2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I

Transkrypt

1

2 Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3 0 3 c 0 i c c + c3 0 c 3 0 A c c c 0 Ponieważ det A, więc układ ma tylko rozwiązanie zerowe, a więc wektory są liniowo niezależne. wierdzenie: Dowolny układ wektorów z przestrzeni n lub n jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy macierz wektory, jest nieosobliwa. e, e,..., e n A e e...e n [ ] 3 której kolumnami są te Wniosek: Aby sprawdzić czy wektory są liniowo niezależne należy zbudować z nich macierz i sprawdzić rząd tej macierzy, który określa liczbę liniowo niezależnych wektorów w danym zbiorze. Wykład 6-6

3 Zbiór r wektorów w tworzących bazę Aby przekonać się, że wektory e, e, e tworzą bazę w 3 należy pokazać, że dowolny 3 wektor v a, b, c można jednoznacznie przedstawić jako kombinację liniową tych wektorów: ( ) a 3 v + v + v3 a v a 5a 3b + c - b vie i v + v + 3v3 b v A b a + b c c i v v + v3 c v 3 c 3a + b c Uwaga: a, b, c to współrzędne wektora w bazie naturalnej, v, v, v 3 to współrzędne tego samego wektora w bazie e, e, e 3 Uwaga: W przypadku n wymiarowej przestrzeni, dowolny zbiór n liniowo niezależnych wektorów tworzy bazę w tej przestrzeni. wierdzenie: W n wymiarowej przestrzeni wektorowej, każdy układ s wektorów n wymiarowych dla s>n jest układem wektorów liniowo zależnych. wierdzenie: Jeżeli pewien podukład m<n wektorów z układu wektorów jest liniowo zależny, to cały układ jest też liniowo zależny. v, v,..., v n Wykład 6-36

4 Ważne klasy macierzy kwadratowych macierz symetryczna: A A A -A n det A det (-A) det A (-) det A det A -det A det A 0 macierz antysymetryczna: a więc dla n nieparzystych macierz ortogonalna: macierz hermitowska: A A I ( ) ( ) det A A det I det A det A det A det A ± A A ( * ) ( ) det A det A det A det A det A det A * macierz antyhermitowska: macierz unitarna: A A I * ( ) ( ) det A A det I det A det A det A det A det A macierz unimodularna: A -A macierz normalna to dla której zachodzi: A A I A A AA oraz det A * Wykład 6-46

5 Obroty układu współrz Obrót układu współrzędnych w dwóch wymiarach. x xe + xe x x e + x e Płaszczyzna zespolona jest -dim przestrzenią wektorową: i z z e ( x + ix )( i sin ) z x + ix z x + ix z z e i ( ) x + x sin + i x sin + x x x + sin x x sin x + x x Ax Zapis macierzowy: rzędnych w D x a x i ij j j e e x x a a sin x x A x x a a sin Przykład: Złożenie obrotów (proszę sprawdzić poniższy związek). x x o ϕ - ( +β ) sin( +β ) ( ) ( ) sin β sin β sin sin β β sin +β +β x x x Wykład 6-56 e e

6 Obroty układu współrz rzędnych w D wierdzenie: Przy obrotach na płaszczyźnie, iloczyny skalarny i zewnętrzny dowolnych dwóch wektorów leżących w tej płaszczyźnie, nie zmieniają się. Dowód: u u + sin u v v + sin v u sin u + u v sin v + v u v u v + u v u + u sin v + v sin + ( )( ) ( u sin u )( v sin v ) u v + u v sin + u v sin + u v sin + + uv sin uv sin uv sin + uv u v + u v u v u v + sin sin + + uv uv ( u u )( v v ) ( u sin u )( v v sin ) u v u v u v Wykład 6-66

7 ransformacje współrz rzędnych w 3D Układ współrzędnych w trzech wymiarach jest określony przez podanie trzech wektorów { e, e, e } bazowych. Niech będą to wektory ortogonalne, a sam układ prawoskrętny 3 e e δ i j ij 3 e e ε e i j ijk k k Dowolny wektor można przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazowych: 3 x xie i gdzie xi x e i i Rozważmy teraz inną bazę ortonormalną: e 3 a e gdzie a e e Ortonormalność wektorów bazy primowanej : i ij j ij i j j δ e e a e a e a a e e a a δ a a { e, e, e3} e a e gdzie a e e a ij i j ik k jl l ik jl k l ik jl kl ik jk k l k, l k, l k Równie dobrze można przedstawić wektory bazy w bazie primowanej : Relacja ortonormalności: i 3 ij j ij i j ji j 3 3 δ a a a a ij ik jk ki kj k k Wykład 6-76

8 ransformacje współrz rzędnych w 3D W zapisie macierzowym, relacje ortonormalności mają postać Podsumowanie: x x e x e e a e e a e i i i i i ij j i ji j i i j j 3 3 AA A A I Uwaga: W n-dim przestrzeni liczba niezależnych elementów macierzy obrotu wynosi: ( ) ( ) n n + n + n( n ) (na płaszczyźnie D kąt obrotu; w przestrzeni 3D trzy kąty Eulera) Chcemy teraz znaleźć relacje pomiędzy współrzędnymi wektorów w bazach { e i } i { e i }: x x e x a e x e x a x i i i ij j j j j ij i i i j j i ransformacje odwrotną dostajemy korzystając z relacji ortonormalności dla a ij : a x a a x a a x δ x x kj j kj ij i kj ij i ki i k j j i i j i 3 3 x a x x a x δ a a a a i ij j i ji j ij ik jk ki kj j j k k Wykład 6-86

9 Obroty układu współrz Macierz obrotu w dwóch wymiarach: ϕ A a ij sin ϕ Możliwe dwie interpretacje obrotu: sin ϕ ϕ rzędnych e e pasywna wektor nie zmienia położenia, natomiast obraca ϕ się układ (baza) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek o x zegara (+ϕ). Wtedy x i i x i to współrzędne tego samego wektora w różnych bazach: x ϕ x + sin ϕ x x Ax x a x x sin ϕ x + ϕ x aktywna obraca się wektor, natomiast baza pozostaje niezmienna. Wtedy x i to współrzędne wektora x natomiast x i to współrzędne innego wektora x otrzymanego przez obrót wektora o kąt (-ϕ). x x ϕ x sin ϕ x x Ax x a x x sin ϕ x + ϕ x x x i ij j i ji j x x e e Wykład 6-96

10 Macierz obrotu w 3D Macierz obrotu w 3D wokół osi z ma postać: ϕ sin ϕ 0 R( ϕ ) a ij sin ϕ ϕ Macierz obrotu do układu gdzie nowa oś z jest skierowana w kierunku dowolnego wektora v znajdujemy w następujący sposób: wykonujemy obrót wokół wspólnej osi z - z o kąt ϕ gdzie macierz obrotu to R(ϕ), tak aby wektor v znalazł się w płaszczyźnie x z : e 3 i aije j j y z v wykonujemy obrót wokół osi o kąt -θ tak aby oś pokryła się z wektorem. Macierz tego obrotu dana jest przez: W wyniku złożenia obu obrotów otrzymujemy: θ 0 sin θ b ij 0 0 sin θ θ e b e b a e c e i ij j ij jk k ik k j j, k k Wykład 6-06

11 Macierz obrotu w 3D W wyniku złożenia tych dwóch obrotów otrzymujemy macierz: ϕ θ sin ϕ θ sin θ R( ϕ,θ ) c ij sin ϕ ϕ 0 ϕ sin θ sin ϕ sin θ θ Aby otrzymać pełną macierz obrotu w 3D, reprezentującą dowolny obrót, należy jeszcze x z wykonać obrót o kąt ψ w płaszczyźnie wokół osi : Pełną macierz obrotu otrzymamy ze złożenia: R( ) ϕ,θ,ψ z ψ sin ψ 0 d ij sin ψ ψ ( ϕ,θ,ψ ) d b a ij 3 R ik kl lj k. l ϕ θ ψ sin ϕ sin ψ sin ϕ θ ψ+ ϕ sin ψ sin θ ψ ϕ θ sin ψ sin ϕ ψ sin ϕ θ sin ψ+ ϕ ψ sin θ sin ψ ϕ sin θ sin ϕ sin θ θ Kąty ϕ, θ, ψ to tzw. kąty Eulera określające wzajemną orientację układów współrzędnych. Wykład 6-6

12 Macierz przejścia pomiędzy bazami w n { } Niech będą dane dwie dowolne bazy w n : oraz, i,,n. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy tymi bazami, takiej że (k numeruje elementy wektorów e i i e i ): e i { e i } e c e + c e c e n e c e + c e c e ei c jie j j e c e + c e c e k k k n kn k k k n kn kn n k n k nn kn W zapisie macierzowym mamy (E i E to macierze, których kolumnami są wektory baz): e e e n e e en c c cn e e e n e e e n c c c n - C E E e n e n e nn en en e nn cn cn c nn E E C { e i } { e i } - C E E Macierz transformacji pomiędzy bazami oraz dana jest przez macierz: Wykład 6-6

13 ransformacje współrz rzędnych wektora { } Niech będą dane dwie dowolne bazy w n : oraz, i,,n. Szukamy macierzy przejścia pomiędzy współrzędnymi dowolnego wektora w tych bazach: n n n n n x x e x c e x c e x e e i { e i } i i i ji j i ji j j j i i j i, j j W zapisie macierzowym mamy: x Cx - x C x A więc macierz transformacji współrzędnych O dana jest przez: - ( ) O C E E E E n x x c j i ji i wierdzenie: Macierz transformacji współrzędnych pomiędzy bazami ortonormalnymi, jest ortogonalna. E E O E E E E E E E E O E E ( - ) - ( -) ( - ) - Uwaga: Macierz której kolumny (lub wiersze) są wzajemnie ortogonalnymi wektorami o jednostkowej długości, jest ortogonalna. Math Player Wykład 6-36

14 ransformacje za pomocą macierzy Macierze można wykorzystać do transformacji liniowych obiektów geometrycznych. Odwzorowanie liniowe z n do m określone jest za pomocą macierzy A mân : Własności: Przykład: ( x ) Ax 0 0 x + y x + y λ x λ x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x, y 3x + 4 y, x + 5 y A ( x) 3x A ( 3) ( x ) y x A y ( y y y3) ( ) x xy A y ( y y y ) 3 ( ) ( ) ( ) x, y, z x, y A ( x, y) ( x + y, x y, x 3 y) A transformacja identycznościowa: ( x ) x 3 Wykład 6-46

15 ransformacje za pomocą macierzy ransformacja liniowa określona za pomocą macierzy której kolumnami są wektory ma własność, że odwzorowuje wektory bazy naturalnej w wektory ( ) x Ax v, v,..., v n v, v,..., v n Wniosek: Aby znaleźć macierz transformacji A należy znaleźć obrazy wektorów bazy naturalnej, a następnie zbudować z nich macierz A. Przykład: skalowanie: 0 A 0 obrót: rzut: sin A sin A Rzut na linię w której leży wektor dany jest przez u / 0 A / 0 A 0 0 e i Math Player A ( x) ( u u u u u x) u x u u u u Wykład 6-56

16 Odwrotności sum macierzy: generalnie dla macierzy mamy: Dla zainteresowanych ( A + B) A + B macierz A+B może być osobliwa nawet gdy macierze A i B są nieosobliwe. ylko w szczególnych przypadkach można podać ogólny wzór na odwrotność sumy macierzy: wierdzenie: Niech c oraz d będą macierzami kolumnowymi o wymiarze nâ takimi, że +d c 0. Spełniona jest wówczas następująca tożsamość: ( ) (dowód przez bezpośrednie wymnożenie) - cd I + cd I + d c wierdzenie: (Formuła Shermana-Morrisona) Niech A nân będzie nieosobliwą macierzą i niech c oraz d będą macierzami kolumnowymi o wymiarze nâ takimi, że +d A - c 0. Spełniona jest wówczas następująca tożsamość: ( ) A cd A A + cd A + - d A c Dowód: ( A + cd ) ( A( I + A cd )) ( I + A cd ) A A cd A cd A I A A + d A c + d A c Wykład 6-66

17 Dla zainteresowanych Przykład: Załóżmy, że znamy macierz A i jej odwrotność A -. Następnie do elementu a ij dodajemy. Znajdź odwrotność tak zmodyfikowanej macierzy B. c e i B A + cd A + eie j d e j [ ] [ ] [ ] A eie j A A i A j ( + i j) + e j A ei + A ji B A e e A A Niech: - 3 A czyli A 3 do elementu a.. Znajdź macierz odwrotną do A po dodaniu B + + A + e e ( 0) ( ) A e e A [ A ] [ A ] 3 B A A e A e [ A ] Wykład 6-76