IMPUTACJE I JĄDRO GRY

Transkrypt

1 IMPUTACJE I JĄDRO GRY Staisław Kowalik Katedra Zarządzaia i Iżyierii bezpieczeństwa, Politechika Śląska Akademicka 2, Gliwice, Polska Staislaw.Kowalik@polsl.pl Abstrakt: Praca dotyczy gier -osobowych kooperacyjych. Na przykładzie gry 3-osobowej przedstawioo możliwe wypłaty dla różych koalicji w tej grze oraz dla poszczególych graczy. Następie określoo fukcję charakterystyczą gry. Wykorzystując fukcję charakterystyczą gry zdefiiowao pojęcie imputacji i jądra gry. Zbiór imputacji i jądro gry zilustrowao a rysuku. Abstract: The work cocers the game -perso cooperative. For example, the game 3-perso the possible paymets to the various coalitios i the game ad for idividual players. The the characteristic fuctio game. Usig the characteristic fuctio of the game defied the cocept of imputatio ad ucleus of the game. Sets of imputatio ad ucleus of the game illustrated i the picture. 1. Kooperacyje gry -osobowe N-osobowa gra w postaci ormalej określoa jest przez: 1) zbiór złożoy z graczy, 2) zbiorów strategii S 1, S 2,, S, gdzie S i jest zbiorem strategii i-tego gracza, 3) fukcji wypłat W 1, W 2,, W o wartościach rzeczywistych, gdzie W i (s 1, s 2,, s ) jest wypłatą dla gracza i-tego, gdy gracz 1 używa strategii s 1, gracz 2 używa strategii s 2, i gracz używa strategii s. W grach -osobowych występuje możliwość tworzeia koalicji. Gdy graczy jest dużo, to liczba możliwych koalicji jest ogroma. Przez kooperację graczy rozumiemy uzgodieie między imi stosowaych strategii. Celem kooperacji jest osiągięcie lepszego wyiku gry dla tworzeia koalicji. Osoby problem staowi podział zysków dla graczy tworzących koalicję. Nasze rozważaia zilustrujemy dla gry a przykładzie 1. Rozważymy kolejo możliwość i opłacalość stworzeia koalicji przez wszystkich trzech graczy A, B i C jedocześie. Następie rozważymy koalicję graczy B i C przeciw graczowi A, potem koalicję graczy A i C przeciw graczowi B, a a końcu koalicję graczy A i B przeciw graczowi C. 128

2 Przykład 1 [3] Daa jest 3-osobowa gra, w której gracz A ma 3 strategie α 1, α 2, α 3, gracz B ma 2 strategie β 1, β 2, i gracz C ma 2 strategie γ 1, γ 2. W 1 ozacza wypłatę dla gracza A, W 2 dla gracza B, a W 3 dla C. Wypłaty w tej grze przedstawioe są w tabeli 1. Wypłaty w 3-osobowej grze Tabela 1 Numery strategii Wartości wygraych α β γ W 1 W 2 W Możliwe wypłaty przy różych koalicjach pokazae są w tabeli 2. Wypłaty dla różych wariatów koalicyjych gry Strategie dla A dla B Tabela 2 dla C Bez kooperacji, a podstawie strategii mieszaych α α 3 ; β 2 ; 0.5γ γ Bez kooperacji z wykorzystaiem puktu rówowagi (α 3, β 1, γ 1 ) Koalicja A, B, C; (α 2, β 2, γ 2 ) Koalicja B, C przeciw A; α α 3 ; β 1 γ β 2 γ Koalicja A, C przeciw B; (α 1 γ 1, β 2 ) Koalicja A, B przeciw C; α 1 β α 2 β 2 ; 0.5γ γ Okazuje się, że spośród rozważaych przypadków tej gry ie ma jedego ajlepszego dla wszystkich. Najbardziej korzysta wydaje się koalicja wszystkich trzech graczy, dająca wypłaty (4.8, 7.2, 6), oraz koalicja A i C, dająca wypłaty (5.6617, 6, ). Gracze po takiej aalizie mogliby też uzgodić iy podział zysków, tak aby określoa koalicja była satysfakcjoująca pod względem wypłat wszystkich jej człoków. Określoy gracz mógłby też dokoać pewych dodatkowych, uboczych wypłat pozostałym graczom, w celu akłoieia ich a iy wariat strategii. 129

3 2. Fukcja charakterystycza gry Ze wzrostem liczby uczestików gry rośie ogromie możliwość tworzeia różych koalicji (tak pod względem liczebości koalicji, jak i składu). Powoduje to, że zastosowaie wygodych metod wykorzystujących gry iekooperacyje do opisu gier kooperacyjych, staje się bardzo iewygode lub wręcz iemożliwe. Stworzoo więc ią metodę opisu gier kooperacyjych za pomocą tzw. fukcji charakterystyczej określoej a rodziie podzbiorów zbioru wszystkich uczestików gry. W celu oszacowaia, jaka koalicja ma szasę powstać i jaką siłą dyspouje, defiiuje się fukcję charakterystyczą. Zakładamy, że mamy zbiór I = {1, 2,..., } złożoy z graczy. Dla dowolej koalicji S obliczamy strategię mieszaą, która gwaratuje jej wygraą ν(s), iezależie od tego, jakich strategii użyje kokurecja. Pozostałych graczy iewchodzących do koalicji, traktuje się jak atykoalicję. Koflikt między koalicją a atykoalicją staowi grę dwuosobową o sumie zerowej. Wartość ν(s) obliczamy dla każdej możliwej koalicji, tworząc w te sposób fukcję ν, której dziedzią są podzbiory zbioru I = {1, 2,..., }, a wartościami liczby rzeczywiste. Fukcja ν spełia dwie własości [4]: 1) ν( ) = 0, 2) jeżeli R i S są dwoma rozłączymi podzbiorami graczy, to: ν(r S) ν(r)+ν(s). (1) Symbol w pierwszej własości ozacza zbiór pusty (brak graczy). Waruek te odzwierciedla iemoc strategiczą zbioru pustego. Własość druga ozacza, że dowola koalicja jest co ajmiej tak sila, jak dowola para podkoalicji rozłączych. Dla przykładu 1 (tabela 2) fukcja ν(s) przedstawia się astępująco: Tabela 3 Fukcja charakterystycza dla przykładu 1 Koalicja S {A} {B} {C} {A, B} {A, C} {B, C} {A, B, C} ν(s) Z tej tabeli wyika, że ajwiększą siłą dyspoują koalicje w kolejości {A, B, C}, {A, C}, {A, B} i {B, C}. 3. Imputacje Rozważaia wcześiejsze dotyczyły siły możliwych, różych koalicji w -osobowej grze z wypłatami uboczymi. Teraz zajmiemy się zagadieiem, jakie wypłaty mogą otrzymać gracze a końcu gry. Ozaczymy przez x i wypłatę i-tego gracza. Wtedy zbiór wypłat wszystkich graczy staowi -kę (wektor) liczb rzeczywistych (x 1, x 2,..., x ). Defiicja 1 Wektor (x 1, x 2,..., x ) azywa się idywidualie racjoalym, jeżeli: ν({i}). (2) i I x i Defiicja 2 Wektor (x 1, x 2,..., x ) azywa się optymalym w sesie Pareto, jeżeli: x = ν(i ). (3) i I i 130

4 Defiicja 3 Wektor (x 1, x 2,..., x ) idywidualie racjoaly i optymalym w sesie Pareto azywa się imputacją gry z fukcją charakterystyczą ν. Imputacja gry spełia waruki (2) i (3). Jest to pewa racjoala propozycja podziału łączej wypłaty między graczy. Waruek (2) mówi, że wypłata każdego gracza powia być co ajmiej taka, jak jego wartość fukcji charakterystyczej. Natomiast waruek (3) mówi, że suma wypłat wszystkich graczy powia rówać się wartości fukcji charakterystyczej dla koalicji utworzoej z wszystkich graczy. Przykład 2 [3] Daa jest gra określoa przez fukcję charakterystyczą ν. Wartości tej fukcji podae są w tabeli 4. Tabela 4 Gra dla przykładu 2 Koalicja S {A} {B} {C} {A, B} {A, C} {B, C} {A, B, C} ν(s) Zbiór imputacji tej gry określoy jest przez waruki: x 1 2, x 2 2, x 3 3, x 1 + x 2 + x 3 = 12. Zbiór te pokazay został a rysuku 1. Trójkąt o wierzchołkach (12, 0, 0), (0,12, 0), (0, 0, 12) odzwierciedla graficzie zależość x 1 + x 2 + x 3 = 12, iymi słowy, pukty (x 1, x 2, x 3 ), ależące do tego trójkąta, spełiają tę rówość. Dodatkowe ograiczeia x 1 2, x 2 2, x 3 3 powodują, że zbiór imputacji jest zawężoy do miejszego, zaciemioego trójkąta. Zaciemioy trójkąt zawarty jest w większym trójkącie (leży a tej samej płaszczyźie). Tak więc zbiór imputacji staowią pukty (x 1, x 2, x 3 ) zawarte w trójkącie o wierzchołkach (7, 2, 3), (2, 7, 3), (2, 2, 8). Rys. 1. Zbiór imputacji dla przykładu 2 [3] Rys. 2. Jądro gry dla przykładu 2 [3] 4. Jądro gry Bardzo iteresującą propozycją podziału łączej wypłaty jest rozwiązaie ależące do tzw. jądra gry. Jądro jest pewym zawężeiem zbioru imputacji. 131

5 Defiicja 4 Zbiór wektorów (x 1, x 2,..., x ), spełiających waruek: x (S), (4) i ν S I i S azywa się jądrem gry. Żada grupa graczy koalicji S ie ma ai możliwości, ai też żadych racjoalych przesłaek, aby doprowadzić do imputacji ieależącej do jądra gry [1]. Zasadiczym makametem tego rozwiązaia jest fakt, że dla wielu gier jądro jest zbiorem pustym. Aby otrzymać jądro gry, do waruków określających imputację dodaje się jeszcze waruki dotyczące poszczególych koalicji. Waruek (2), dotyczący idywidualej racjoalości, odosi się do poszczególych graczy. Waruek (3), dotyczący optymalości w sesie Pareto, odosi się do jedej łączej koalicji utworzoej z wszystkich graczy. Waruek (4) mówi atomiast, że poszczególe koalicje powiy mieć zagwaratowae (lub większe) wypłaty określoe przez wartości fukcji charakterystyczej tych koalicji. Dla gry z przykładu 2, opisaej w tabeli 4 określimy jądro gry. Do waruków określających zbiór imputacji: x 1 2, x 2 2, x 3 3, x 1 + x 2 + x 3 = 12, dodamy jeszcze waruki związae z koalicjami: x 1 + x 2 5, x 1 + x 3 7, x 2 + x 3 8. Po przekształceiu tych waruków otrzymujemy: 2 x 1 4, 2 x 2 5, 3 x 3 7, x 1 + x 2 + x 3 = 12. Obszar określoy przez te związki wyzacza jądro gry. Jest oo pokazae a rysuku 2. Jądro gry w tym przypadku jest pięciobokiem zawartym w trójkącie zbioru imputacji. Jądro zostało utworzoe przez dodatkowe cięcia trójkąta zbioru imputacji płaszczyzami ograiczającymi o rówaiach x 1 = 4, x 2 = 5, x 3 = 7. Wierzchołki owo utworzoego pięcioboku jądra są astępujące: (4, 2, 6), (3, 2, 7), (2, 3, 7), (2, 5, 5), (4, 5, 3). 5. Zakończeie Z przeprowadzoych rozważań wyika, że ai imputacje ai jądro gry ie staowią jedego kokretego rozwiązaia gry. Są to zbiory dopuszczalych i możliwych do przyjęcia rozwiązań. Zalezieie kokretych rozwiązań gry wykracza poza zakres tematyczy tego opracowaia. Propozycje rozwiązań takich jak rozwiązaie z podziałem rówomierym, wartość gry Shapleya, ε-rozwiązaie moża zaleźć w literaturze [1-5] oraz rozwiązaie K i rozwiązaie K1 w literaturze [3]. Literatura 1. Ameliańczyk A.: Teoria gier. WAT, Warszawa Kałuski J.: Teoria gier. Wydawictwo Politechiki Śląskiej, Gliwice Kowalik S.: Teoria gier z zastosowaiami góriczymi. Wydawictwo Politechiki Śląskiej, Gliwice Luce R.D., Reiffa H.: Gry i decyzje. PWE, Warszawa Płoka E.: Wykłady z teorii gier. Wydawictwo Politechiki Śląskiej, Gliwice