8. Udowodnić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczną; b) jeśli M jest macierzą idempotentną, o wyznaczniku różnym od 0, to M = I;
|
|
- Radosław Czerwiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Powtórzeie z algebry, rachuku prawdopodobieństwa i statystyki Zadaia. Pokazać, że dla dowolego odwracalego A,.. Pokazać z defiicji, że macierz jest ieujemie określoa. 3. Pokazać (z defiicji liiowej iezależości), że macierz jest ieosobliwa, jeśli kolumy macierzy X są liiowo iezależe. 4. Udowodić, że dla macierzy A i B o odpowiedich wymiarach. 5. Pokaż, że dla idempotetego P, jest także idempoteta oraz, że. 6. Pokaż, że macierz dla dowolego A takiego, że jest ieosobliwe, jest idempoteta. 7. Udowodić, że macierz jest macierzą idempotetą rzędu oraz. Policzyć. 8. Udowodić, że: a) macierz X X jest macierzą symetryczą; b) jeśli jest macierzą idempotetą, o wyzacziku różym od, to I; c) ( AB) B A. 9. Które z macierzy mogą być macierzami kowariacji? 3 3 3, 3, amy wektor losowy, przy czym,. Policz wartość oczekiwaą i wariację 5 5, odchyleie stadardowe i, współczyik korelacji między a.. amy zmiee losowe i takie, że,, 3,,,. a) podać waruek jaki muszą spełiać i, by estymator liiowy był ieobciążoy; b) podać jakie powiy być i, by estymator liiowy miał ajiższą wariację i był ieobciążoy; c) dla i mających rozkład ormaly podać rozkład estymatora.. amy estymator parametru i oszacowaie jego błędu stadardowego. Wiemy, że ~ gdzie s jest liczbą obserwacji. Dla,.5, a) zbudować 95% przedział ufości dla ; b) co się staie z przedziałem ufości jeśli zamiast przedziału 95% policzymy przedział 9%? c) co się ajprawdopodobiej staie z przedziałem ufości jeśli zwiększy się liczba obserwacji? d) zweryfikować hipotezę : dla Zaleźć gradiet i Hessia dla fukcji Wyzaczyć ekstremum tej fukcji i określić jego typ. 4. Zaleźć ekstremum fukcji 4 i określić jego typ. Wyzaczyć ekstremum tej samej fukcji przy waruku poboczym posługując się fukcją agrage i wstawiając ograiczeia bezpośredio do
2 fukcji celu. Porówać wielkość fukcji celu w ekstremum w przypadku istieia waruku poboczego i w przypadku braku tego waruku. Rozwiązaia wybraych zadań 3. Wprowadzamy astępujące ozaczeia: X x x k O x x k xk c c c k xi xi - i-ta koluma macierzy X x i usimy pokazać, iż z liiowej iezależości x,..., x wyika, że macierz X X jest ieosobliwa. Wystarczy więc i k pokazać, że wyzaczik macierzy X X jest róży od zera. Udowodimy, że liiowa iezależość kolum macierzy X pociąga za sobą dodatią określoość macierzy X X, a z tego już wyika, że wyzaczik macierzy X X jest dodati. Wykorzystamy zadaie. Wiemy, że macierz X X jest ieujemie określoa: c c X Xc. ogą zajść dwa przypadki: ) c X Xc > Ozacza to, że macierz X X jest dodatio określoa, więc jej wyzaczik jest dodati, czyli: X X ) c X Xc Pokażemy, że przy założeiu liiowej iezależości kolum macierzy X, te waruek ie może zachodzić. Wprowadzamy astępujące ozaczeie: a Xc. Poieważ X jest macierzą wymiaru xk oraz c jest wektorem kx, to a jest wektorem wymiaru x. Czyli: a a a c X Xc ( Xc) Xc [ a a ] a i a a a Poieważ c X Xc, to i a i i, co ozacza że i a i. Więc otrzymujemy: x x k c Xc O. Zapisujemy to rówaie, w postaci, w której będziemy mogli wykorzystać liiową x x k c k iezależość kolum macierzy X: x x k c x x x k Xc O c + c c x c + x c x c k k k x x k c k x x x k
3 gdzie x i ozacza i-tą kolumę macierzy X. Poieważ wektory xi,..., x k są liiowo iezależe (z założeia), więc jedyym rozwiązaiem powyższego rówaia są c c... c k, co w oczywisty sposób przeczy założeiu, że c c. Więc ie może zachodzić c X Xc. c k Podsumowując, przy założeiu, że kolumy macierzy X są liiowo iezależe macierz X X czyli X X >. jest dodatio określoa, 4. Najpierw ustalamy jakich wymiarów muszą być macierze, aby możliwe były odpowiedie możeia: A, B A, B. Przyjmijmy astępujące ozaczeia C ( AB), D B A. usimy pokazać, że C D. xk kxm kx mxk ) Czy wymiary się zgadzają? acierz C jest wymiaru mx, bo AB jest macierzą wymiaru xm. acierz D jest rówież wymiaru mx. ) usimy pokazać, że i, j cij dij Elemet c ij w macierzy C ( AB ) jest elemetem c ji w macierzy AB. Czyli c ji jest wyikiem przemożeia j-tego wiersza macierzy A i i-tej kolumy macierzy B. Elemet d ij w macierzy D B A jest wyikiem przemożeia i-tego wiersza macierzy B (czyli i-tej kolumy macierzy B) i j-tej kolumy macierzy A (czyli j-tego wiersza w macierzy A).. a) Niech t będzie kwatylem rzędu,975 z rozkładu t-studeta o s stopiach swobody (czyli F( t ),975, gdzie F jest dystrybuatą rozkładu t-studeta o s stopiach swobody). Korzystając z symetryczości rozkładu t-studeta mamy: F( t) F( t), 975, 5. Następie liczymy prawdopodobieństwo: ˆ θ θ se( ˆ θ ) P ( t t ) F ( t ) F ( t ),975,5,95 ˆ θ θ P( t ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ˆ t) P( t se( θ ) θ θ t se( θ )) P( θ t se( θ ) θ θ + t se( θ )) se θ ) P( ˆ θ + t se( ˆ θ ) θ ˆ θ t se( ˆ θ )) Czyli P( ˆ θ + t se( ˆ θ ) θ ˆ θ t se( ˆ θ )),95, co ozacza, że [ ˆ θ t se( ˆ θ ); ˆ θ + t se( ˆ θ )] jest przedziałem ufości a poziomie 95%. Podstawiając dae liczbowe i odczytując z tablic t,8, otrzymamy astępujący przedział ufości: [,4;,4] b) Jeśli poziom ufości wyosi 9%, to ozacza, że: P( ˆ θ + t se( ˆ θ ) θ ˆ θ t se( ˆ θ )),9,95,95 3
4 Długość przedziału ufości wyosi t ˆ,95 se( θ ). Zmiaa poziomu ufości powoduje jedyie zmiaę wartości kwatyli odczytywaych z tablic. Poieważ: t > t t se( ˆ θ ) > t se( ˆ θ ),975,95,975,95 to przedział ufości ulegie zmiejszeiu. c) Jeśli zwiększymy ilość obserwacji, to (ajprawdopodobiej!) przełoży się to a spadek błędu stadardowego estymatora. Rówież astąpi (iewielki) spadek wartości kwatyla (im więcej stopi swobody, tym wartości kwatyli rozkładu t-studeta są miejsze). Czyli długość przedziału ( t ˆ,975 * se( θ )) ulegie zmiejszeiu. d) Wyzaczamy wartość statystyki testowej: T ˆ θ θ se( ˆ θ ) / Wyzaczamy obszar krytyczy (obszar odrzuceń hipotezy zerowej): W ( ; t ] [ t ; ) ( ;, 8] [, 8; ) Poieważ T,975;,975; W więc ie ma podstaw do odrzuceia H 3. Zaczyamy od wyzaczeia gradietu i Hessiau: x 4x + 5x 5x + 6x H f f x x x x 4 5 f f 5 6 Aby wyzaczyć ekstermum sprawdzamy waruek koieczy i wystarczający a jego istieie: zerowaie się gradietu oraz dodatia określoość macierzy H w przypadku miimum lub ujema określoość dla maksimum: f 4x + 5x x x x 5x + 6x Czyli aszym puktem podejrzaym jest x * (,). Następie sprawdzamy określoość macierzy H w tym właśie pukcie: 4 5 H ( x*) d det(4) 4 >, d det( ) < 5 6 4
5 Okazuje się, że macierz H ie jest określoa dodatio, ai też ujemie. Czyli pukt podejrzay ie może być puktem ekstremalym. 4. Część pierwsza tego zadaia jest całkowicie aalogicza do zadaia. iczymy gradiet i przyrówujemy go do zera: x x + x x x x + 8x Wyzaczamy Hessia i badamy jego określoość: H f f x x x x f f 8 Czyli H ((,)) 8 d det() >, d det( ) 5 > 8 Poieważ oba wyzacziki są dodatie, więc macierz H jest dodatio określoa, co ozacza, że pukt (,) jest miimum (lokalym). Jedakże bardzo łatwo zauważyć, że: x x Hx > (bo H ie zależy od puktu, w którym jest wyzaczaa), co ozacza, że wyjściowa fukcja jest wypukła. Dla ciągłej fukcji wypukłej miimum lokale jest rówież miimum globalym! Przechodzimy do wyzaczeia ekstremum tej samej fukcji przy ograiczeiu. Zaczyam od metody polegającej a podstawieiu ograiczeia do wyjściowej fukcji: x + x f ( x ) x + 4( + x ) + x ( + x ) 9x + 7x + 3 Otrzymujemy parabolę z ramioami do góry. Puktem ekstremalym jest wierzchołek, a poieważ ramioa paraboli są skierowae do góry, to jest to miimum: x * b 7 7 a *9 38 x * + x * 9 7 Porówujemy wartości wyjściowej fukcji w (,)(miimum globale) z wartością fukcji w (, ) : 38 9 f * f (,) <,83 f (, ) f **
6 Oczywiście te wyik ie jest zaskoczeiem, gdyż f* jest miimum globalym dla wyjściowej fukcji, więc zalezioe miimum f** przy ograiczeiu (ozacza zredukowaie dziedziy fukcji) ie może być miejsze od miimum globalego. Jeżeli pukt, w którym fukcja przyjmuje miimum globale spełiałby ałożoe ograiczeie (a w aszym zadaiu tak ie jest: * ), to zachodziłoby: f * f **. Rozwiązaie metodą możików agrage a. Twierdzeie: Niech fukcja f f ( x,..., x m ) podlega warukom poboczym ( < m): g( x,..., x ),..., g( x,..., x ). Aby fukcja f posiadała ekstremum warukowe w pukcie ( x*,..., x *) m m potrzeba i wystarcza, aby fukcja z ( x,..., x m, λ,..., λ ) f ( x,..., x m) λ g k k k posiadała ekstremum w pukcie ( x *,..., x *, λ *,..., λ *). Wystarczy zaleźć pukt, w którym zeruje się gradiet oraz sprawdzić określoość m macierzy H (druga pochoda fukcji f). m ( x, λ) x + 4x + x x λ( x x ) x + x + λ x + 8x λ λ x + 8x ( x x ) Następie podstawiamy λ x + 8x do pierwszego rówaia i rozwiązujemy układ rówań złożoy z pierwszego i trzeciego rówaia: x + x + ( x + 8 x ) x x x x H ((, )) d det() >, d det( ) 5 > 8 7 Poieważ oba wyzacziki są dodatie, więc macierz H jest dodatio określoa, co ozacza, że pukt (, ) jest miimum
7 AGEBRA ożeie macierzy: ( AB) C A( BC) A( B + C) AB + AC ( AB) B A ( ABC) C B A Wyzaczik macierzy jest zdefiioway tylko dla macierzy kwadratowej. Wyzaczik macierzy A (ozaczeie A lub det(a)) defiiujemy w sposób rekurecyjy: i j j ij A a ( ) + A, a a oraz j-tej kolumy. ij Warto pamiętać wzory a wyzaczik w przypadku macierzy x i 3x3: a det a aa aa a a, Aij ozacza macierz powstałą z macierzy A poprzez usuięcie i-tego wiersza a a a3 det a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a a3 a3 a Własości wyzaczika: AB A B A A Powiemy, że macierz A jest dodatio (ujemie) określoa, jeżeli dla każdego iezerowego wektora x zachodzi: x Ax > ( x Ax < ). Powiemy, że macierz A jest ieujemie (iedodatio) określoa, jeżeli dla każdego iezerowego wektora x zachodzi: x Ax ( x Ax ). Jak sprawdzać określoość macierzy w praktyce? Niech a a a a a a a a A a a a a a a a3 a. Defiiujemy astępujące wyzacziki: a a a a 3 a a a a a a a a a d a d d a a a d a a a a 3 3,, 3 3,..., a a a3 a3 a33 a a a a 3. 7
8 acierz A jest dodatio określoa i,... d i >. acierz A jest ieujemie określoa i,... d i. acierz A jest ujemie określoa d <, d >, d 3 <... acierz A jest iedodatio określoa d, d, d 3... Ślad macierzy defiiujemy tylko dla macierzy kwadratowej: tr( A) a - suma elemetów stojących a główej przekątej (diagoali). i ii Niech c będzie liczbą, a wektorem kolumowym, A macierzą kwadratową. Wówczas prawdą jest: tr( ca) ctr( A) tr( A ) tr( A) tr( A + B) tr( A) + tr( B) tr( AB) tr( BA) a a tr( a a) tr( aa ) tr( ABC) tr( BCA) tr( CAB) acierz A jest macierzą idempoteta, jeśli AA A iiowa iezależość wektorów Wektory α, α,..., α k są liiowo iezależe, jeśli jedyym rozwiązaiem rówaia: są: b b... b k acierz odwrota α α αk α α α k bα + bα bkα k b + b b k α α α k acierz B jest macierzą odwrotą do macierzy kwadratowej A (ozaczeie podkreślić, iż możeie macierzy przez macierz do iej odwrotą jest przemiee: B A ), jeśli BA I. Warto acierz AA A A I. odwrota ie zawsze istieje. Warukiem koieczym (i wystarczającym) a to, żeby istiała macierz odwrota do macierzy A, jest to, żeby wiersze (kolumy) macierzy A były liiowo iezależe. Taką macierz azywamy ieosobliwą. Jak sprawdzać w praktyce czy macierz odwrota istieje? Wystarczy policzyć wyzaczik macierzy, jeśli jest róży od zera to macierz odwrota istieje! Niech A i B będą macierzami ieosobliwymi (istieją macierze odwrote). Wówczas: A A ( A ) A 8
9 ( A ) ( A ) ( AB) B A Rząd macierzy Rząd kolumowy macierzy A to liczba liiowo iezależych kolum macierzy A. Rząd wierszowy macierzy A to liczba liiowo iezależych wierszy macierzy A. Zawsze rząd kolumowy i wierszowy macierzy A są sobie rówe i będziemy je azywać rzędem macierzy A (ozaczeie r( A )). Dowód twierdzeia, że symetrycza macierz idempoteta ma wartości włase rówe lub oraz r( ) tr( ). (szkic dowodu) Z założeia wiemy, iż. Poieważ (rówież z założeia) jest macierzą symetryczą, to możemy ją przedstawić w astępujący sposób: CΓ C (dekompozycja spektrala), gdzie λ λ Γ O λ, λ i są wartościami własymi macierzy, atomiast w kolejych kolumach macierzy C, stoją wektory włase odpowiadające wartością własym. Wektory włase są ortoormale (tz. c c, c c dla i j), więc C C I. Podsumowując wszystkie dotychczasowe spostrzeżeia otrzymujemy: i i i j λ λ λ λ CΓ C{ C Γ C CΓΓ C C C C C I O O λ λ Przemażamy ostatią rówość z prawej stroy przez C i z lewej stroy przez C i otrzymujemy: λ λ λ λ O O λ λ co ozacza, iż dla każdego i musi zachodzić: wartości włase macierzy są rówe lub. λ λ λ λ λ lub λ. Na razie pokazaliśmy, że i i i i i i W dalszej części będzie am potrzeby astępujący fakt: B i C są ieosobliwe, to r( BAC) r( A). Wracając do aszego dowodu, macierze C i C są ieosobliwe (bo wektory włase są liiowo iezależe), więc: r( ) r( CΓ C ) r( Γ ). acierz Γjest macierzą diagoalą, gdzie a diagoali stoi lub, czyli jej rząd musi być rówy liczbie jedyek a diagoali (w tym przypadku będzie to ślad macierzy), co ozacza: r( ) r( Γ ) tr( Γ ). 9
10 Z drugiej stroy mamy: tr( ) tr( CΓ C ) tr( Γ C C) tr( Γ ). Ostateczie otrzymujemy: r( ) tr( Γ ) tr( ). Aaliza Warukiem koieczym (ale ie wystarczającym!) a istieie ekstremum fukcji f w pukcie gradietu: * β jest zerowaie się k acierz drugich pochodych - Hessia Niech f ( x,..., x) : R R (fukcja skalara). acierz drugich pochodych fukcji skalarej defiiujemy jako: H ( x) f f f f f f O f f f Jeżeli fukcja f jest ciągła oraz ma ciągłe pochode cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu, to Hessia jest macierzą symetryczą. Waruek koieczy i wystarczający a istieie ekstremum dla fukcji skalarej Fukcja f ma maksimum w pukcie x *, jeśli: ( x *,..., x *) ( x *,..., x *) ( x*,..., x*) ( x *,..., x *) k (zerowaie się gradietu) oraz H ( x*,..., x*) f x x f x x f x x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) f x x f x x f x x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) O f ( x *,..., x *) f ( x *,..., x *) f x ( *,..., x *) jest ujemie określoa. W przypadku miimum, pierwszy waruek się ie zmieia, atomiast Hessia musi być dodatio określoy.
11 RACHUNEK PRAWDOPDOBIEŃSTWA. Pojęcie wektora losowego. Wektor losowy to wektor, którego elemety są zmieymi losowymi. Dystrybuata wektora losowego x [ x,..., x ] daa jest wzorem: x x x ( ) ( )... F x f t dt dt dt gdzie f ( x ) ozacza łączą gęstość wektora losowego.. Wartość oczekiwaa wektora losowego. Wartość oczekiwaa wektora losowego (lub macierzy), to wektor (lub macierz) wartości oczekiwaych poszczególych elemetów: 3. Warukowa wartość oczekiwaa. E( x ) µ E( X ) µ E( x ) µ Zaczijmy od zdefiiowaia gęstości rozkładu warukowego zmieej y względem x: f ( y x ) f ( x, y) f ( x) Warukowa wartość oczekiwaa y względem x, to: E( y x) yf ( y x) dy Kilka przydatych własości warukowej wartości oczekiwaej: E( ay + by X ) ae( Y X ) + be( Y X ), gdzie a, b R... Jeżeli X i Y są iezależe, to E( Y X ) EY 3. E( E( Y X )) EY 4. Jeżeli Z f ( X ), to E( ZY X ) ZE( Y X ) 5. Nierówość Jesea: φ : R R wypukła, E φ ( y) <, to E( φ( y) x) φ( E( y x)). 6. Dekompozycja wariacji: Var( y) Var( E( y x)) + E( Var( y x)) 4. acierz wariacji-kowariacji wektora losowego. Najpierw defiiujemy macierz:
12 ( X µ )( µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) ( x µ )( x µ ) X acierz wariacji-kowariacji wektora losowego X to wartość oczekiwaa powyższej macierzy: σ σ σ σ σ σ E[( X µ )( X µ ) ] E( XX ) µµ O σ σ σ acierz wariacji-kowariacji jest zawsze symetrycza i ieujemie określoa. Przydate własości kowariacji: cov( ax + by, cz + dw ) ac cov( X, Z ) + ad cov( X, W ) + bc cov( Y, Z ) + bd cov( Y, W ) cov( Y, X ) jeśli X i Y są iezależe cov( a, X ) gdzie a, b, c, d to skalary, a X, Y, Z, W to zmiee losowe. Warto rówież pamiętać wzór a wariację sumy zmieych losowych: i i i j i< j var( X X ) var( X ) + cov( X, X ) 5. Rozkład ormaly, chi-kwadrat, t-studeta i F Jeżeli zmiea losowa X ma rozkład N(,), to zmiea losowa σ X + m( σ > ) ma rozkład N( m, σ ). Jeżeli X jest wektorem losowym o rozkładzie N (, I ), to BX + m jest wektorem losowym o rozkładzie N ( m, BB ). W ogólości, w wyiki afiiczego przekształceia BX + m wektora losowego X ~ N ( µ, Γ ), otrzymujemy wektor losowy o rozkładzie N( m + Bµ, BΓ B ) (trzeba założyc jedyie, że det( B) ). Niech X,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o rozkładzie N (,). Wówczas zmiea losowa Y X ma rozkład chi-kwadrat z stopiami swobody ( i Y χ i k przypadkiem rozkładu gamma: χ ( k) Gamma(, ). ~ ( ) ).Rozkład chi-kwadrat jest szczególym Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi, X ~ N (,), rozkład t Studeta z stopiami swobody ( Z ~ t( )). Y X χ Zmiea losowa Y / ~ ( ). Z ma Niech X i Y będą iezależymi zmieymi losowymi, X χ ~ ( ), ma rozkład F Sedecora z i m stopiami swobody ( Z ~ F (, m )). Y / χ Wówczas zmiea losowa Z ~ ( m). X Y / m
13 STATYSTYKA. Pojęcie estymatora Niech X,..., X będzie próbą losową. Powiemy, że statystyka g( X,..., X ) jest estymatorem parametru θ Θ, jeśli ie jest fukcją θ oraz przyjmuje wartości z przestrzei parametrów Θ.. Nieobciążoość estymatora, wariacja i efektywość Niech gˆ( X,... X ) będzie estymatorem g( θ ). Wówczas b( θ ) E ( gˆ ( X,... X ) g( θ )) azywamy obciążeiem estymatora, atomiast R( θ ) E ( gˆ ( X,... X ) g( )) θ θ θ azywamy fukcją ryzyka estymatora. Jeśli ( ) powiemy, że estymator jest ieobciążoy i wówczas R( θ ) Var ( gˆ ( X,... X )). θ b θ to W klasie estymatorów ieobciążoych, estymatorem efektywym azywamy te o ajmiejszej wariacji. Efektywość ieobciążoego estymatora ĝ wielkości g( θ ) określamy jako ef ( gˆ ), d ( θ ) θ ( l (,..., )) dθ θ ozacza iformację Fishera zawartą w ciągu obserwacji X,.... X I E f X X 3. Przedziały ufości ( g ( θ )) Var ( gˆ ) I ( θ ) gdzie Niech g( θ ) będzie fukcją iezaego parametru. Rozważmy dwie statystyki g g( X,..., X ) i g g X X (,..., ). ówimy, że [ g, g ] jest przedziałem ufości dla g( θ ) a poziomie ufości α, jeśli dla każdego θ zachodzi: P( g( X,..., X ) g( θ ) g( X,..., X )) α. W przypadku rozkładów ciągłych mamy: P( g( X,..., X ) g( θ ) g( X,..., X )) α. 4. Testowaie hipotez statystyczych Niech będzie daa przestrzeń statystycza, czyli przestrzeń próbkowa wyposażoa w rodzię rozkładów prawdopodobieństwa { P θ, θ Θ }. Poadto Θ Θ Θ, Θ Θ. ówiąc o zagadieiu testowaia będziemy rozważali hipotezę zerową H : θ Θ i hipotezę alteratywą H : θ Θ. Testem hipotezy H przeciw alteratywie H azywamy statystykę δ : Ω {,}, gdzie ozacza decyzję o odrzuceiu H, atomiast ozacza, że ie odrzucamy H. Iymi słowy, testem statystyczym azywamy metodę postępowaia, która możliwym realizacjom próby losowej X,..., X określoej a przestrzei statystyczej przypisuje decyzję odrzuceia (albo przyjęcia) weryfikowaej hipotezy. W celu zbudowaia testu do weryfikacji postawioej hipotezy H ależy skostruować dwa dopełiające się zbiory W i W ( W W, W W R) oraz pewą statystykę T ( X,..., X ), zwaą statystyką testową, przy czym: jeżeli T ( X,..., X ) W, to H odrzucamy jeżeli T ( X,..., X ) W, to H przyjmujemy. Zbiór W azywamy zbiorem krytyczym, a zbiór W zbiorem przyjęć. Przeważie test ma postać δ ( X,..., X ) I( T( X,..., X ) > c), gdzie cjest liczbą zwaą poziomem krytyczym. W wyiku testowaia hipotezy H możemy popełić jede z dwu astępujących błędów: θ 3
14 ) odrzucimy weryfikowaą hipotezę H, gdy jest oa prawdziwa tzw. błąd pierwszego rodzaju; ) przyjmiemy weryfikowaą hipotezę H, gdy jest oa fałszywa tzw. błąd drugiego rodzaju. Sta rzeczy Decyzja δ δ ( δ ) H prawdziwa O.K. Błąd I rodzaju P H H prawdziwa Błąd II rodzaju P H ( δ ) O.K. P( δ H ) P( δ H ) azywamy fukcją mocy testu dla hipotezy alteratywej. ówimy, że δ jest testem a poziomie istotości α, jeśli sup P( δ H ) α. θ Θ Powtórzeie z Aalizy. Pochoda Niech f ( x,..., x ) : R R (fukcja skalara). Pochodą fukcji skalarej względem wektora x defiiujemy jako wektor pochodych cząstkowych: m Niech f ( x,..., x ) : R R (fukcja wektorowa). Powyższy zapis możemy iterpretować w astępujący sposób: f ( x,..., x ) ( f( x,..., x ),..., fm( x,..., x )), gdzie f i są fukcjami skalarymi. Na przykład: f : R R 3 f ( x, x, x3) ( x, x x3), f( x, x, x3) x, f( x, x, x3) x x Pochoda fukcji wektorowej względem wektora x to macierz wymiaru xm: m m m a β. a, a β β a Niech β [ β β β ] a [ a a a ],. Defiiujemy fukcję skalarą: k k 4
15 f ( β,..., β ) a β a β + a β a β. Dla każdego i k k k skalarej otrzymujemy: βi a i, więc zgodie z defiicją pochodej fukcji (**) a β Pochodą fukcji skalarej f względem x defiiujemy jako: a β a a a k k Korzystając z powyższej defiicji otrzymujemy: a a ak a a β a β a β a β (*) [ ] k Aβ 3. A, A A Niech A będzie macierzą wymiaru x atomiast β wektorem -elemetowym. Wówczas: a a a i i β a β i a a a β a i iβ i Aβ O a a a β a i iβ i. Czyli: a iβ i i a i i i a i iβ i β Aβ {Korzystamy z (*)}A a a a a a a β A [ β β βk ] a i iβi a i iβi a i iβ i, czyli: O a a a a i i a i i i i a i i i A β β β K {Korzystamy z (**)}A Aβ 4. ( A + A ) β β 5
16 Przy ozaczeiach z podpuktu 3) mamy: β Aβ β β a. Wówczas: Rozwiiemy l-ty elemet powyższej macierzy: Teraz możemy zapisać: Aβ i, j i j ij β β a i, j i j ij β β a Aβ β i, j i j ij β β a i, j i j ij. β i, j iβ ja β β ij ja j + β β j j ja j + + βl β j jalj + + β β j jaj l βa l + βa l βlall + β jalj βal β jalj + β ja jl β j ( alj + a jl ) β j ( a j + a j) j β j ( a j + a j) j ( A + A ) β β j ( aj + a j) j l j j j j Aβ Jeśli macierz A jest symetrycza, to A A, co upraszcza powyższy wzór do postaci: β Aβ 5. Warukiem koieczym (ale ie wystarczającym!) a istieie ekstremum fukcji f w pukcie się gradietu: * β jest zerowaie k 6. acierz drugich pochodych - Hessia Niech f ( x,..., x ) : R R (fukcja skalara). acierz drugich pochodych fukcji skalarej defiiujemy jako: 6
17 H ( x) f f f f f f O f f f Jeżeli fukcja f jest ciągła oraz ma ciągłe pochode cząstkowe pierwszego i drugiego rzędu, to Hessia jest macierzą symetryczą. 7. Waruek koieczy i wystarczający a istieie ekstremum dla fukcji skalarej Fukcja f ma maksimum w pukcie x *, jeśli: ( x *,..., x *) ( x *,..., x *) ( x*,..., x*) ( x *,..., x *) k (zerowaie się gradietu) oraz H ( x*,..., x*) f x x f x x f x x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) f x x f x x f x x ( *,..., *) ( *,..., *) ( *,..., *) O f ( x *,..., x *) f ( x *,..., x *) f x ( *,..., x *) jest ujemie określoa. W przypadku miimum, pierwszy waruek się ie zmieia, atomiast Hessia musi być dodatio określoy. 7
Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowo- macierz o n wierszach i k kolumnach. Macierz jest diagonalna jeśli jest kwadratowa i po za główną przekątną (diagonala) są
Powtórzeie z Algebry 1. Mcierz A k 1 11 1 1k 1 k k - mcierz o wierszch i k kolumch Mcierz est kwdrtow eśli m tyle smo wierszy co kolum ( = k). Mcierz est digol eśli est kwdrtow i po z główą przekątą (digol)
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowo1 Przedziały ufności. ). Obliczamy. gdzie S pochodzi z rozkładu B(n, 1 2. P(2 S n 2) = 1 P(S 2) P(S n 2) = 1 2( 2 n +n2 n +2 n ) = 1 (n 2 +n+2)2 n.
Przedziały ufości W tym rozdziale będziemy zajmować się przede wszystkim zadaiami związaymi z przedziałami ufości Będą as rówież iteresować statystki pozycyje oraz estymatory ajwiększej wiarygodości (Eg
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoX i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowobędą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu jednostajnego na przedziale ( 0,
Zadaie iech X, X,, X 6 będą iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), a Y, Y,, Y6 iezależymi zmieymi losowymi z rozkładu jedostajego a przedziale ( 0, ), gdzie, są iezaymi
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowo8 Weryfikacja hipotez statystycznych
Marek Beśka, Statystyka matematycza, wykład 8 04 8 Weryfikacja hipotez statystyczych 8. Hipotezy statystycze Drugą obok estymacji formą wioskowaia statystyczego jest weryfikacja hipotez statystyczych.
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoTESTY LOSOWOŚCI. Badanie losowości próby - test serii.
TESTY LOSOWOŚCI Badaie losowości próby - test serii. W wielu zagadieiach wioskowaia statystyczego istotym założeiem jest losowość próby. Prostym testem do weryfikacji tej własości jest test serii. 1 Dla
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoPodstawowe rozkłady zmiennych losowych typu dyskretnego
Podstawowe rozkłady zmieych losowych typu dyskretego. Zmiea losowa X ma rozkład jedopuktowy, skocetroway w pukcie x 0 (ozaczay przez δ(x 0 )), jeżeli P (X = x 0 ) =. EX = x 0, V arx = 0. e itx0.. Zmiea
Bardziej szczegółowoEstymatory nieobciążone o minimalnej wariancji
Estymatory ieobciążoe o miimalej wariacji Model statystyczy (X, {P θ, θ Θ}); g : Θ R 1 Zadaie: oszacować iezaą wartość g(θ) Wybrać takie δ(x 1, X 2,, X ) by ( θ Θ) ieobciążoość E θ δ(x 1, X 2,, X ) = g(θ)
Bardziej szczegółowosą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie Poissona z wartością oczekiwaną λ równą 10. Obliczyć v = var( X
Prawdoodobieństwo i statystyka 5..008 r. Zadaie. Załóżmy że 3 są iezależymi zmieymi losowymi o jedakowym rozkładzie Poissoa z wartością oczekiwaą λ rówą 0. Obliczyć v = var( 3 + + + 3 = 9). (A) v = 0 (B)
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowoModele probabilistyczne zjawisk losowych
Statystyka-matematycza-II Wykład Modele probabilistycze zjawisk losowych Pojęcia podstawowe: Zdarzeia elemetare: ajprostsze zdarzeie mogące być wyróżioe dla daego doświadczeia losowego. Ω - zbiór zdarzeń
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoA A A A11 A12 A1. m m mn
DODTEK NR. GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy ajważiejsze defiicje rachuku macierzowego i omówimy iektóre fukcje i trasformacje macierzy ajbardziej przydate w zastosowaiach umeryczych a w szczególości w
Bardziej szczegółowoPlanowanie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocnicze
Plaowaie doświadczeń - DPLD LMO Materiały pomocicze Układ bloków kompletie zradomizowaych Założeia: (a) Z jedostek doświadczalych tworzymy rówolicze grupy zwae blokami (b bloków) w taki sposób, aby jedostki
Bardziej szczegółowoµ = Test jest następujący: jeŝeli X > 0.01 to odrzucamy H. 0
7. Testowaie hipotez statystyczych 7. Populacja ma rozkład ciągły opisay fukcją gęstości f ( x) ( + ) x dla x [,]. Testowaa jest hipoteza, Ŝe wobec hipotezy alteratywej, Ŝe. Wioskujemy a podstawie jedoelemetowej
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Prawdopodobieństwo i statystyka.0.00 r. Zadaie Rozważy astępującą, uproszczoą wersję gry w,,woję. Talia składa się z 5 kart. Dobrze potasowae karty rozdajey dwó graczo, każdeu po 6 i układay w dwie kupki.
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoParametryczne Testy Istotności
Parametrycze Testy Istotości Wzory Parametrycze testy istotości schemat postępowaia pukt po pukcie Formułujemy hipotezę główą H odośie jakiegoś parametru w populacji geeralej Hipoteza H ma ajczęściej postać
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowoMetoda łączona. Wykład 7 Dwie niezależne próby. Standardowy błąd dla różnicy dwóch średnich. Metoda zwykła (niełączona) n2 2
Wykład 7 Dwie iezależe próby Często porówujemy wartości pewej zmieej w dwóch populacjach. Przykłady: Grupa zabiegowa i kotrola Lekarstwo a placebo Pacjeci biorący dwa podobe lekarstwa Mężczyźi a kobiety
Bardziej szczegółowoKURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1
KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowon n X n = σ σ = n n n Ponieważ zmienna losowa standaryzowana ma rozkład normalny N(0, 1), więc
5.3. Zagadieia estymacji 87 Rozważmy teraz dokładiej zagadieie szacowaia wartości oczekiwaej m zmieej losowej X o rozkładzie ormalym N(m, F), w którym odchyleie stadardowe F jest zae. Niech X, X,..., X
Bardziej szczegółowoRozkład χ 2 = + 2π 2. Niech zmienna losowa x ma rozkład normalnyn(x; µ,σ). Znajdziemy rozkład zmiennej:
Rozkład χ Niech ziea losowa a rozkład oralyn(; µ,). Zajdziey rozkład zieej: µ Stadaryzjąc zieą losową µ otrzyjey stadaryzoway rozkład Gassa: ( ;, ) ep N 0 π Rozkład zieej a więc postać: d ( X + ) N N ep
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n
Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam
Bardziej szczegółowo3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń
3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoLiczebnośd (w tys.) n
STATYSTYKA Statystyka bada prawidłowości w zjawiskach masowych (tz. takich, które mogą występowad ieograiczoą ilośd razy). Przedmiotem badao statyki są zbiory (populacje), których elemetami są wszelkiego
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIII, 30.05.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3
L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności
Estymacja przedziałowa - przedziały ufości Próbę -elemetową charakteryzujemy jej parametrami (p. x, s, s ). Służą oe do ocey wartości iezaych parametrów populacji (m, σ, σ). Nazywamy je estymatorami puktowymi
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoStatystyka Matematyczna Anna Janicka
Statystyka Matematycza Aa Jaicka wykład XIV, 06.06.06 STATYSTYKA BAYESOWSKA CD. Pla a dzisiaj. Statystyka Bayesowska rozkłady a priori i a posteriori estymacja Bayesowska: Bayesowski Estymator Największej
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R
Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą
Bardziej szczegółowoP ( i I A i) = i I P (A i) dla parami rozłącznych zbiorów A i. F ( ) = lim t F (t) = 0, F (+ ) = lim t + F (t) = 1.
Podstawy teorii miary probabilistyczej. Zbiory mierzale σ ciało zbiorów Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodzią podzbiorów Ω, że: Ω F A F A F i I A i F i I A i F Wtedy rodzię F azywamy
Bardziej szczegółowo