DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Transkrypt

1 WYKŁAD 3 DYNAIKA UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH UKŁAD PUNKTÓW ATERIALNYCH zbór skończoej lczby puktów materalych o zadaej kofguracj przestrzeej. Obłok Oorta Pas Kupera Pluto Neptu Ura Satur Jowsz Plaetody ars Ksężyc Zema Weus erkury Słońce Układ plaetary, w którym plaety Słońce moża traktować jak układ puktów materalych 1

2 DEFINICJE: ŚRODEK ASY Załóżmy, że układ jest złożoy z puktów materalych o masach:. Środkem masy albo środkem bezwładośc tego układu azywamy pukt S, którego położee dae jest wzorem: r S 1 mr 1 (3.1) gdze: 1 m (3.2) r - promeń wodzący -tego puktu materalego r S - promeń wodzący środka masy 2

3 Obekt o cągłym rozkładze masy Gdy lczba częśc, wtedy Środek masy c.d. W przypadku cała o cągłym rozkładze masy dzelmy je w myśl a - małych częśc o masach m1, m2,..., m, Wzór (4.1) przyjmuje wtedy postać: r S lm 1 1 m r m r S 1 1 m r Grace sum w powyższym wzorze wyrażają sę odpowedm całkam ozaczoym, stąd PROIEŃ WODZĄCY ŚRODKA ASY: r S rdm dm V 0 r dv przy czym ozacza całkowtą masę; a 0 dm m (3.3) (3.4) - gęstość cała. 3

4 Środek masy c.d PĘD UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH przypomee) Każde cało moża traktować jako układ puktów materalych. Dlatego pęd cała możemy oblczyć jako sumę pędów wszystkch - puktów materalych cała: Pamętając o wyrażeu a prędkość: p 1 p 1 m v 1 m v m dr d 1 m r (3.5) (3.6) Po podstaweu do wyrażea (3.6) wzoru (3.1), otrzymamy: Zatem: p d dr S rs vs pęd środka masy układu (3.7) (3.8) Suma pędów układu Puktów materalych = Pędow jego środka masy 4

5 PRĘDKOŚĆ ŚRODKA ASY: (3.9) 3.3 UOGÓLNIONA II ZASADA DYNAIKI NEWTONA I RÓWNANIE ŚRODKA ASY UKŁADU: dp dp dp dp F1, F2, F3,..., F dp dp dpsm Sumując stroam:, oraz uwzględając zależość F 1 Ia postać rówaa ruchu środka masy układu: 1 1 Otrzymujemy rówae ruchu środka masy układu : Z powyższego rówaa wyka, że: dp sm 1 dv S (3.10) Środek masy układu puktu materalych porusza sę tak, jak pukt materaly, w którym skupoa jest całkowta masa układu, a który dzała sła, rówa wypadkowej sł zewętrzych przyłożoych do układu. Jest to twerdzee o ruchu środka masy. F a S F wyp (3.11) 5

6 Dyamka układu puktów materalych Ze wzoru (4.20) wyka, że a każdy pukt dzałają sły wewętrze zewętrze dp F F F ( w) ( z) (3.12) Oddzaływaa dowolych dwóch cał w układze zoszą sę wzajeme (III zasada dyamk), zatem: (3.13) WNIOSKI: Sły wewętrze e mają wpływu a ruch układu. F ( z) 0 Gdy, to przyspeszee środka masy jest rówe zeru, czyl środek masy albo porusza sę ruchem jedostajym prostolowym, albo spoczywa. 1 dp 1 F ( z) (3.14) 6

7 3.4. ZASADA ZACHOWANIA PĘDU Dyamka puktu materalego Układ odosoboy (zamkęty, zoloway): jest to układ, a który e dzałają żade sły zewętrze (źródła wszystkch sł zajdują sę w obrębe samego układu; są to sły oddzaływaa mędzy całam układu). Rozpatrzmy układ odosoboy złożoy z cał o masach m, 1 m2,..., m.cała te mają prędkośc v 1, v2,..., v. Ozaczmy sły (wewętrze!) jakm cała dzałają a sebe jako: Fk sła, jaką cało k-te dzała a cało -te. Z II zasady dyamk Newtoa: Dodając stroam powyższe rówaa: 1 d d d d dp F wyp m1 v1 F12 F13... F1 m2 v2 F21 F23... F2 mv F 1 F 2... F m v F12 F21... F 1 F 1 (3.15) 7

8 Z III zasady dyamk Newtoa mamy: Zasada zachowaa pędu c.d. F k F k Podstawając te waruek do poprzedego rówaa (4.25), otrzymujemy: 1 d d m v mv 1 0 (3.16) Pęd układu rówy jest sume pędów poszczególych elemetów: Ostatecze, otrzymujemy: ZASADĘ ZACHOWANIA PĘDU p dp p mv p cost (3.17) stąd (3.18) Suma wektorowa pędów wszystkch elemetów układu zolowaego pozostaje stała. 8

9 ZASADA ZACHOWANIA PĘDU C.D. Podoby rezultat osągemy, gdy rozważymy dzałae sły zewętrzej a dokładej: układ sł zewętrzych, których wypadkową jest ( z). F wyp Wtedy druga zasada dyamk Newtoa dla układu N puktów materalych: (3.19) Jeżel ( z) F wyp 0, to p cost (3.20) ZASADA ZACHOWANIA PĘDU: Jeżel a układ e dzałają sły zewętrze lub oddzałujące sły sę rówoważą, to pęd układu pozostaje stały. Ia postać sformułowaa zasady zachowaa pędu: Suma pędów wszystkch cał układu w momece początkowym rówa sę sume pędów tych cał w dowolym momece późejszym. (Najczęścej stosowaa do zagadea zderzeń). 9

10 Przykład: raketa z butelk Zasada zachowaa pędu - kosekwecje Z butelk plastkowej, w połowe wypełoej wodą odwrócoą do góry dem, wypompowujemy powetrze. Zwolee spustu umożlwa wytrysk wody w dół, zaś butelka szybuje w górę. Pęd układu pozostaje rówy zeru. 10

11 3.5. DYNAIKA BRYŁY SZTYWNEJ DYNAIKA BRYŁY SZTYWNEJ POJĘCIE BRYŁY SZTYWNEJ (Czy steje deala bryła sztywa?) Każde cało możemy uważać za układ puktów materalych, których suma mas rówa sę całkowtej mase cała: 1 m Bryła sztywa,to take cało, które pod dzałaem sł e ulega odkształceom, tz. odległośc mędzy dwoma dowolym jego puktam materalym pozostają stałe. Dla bryły sztywej obowązują wszystke wosk zależośc słusze dla układu puktów materalych. Rodzaje ruchu bryły sztywej: a) ruch postępowy- dowoly odcek łączący dwa pukty bryły zachowuje stale położee do sebe rówoległe. W ruchu postępowym wszystke pukty bryły zakreślają take same tory, maja jedakowe prędkośc przyspezea. b) ruch obrotowy wszystke pukty daego cała poruszają sę po okręgach, których środk zajdują sę a jedej prostej os obrotu. Perwszym człowekem, który opsał śrubę, był greck uczoy fzyk -Archmedes (około p..e.). W całym atyczym śwece śruba Archmedesa używaa była do podoszea pozomu wody. 11

12 Ruch obrotowy c.d. Welkośc charakteryzujące ruch obrotowy (przypomee): Okres, T (1s)- czas, w którym cało wykouje jede pełe obrót. 1 Częstotlwość, (1s 1Hz) - lczba obrotów wykoaych przez cało w czase jedej sekudy; odwrotość okresu. Częstość kołowa - zwaa też predkoścą prędkoścą kątową, kąt zakreśloy w jedostce czasu przez cało będące w ruchu obrotowym. ch wzajeme zwązk: (3.21) (3.22) przyspeszee kątowe d d (3.23) 2 2 (3.24) 12

13 DYNAIKA BRYŁY SZTYWNEJ OENT SIŁY Rozważmy ruch bryły sztywej wokół puktu O, zwaego środkem obrotu cała. Umeśćmy w tym pukce początek układu współrzędych. Nech F ozacza wypadkową wszystkch sł zewętrzych, przyłożoych do puktu -tego. F omet sły względem puktu O: (defcja wektorowa) r F (3.25). 13

14 OENT BEZWŁADNOŚCI UKŁADU PUNKTÓW ATERIALNYCH OENTE BEZWŁADNOŚCI bryły sztywej względem pewej os azywamy wyrażee: (4.26) W przypadku cał rzeczywstych, a węc takch dla których masa jest rozłożoa w sposób cągły stosuje sę postać całkową defcj pozwalającą oblczać rzeczywste momety bezwładośc: POSTAĆ CAŁKOWA: (3.27) Gdze: r2- ozacza zmeą określającą odległość elemetu masy dm od os obrotu. omety bezwładośc klku popularych brył: a) rura c) kula b) walec peły d) pręt (WYPROWADZENIA WZORÓW NA TABLICY) 14

15 Dyamka bryły sztywej TWIERDZENIE STEINERA (twerdzee o osach rówoległych) O O Załóżmy, że zamy momet bezwładośc cała ( ) względem pewej os obrotu ( O), ale cało obraca sę względem ej os ( O' ), rówoległej do ej (rys). d m Jeżel momet bezwładośc bryły o mase lczoy względem os przechodzącej przez jej środek masy wyos I 0, to momet bezwładośc I lczoy względem ej os rówoległej do poprzedej oddaloej od ej o d jest rówy : I I md 0 2 (3.28) WNIOSKI: * omet bezwładośc zależy od wyboru os obrotu. *Gdy środek masy cała oddala sę od os obrotu, to momet bezwładośc cała względem tej os wzrasta. 15

16 DYNAIKA BRYŁY SZTYWNEJ RÓWNANIE NEWTONA DLA RUCHU OBROTOWEGO (3.29) II Zasada dyamk Newtoa dla ruchu obrotowego I z z (3.30) Przyspeszee kątowe bryły sztywej obracającej sę wokół eruchomej os jest wprost proporcjoale do wypadkowego mometu (względem tej os) wszystkch sł zewętrzych dzałających a cało odwrote proporcjoaly do mometu bezwładośc cała. 16

17 Dyamka bryły sztywej ometu pędu def. (3.31) (3.32) Zwązek mędzy mometem pędu a prędkoścą kątową Czy wektory mometu pędu prędkośc kątowej bryły sztywej zawsze są rówoległe? 17

18 Dyamka bryły sztywej Rówae ruchu obrotowego c.d. Rówae Newtoa dla ruchu obrotowego wąże momet sły dzałającej a pukt materaly będący w ruchu obrotowym z pochodą po czase jego mometu pędu. (4.33) Szybkość zmay mometu pędu cała względem eruchomej os obrotu rówa sę wypadkowemu mometow (względem tej os) sł zewętrzych dzałających a cało. 18

19 ZASADA ZACHOWANIA OENTU PĘDU Z zasady dyamk dla ruchu obrotowego: Dyamka bryły sztywej dl dl wyka wprost: 0 0 L costt (3.34) Jeżel wypadkowy momet sł zewętrzych względem eruchomego puktu cała rówa sę zeru, to momet pędu cała względem tego puktu e zmea sę w czase. oża pokazać, że róweż: momet pędu zamkętego układu cał względem dowolego uktu eruchomego jest stały. Podobe: jeśl sły zewętrze dają momet względem eruchomej os rówy zeru, to momet pędu cała względem tej os e zmea sę podczas ruchu. (Pokazy: wahadło Oberbecka, żyroskop, stołeczek + hatle, koło rowerowe) 19

20 DYNAIKA BRYŁY SZTYWNEJ ENERGIA KINETYCZNA RUCHU OBROTOWEGO Eerga ketycza cała w ruchu obrotowym E K 2 I 2 (3.45) WNIOSEK: Aby zwększyć eerge ketyczą cała w ruchu obrotowym trzeba e tylko adać mu dużą prędkość kątową, ale także uczyć możlwe dużym jego momet bezwładośc. oża to zrealzować zwększając masę cała, co e zawsze jest wygode w praktyce, a moża też ( to skuteczej, bo zależość od kwadratu) poprzez rozmeszczee masy w możlwe dużej odległośc od os obrotu. 20

21 Dyamka bryły sztywej Przykład. (Rola mometu bezwładośc) Dwa walce (rys.) o tej samej mase średcy staczają sę z tej samej rów pochyłej. Który perwszy osąge podstawę? Co jest powodem tej różcy? 21

22 Dzękuję za uwagę! 22