, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

Transkrypt

1 EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., u/ v : = x y + x y xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać w astępujący sposób: ( u v) / : = u v Deiicja 2 (, ) oacamy tę prestreń wektorową ad ciałem ( E ) i aywamy euklidesową. ilocyem skalarym Deiicja 3 (,, +, - prestreń aiica, gdie w wprowadoo ilocy ) skalary Prestreń deiiowaą ilocyem skalarym aywamy prestreią euklidesową i oacamy. Deiicja 4 Jeżeli w prestrei E u x1 x2 x E = (,,..., ) to wiąek: ( u ) u : = / v aywamy ormą WNIOSEK: Deiicja 5 ( E, E,, ) + u x x 2 2 : = x 2 xy, E to odległością aywamy: d x, y : = xy Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 1 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

2 Deiicja 5 E - prestreń euklidesowa u 0 v 0, E ( u / v ) = 0, Jeżeli to mówimy, że wektory są ortogoale. GEOMETRIA ANALITYCZNA PRZESTRZENI EUKLIDESOWEJ E 3 Oaceie: ( E, E,, ) + ( 0,, 0 i j, k ) - prestreń euklidesowa - układ współrędych prestrei aiicej i: = 1,0,0 j: = 0,1,0 k: = 0,0,1 W prestrei E 3 amiast mówić, że dwa wektory są ortogoale mówimy, że są prostopadłe. Zachodi tam rówież: i = j = k = 1 i i j i k k j UMOWA: W E 3 pryjmujemy tw. ortogoaly układ współrędych. i k j y x Deiicja 1, E Kątem międy wektorami (, ) tworą jeżeli acepimy je w pocątku układu. aywamy miejsy 2 kątów jakie oe Dowodi się, że: = cos,, stąd cos (, ) u v u v u v u v = u v Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 2 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

3 Deiicja 2 u E u Wersorem wektora aywamy wektor, który ma te sam kieruek i wrot ale długość rówą 1. wersu u wersu = 1 WNIOSEK: [,, ] u = x x x u 1 u x y wersu =,, u u u u = ux, uy, u ( ui) ui ux cos, = = u i u ( u j) cos, ( uk) u y u j = = u j u u k u cos, = = u k u Deiicja 3. cos ui, cos u, j cos uk, WNIOSEK: aywamy kosiusami kierukowymi wersu = cos ( u, i),cos ( u, j),cos ( uk, ) Wsystkie powyżse deiicje i wioski dotycą też (odpowiedio) prestrei E 2. Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 3 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

4 ORIENTACJA Orietacja w E 2 ( ab ', ) O ( cd, ) O ( E, 2 E, 2 + ) Dwie pary wektorów liiowo ieależych acepioych w pukcie O, O Te 2 pary wektorów aymamy rówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się puktem O, wektory ac, leżą a tej samej prostej i mają te sam wrot a wektory leżą po tej samej stroie tej prostej. cd, b a d c d b a c 2 pary wektorów aymamy ierówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się puktem O, wektory ac, leżą a tej samej prostej i mają te sam wrot a wektory leżą po dwóch stroach tej prostej. cd, b d c a d b a c Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 4 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

5 WNIOSEK: Łatwo auważyć, że jeżeli ustalimy parę wektorów to poostałe są do ich albo rówoskręte albo ierówoskręte. Jeżeli ustalimy parę wektorów to mówimy, że adajemy orietację. b wektory ac, są liiowo ieależe O a Orietacja dodatia Mówimy, że orietacja jest dodatia, jeżeli obracając wektor wokół puktu O po ajkrótsej drode tak aby pokrył się prostą awierającą porusamy się iegodie ruchem wskaówek egara. a b b O a Orietacja ujema Mówimy, że orietacja jest ujema, jeżeli obracając wektor a wokół puktu O po ajkrótsej drode tak aby pokrył się prostą awierającą b porusamy się godie ruchem wskaówek egara. a O b II III j i I IV Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 5 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

6 Orietacja w E 2 ( E, 2 E, 2 + ) ( abc ',, ) O ( de,, ) O Dwie trójki wektorów liiowo ieależych. Te dwie trójki wektorów aywami rówoskrętymi jeżeli popre presuięcie i obrót moża doprowadić do sytuacji, że pukt O pokryje się O, pary ab, i de, leżą w jedej płascyźie i są rówoskręte a wektory są po jedej stroie tej płascyy c, c b a d e a c b d e c, Jeżeli powyżsy waruek ie jest spełioy (tj wektory ie leżą w jedej płascyźie) to mówimy, że wektory są ierówoskręte. a a c b b d e a c b d e Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 6 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

7 Jeżeli adamy trójkę to każde poostałe są albo rówoskręte albo ierówoskręte. Dla wybraej trójki orietacja jest dodatia jeżeli możemy astosować do iej regułę śruby prawoskrętej (regułę prawej ręki) (1). c (2) (1) b b a c a Gdy powyżsy waruek ie jest spełioy to występuje orietacja ujema (2). Deiicja 4 ( E, 3 E, 3 + ), E : E3 E3 E3 Ilocyem wektorowym aywamy odworowaie, takie, że: 1. u v: = 0 jeśli u = 0 v= 0 w: = u v u 0 v 0 2. jeśli Własości: a) w u w v b) w : = u v si ( w,, ) ( u, v) c) jest rówoskręte pryjętym układem współrędych 1. u v = ( v u) u 0 v 0 2. λ ( λu) v= u ( λv) = λ( u v) 3. u v+ w = u v+ u w u 0 v 0 u v= 0 <=> u v, 4. mówimy, e są liiowo ależe Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 7 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

8 u 0 v 0 u,v 5. - liiowo ieależe α 1 P = u v P = u 2 6. v i k j u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j + vk, - liiowo ieależe u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j + vk ( x y ) ( x y ) v v= u i+ u j+ u k v i+ v j+ v k = ( x x) ( x y) ( x ) ( y x) ( y y) ( y ) ( k x) k i ( k y) k j ( k ) k k ( x y) k ( x ) j ( y x) k ( y ) i ( k x) j ( k y) i ( y k y) i ( k x y x) j ( x y y x) k = i i+ i j + i k+ j i+ u v j j+ j k = = + + = = + + = = y k y, k x y x, x y u y v x OBRAZEK : i j k u 11 y u u 12 x u u 13 x u y u v= ux uy u = i( 1) + j( 1) + k( 1) = vy v v v x v x vy v v v x y ( y k y) ( k x y x) ( x y y x) = i+ j+ k= = y k y, k x y x, x y y x Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 8 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica

9 Deiicja 7 E3 E3 E3 Ilocy miesay w,, E3 Ilocyem miesaym aywamy: w u v w : = ( ) WŁASNOŚCI: 1. ( u v) w = u ( v w) 2. u 0 v 0 w 0 u v w = <=> u v, w 0, 3. u ( v w) 0 są wektorami liiowo ależymi (leżą w jedej płascyźie) w v u w v u V = u v w V = 1 ( u v) 4. u = ux, uy, u = uxi+ uy j + uk v= vx, vy, v = vxi+ vy j+ vk w= wx, wy, w = wxi+ wy j + wk u u u w = v v v x y x y w w w x y 6 w Wykład dr Magdaley Sękowskiej stroa 9 9 Cęść 15 Euklid. prest. aiica