I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

Transkrypt

1 I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja. Ciąg a ) spełiający waruek a +1 a r, gdzie r costas, azywamy ciągiem arytmetyczym, zaś liczbę r azywamy różicą ciągu arytmetyczego krótko różicą). Poadto wzór a -ty wyraz ciągu arytmetyczego ma postać a a 1 + 1)r, atomiast sumę początkowych wyrazów tego ciągu liczymy ze wzoru S a a a 1 + a. Defiicja. Ciąg a ) spełiający waruek a +1 a q, gdzie q costas, azywamy ciągiem geometryczym, zaś liczbę q azywamy ilorazem ciągu geometryczego krótko ilorazem). Poadto wzór a -ty wyraz ciągu geometryczego ma postać a a 1 q 1, atomiast sumę początkowych wyrazów tego ciągu liczymy ze wzoru a 1, gdy q 1, S a a a 1 1 q gdy q 1. 1 q Defiicja 4. Ciąg a ) azywamy ograiczoym z góry, jeżeli a M, M R zaś ograiczoym z dołu, jeżeli a m. m R 1

2 Jeżeli ciąg a ) jest ograiczoy z góry i z dołu, to mówimy, że jest ograiczoy. Zatem ciąg a ) jest ograiczoy, jeżeli m a M. M,m R Defiicja. Ciąg a ) azywamy a) rosącym, jeżeli a +1 > a, b) malejącym, jeżeli a +1 < a, c) iemalejącym, jeżeli a +1 a, d) ierosącym, jeżeli a +1 a. Ciąg a ) spełiający jede z waruków a) d) azywamy mootoiczym. Uwaga 1. Ciąg arytmetyczy a ) o różicy r jest a) rosący r > 0, b) malejący r < 0, c) stały r 0. Uwaga. Ciąg geometryczy a ) o wyrazie ogólym postaci a q a) jest rosący q > 1, b) jest malejący q 0, 1), c) jest stały q 1, d) ie jest mootoiczy q < 0. Przykład 1. Rozważmy ciąg a ) o wyrazie ogólym Jest to ciąg rosący, bo a +1 a a + +, N. + 4) + ) + ) + 6) + ) + 6) Stąd wyika, że rozważay ciąg jest ograiczoy z dołu, poieważ + + a a Z drugiej stroy mamy zatem 0 < + < + a + + < 1, co ozacza, że rozważay ciąg jest rówież ograiczoy z góry. + + < 1 + ) + 6) > 0. Przykład. Ciąg o wyrazie ogólym postaci a 1, N, jest ciągiem malejącym. Poadto jest ograiczoy z góry, ale ie jest ograiczoy z dołu.

3 Przykład. Ciąg a ) o wyrazie ogólym a 1), N, ie jest mootoiczy, bo a 1 1 < 1 a oraz a 1 > 1 a, ale jest ograiczoy, bo 1 1) 1. Defiicja 6. Niech a ) będzie ciągiem liczb rzeczywistych. Mówimy, że ciąg a ) jest zbieży do g R, co zapisujemy jeżeli a g lub a g, ε>0 0 N 0 a g < ε. Wówczas liczbę g R azywamy graicą ciągu a ). Poadto mówimy, że ciąg a ) jest rozbieży do +, jeżeli a > ε. ε>0 0 Piszemy wówczas 0 N a + lub a +. Powiemy, że ciąg a ) jest rozbieży do, jeżeli a < ε. Piszemy wówczas ε>0 0 N 0 a lub a. Twierdzeie 1. o jedozaczości graicy ciągu) Każdy ciąg ma co ajwyżej jedą graicę. Twierdzeie. o iezależości graicy od początkowych wyrazów ciągu) Jeżeli w ciągu, który ma graicę właściwą lub iewłaściwą) zmieimy, usuiemy lub dołączymy skończoą liczbę wyrazów, to te owy ciąg będzie miał taką samą graicę. Twierdzeie. o graicach pewych szczególych ciągów) a) q 0, gdy q 1, 1), 1, gdy q 1, +, gdy q > 1, ie istieje, gdy q 1,

4 b) 1, c) a 1, dla dowolego a > 0. Defiicja 7. Niech a ) będzie dowolym ciągiem oraz iech k ) będzie rosącym ciągiem liczb aturalych. Ciąg a k ) azywamy podciągiem ciągu a ). Twierdzeie 4. Jeżeli ciąg a ) ma graicę właściwą lub iewłaściwą), to każdy podciąg tego ciągu ma tę samą graicę. Wiosek 1. Jeżeli ciąg a ) posiada dwa podciągi o różych graicach, to ciąg a ) ie ma graicy. Przykład 4. Ciąg 1) ) jest rozbieży, bo posiada dwa podciągi zbieże do różych graic. Miaowicie k + 1)k 1 1 oraz k + k + 1)k 1 Twierdzeie. Każdy ciąg zbieży jest ograiczoy. 1) 1. k + Twierdzeie 6. Bolzao-Weierstrassa) Każdy ciąg ograiczoy posiada podciąg zbieży. Twierdzeie 7. o arytmetyce graic ciągów) Jeżeli ciągi a ) i b ) są zbieże, to a) ciąg a + b ) jest zbieży oraz b) ciąg a b ) jest zbieży oraz c) ciąg a b ) jest zbieży oraz d) jeżeli b 0, to ciąg a + b ) a + b. a b ) a b. a b ) a b. a b jest zbieży oraz ) a b ) a b e) ciąg c a ) jest zbieży dla dowolego c R oraz c a ) c a. f) jeżeli k N, to ciąg a ) k) jest zbieży oraz ) k a ) k a. 4.

5 g) jeżeli a ) jest ciągiem liczb ieujemych oraz k N, to ciąg k a jest zbieży ) oraz k a k a. Przykład ) 1 + ) Przykład 6. ) ) 0 0. Przykład 7. ) ) ) ) 7 ) 4 + ) Twierdzeie 8. o przechodzeiu w ierówości do graicy) Jeżeli ciągi a ) i b ) mają graice właściwe lub iewłaściwe) oraz to a b, a b. Twierdzeie 9. o trzech ciągach) Niech a ), b ) i c ) będą ciągami liczb rzeczywistych. Jeżeli oraz to a b c a c, a b c. Wiosek. Jeżeli ciąg a ) jest ograiczoy, zaś ciąg b ) jest zbieży do zera, to ciąg a b ) jest zbieży do zera.

6 Przykład 8. Rozważmy ciąg o wyrazie ogólym a si + 4, N. Jest to ciąg zbieży do 1, poieważ 1 si 1 si + 4, czyli, wykorzystując mootoiczość pierwiastka dowolego stopia aturalego, mamy si + 4 oraz 1. Zatem a mocy twierdzeia o trzech ciągach otrzymujemy, że Przykład 9. cos +8 0, bo 1 0 oraz +8 si cos 1. Twierdzeie 10. Każdy ciąg mootoiczy ma graicę. Dokładiej, a) jeżeli ciąg a ) jest iemalejący i ograiczoy z góry, to ma graicę właściwą, przy czym a sup {a : N}, b) jeżeli ciąg a ) jest ierosący i ograiczoy z dołu, to ma graicę właściwą, przy czym a if {a : N}, c) jeżeli ciąg a ) jest iemalejący i ieograiczoy z góry, to a +, d) jeżeli ciąg a ) jest ierosący i ieograiczoy z dołu, to a. Wiosek. Każdy ciąg mootoiczy i ograiczoy jest zbieży. Twierdzeie 11. Niech a ) będzie takim ciągiem liczb dodatich, że istieje graica a +1 a : g. Jeżeli g < 1, to a 0, a jeśli g > 1, to a +. Przykład 10. Rozważmy ciąg o wyrazie ogólym a, N. Łatwo pokazać, że jest! to ciąg o wyrazach dodatich, bo Poadto > 0! > 0)! > 0. a +1 a +1 +1)!!!! + 1) + 1, 6

7 czyli Zatem, a mocy Twierdzeia 11, a +1 a a < 1.! 0. Twierdzeie 1. Niech a ) będzie takim ciągiem liczb ieujemych, że istieje graica a : g. Jeżeli g < 1, to a 0, a jeśli g > 1, to a +. Przykład 11. Rozważmy ciąg o wyrazie ogólym a, + ) N. Łatwo pokazać, że jest to ciąg o wyrazach dodatich, bo > 0 + > + > 0. ) Poadto czyli a + ) + ), a + ) > 1. Zatem, a mocy Twierdzeia 1, a + +. ) Uwaga. Moża wykazać, że ciąg ) ) jest rosący i ograiczoy, a więc jest zbieży. Jego graicą jest liczba Eulera e symbol pochodzi od azwiska szwajcarskiego matematyka Leoharda Eulera), e. ) Liczba e jest liczbą iewymierą oraz e, Twierdzeie 1. Jeżeli a + lub a, to ) a e. a Przykład ) 1 + ) ) 1 + ) ) e. 7

8 Przykład 1. ) ) ) ) )) 4 ) 8 ) 0 e 8 e ) 4 ) 4 e 1 e 4. Przykład 14. ) ) +1)+1 ) ) +1) 1 + ) ) e 4 1 e