna relacja prądowonapięciowa 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
5 . Sygnały jako funkcje uogólnione Zanim spróbujemy rozwiązać posawiony problem relacji pomiędzy wejściem a wyjściem obwodu SLS musimy poszerzyć definicję funkcji, kóre służyć będą do opisu sygnałów. Zdążyliśmy się już zorienować, że w sanach nieusalonych nieciągłości ypu skok w sygnałach napięć czy prądów nie są niczym nadzwyczajnym, np. napięcie na cewce czy prąd płynący przez kondensaor, czy eż relacje napięciowoprądowe na rezysorze, mogą zmieniać się skokowo. Nawe, w szczególnych idealnych przypadkach, sygnały zachowawcze j. prąd płynący przez cewkę oraz napięcie na kondensaorze, mogą uracić swoją ciągłość. Wykracza o poza dziedzinę funkcji ciągłych, ponieważ nie możemy określić warości funkcji punk po punkcie, jak o ma miejsce w przypadku zwyczajnych funkcji. Poznajmy zaem dwie dodakowe funkcje, kóre w owarzyswie funkcji ciągłych, pozwolą w pełni opisać sygnały. Jes o ym bardziej isone, kiedy należy opisać analiycznie (maemaycznie wzorem) sygnał wejściowy i poddać go operacji przejścia przez obwód SLS.. Skok jednoskowy Funkcją Heaviside'a (skokiem jednoskowym, funkcją skoku jednoskowego) nazywamy funkcję () określoną nasępująco: () dla > = dla < ( ) 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
6 W ogólnym przypadku skok jednoskowy może być przesunięy na osi czasu o warość. Sosujemy wówczas zapis: dla > = dla < ( ) Wykorzysując skok jednoskowy można w prosy sposób zapisywać sygnały, kóre posiadają niejednorodny opis w różnych przedziałach czasowych. W ym celu określa się funkcję spełniającą rolę okna czasowego w(): w() ( ) = ( ) ( ) w 2 (- ) 2 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
7 Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów: 3 2 x c () a x a () 3 () = ( ) x e () ( ) ( ) ( ) ( ) + 3 ( 2) ( 4) + ( 4) ( 5) x = c,9999 x b () ( - e -2 ) e -3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) xb = e ( ) ( ) e 2 4 x d () ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( 6) ( 2) ( 4) + 2 ( 4) ( 5) xd = Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
8 Przykłady wykorzysania funkcji skoku jednoskowego i funkcji okna do zapisu analiycznego sygnałów okresowych: Sygnał okresowy możemy zapisać definiując jeden okres xt ( ) jako -T x() A T 2T Sygnał piłokszałny A x x kt kt kt kt T () = ( ) = ( ) ( ) ( ) T k= k= x() () = ( ) x x kt A k= x T () A x T T T () = () ( ) Sygnał sinusoidalny wyprosowany dwupołówkowo (dwufalowo) π 2 sin( 2) π [ / ], 2 π π [ ] ω = 2rad s T= = s ω 3 2 π () = sin ( ) ( ) ( + ) 3 π π π 2 2 ( 2) π x ( ) = sin( 2) ( ) ( ) T 2 x 2 k k k k= x T () T π 2 T [s] 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
9 .2 Funkcja impulsowa, impuls Diraca - dysrybucja Kolejną funkcją wykraczająca poza definicje funkcji ciągłych, jes impuls Diraca (dysrybucja). Funkcja impulsowa jes ypowym przedsawicielem funkcji uogólnionych. Definicja impulsu Diraca ma swoje źródła w aproksymacji skoku jednoskowego i próbie określenia pochodnej ze skoku jednoskowego. (,ε ) ( ε > ) Funkcję skoku jednoskowego można rozparywać jako granicę funkcji z paramerem : ( ) = ( ε ) lim, Przykładowe aproksymacje skoku jednoskowego przedsawia poniższy rysunek: (,ε) -5 ε =..5 ε =.5 (, ε ) 2 π arcg = + ε 5 ε = ε + ε (,ε) ε 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
10 Różniczkując względem czasu dowolną funkcję aproksymującą skok jednoskowy,ε orzymujemy przebiegi posiadające kszał impulsu, pod kórym pole powierzchni (niezależnie od ε ) równe jes jeden. Teraz spróbujemy określić pochodne funkcji aproksymującej oraz wpływ parameru ε na ich kszał. Niech: ε =. ε =.2 3 δ (,ε) ε = -3 3 δ = (, ε ) (, ε ) ( ), arcg ε δ ε = + = π ε π ε + δ, ε spełniają granicznie definicję impulsu Diraca Funkcje ( ) ε dla = δ () = lim δ (, ε ) = ε + dla δ (,ε) ε δ 2ε 2 ε ( ) (, ε ) = ( + ε) ( ε) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
11 Impuls Diraca sanowi więc dysrybucyjną pochodną skoku jednoskowego. Przypomnijmy, pochodna w sensie zwykłym, w punkcie nieciągłości I-go rodzaju, jakim jes skok jednoskowy, nie isnieje. δ d () = lim (, ε) = lim (, ε) = () ε + ε + d Jednocześnie ak zdefiniowana funkcja impulsu Diraca, wciąż zachowuje właściwość: () δ d = Podobnie jak skok jednoskowy impuls Diraca może być przesunięy na osi czasu. Spełnia wówczas analogiczne: dla = δ ( ) =, ( ) d = dla δ Wzajemne relacje pomiędzy skokiem jednoskowym a impulsem Diraca podsumowują zależności: d d δ() = () ; () = δ ( τ ) dτ oraz δ ( ) = ( ) ( ) = δ ( ) -3 x() -4δ(+3) 2 5δ(-2) () = δ ( + ) + δ ( ) x d ; τ dτ d Impuls Diraca przedsawia się na wykresach symbolicznie za pomocą odcinka zakończonego groem. Warość impulsu np. -4 oznacza, że "pole" pod impulsem wynosi -4 (impuls ma w ym przypadku warość ujemną) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
12 .3 Różniczkowanie dysrybucyjne Wprowadzenie funkcji skoku jednoskowego oraz impulsu Diraca daje możliwości opisu znacznie szerszej klasy sygnałów niż yko sygnałów ciągłych. Daje eż możliwość różniczkowania sygnału oraz jednoznacznego odworzenia sygnału z jego pochodnej, co przy pominięciu elemenów dysrybucyjnych nie jes zawsze możliwe. Podobnie więc różniczkowanie dysrybucyjne wnosi większą ogólność, niezbędną częso przy zapisie sygnałów. Niech będzie dana funkcja f(), kóra w każdym skończonym przedziale owarym: - posiada co najwyżej skończoną liczbę punków nieciągłości I-go rodzaju; - jes różniczkowalna (w zwykłym sensie) wszędzie poza ww. punkami nieciągłości, zn. jes przedziałami funkcją ciągłą f c (). Wykorzysując skok jednoskowy funkcję ę można zapisać w posaci : f f f f ( ) = ( ) + ( + ) ( ) ( ) c k k k k Δf Pochodną dysrybucyjna, zawierać będzie przedziałami ciągłe pochodne od składników f c (), ale również w punkach nieciągłości składniki dysrybucyjne w posaci impulsów Diraca o warościach równych różnicy prawo- i lewosronnej granicy funkcji w ych punkach. d d d f f f d δ () = () + Δ ( ) k c k k k 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
13 Przykłady różniczkowania dysrybucyjnego: 2 ( ) x Teoria Obwodów 2 Przykład Przykład 2 Przykład 3 x () x 2 () x() ( ) δ δ 2 2 ( ) x 2 () - δ ( ) 2 δ ( 2) - x ( ) x ( ) δ ( ) 2δ ( 3) ( ) 2δ 3 δ ( 7) δ ( 7) sygnał pochodna ciągła pochodna dysrybucyjna 2 3 δ ( ) ( 3) 2 δ 7 δ ( 7) 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
14 .4 Działania z udziałem impulsu Diraca Przypomnijmy, co wiemy już o impulsie Diraca: d ( ) = δ () d d d + Teoria Obwodów 2 ( ) dτ = ( ) δ τ ( ) = δ ( ) δ( τ ) dτ = ( ) δ() d= = δ() d δ( ) = = δ( ) + + d d Kolejne działania z udziałem impulsu Diraca doyczą iloczynu z funkcją f() z impulsem Diraca δ ( ) ( n lub jego pochodną, ogólnie n-ego rzędu δ ) ( ): f δ = f δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ ( ) f f f f f 2f f Ogólnie dla n-ego rzędu pochodnej impulsu Diraca iloczyn da się wyrazić jako: Przykład: () ( ) = ( ) = ( ) n ( ) ( ) ( n ) ( ) ( ) + ( ) ( ) n k n k f δ = f δ k k= e 3 δ e δ δ 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
15 Charakerysyczną własnością impulsu Diraca, jes zw. własność filracyjna, umożliwiająca wyznaczenie warości funkcji lub jej pochodnych, za pomocą operacji całkowania. Własność ę orzymuje się wykorzysując m.in. omówioną powyżej operację iloczynu funkcji z impulsem Diraca lub jego pochodnymi: Dla funkcji (sygnału) własność filracyjna impulsu Diraca wyraża się jako: f () δ ( ) d = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f δ d = f d = f δ W przypadku pierwszej pochodnej: W przypadku drugiej pochodnej () δ ( ) = ( ) ( ) ( ) δ = f d f d f () δ ( ) = ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) + ( ) δ( ) = ( ) f d f 2f f d f Osaecznie dla dowolnego n własność filracyjna impulsu Diraca przyjmuje posać: ( n ) n ( ) ( ) ( ) ( n ) ( ) f = f d δ 5 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
16 2. Splo związek pomiędzy wejściem a wyjściem układu SLS w dziedzinie czasu Wprowadzenie pojęcia układu jes pewnym uogólnieniem ze względu na funkcję pełnioną przez dany obwód elekryczny, a akże wypadkową funkcję jednosek zbudowanych z wielu obwodów elekrycznych. Niezależnie od różnic w inerpreacji lub srukurze układów, zawsze można wyróżnić w układzie wejście, na kóre wprowadzany jes sygnał wejściowy (zw. pobudzenie lub wymuszenie) oraz wyjście, z kórego odbierany jes sygnał wyjściowy (zw. odpowiedź), kóry nasępnie może być przekazywany dalej - do innych układów przewarzania. Na przykład dla rozgałęzionego obwodu elekrycznego, w kórym wysępuję kilka źródeł auonomicznych, dowolnego rodzaju (prądowe, napięciowe), możemy przyjąć wielkości określone przez źródła jako sygnały wejściowe, naomias prądy i napięcia w gałęziach obwodu jako sygnały wyjściowe. Ogólnie, układy więc mogą być rakowane jako wielowymiarowe. Wedy wejściem jes wekor zawierający wymuszenia, a wyjściem układu jes wekor odpowiedzi. Układ, w kórym wymuszenie oraz odpowiedź są skalarami nazywamy jednowymiarowym DEFINICJA: Relacje pomiędzy wyjściem a wejściem układu SLS opare są na operacji splou z wykorzysaniem odpowiedzi impulsowej h ( ) lub odpowiedzi skokowej k( ) SLS x ( ) ( h ( ) WE k ( ) y ) WY d y() = x() k() d y ( ) = x ( ) h ( ) Całka Duhamela Całka sploowa 6 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
17 k( ) h ( ) UWAGA nowe pojęcia: odpowiedź jednoskowa, odpowiedź skokowa, splo, wymuszenie (wejście), odpowiedź (wyjście). Choć wymienione pojęcia wprowadzamy po raz pierwszy, okazuje się, że jedno z nich, j. odpowiedź jednoskowa nie jes nam zupełnie obca. Bowiem dla układu jednowymiarowego, dla kórego sygnałem wejściowym jes źródło napięcia, poszukiwanie odpowiedzi jednoskowej oznacza analizę obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu na źródło napięcia sałego V w chwili =. Określony sygnał wyjściowy, czy o dowolne napięcie czy prąd w obwodzie, będzie odpowiedzią jednoskową układu. Przypomnijmy w ym miejscu ideę poszukiwania ogólnego związku pomiędzy wejściem a wyjściem dla danego układ. Oóż, dla danej srukury układu odpowiedź jednoskową czy impulsową będziemy wyznaczać ylko raz, rakując e je jako charakerysyki czasowe układu. Na ich podsawie korzysając z operacji splou możemy wyznaczyć odpowiedź na dowolne wymuszenia i zaoszczędzić pełnych analiz układu w sanie nieusalonym dla każdego wymuszenia z osobna. 2. Odpowiedź jednoskowa i impulsowa układu () = () y () = k ( ) x WE SLS WY ( ) = ( ) x() () k y = Odpowiedź jednoskowa ( ) k (charakerysyka jednoskowa) Odpowiedź jednoskowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący skokiem jednoskowym. 7 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
18 ( ) = δ ( ) y() = h( ) x WE SLS WY Teoria Obwodów 2 ( ) = ( ) x() = () h y δ Odpowiedź impulsowa ( ) h (charakerysyka impulsowa) Odpowiedź impulsowa układu liniowego jes sygnałem wyjściowym układu wywołanym przez sygnał wejściowy będący impulsem Diraca jednoskowym. Ponado pomiędzy odpowiedzią jednoskową i impulsową isnieje wzajemna relacja różniczkowa aka, że: d d () = k () Przy czym należy pamięać, że różniczkowanie o ma sens ogólny, czyli dysrybucyjny. h Przykład wyznaczania odpowiedzi jednoskowej i impulsowej układu Niech dany będzie układ jak na rysunku, kórego sygnałem wyjściowym jes napięcie na kondensaorze. Do wyznaczenia odpowiedzi jednoskowej możemy posłużyć się analizą obwodu w sanie nieusalonym przy załączaniu napięcia sałego o warości E=V, poszukując napięcia na kondensaorze. R i() = R i() WE u R () u c () C WY Prakyczna realizacja odpowiedzi jednoskowej E= u R () u c () C WY k ( ) WE ( ) 8 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
19 Wracając do wykładu 3 przebieg napięcia na kondensaorze w szeregowym obwodzie załączanym na napięcie sałe o warości E ma posać: RORN = RSRN + RORJ uc() = ucu() + ucp() = E Ee = E e, dla > Adapując dla E=, możemy określić odpowiedź jednoskową k() = e = e, dla > Mając wiedzę o wykorzysaniu funkcji jednoskowych w zapisie sygnału, dopisek > możemy zasąpić formą: k e () = () Chcąc wyznaczyć odpowiedź impulsową należy dokonać różniczkowania dysrybucyjnego odpowiedzi jednoskowej, wykorzysując przy ym własność iloczynu funkcji z impulsem Diraca d d h () = k() = e () e () ( ()) = + e = d d e δ e e δ e e = + = + = () () () () () 9 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
20 2.2 Operacja splou Zanim wykorzysamy operację splou do wyznaczania odpowiedzi na dowolne wymuszenie przy danej charakerysyce jednoskowej lub impulsowej musimy poznać prawidła maemayczne rządzące ym przekszałceniem. Określmy je i poznajmy na podsawie dowolnych funkcji f ( ) i g( ) SPLOT DEFINICJA: Sploem funkcji (dysrybucji) ( ) i ( ) f g nazywamy funkcję (dysrybucję) określoną za pomocą całki: () = () () = ( ) ( ) s f g f τ g τ dτ Operację worzenia splou nazywamy splaaniem lub mnożeniem sploowym Do podsawowych własności splou należą: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
21 c.d. własności splou: Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Teoria Obwodów 2 ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s f g d f g Mnożenie splou s() = f ( ) g( ) + f ( ) g( ) przez Mnożenie splou przez funkcję a wykładniczą e () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, ( ) = ( ) ( ) s f g τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ ( ) δ ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) ( ) f = f d = f d = f d = f d = f Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) ( n () ) ( n ( ) ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) - jedynka sploowa () δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f 2 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
22 2.3 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek dwóch funkcji prawosronnych Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji prawosronnych f = f, g = g kórych splo zdefiniować można jako: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ dτ Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, z granic nieoznaczonych możemy usalić na oznaczone na podsawie czynników ( τ ) oraz ( 2 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ >, τ = gdy τ < ( ) ( ) 2 2 Sąd : gdy < τ < 2 ( τ ) ( τ 2 ) = gdy τ < lub τ > 2 A granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ przejdą w z (, + ) w, 2 Ich wzajemne połączenie wyznacza przedział zmiennej, w kórym splo różny jes od zera, czyli > + 2. Zapewni o wymnożenie przez skok jednoskowy o począku w punkcie Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
23 2 () = ( + ) ( ) ( ) s f τ g τ dτ 2 Do zobrazowania powyższego rozumowania możemy wprowadzić pojęcie sałego i ruchomego okna τ. Okno ruchome należy rozumieć, jako zależne względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o ( ) od parameru, a więc ( τ ) 2 a) - 2 < ( τ ) (τ - ) τ okno ruchome b) = - 2 = okno sałe τ c) - 2 > przedział całkowania τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
24 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e y ( ) =? Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: ( τ ατ ) y() = x() h() = x( τ ) h( τ) dτ = e ( τ) e ( τ) dτ = ( τ ) α τ ατ = e e ( τ ) ( τ) dτ e e ( τ) ( τ) dτ = Określamy granice całki sploowej : τ = gdy τ >, τ = gdy τ >, τ < ( ) ( ) ( τ) ( τ) gdy < τ < = gdy τ < lub τ > 24 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
25 Określamy niezerowe warości splou < τ <, co względem zmiennej prowadzi do >. Zapewni o funkcja skoku jednoskowego () Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: () () () α τ y x h e e ( ) ( ) α τ = = τ τ dτ e e dτ () = = α τ e e () = = α τ e e ( ) = α α α e e () e α e e = = e () = α α α = e e () α 25 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
26 Przykład dla danych : α = 2R, = Ω, C= F h = e ; x () = e ( ) y = e e = e e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).9.8 h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 26 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
27 2.4 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji lewosronnej i prawosronnej Rozparzmy ogólnie przypadek splou funkcji lewosronnej i prawosronnej f = f, g = g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Należy zwrócić uwagę na zapis funkcji lewosronnej z wykorzysaniem lewosronnego skoku jednoskowego: Lewosronny skok jednoskowy Prawosronny skok jednoskowy ( ) ( ) ( ) τ vs ( ) τ Splo funkcji lewosronnej i prawosronnej zdefiniujemy jako: ( ) = ( τ ) ( τ) τ = ( τ) ( τ) ( τ) ( τ) 2 s f g d f g dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( ) 2 τ, przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. τ = gdy τ > j. τ <, τ = gdy τ < ( ) ( ) Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
28 Sąd dolna granica całkowania pozosaje nieoznaczona, czyli będzie od wzajemnych relacji pomiędzy oraz 2 ( τ) ( τ) = gdy τ < { } min, 2 2 Granice nieoznaczone ze względu na isnienie funkcji podcałkowej względem zmiennej całkowania τ,,min,, co przejdą z ( + ) w { } osaecznie zdefiniuje splo w posaci min {, } () = ( ) ( ) 2 s f τ g τ dτ 2 Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej całkowania τ. Okno sałe o τ. Okno ruchome należy lewosronne ( ) rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( 2 τ ) a) b) c), zaś górna granica całkowania zależeć = okno ruchome ( τ ) - 2 < okno sałe - 2 = - 2 > 2 τ ( τ ) τ τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
29 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na lewosronne wymuszenie wykładnicze: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na α wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = e ( ) WE R u R () u c () i() C WY k e h = e () = () () () α ( ) = ( ) x e lewosronne Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: R = Ω, C = F oraz α = R k e x = e WE u R () u c () i() C WY ( ) ( ) ( ) h ( ) = ( e ) ( ) y ( ) =? = ( ) ( ) ( ) lewosronne y =? 29 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
30 Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem: τ () () () ( ) ( ) ( ) ( τ ) ( ) y = x h = x τ h τ dτ = e τ e τ dτ = 2 ( τ ) τ ( ) ( ) ( ) ( ) τ = e e τ τ dτ = e e τ τ dτ Określamy granice całki sploowej : ( ) ( ) τ = gdy τ >, j. τ <, τ = gdy τ >, τ < ( τ ) ( τ) =, gdy τ< min {, } Sąd operację splou da się wyznaczyć analiycznie jako: min {, } min {, } () ( ) () ( ) () y = e e dτ = e e = e e + e e = e + e 2τ 2τ Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
31 Przykład dla danych : α = R, = Ω, C= F x e h = e ; y = e + e ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 3 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
32 2.5 Przykład wyznaczania splou analiycznie przypadek funkcji prawosronnej oraz o ograniczonym czasie rwania Rozparzmy ogólnie przypadek splou dwóch funkcji: prawosronnej i ogranioczonej f () = f ( ) ( ), g( ) = g( ) ( 3) ( 4) Splo funkcji prawosronnej i ograniczonej w czasie zdefiniujemy jako: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 s f τ g τ dτ f τ τ g τ τ τ dτ ( τ ) Waro zauważyć, że granice całki, ze względu na τ, możemy usalić na podsawie czynników oraz ( 3 τ ), ( 4 τ ), przez określenie, zależnych od, granic przedziału zmiennej τ, w kórym iloczyn ich równy jes jeden, zn. oba są niezerowe. ( ) ( ) ( ) τ = gdy τ > j. τ >, τ τ = gdy < τ < Realizacja omawianych granic całkowania zależeć będzie od wzajemnych relacji pomiędzy a 3 oraz 4 32 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
33 Powyższe rozwiązanie możemy zobrazować przez wprowadzenie pojęcie sałego i ruchomego okna względem zmiennej τ. Okno całkowania τ. Okno sałe o ( ) ruchome należy rozumieć, jako zależne od parameru, a więc ( τ ) ( τ ) 3 4 Szukany splo będziemy rozważać w dwóch warunkach j. a) kiedy obszar całkowania zawiera część okna ruchomego znajdującego się w obrębie okna sałego b) kiedy obszar całkowania zawiera pełne okno ruchome znajdujące się w obrębie okna sałego ( τ ) ) τ okno sałe okno ruchome ( τ ) ( τ ) τ 3 4 τ τ τ 3 < < > < < < > > + 4 <τ < Granice całkowania dla obszaru pierwszego wynoszą, przy niezerowych warościach splou 3 4, realizowanych jako ( ) ( + 3 ) ( ( + 4) ) + < < + 3. < τ < splou > + 4, realizowanych jako ( ( + 4) ). Granice całkowania dla obszaru drugiego wynoszą, przy niezerowych warościach Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
34 Osaecznie wyniki splou zawierać będzie dwa składniki 3 3 ( 3 ) ( ( 4) ) ( ) ( ) ( ( 4) ) ( ) ( ) () ( ) s = f τ g τ dτ + + f τ g τ dτ 4 Przykład wyznaczania odpowiedzi układu na ograniczone wymuszenie: Dla układu opisanego wcześniej charakerysyką jednoskową i impulsową wyznacz odpowiedź na wymuszenie lewosronne ypu x ( ) = A ( 2) [ 4] R i() x () = A ( 2) [ 4] ( ) WE u R () u c () C WY () = () k e h = e Dla usprawnienia obliczeń przyjmijmy dane: WE R u c () i() C () () u R () ( ) ( ) ( ) WY y =? R = Ω, C = F oraz A=, =, 3 = 2, 4 = 4 k( ) = ( e ) ( ) x ( ) = ( 2) [ 4] y ( ) =? h e = 34 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
35 Mając daną posać odpowiedzi impulsowej skorzysamy z posaci całki sploowej opisując relację pomiędzy wejściem a wyjściem oraz z właściwości przemienności splou τ () () () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) y = h x = h τ x τ dτ = e τ 2 τ 4 τ dτ = Obszar : operacja splou obejmuje część wejściowego sygnału ograniczonego Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : < τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4< 2< < 4 2 > realizowane przez ( 2) ( 4). Wedy : 2 τ τ 2 ( ) ( ) ( ) τ ( ) ( ) y = 2 4 e d = 2 4 e = ( ) ( ) ( ( 2) ) = 2 4 e ( τ ) 4 2 τ τ 35 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
36 Obszar 2: operacja splou obejmuje pełen wejściowy sygnał ograniczony Nazwijmy częściowy wynik całki sploowej dla omawianego obszaru jako 2 ( ) y. - Granice całkowania ze względu na zmienną τ : 4< τ < 2 - Niezerowe warości splou: 4> > 4 2 > realizowane przez ( 4). Wedy : 2 2 ( ) ( ) τ τ τ ( ) ( ) ( ( 2) ( 4) ) y = 4 e d = 4 e = 4 e e y () = y() + y2( ) ( ) () ( ) ( ) Osaecznie splo ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) y = 2 4 e 4 e e ( τ ) τ 4 2 τ 36 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
37 Przykład dla danych : R Ω, C F Teoria Obwodów 2 = = h ( ) e ; ( ) () = ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) x 2 4 = oraz A=,, 3, 4 = = 2 = 4 ( ( ) ) ( ) ( ( ) ( ) ) y = 2 4 e 4 e e.9.8 h x y=h*x.7.6 [pu] [s] 37 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
38 2.6 Przykład wyznaczania splou analiycznie z wykorzysaniem jego własności Nie zawsze konieczne jes wyznaczanie splou przez sprecyzowanie obszarów całkowania i wykonania poszczególnych całkowań. Niekiedy konsrukcja splou pozwala na wykorzysanie jego podsawowych właściwości: Przemienność Łączność Rozdzielność względem dodawania i odejmowania Różniczkowanie splou Przesunięcie splou (sacjonarność splou) Mnożenie splou przez Mnożenie splou przez funkcję wykładniczą e a () = () () = () () = ( ) ( ) s f g g f g τ f τ dτ () = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) s f g h f g h f g h () = ( ) ± ( ) ( ) = ( ) ( ) ± ( ) ( ) s f g h f h g h () = ( ) ( ) = ( ) ( ) () () s f g f g, d d n n ( n k ) () ( k ) () f g = f g ( ) = ( τ) ( τ ) τ = () ( ) s( ) = f ( ) g( ) s f g d f g () = ( ) ( ) + ( ) ( ) s f g f g () ( ) = ( ) ( ) a a a e f g e f e g, 38 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
39 Splo z impulsem Diraca δ ( ), δ ( ) - f τ f τ dτ τ f τ dτ τ f dτ f τ dτ f ( ) δ ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = δ ( ) ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) ( n () ) ( n () ) ( n f δ = f ( ) δ ( ) = f ) ( ) f jedynka sploowa () δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) Przykład: Przykłady wykorzysania właściwości splou: 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e + δ 2 = e wykorzysana właściwość: f ( ) δ ( ) = f ( ) δ ( ) = f ( ) a) b) ( 2) ( ) ( ) δ ( 2) ( ) δ ( ) ( ) ( ) δ ( ) δ ( 2) = ( ) δ ( ) = ( ) ( ) + = + = + = wykorzysana właściwość dodakowo lokalnie splo ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) δ δ δ δ f f f ( + ) ( 2) = ( + 2) = ( ) + () () = ( τ) ( τ) τ = τ () = () d d 39 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
40 ponownie wykorzysana właściwość Teoria Obwodów 2 ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) f f f ( ) δ ( ) = ( ) ( ) c) ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) ( + 3) = ( + 2) ( ) δ ( + 3) = ( + 5) ( + 2) f ( ) g ( ) = f ( ) g( ) ( ) δ ( ) = ( ) δ ( ) = ( ) wykorzysana właściwość oraz f f f 4 Współauor kursu: dr inż. Pior Ruczewski
Wykład 4 Metoda Klasyczna część III
Teoria Obwodów Wykład 4 Meoda Klasyczna część III Prowadzący: dr inż. Tomasz Sikorski Insyu Podsaw Elekroechniki i Elekroechnologii Wydział Elekryczny Poliechnika Wrocławska D-, 5/8 el: (7) 3 6 fax: (7)
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowo( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 71 320 3201
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 Badanie stanów nieustalonych w obwodach RL, RC i RLC przy wymuszeniu stałym
ĆWIZENIE 4 Badanie sanów nieusalonych w obwodach, i przy wymuszeniu sałym. el ćwiczenia Zapoznanie się z rozpływem prądów, rozkładem w sanach nieusalonych w obwodach szeregowych, i Zapoznanie się ze sposobami
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 50-370 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 7 320 320
Bardziej szczegółowoPodstawowe wyidealizowane elementy obwodu elektrycznego Rezystor ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( τ ) i t i t u ( ) u t u t i ( ) i t. dowolny.
Tema. Opracował: esław Dereń Kaedra Teorii Sygnałów Insyu Telekomunikacji Teleinformayki i Akusyki Poliechnika Wrocławska Prawa auorskie zasrzeżone Podsawowe wyidealizowane elemeny obwodu elekrycznego
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH
POLIECHNIKA ŚLĄSKA W GLIWICACH WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA i ENERGEYKI INSYU MASZYN i URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH IDENYFIKACJA PARAMERÓW RANSMIANCJI Laboraorium auomayki (A ) Opracował: Sprawdził: Zawierdził:
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoSygnały zmienne w czasie
Sygnały zmienne w czasie a) b) c) A = A = a A = f(+) d) e) A d = A = A sinω / -A -A ys.. odzaje sygnałów: a)sały, b)zmienny, c)okresowy, d)przemienny, e)sinusoidalny Sygnały zmienne okresowe i ich charakerysyczne
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ Wykorzysano: M A T E M A T Y K A Wykład dla sudenów Część Krzyszo KOŁOWROCKI, ZBIÓR ZADAŃ Z RACHUNKU CAŁKOWEGO Krzyszo PISKÓRZ Deinicja CAŁKA NIEOZNACZONA Funkcję
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoSzeregi Fouriera. Powyższe współczynniki można wyznaczyć analitycznie z następujących zależności:
Trygonomeryczny szereg Fouriera Szeregi Fouriera Każdy okresowy sygnał x() o pulsacji podsawowej ω, spełniający warunki Dirichlea:. całkowalny w okresie: gdzie T jes okresem funkcji x(), 2. posiadający
Bardziej szczegółowoTEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM
TEORIA OBWODÓW I SYGNAŁÓW LABORATORIUM AKADEMIA MORSKA Katedra Telekomunikacji Morskiej ĆWICZENIE 3 BADANIE CHARAKTERYSTYK CZASOWYCH LINIOWYCH UKŁADÓW RLC. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia są pomiary i analiza
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowoDyskretny proces Markowa
Procesy sochasyczne WYKŁAD 4 Dyskreny roces Markowa Rozarujemy roces sochasyczny X, w kórym aramer jes ciągły zwykle. Będziemy zakładać, że zbiór sanów jes co najwyżej rzeliczalny. Proces X, jes rocesem
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ELEKTRONIKI
WSTĘP DO ELEKTRONIKI Część I Napięcie, naężenie i moc prądu elekrycznego Sygnały elekryczne i ich klasyfikacja Rodzaje układów elekronicznych Janusz Brzychczyk IF UJ Elekronika Dziedzina nauki i echniki
Bardziej szczegółowoVII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI
Konderla P. Meoda Elemenów Skończonych, eoria i zasosowania 47 VII. ZAGADNIENIA DYNAMIKI. Równanie ruchu dla zagadnienia dynamicznego Q, (7.) gdzie M NxN macierz mas, C NxN macierz łumienia, K NxN macierz
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI PROSTOWNIKI
ZESPÓŁ LABORATORIÓW TELEMATYKI TRANSPORTU ZAKŁAD TELEKOMUNIKJI W TRANSPORCIE WYDZIAŁ TRANSPORTU POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ LABORATORIUM PODSTAW ELEKTRONIKI INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 5 PROSTOWNIKI DO UŻYTKU
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE. Ćwiczenia 2. mgr Dawid Doliński
Ćwiczenia 2 mgr Dawid Doliński Modele szeregów czasowych sały poziom rend sezonowość Y Y Y Czas Czas Czas Modele naiwny Modele średniej arymeycznej Model Browna Modele ARMA Model Hola Modele analiyczne
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoBadanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1
adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami
Bardziej szczegółowoGr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE
Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki:
Plan wykładu Własności statyczne i dynamiczne elementów automatyki: - charakterystyka statyczna elementu automatyki, - sygnały standardowe w automatyce: skok jednostkowy, impuls Diraca, sygnał o przebiegu
Bardziej szczegółowoPOMIAR PARAMETRÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH METODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
Pomiar paramerów sygnałów napięciowych. POMIAR PARAMERÓW SYGNAŁOW NAPIĘCIOWYCH MEODĄ PRÓKOWANIA I CYFROWEGO PRZEWARZANIA SYGNAŁU Cel ćwiczenia Poznanie warunków prawidłowego wyznaczania elemenarnych paramerów
Bardziej szczegółowoĆw. S-II.2 CHARAKTERYSTYKI SKOKOWE ELEMENTÓW AUTOMATYKI
Dr inż. Michał Chłędowski PODSAWY AUOMAYKI I ROBOYKI LABORAORIUM Ćw. S-II. CHARAKERYSYKI SKOKOWE ELEMENÓW AUOMAYKI Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z pojęciem charakerysyki skokowej h(),
Bardziej szczegółowo4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Laplace a. Definicja i własności, transformaty podstawowych sygnałów
Przekzałcenie Laplace a Deinicja i właności, ranormay podawowych ygnałów Tranormaą Laplace a unkcji je unkcja S zmiennej zepolonej, kórą oznacza ię naępująco: L[ ] unkcja S nazywana bywa również unkcją
Bardziej szczegółowoRegulatory. Zadania regulatorów. Regulator
Regulaory Regulaor Urządzenie, kórego podsawowym zadaniem jes na podsawie sygnału uchybu (odchyłki regulacji) ukszałowanie sygnału serującego umożliwiającego uzyskanie pożądanego przebiegu wielkości regulowanej
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska Wydział Elektroniki, Katedra K-4. Klucze analogowe. Wrocław 2017
Poliechnika Wrocławska Klucze analogowe Wrocław 2017 Poliechnika Wrocławska Pojęcia podsawowe Podsawą realizacji układów impulsowych oraz cyfrowych jes wykorzysanie wielkosygnałowej pacy elemenów akywnych,
Bardziej szczegółowoWłaściwości sygnałów i splot. Krzysztof Patan
Właściwości sygnałów i splot Krzysztof Patan Właściwości sygnałów Dla sygnału ciągłego x(t) można zdefiniować wielkości liczbowe charakteryzujące ten sygnał wartość średnia energia sygnału x sr = lim τ
Bardziej szczegółowoBADANIE WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH REZYSTANCYJNYCH CZUJNIKÓW TEMPERATURY
BADANIE WŁAŚCIWOŚCI DYNAMICZNYCH REZYSANCYJNYCH CZUJNIKÓW EMPERAURY. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes eksperymenalne wyznaczenie charakerysyk dynamicznych czujników ermomerycznych w różnych ośrodkach
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE NR 43 U R I (1)
ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki
Wydział Mechaniczno-Energeyczny Podsawy elekroechniki Prof. dr hab. inż. Juliusz B. Gajewski, prof. zw. PWr Wybrzeże S. Wyspiańskiego 27, 5-37 Wrocław Bud. A4 Sara kołownia, pokój 359 Tel.: 71 32 321 Fax:
Bardziej szczegółowooznacza przyrost argumentu (zmiennej niezależnej) x 3A82 (Definicja). Granicę (właściwą) ilorazu różnicowego funkcji f w punkcie x x x e x lim x lim
WYKŁAD 9 34 Pochodna nkcji w pnkcie Inerpreacja geomerczna pochodnej Własności pochodnch Twierdzenia Rolle a Lagrange a Cach ego Regla de lhôspiala Niech ( ) O( ) będzie nkcją określoną w pewnm ooczeni
Bardziej szczegółowoDrgania elektromagnetyczne obwodu LCR
Ćwiczenie 61 Drgania elekromagneyczne obwodu LCR Cel ćwiczenia Obserwacja drgań łumionych i przebiegów aperiodycznych w obwodzie LCR. Pomiar i inerpreacja paramerów opisujących obserwowane przebiegi napięcia
Bardziej szczegółowoPodstawowe człony dynamiczne
Podsawowe człony dynamiczne charakerysyki czasowe. Człon proporcjonalny = 2. Człony całkujący idealny 3. Człon inercyjny = = + 4. Człony całkujący rzeczywisy () = + 5. Człon różniczkujący rzeczywisy ()
Bardziej szczegółowoCzęść 1. Transmitancje i stabilność
Część 1 Transmitancje i stabilność Zastosowanie opisu transmitancyjnego w projektowaniu przekształtników impulsowych Istotne jest przewidzenie wpływu zmian w warunkach pracy (m. in. v g, i) i wielkości
Bardziej szczegółowoParametry czasowe analogowego sygnału elektrycznego. Czas trwania ujemnej części sygnału (t u. Pole dodatnie S 1. Pole ujemne S 2.
POLIECHNIK WROCŁWSK, WYDZIŁ PP I- LBORORIUM Z PODSW ELEKROECHNIKI I ELEKRONIKI Ćwiczenie nr 9. Pomiary podsawowych paramerów przebiegów elekrycznych Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jes zapoznanie ćwiczących
Bardziej szczegółowoMetody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice
Meody Lagrange a i Hamilona w Mechanice Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informayki Sosowanej Akademia Górniczo-Hunicza Wykład 7 M. Przybycień (WFiIS AGH) Meody Lagrange a i Hamilona... Wykład 7 1 /
Bardziej szczegółowoDystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5
Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................
Bardziej szczegółowoSpis treści ZASTOSOWANIE PAKIETU MATLAB W OBLICZENIACH ZAGADNIEŃ ELEKTRYCZNYCH I41
Ćwiczenie I4 Poliechnika Białosocka Wydział Elekryczny Kaedra Elekroechniki Teoreycznej i Merologii Spis reści Insrukcja do pracowni specjalisycznej INFORMTYK Kod zajęć ESC 9 Tyuł ćwiczenia ZSTOSOWNIE
Bardziej szczegółowoTemat 6. ( ) ( ) ( ) k. Szeregi Fouriera. Własności szeregów Fouriera. θ możemy traktować jako funkcje ω, których dziedziną jest dyskretny zbiór
ema 6 Opracował: Lesław Dereń Kaedra eorii Sygnałów Insyu eleomuniacji, eleinformayi i Ausyi Poliechnia Wrocławsa Prawa auorsie zasrzeżone Szeregi ouriera Jeżeli f ( ) jes funcją oresową o oresie, czyli
Bardziej szczegółowoWNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE WZMACNIACZY OPERACYJNYCH DO LINIOWEGO PRZEKSZTAŁCANIA SYGNAŁÓW. Politechnika Wrocławska
Poliechnika Wrocławska Insyu elekomunikacji, eleinformayki i Akusyki Zakład kładów Elekronicznych Insrukcja do ćwiczenia laboraoryjnego ZASOSOWANIE WZMACNIACZY OPEACYJNYCH DO LINIOWEGO PZEKSZAŁCANIA SYGNAŁÓW
Bardziej szczegółowoCechy szeregów czasowych
energecznch Cech szeregów czasowch Rozdział Modelowanie szeregów czasowch 7 proces deerminisczn proces kórego warość może bć preczjnie określona w dowolnm czasie =T+τ = a +b T T+τ czas = sin(ω) T T+τ czas
Bardziej szczegółowoLINIA DŁUGA Konspekt do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu TECHNIKA CYFROWA
LINIA DŁUGA Z Z, τ e u u Z L l Konspek do ćwiczeń laboraoryjnych z przedmiou TECHNIKA CYFOWA SPIS TEŚCI. Definicja linii dłuiej... 3. Schema zasępczy linii dłuiej przedsawiony za pomocą elemenów o sałych
Bardziej szczegółowo2. Wprowadzenie. Obiekt
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Insyu Elekroenergeyki, Zakład Elekrowni i Gospodarki Elekroenergeycznej Bezpieczeńswo elekroenergeyczne i niezawodność zasilania laoraorium opracował: prof. dr ha. inż. Józef Paska,
Bardziej szczegółowoPOMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH. Cel ćwiczenia. Program ćwiczenia
Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSOLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Poznanie podsawowych meod pomiaru częsoliwości i przesunięcia
Bardziej szczegółowoANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,
Bardziej szczegółowoANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ
Ćwiczenie 8 ANALIZA HARMONICZNA RZECZYWISTYCH PRZEBIEGÓW DRGAŃ. Cel ćwiczenia Analiza złożonego przebiegu drgań maszyny i wyznaczenie częsoliwości składowych harmonicznych ego przebiegu.. Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoWydział Elektryczny, Katedra Maszyn, Napędów i Pomiarów Elektrycznych Laboratorium Przetwarzania i Analizy Sygnałów Elektrycznych
Wydział Elekryczny, Kaedra Maszyn, Napędów i Pomiarów Elekrycznych Laboraorium Przewarzania i Analizy Sygnałów Elekrycznych (bud A5, sala 310) Insrukcja dla sudenów kierunku Auomayka i Roboyka do zajęć
Bardziej szczegółowoE k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 2. Autor pierwotnej i nowej wersji; mgr inż. Leszek Widomski
ĆWICZENIE Auor pierwonej i nowej wersji; mgr inż. Leszek Widomski UKŁADY LINIOWE Celem ćwiczenia jes poznanie właściwości i meod opisu linioch układów elekrycznych i elekronicznych przenoszących sygnały.
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoDynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoPrzekształcenie Laplace a i jego zastosowania
Przekzałcenie Laplace a i jego zaoowania Funkcje pecjalne i dyrybucje Funkcja koku jednokowego (nazywana również funkcją Heaviide a) ( ) gdy > gdy < ( ) gdy gdy > < ( ) ( ) f a e > < e a ( ) f f ( ) A
Bardziej szczegółowoPOMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH
Program ćwiczeń: Pomiary częsoliwości i przesunięcia fazowego sygnałów okresowych POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW OKRESOWYCH Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jes poznanie: podsawowych
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 8. Generatory przebiegów elektrycznych
Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jes zapoznanie sudenów z podsawowymi właściwościami ów przebiegów elekrycznych o jes źródeł małej mocy generujących przebiegi elekryczne. Przewidywane jes również (w miarę
Bardziej szczegółowoCHEMIA KWANTOWA Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoretycznej Zespół Chemii Kwantowej Grupa Teorii Reaktywności Chemicznej
CHEMI KWTOW CHEMI KWTOW Jacek Korchowiec Wydział Chemii UJ Zakład Chemii Teoreycznej Zespół Chemii Kwanowej Grupa Teorii Reakywności Chemicznej LITERTUR R. F. alewajski, Podsawy i meody chemii kwanowej:
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoWykład 4: Transformata Laplace a
Rachunek prawdopodobieńwa MAP164 Wydział Elekroniki, rok akad. 28/9, em. leni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 4: Tranformaa Laplace a Definicja. Niech f() będzie funkcją określoną na R, przy czym
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW OPTOELEKTRONIKI WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH TRANSOPTORA PC817
LABORATORIUM PODSTAW OPTOELEKTRONIKI WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH I DYNAMICZNYCH TRANSOPTORA PC87 Ceem badań jes ocena właściwości saycznych i dynamicznych ransopora PC 87. Badany ransopor o
Bardziej szczegółowoPROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowoW celu obliczenia charakterystyki częstotliwościowej zastosujemy wzór 1. charakterystyka amplitudowa 0,
Bierne obwody RC. Filtr dolnoprzepustowy. Filtr dolnoprzepustowy jest układem przenoszącym sygnały o małej częstotliwości bez zmian, a powodującym tłumienie i opóźnienie fazy sygnałów o większych częstotliwościach.
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE RÓśNICZKOWE LINIOWE
Analiza stanów nieustalonych metodą klasyczną... 1 /18 ÓWNANIE ÓśNICZKOWE INIOWE Pod względem matematycznym szukana odpowiedź układu liniowego o znanych stałych parametrach k, k, C k w k - tej gałęzi przy
Bardziej szczegółowoELEMENTY ELEKTRONICZNE
AKADMA GÓNZO-HTNZA M. STANSŁAWA STASZA W KAKOW Wydział nformayki, lekroniki i Telekomunikacji Kaedra lekroniki MNTY KTONZN dr inż. Pior Dziurdzia paw. -3, pokój 43; el. 67-7-0, pior.dziurdzia@agh.edu.pl
Bardziej szczegółowoANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM
Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH
SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów
Bardziej szczegółowolicencjat Pytania teoretyczne:
Plan wykładu: 1. Wiadomości ogólne. 2. Model ekonomeryczny i jego elemeny 3. Meody doboru zmiennych do modelu ekonomerycznego. 4. Szacownie paramerów srukuralnych MNK. Weryfikacja modelu KMNK 6. Prognozowanie
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoAnalityczny opis łączeniowych strat energii w wysokonapięciowych tranzystorach MOSFET pracujących w mostku
Pior GRZEJSZCZK, Roman BRLIK Wydział Elekryczny, Poliechnika Warszawska doi:1.15199/48.215.9.12 naliyczny opis łączeniowych sra energii w wysokonapięciowych ranzysorach MOSFET pracujących w mosku Sreszczenie.
Bardziej szczegółowoTRANSFORMATA FOURIERA
TRANSFORMATA FOURIERA. Wzór całkowy Fouriera Wzór ten wykorzystujemy do analizy funkcji nieokresowych; funkcje te mogą opisywać np.przebiegi eleektryczne. Najpierw sformułujmy tzw. warunki Dirichleta.
Bardziej szczegółowoModelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU
Modelowanie ryzyka kredyowego MODELOWANIE ZA POMOCA PROCESU HAZARDU Mariusz Niewęgłowski Wydział Maemayki i Nauk Informacyjnych, Poliechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa 2014 1 / 18 Proces
Bardziej szczegółowoĆwiczenie E-5 UKŁADY PROSTUJĄCE
KŁADY PROSJĄCE I. Cel ćwiczenia: pomiar podsawowych paramerów prosownika jedno- i dwupołówkowego oraz najprosszych filrów. II. Przyrządy: płyka monaŝowa, wolomierz magneoelekryczny, wolomierz elekrodynamiczny
Bardziej szczegółowoWydział Elektroniki Mikrosystemów i Fotoniki Politechniki Wrocławskiej STUDIA DZIENNE. Przełącznikowy tranzystor mocy MOSFET
Wydział Elekroniki Mikrosysemów i Fooniki Poliechniki Wrocławskiej STUDIA DZIENNE LABORATORIUM PRZYRZĄDÓW PÓŁPRZEWODNIKOWYCH Ćwiczenie nr 5 Przełącznikowy ranzysor mocy MOSFET Wykonując pomiary PRZESTRZEGAJ
Bardziej szczegółowoLista nr Znaleźć rozwiązania ogólne następujących równań różniczkowych: a) y = y t,
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE B Lisa nr 1 1. Napisać równanie różniczkowe, jakie spełnia napięcie u = u() na okładkach kondensaora w obwodzie zawierającym połączone szeregowo oporność R i pojemność C,
Bardziej szczegółowoRównanie przewodnictwa cieplnego (I)
Wykład 4 Równanie przewodnictwa cieplnego (I) 4.1 Zagadnienie Cauchy ego dla pręta nieograniczonego Rozkład temperatury w jednowymiarowym nieograniczonym pręcie opisuje funkcja u = u(x, t), spełniająca
Bardziej szczegółowozestaw laboratoryjny (generator przebiegu prostokątnego + zasilacz + częstościomierz), oscyloskop 2-kanałowy z pamięcią, komputer z drukarką,
- Ćwiczenie 4. el ćwiczenia Zapoznanie się z budową i działaniem przerzunika asabilnego (muliwibraora) wykonanego w echnice dyskrenej oraz TTL a akże zapoznanie się z działaniem przerzunika T (zwanego
Bardziej szczegółowoKURS EKONOMETRIA. Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonometrycznego ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS EKONOMETRIA Lekcja 1 Wprowadzenie do modelowania ekonomerycznego ZADANIE DOMOWE www.erapez.pl Srona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (ylko jedna jes prawdziwa). Pyanie 1 Kóre z poniższych
Bardziej szczegółowoRys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich
Bardziej szczegółowo