Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Transkrypt

1 Modele i arzędzia optymalizacji w systemach iformatyczych zarządzaia Prof. dr hab. iż. Joaa Józefowska Istytut Iformatyki Orgaizacja zajęć 8 godzi wykładów prof. dr hab. iż. J. Józefowska dyżur: poiedziałek , p..6. BT 8 godzi laboratorium prof. dr hab. iż. J. Józefowska Ok. 20 godzi pracy poza zajęciami Obecość a laboratoriach jest obowiązkowa! 2 Program zajęć. Programowaie liiowe 2. Zagadieie trasportowe 3. Programowaie dyamicze. Gry dwuosobowe o sumie zerowej Zaliczeie Laboratorium: Opracowaie modelu matematyczego Rozwiązaie zadaia Iterpretacja rozwiązaia Wykoaie sprawozdaia wg wzorca a stroie Każde ćwiczeie jest oceiae średia jest oceą a zaliczeie. Przedmiotu: Zaliczeie laboratorium jest warukiem dopuszczeia do egzamiu Krótkie sprawdziay przed każdym wykładem Egzami odbędzie się zgodie z harmoogramem sesji możliwy przedtermi 3 Orgaizacja zajęć laboratoryjych spotkaia obecość obowiązkowa. Nieobecość musi być odrobioa w iym termiie. Zadaia są realizowae w grupach dwuosobowych. Literatura. Badaia operacyje, red. E. Igasiak, PWE, Warszawa Błażewicz J., Cellary W., Słowiński R., Węglarz J., Badaia operacyje dla iformatyków, skrypt Politechiki Pozańskiej 37, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej, Pozań Chapma C. B., Cooper D. F., Page M. J., Maagemet for Egiers, Joh Wiley & Sos, Chichester, Ecker J. G., Kupferschmidt M., Itroductio to Operatios Research, Joh Wiley & Sos, New York Faure R., Boss J., Badaia operacyje, PWN, W-wa Fideise W., Szymaowski J., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeiowe optymalizacji, PWN, Warszawa Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Waosz A., Badaia operacyje w przykładach i zadaiach, red. K. Kukuła, Pracowia Poligraficza Akademii Ekoomiczej w Krakowie, Kraków Neal F., Share R., Proces budowy modeli ekoomiczych, PWN, W-wa Siudak M., Badaia operacyje, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa Trzaskalik T., Wprowadzeie do badań operacyjych z komputerem, Polskie Wydawictwo Ekoomicze, W-wa Wager H., Badaia operacyje, PWE, W-wa

2 Literatura. Badaia operacyje, red. E. Igasiak, PWE, Warszawa Błażewicz J., Cellary W., Słowiński R., Węglarz J., Badaia operacyje dla iformatyków, skrypt Politechiki Pozańskiej 37, Wydawictwo Politechiki Pozańskiej, Pozań Chapma C. B., Cooper D. F., Page M. J., Maagemet for Egiers, Joh Wiley & Sos, Chichester, Ecker J. G., Kupferschmidt M., Itroductio to Operatios Research, Joh Wiley & Sos, New York Faure R., Boss J., Badaia operacyje, PWN, W-wa Fideise W., Szymaowski J., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeiowe optymalizacji, PWN, Warszawa Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Skrzypek J., Waosz A., Badaia operacyje w przykładach i zadaiach, red. K. Kukuła, Pracowia Poligraficza Akademii Ekoomiczej w Krakowie, Kraków Neal F., Share R., Proces budowy modeli ekoomiczych, PWN, W-wa Siudak M., Badaia operacyje, Oficya Wydawicza Politechiki Warszawskiej, Warszawa Trzaskalik T., Wprowadzeie do badań operacyjych z komputerem, Polskie Wydawictwo Ekoomicze, W-wa Wager H., Badaia operacyje, PWE, W-wa 990. Badaia operacyje Problem Model matematyczy Metoda rozwiązaia Zaleźć optymaly program produkcji. Zmaksymalizować () Przy ograiczeiach (2) (3) (), 2, 3 0 (5) Algorytm simple Metoda Chaczijaa Algorytm programowaia dyamiczego 7 8 Programowaie liiowe Pla wykładu Problem programowaia liiowego Postać kaoicza Postać stadardowa Algorytm simple Początkowa baza dopuszczala Tablica simpleks Waruek optymalości rozwiązaia Zmiaa bazy Trasformacja tablicy Metoda sztuczej bazy Metoda graficza 9 0 Przykład zastosowaia PL Mały warsztat aprawia trzy rodzaje urządzeń B, B2, B3. Każde urządzeie zawiera trzy podstawowe elemety: E, E 2, E 3. Naprawa polega a demotażu i/lub motażu elemetów E,E 2,E 3 według określoej techologii. Tabela przedstawia przebieg każdej aprawy, zysk z aprawy urządzeia określoego typu oraz zapas elemetów E,E 2, E 3 wfirmie. Przykład zastosowaia PL Elemet Urządzeie E E2 E3 zysk [$/szt] B B2-3 3 B Zapas [szt.] Aby określić optymaly z puktu widzeia maksymalizacji zysku zakres apraw budujemy model liiowy problemu. 2 2

3 Sformułowaie problemu Niech ozacza plaowaą liczbę sztuk urządzeia B 2 ozacza plaowaą liczbę sztuk urządzeia B2 3 ozacza plaowaą liczbę sztuk urządzeia B3 Całkowity zysk z aprawy urządzeń: Zakład ma zapas 7 sztuk elemetu E Liczba sztuk elemetu E potrzeba do realizacji produkcji: Sformułowaie problemu Zmaksymalizować () Przy ograiczeiach (2) (3) () Podobie dla elemetów E2 i E3: , 2, 3 0 (5) 3 Model liiowy zmaksymalizować cjj fukcja celu (kryterium) przy ograiczeiach aij j bi, i =, K,m Model liiowy zmiea decyzyja zmaksymalizować cj j przy ograiczeiach aijj bi, i =, K,m (i) (ii) ograiczeia j 0, j =, K, parametry j 0, j =, K, (iii) 5 6 Model liiowy postać kaoicza zmaksymalizować cj j przy ograiczeiach aijj bi, i =, K,m Model liiowy zmiimalizować cj j przy ograiczeiach aij j bi, i =, K,m j 0, j =, K, j 0, j =, K, 7 8 3

4 c = Model liiowy postać stadardowa zmaksymalizować przy ograiczeiach [ c,c, K,c ] 2 2 = K c A = b 0 a K a A = K K K am K am b b 2 b = K bm Podstawowe defiicje Rozwiązaiem dopuszczalym zagadieia programowaia liiowego jest wektor =(, 2,..., ), spełiający waruki (ii) oraz (iii). Rozwiązaiem bazowym układu rówań (ii) azywamy rozwiązaie układu powstałego przez przyrówaie do zera m zmieych przy założeiu, że wyzaczik współczyików pozostałych m zmieych jest iezerowy. Te m zmieych azywamy zmieymi bazowymi. Niezdegeerowaym rozwiązaiem bazowym dopuszczalym azywamy bazowe rozwiązaie dopuszczale, w którym wszystkie zmiee bazowe są dodatie. Maksymalym (miimalym) rozwiązaiem dopuszczalym jest rozwiązaie dopuszczale, które maksymalizuje (miimalizuje) fukcję celu (i) sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik >0, i B; b. przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' =. sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = 2 22 Postać kaoicza problemu PL Zmaksymalizować: Przy ograiczeiach: , 2, 3 0 Postać stadardowa problemu PL Wszystkie ograiczeia mają postać rówań dodajemy zmiee osłabiające (s i 0), z Jak to zrobić? zerowymi współczyikami w fukcji celu Wektor prawych stro ograiczeń jest ieujemy (b 0) możymy obustroie rówaie przez ( ) Fukcja celu jest maksymalizowaa Jak to zrobić? możymy fukcję celu przez ( ) Jak to zrobić? 23 2

5 Sprowadzeie ograiczeń do postaci rówań Fukcja celu jest maksymalizowaa Problem w postaci stadardowej Zmaksymalizować: s + 0s 2 + 0s 3 Zmaksymalizować: s + 0s 2 + 0s 3 Przy ograiczeiach: s = 7 Przy ograiczeiach: s = s 2 = s 2 = s 3 0 = s 3 = 0 Wektor prawych stro ograiczeń jest dodati, 2, 23, s 3, s 2 0, s 3 0, 2, 3, s, s 2, s sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = Dopuszczale rozwiązaie bazowe Rozwiązaiem bazowym jest rozwiązaie, które powstaje przez przyrówaie do zera m zmieych i rozwiązaie powstałego układu rówań. Jeżeli w rozwiązaiu bazowym Uwaga: wartości w postaci stadardowej zawsze >m wszystkich zmieych są ieujeme, to jest oo rozwiązaiem bazowym dopuszczalym Zalezieie bazy początkowej Zalezieie bazy początkowej Zmaksymalizować: Przy ograiczeiach: s = s = s 2 = s 2 = s 3 = s 3 = 0 Niech = 2 = 3 = 0, 2, 23, s 3, s 2 0, s Niech = 2 = 3 = 0 Jest to rozwiązaie bazowe dopuszczale 30 5

6 . sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = i i Numer wiersza tablicy. Liczba wierszy: m+. i B Nazwy wektorów tworzących bazę. s 2 2 s s i B c B s 0 Współczyiki przy zmieych bazowych w fukcji celu. i B c B Wartości zmieych RHS bazowych w bieżącym rozwiązaiu. s s s s s

7 i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 Współczyiki przy zmieych w fukcji i B c B celu RHS 2 3 s s 2 s 3 s 0 7 s s s Nazwy wszystkich 3 s 3 0 zmieych. 0 3 s Współczyiki przy zmieych i w ograiczeiach. B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 zj = ciij i B i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s s s s Wiersz wskaźikowy. 39 Wartości c j -z j 0 zj = ciij i B i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s s s s Wiersz wskaźikowy. Wartości c j -z j Wartość fukcji celu w bieżącym rozwiązaiu. 2 7

8 i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = 3 i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s s s s sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik >0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' Jeżeli wszystkie ik 0, i B, = to fukcja celu może przyjmować dowolie duże c. wrócić wartości do kroku (rozwiązaie. ieograiczoe). koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s

9 koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s s s s wiersz l 3 s s / < 0/3 9 elemet cetraly przekształceia 50 koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s wiersz l 3 s zmiea 2 (z kolumy k) zastępuje w bazie zmieą s 2 (z wiersza l). sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = 5 52 koluma j koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 koluma j koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s wiersz i wiersz l s wiersz i wiersz l 3 s s * =2,

10 koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 koluma k i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s 0 5/2 0 2 / 0 0 s 0 5/2 0 2 / wiersz l 3 s 3 0 5/ / /2 0 0 / 0 3 wiersz l 3 s 3 0 5/ / / / 0 / / sprowadzić problem do postaci stadardowej; 2. zaleźć dopuszczale rozwiązaie bazowe;. wybrać ajwiększy elemet wiersza wskaźikowego ( m+,k ); 5. jeżeli jego wartość jest dodatia, to a. Wyzaczyć elemet o ajmiejszym ilorazie b ik / ik dla ik 0, i B; b. Przekształcić tablicę simple przyjmując elemet za elemet cetraly przekształceia stosując astępujące wzory: ' = ik ij ij ' = Tablica simpleks i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s 0 5/2 0 2 / /2 0 0 / s 3 0 5/ / / / Tablica simpleks i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 Tablica simpleks i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s 0 5/2 0 2 / 0 0 s 0 5/2 0 2 / /2 0 0 / /2 0 0 / s 3 0 5/ / 3 s 3 0 5/ / / / 0 9 / /

11 Tablica simpleks i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 Końcowa tablica simpleks i B c B RHS 2 3 s s 2 s 3 s 0 5/2 0 2 / /5 2/5 / /2 0 0 / /5 /5 3/ s 3 0 5/ / 3 s /2 / / /5 -/5 -/ = Rozwiązaie 2 =5 optymale 3 =0 z= s i=0 B c B RHS s 2 =0 s 3 = 2 3 s s 2 s 3 0 /5 2/5 / /5 /5 3/ s / /5 -/5 -/5 0 Iterpretacja rozwiązaia Maksymaly zysk to $. Należy aprawić szt. urządzeia B i 5 szt. urządzeia B2, atomiast ie ależy przyjmować zleceń a aprawę urządzeia B3. Wartości zmieych uzupełiających ozaczają zapas części, który pozostaie w magazyie po zakończeiu produkcji. Elemety E i E2 zostaą zużyte, atomiast pozostaie szt. Elemetu E Problem w postaci stadardowej Przykład 2 Zmaksymalizować: s + 0s 2 + 0s 3 Zmiimalizować: Przy ograiczeiach: s = 7 Przy ograiczeiach: s 2 = s 3 = , 2, 3, s, s 2, s 3 0, 2,

12 Postać stadardowa Zmaksymalizować: Metoda sztuczej bazy Przy ograiczeiach: s = 3 Baza dopuszczala? s 2 = s 3 = 2, 2, 3 0 Algorytm simple Metoda sztuczej bazy I. Wprowadzamy k m zmieych sztuczych. Zmiee te są ieujeme, a ich współczyiki w fukcji celu przyjmują wartość ( M), gdzie M jest dużą liczbą dodatią. II. Tablicę simpleks ze sztuczymi wektorami przekształcamy jak zwykłą tablicę, dopóki:. wszystkie sztucze wektory zostaą wyelimiowae z bazy, tj. mamy bazę dopuszczalą pierwotego zagadieia; 2. brak dodatich współczyików przy M w wierszu wskaźikowym a. jeżeli sztucza część fukcji celu jest dodatia, to zagadieie ie ma rozwiązaia dopuszczalego; b. jeśli sztucza część fukcji celu jest rówa zero, to mamy zdegeerowae rozwiązaie dopuszczale pierwotego zagadieia, które zawiera co ajwyżej jede sztuczy wektor. Przekształcamy tablicę simpleks wprowadzając do bazy wektor, który odpowiada ajwiększemu dodatiemu elemetowi wiersza wskaźikowego przy zerowej wartości współczyika przy M. III. Kolumy odpowiadające zmieym sztuczym, które opuściły bazę moża elimiować z obliczeń. IV. Po otrzymaiu bazy dopuszczalej zagadieia pierwotego kotyuujemy realizację algorytmu simpleks aż do otrzymaia rozwiązaia problemu pierwotego. 69 Sztucza baza Zmaksymalizować: Ma Ma 3 Przy ograiczeiach: s + a = s 2 = s 3 + a 3 = 2, 2, 3, s, s 2, s 3, a, a 3 0 = 2 = 3 = s = s 3 = 0 70 Sztucza baza i B c B M -M RHS 2 3 s s 2 s 3 a a 3 Zmaksymalizować: Ma Ma 3 a -M Przy ograiczeiach: a = 3 2 s s 2 = 5 a 3 = 2 3 a 3 -M M +5M +2M -M 0 -M 0 0-5M = 2 = 3 = s = s 3 =

13 Rozwiązaie Przykład 3 Zmiimalizować: Zmaksymalizować: Przy ograiczeiach: EploreLP.ee , Rozwiązaie EploreLP.ee Podsumowaie Sformułowaie problemu PL w postaci stadardowej Metoda sztuczej bazy Metoda graficza