Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R"

Transkrypt

1 Kresy zbiorów. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 7, : materiał z zad Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem górym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z dołu, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x Z x M azywamy ograiczeiem dolym zbioru Z. Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym, jeżeli jest jedocześie ograiczoy z dołu i z góry. Defiicja: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to kresem górym zbioru Z azywamy jego ajmiejsze ograiczeie góre i stosujemy ozaczeie supz. Istieie takiego ajmiejszego ograiczeia wyika z zasady ciągłości Dedekida. Jeżeli zbiór Z jest ieograiczoy z góry, przyjmujemy supz = +. Poadto przyjmujemy sup =. Aalogiczie określamy kres doly zbioru, ozaczay przez if Z. Wiosek: Jeżeli iepusty zbiór Z R jest ograiczoy z góry, to liczba G jest jego kresem górym wtedy i tylko wtedy, gdy oraz Zadaia. ε>0 x Z x Z x G x > G ε. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 197. { x R : x 2 < 2 { : N { m +1 : m, N 200. { x R : x 4 5 { m { m : m, N, m < mk 202. m k : m,,k 3 N Niech A i B będą iepustymi ograiczoymi zbiorami liczb rzeczywistych. Niech a 1 = ifa, a 2 = supa, b 1 = ifb, b 2 = supb. Co moża powiedzieć o astępujących kresach: Lista Stroy 23-38

2 203. if{ a : a A 204. sup{a 2 : a A 205. if{a 2 : a A 206. sup{a b : a A, b B 207. sup{ab : a A, b B 208. if{ab : a A, b B 209. Zbiory A i B są iepuste i ograiczoe. Zbiór B jest skończoy i wszystkie jego elemety są róże od 0. Czy zbiór { a : a A, b B musi być ograiczoy? Odpowiedź b uzasadić A jest takim iepustym zbiorem ograiczoym liczb rzeczywistych, że ifa = 3, supa = 2. Jakie wartości mogą przyjmować kresy zbioru { a : a A? Odpowiedź uzasadić przykładem lub dowodem Podać przykład takich zbiorów A, B, że ifa = 2, supa = 7, ifb = 3, supb = 10, ifa B = 4, supa B = 6, A N = B N =. Niepotrzebe skreślić. W każdej parze ramek tylko jeda zawiera sesowe uzupełieie tekstu matematyczego. Twierdzeie 212. Niech A i B będą iepustymi zbiorami ograiczoymi. Niech C = {a b : a A b B. Wtedy ifc = ifa supb supb ifa. Dowód: Niech d = ifa i g = supb. Wtedy z waruku d = ifa wyika, że 1 oraz 2 ε>0 ε>0 a d a d a < d+ε a > d ε. Podobie z waruku g = supb wyika 3 oraz b B b B b g b g 4 b < g +ε b > g ε. ε>0 ε>0 b B b B Chcemy wykazać, że ifc = e, gdzie e = d g g d, czyli, że 5 oraz c C c C c e c e 6 c < e+ε c > e ε. ε>0 ε>0 c C c C W dowodzie waruku 5 skorzystamy z 1 i 3. Zakładając 5 wykażemy prawdziwość waruków 1 i 3. Dowola Istieje liczba c C jest będąca postaci c = a b, gdzie a A i b B. Z ierówości a d a d i b g b g otrzymujemy a b e a b e, co dowodzi 5. Lista Stroy 23-38

3 Załóżmy Wykażemy teraz prawdziwość waruku 6. Niech ε będzie dowolą liczbą dodatią. Wtedy Zajdziemy taką liczbę dodatią ε, dla której istieje a A takie, że a > d ε a < d+ ε oraz b B takie, że 2 b < g +ε b > g ε. Zatem liczba c = a b spełia ierówość 2 c < e+ε c > e ε, co kończy dowód waruku 6. Wyzaczyć kres góry i doly astępujących zbiorów. Zbadać, czy podae zbiory zawierają swoje kresy: 213. { x 2 : x 4, 9 { : N { { : N 216. : N 2009 { { m : m, N : N { 2 + : N 220. { 3 m 2 : m, N { { 7 m m : m, N : m, N m { m { 3m : m, N 224. : m, N m m 225. { 37 5 : N 226. { 37 6 : N 227. { 37 7 : N 228. { 37 8 : N { m 229. m : m, N Kowersatorium Przeczytaj poiższe waruki. Które z ich są rówoważe temu, że g = supa? 230. a g a < g +ε ε> a g a g < ε ε> a g a > g 2ε ε> a g > g ε>0a ε a g > g Na 1 Lista Stroy 23-38

4 a g N 2 g a < 1 a < g a g 2 < ε ε>0 a g a g 2 < ε ε>0 a g a > ε ε<g a g a > g ε ε<g a g a > g ε 0<ε<1 a g a g ε ε>0 a g a g ε a g ε 0 a > g ε ε 0 a g b g+a 2 b A a g a g a 2 0 a g a g a > g ε ε>0 b A b A b g+a 2 b g+a 2 Zadaia do samodzielego rozwiązaia. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = {x 2 : x 3, 2 ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {x 3 : x 3, 2 ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista Stroy 23-38

5 { C = 5 13 : N N = {1,2,3,4,5,... ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { D = : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { 2 5 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E... { F = : N iff =... supf =... Czy kres doly ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F... { G = 2 1 : N ifg =... supg =... Czy kres doly ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G... { H = +1 1 m+2 : m, N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H... m I = : m, N 2m2 < 3 2 ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = : m, N 2m > 3 ifj =... supj =... Czy kres doly ależy { do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J... m K = m 2 +9 : m, 2 N ifk =... supk =... Czy kres doly ależy { do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K L = : N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy { do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... m M = : m,,p N m 2 > 2p 2 2 > 3p 2 p ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Lista Stroy 23-38

6 249. W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być{ liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo A = 5 m : m, 2 N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly{ ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = 2 7 : N ifb =... supb =... Czy kres doly{ ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B C = x : x 1 2, 1 N 5 ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = { 2 +3 : N ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = {log log 2 : N ife =... supe =... Czy kres doly{ ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E F = 3+7 : N iff =... supf =... Czy kres doly{ ależy do zbioru F... Czy kres góry ależy do zbioru F G = 3 7 : N ifg =... supg =... Czy kres doly{ ależy do zbioru G... Czy kres góry ależy do zbioru G H = : N ifh =... suph =... Czy kres doly{ ależy do zbioru H... Czy kres góry ależy do zbioru H I = 2! : N ifi =... supi =... Czy kres doly ależy { do zbioru I... Czy kres góry ależy do zbioru I... m J = m 2 + : m, 4 N ifj =... supj =... Czy kres doly ależy do zbioru J... Czy kres góry ależy do zbioru J K = { x+y x y : x,y R ifk =... supk =... Lista Stroy 23-38

7 Czy kres doly ależy do zbioru K... Czy kres góry ależy do zbioru K... { L = 5 3 : m, m N ifl =... supl =... Czy kres doly ależy do zbioru L... Czy kres góry ależy do zbioru L... { M = 1+ 1 : N ifm =... supm =... Czy kres doly ależy do zbioru M... Czy kres góry ależy do zbioru M... Szeregi liczbowe. Ćwiczeia : zad Kolokwium r 8, : materiał z zad Ćwiczeia : zad Kolokwium r 9, : materiał z zad Obliczyć S = a k, a astępie zaleźć S : k= a k = 1 7 k 251. a k = 2k +5 k 252. Dowieść, że 4 < k =1 1 < Dowieść, że szereg jest zbieży, a jego suma jest miejsza od 2. =1 2 1 Rozstrzygąć, czy astępujące szeregi są zbieże = =2 2 1 = = = = =1 3 1 = = !! =1 2+1! =1 3 =1 3 = = =1 = =1 2 1 =1 4 = π π +e =1 =1 =1 Które z astępujących szeregów są bezwzględie zbieże, które warukowo zbieże, a które rozbieże: Lista Stroy 23-38

8 =1 = = = = = k 1 k k razy k k 1 k 1 2 k k razy 2 k =1 2 = = =1 3 =1 =1 +3 1/4 = =1 = = / =1 =1 = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że Uzasadić poprawość podaego przykładu. a = a 2. =1 = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 5 =1 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a =1 2 = Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że dla dowolej liczby aturalej k zachodzi rówość a k = 2 a. Uzasadić poprawość podaego przykładu. =k Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1 =1 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a 2 = 1 =1 4. Lista Stroy 23-38

9 301. Podać przykład takiego szeregu zbieżego a o wyrazach dodatich, że a = 1, =1 =1a 2 = 1 2 Uzasadić poprawość podaego przykładu. oraz =1 =1 a 4 = 1 5. Kryteria zbieżości szeregów - co każdy studet wiedzieć powiie. 1. Waruek koieczy zbieżości. Jeżeli szereg a jest zbieży, to a = 0. =1 Iymi słowy, jeżeli ciąg a jest rozbieży lub zbieży do graicy różej od zera, to szereg a jest rozbieży. =1 2. Zbieżość szeregu ie zależy od pomiięcia lub zmiay skończeie wielu początkowych wyrazów. Oczywiście zmiaa lub pomiięcie tych wyrazów ma wpływ a sumę szeregu zbieżego. 3. Kryterium porówawcze. Niech a i b będą szeregami o wyrazach ieujemych, przy czym dla każdego =1 =1 N zachodzi ierówość a b. Jeżeli a =, to b =. Jeżeli =1 =1 =1 b <, to a <. =1 4. Kilka szeregów. q jest zbieży dla q < 1, rozbieży dla pozostałych q. =1 a jest zbieży dla a < 1, rozbieży dla pozostałych a. =1 1 log =2 a podstawę większą od 1. jest zbieży dla a > 1, rozbieży dla pozostałych a. Logarytm ma dowolą 5. Kryterium d Alemberta. Jeżeli a jest ciągiem o wyrazach iezerowych oraz istieje graica a +1 a = g < 1, to szereg a jest zbieży. =1 Lista Stroy 23-38

10 Jeżeli istieje graica to szereg a jest rozbieży. =1 a +1 a = g > 1, 6. Zbieżość bezwzględa. Jeżeli a <, to szereg a jest zbieży. =1 7. Szeregi aprzemiee. =1 Jeżeli a jest ciągiem ierosącym zbieżym do 0, to szereg a 1 +1 jest zbieży. =1 Kowersatorium Czy istieje ciąg a taki, że podać przykład lub dowieść, że ie istieje : 302. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 303. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. = a 2 = 1 N, a = 0. = a Z, a = dla 100, szereg a jest zbieży. N = a = 1 dla ieskończeie wielu, szereg a jest zbieży. = Szereg a jest zbieży, szeregi a 2 1 i a 2 są rozbieże. =1 =1 = Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży. =1 = Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 1 +a 2 jest zbieży, a = 0. =1 = Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 +a a a jest zbieży, =1 =0 a = Szeregi a 2 1 +a 2 i a 1 + a 2 +a 2+1 są zbieże, ale mają róże sumy. =1 = Szereg a jest zbieży, szereg a 2 jest rozbieży. =1 =1 Lista Stroy =1

11 313. Szereg a jest rozbieży, szereg a 2 jest zbieży. =1 = Szereg a jest zbieży, a jego suma jest rówa S. Czy stąd wyika, że zbieży =1 jest ciąg a, jeżeli a S = 0 b 0 < S < 1 c S = 1 d S > Czy możemy stwierdzić, że szereg a jest rozbieży, jeżeli wiemy, że =1 a a = 3 b a = 7 a +1 c = a Podać sumę szeregu, jeżeli szereg jest zbieży a b c 6 6 =1 = Zbadać zbieżość szeregu 2 a =1 =1 8 d a +1 d = 5 a 4 1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi Zbadać zbieżość szeregu 319. Zbadać zbieżość szeregu Obliczyć sumę szeregu =1 =1 { 321. =1 +2. = =1 +1! Wyzaczyć kresy zbiorów { N { N : N N =M 2 1 : M N =M 1 : M,N N M < N 2 =1 8 Lista Stroy 23-38

12 Zadaia do samodzielej powtórki. Jeśli uda się wygospodarować trochę czasu, wątpliwości związae z tymi zadaiami mogą być wyjaśioe a kowersatorium lub ćwiczeiach. Zawsze moża też skorzystać z kosultacji Rozstrzygąć zbieżość szeregu = Rozstrzygąć zbieżość szeregu = Rozstrzygąć zbieżość szeregu = Rozstrzygąć zbieżość szeregu 3 a =1 w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego a. Dla jedej wartości a moża ie udzielić odpowiedzi a Udowodić zbieżość szeregu 1. 2 b Obliczyć jego sumę Obliczyć graicę = Rozstrzygąć zbieżość szeregu 2 +k. k=1 k = a Rozstrzygąć zbieżość szeregu = w zależości od parametru rzeczywistego dodatiego p. p b Obliczyć sumę szeregu w podpukcie a dla jedej spośród tych wartości parametru p, dla których szereg jest zbieży. Lista Stroy 23-38

13 333. W każdym z poiższych zdań w miejscu kropek postaw jedą z liter Z, R, N: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży a Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a... =1 b Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a... =1 c Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a... =1 d Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a... =1 =1 =1 =1 =1 e Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg a 2... =1 =1 f Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg a 2... =1 g Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1 a 2... =1 h Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1 a 2... =1 i Jeżeli szereg a jest zbieży, to szereg 1+a 2... =1 j Jeżeli szereg a jest rozbieży, to szereg 1+a 2... = Dae są takie ciągi a i b, że ε>0 =1 =1 =1 =1 =1 a +5 < ε oraz b +3 < ε. 20/ε ε>0 30/ε Niech c = a 2b. Wskazać odpowiedią liczbę rzeczywistą r oraz liczbę aturalą P i udowodić, że ε>0 c +r < ε. P/ε 335. Obliczyć graicę Lista Stroy 23-38

14 336. W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru.. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = m 3 : m, N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A B = {log 2 +7 log 2 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... { C = 2 : 5 N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C... { m D = : m, N m ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D... { E = 2 +1 : N ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E W każdym z zadań podaj kresy zbioru oraz określ, czy kresy ależą do zbioru. Kres może być liczbą rzeczywistą lub może być rówy albo +. { A = 2 22 : N N = {1,2,3,4,5,... ifa =... supa =... Czy kres doly ależy do zbioru A... Czy kres góry ależy do zbioru A... { B = 3+1 : N ifb =... supb =... Czy kres doly ależy do zbioru B... Czy kres góry ależy do zbioru B... Lista Stroy 23-38

15 { C = 3+2 : N ifc =... supc =... Czy kres doly ależy do zbioru C... Czy kres góry ależy do zbioru C D = {x 2y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ifd =... supd =... Czy kres doly ależy do zbioru D... Czy kres góry ależy do zbioru D E = { x y : x,y R 16 < x 28 3 < y 4 ife =... supe =... Czy kres doly ależy do zbioru E... Czy kres góry ależy do zbioru E Podaj wartości graic. a = b =... c = d = e = f = g = h = /2010 i = j = Lista Stroy 23-38

16 339. W każdym z 5 poiższych zadań udziel czterech iezależych odpowiedzi: Z - jest Zbieży tz. musi być zbieży R - jest Rozbieży tz. musi być rozbieży N - może być zbieży lub rozbieży tz. Nie wiadomo, czasem jest zbieży, a czasem rozbieży Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu jeżeli wiadomo, że =1 a a, =1 a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a O ciągu a liczb rzeczywistych dodatich wiadomo, że ciąg jest a +1 zbieży do liczby rzeczywistej g. Co moża wywioskować o zbieżości szeregu a, =1 jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g Ciąg a liczb rzeczywistych dodatich jest zbieży do liczby rzeczywistej g. a+1 Co moża wywioskować o zbieżości ciągu, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g O ciągu a liczb rzeczywistych wiadomo, że szereg a jest zbieży i jego =1 sumą jest liczba rzeczywista g. Co moża wywioskować o zbieżości ciągu a, jeżeli wiadomo, że a g = 0 b 0 < g < 1 c g = 1 d 1 < g a Lista Stroy 23-38

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17 Kolokwiu r 5: piątek 8..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 40, 50-585. Kolokwiu r 53: piątek 5..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 50, 50-59. Kolokwiu r 54: piątek..06, godz. 8:5-9:00, ateriał zad. 83, 50-64.

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2013/14 Wykład: zad. 35-43 Kowersatoriu 8..03: zad. 44-6 Ćwiczeia 9..03: zad. 6-340 Kolokwiu r 6 5..03 (poiedziałek, 3:5-4:00: ateriał z zad. -384 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2 (LUX), lato 2017/18. a n n = 10. Czy istieje ciąg (a ) taki, że (podać przykład lub dowieść, że ie istieje) : 576. a > 1 dla ieskończeie wielu, a > 0, szereg a jest zbieży. N 577. a = 1 2 dla ieskończeie wielu, a = 10. 578. a 2 = 1 N,

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych

Bardziej szczegółowo

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n

SZEREGI LICZBOWE. s n = a 1 + a a n = a k. k=1. aq n = 1 qn+1 1 q. a k = s n + a k, k=n+1. s n = 0. a k lim n SZEREGI LICZBOWE Z ciągu liczb a, a 2,... utwórzmy owy ciąg Przyjmijmy ozaczeia s = a + a 2 +... a = a k. k= k= a k = a + a 2 +... = s. Gdy graica k= a k jest liczbą, to mówimy, że szereg k= a k jest sumowaly

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że

dna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a

Bardziej szczegółowo

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12

zadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12 Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a

Bardziej szczegółowo

+ ln = + ln n + 1 ln(n)

+ ln = + ln n + 1 ln(n) "Łatwo z domu rzeczywistości zajśd do lasu matematyki, ale ieliczi tylko umieją wrócid." Hugo Dyoizy Steihaus Niech (a ) będzie ieskooczoym ciągiem rzeczywistym. Def. Szeregiem = a azywamy parę ciągów

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. Sprawdzian nr 4: (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. Sprawdzian nr 4: (poniedziałek), godz. 10:15-10:35 (materiał zad. Sprawdzia r 4: 4..04 (poiedziałek, godz. 0:5-0:35 (ateriał zad. -400 Kresy zbiorów. Defiicja: Zbiór Z R azyway ograiczoy z góry, jeżeli M R x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą waruek x M azyway

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

Ciągi liczbowe wykład 3

Ciągi liczbowe wykład 3 Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012

Szeregi liczbowe. 15 stycznia 2012 Szeregi liczbowe 5 styczia 0 Szeregi o wyrazach dodatich. Waruek koieczy zbieżości szeregu Defiicja.Abyszereg a < byłzbieżyciąga musizbiegaćdo0. Jest to waruek koieczy ale ie dostateczy. Jak wiecie z wykładu(i

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych

Metody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

2. Nieskończone ciągi liczbowe

2. Nieskończone ciągi liczbowe Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1 LUX, zima 2016/17 585. Wskaż liczbę rzeczywistą k, dla której podaa graica istieje i jest dodatią liczbą rzeczywistą. Podaj wartość graicy dla tej wartości parametru k. Jeżeli odpowiedź jest liczbą wymierą, podaj ją w postaci

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów.

Szeregi liczbowe i ich własności. Kryteria zbieżności szeregów. Zbieżność bezwzględna i warunkowa. Mnożenie szeregów. Materiały dydaktyze Aaliza Matematyza (Wykład 3) Szeregi lizbowe i ih własośi. Kryteria zbieżośi szeregów. Zbieżość bezwzględa i warukowa. Możeie szeregów. Defiija. Nieh {a } N będzie iągiem lizbowym.

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1 30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 25/6 ostatie poprawki: 8 styczia 26 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej jeda trzecia

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia.

Analiza matematyczna I. Pula jawnych zadań na kolokwia. Aaliza matematycza I. Pula jawych zadań a kolokwia. Wydział MIiM UW, 23/4 ostatie poprawki: 6 listopada 23 Szaowi Państwo, zgodie z zapowiedzią, a każdym kolokwium w pierwszym semestrze co ajmiej 2 zadaia

Bardziej szczegółowo

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech

Bardziej szczegółowo

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.

3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. 3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ)

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Ciągi liczbowe 1.1. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowola fukcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym (ciąg skończoy), albo wszystkim (ciąg ieskończoy) liczbom aturalym.

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-)

Zauważone błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub na ćwiczeniach. Z góry dziękuję :-) Odpowiedzi do zadań z szeregów, cz I. Zauważoe błędy bardzo proszę zgłaszać mailem lub a ćwiczeiach. Z góry dziękuję :-. a +, wsk. skorzystać z rówości a b a b, astępie a+b wyciągąć ajwyższe potęgi z liczika

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE.

ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. II. ZBIORY OTWARTE I DOMKNIĘTE. ZADANIA Z TOPOLOGII I. PRZESTRZENIE METRYCZNE. 1. Niech (X, ρ) będzie przestrzeią metryczą zaś a liczbą rzeczywistą dodatią. Wykaż, że fukcja σ: X X R określoa wzorem σ(x, y) = mi {ρ(x, y), a} jest metryką

Bardziej szczegółowo

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wektory Funkcje rzeczywiste wielu. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wektory Fukcje rzeczywiste wielu zmieych rzeczywistych Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 2008/2009 R. Łochowski Wektory pukty w przestrzei R Przestrzeń R to zbiór uporządkowaych -ek liczb

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M)

Operatory zwarte Lemat. Jeśli T jest odwzorowaniem całkowym na przestrzeni Hilberta X = L 2 (Ω) z jądrem k L 2 (M M) Operatory zwarte Niech X będzie przestrzeią Baacha. Odwzorowaie liiowe T azywa się zwarte, jeśli obraz kuli jedostkowej T (B) jest zbiorem warukowo zwartym. Przestrzeń wszystkich operatorów zwartych a

Bardziej szczegółowo

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n

f '. Funkcja h jest ciągła. Załóżmy, że ciąg (z n ) n 0, z n+1 = h(z n ) jest dobrze określony, tzn. n 0 f ' ( z n Metoda Newtoa i rówaie z = 1 Załóżmy, że fucja f :C C ma ciągłą pochodą. Dla (prawie) ażdej liczby zespoloej z 0 tworzymy ciąg (1) (z ) 0, z 1 = z f ( z ), ciąg te f ' (z ) będziemy azywać orbitą liczby

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY

LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY LICZBY, RÓWNANIA, NIERÓWNOŚCI; DOWÓD INDUKCYJNY Zgodie z dążeiami filozofii pitagorejsiej matematyzacja abstracyjego myśleia powia być dooywaa przy pomocy liczb. Soro ta, to liczby ależy tworzyć w miarę

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków

Analiza matematyczna dla informatyków Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Granica i ciągłość.

Funkcje. Granica i ciągłość. Ćwiczenia 10.1.01: zad. 344-380 Kolokwium nr 9, 11.1.01: materiał z zad. 1-380 Ćwiczenia 17.1.01: zad. 381-400 Kolokwium nr 10, 18.1.01: materiał z zad. 1-400 Konw. 10,17.1.01: zad. 401-44 Funkcje. Granica

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykład 1 Narzędzia matematyczne. Karol Tarnowski A-1 p.223 Aaliza umerycza Kurs INP002009W Wykład Narzędzia matematycze Karol Tarowski karol.tarowski@pwr.wroc.pl A- p.223 Pla wykładu Czym jest aaliza umerycza? Podstawowe pojęcia Wzór Taylora Twierdzeie o wartości

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Twierdzenia o funkcjach ciągłych

Twierdzenia o funkcjach ciągłych Automatya i Robotya Aaliza Wyład 5 dr Adam Ćmiel cmiel@aghedupl Twierdzeia o ucjach ciągłych Tw (Weierstrassa Jeżeli ucja : R [ R jest ciągła a [, to ograiczoa i : ( sup ( i ( i ( [, Dowód Ograiczoość

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów

Matematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość

Bardziej szczegółowo

1. Granica funkcji w punkcie

1. Granica funkcji w punkcie Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski

Wzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego

Bardziej szczegółowo

Rozmieszczenie liczb pierwszych

Rozmieszczenie liczb pierwszych Rozmieszczeie liczb pierwszych Euler Pierwszy owoczesy wyik pochodzi od Eulera: TWIERDZENIE: Szereg p primes p est rozbieży. Szkic dowodu: Dla s > zachodzi rówość ( ) = s = i= ( + p s i ) + p 2s i +....

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna dla informatyków

Analiza matematyczna dla informatyków Aaliza matematycza dla iformatyków Sprawdziay do Wykładów dla pierwszego roku iformatyki a Wydziale Matematyki, Iformatyki i Mechaiki Uiwersytetu Warszawskiego w latach 2007/8, 2008/9, 2009/0, 20/2, 202/3,

Bardziej szczegółowo

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach.

3.1. Ciągi liczbowe - ograniczoność, monotoniczność, zbieżność ciągu. Liczba e. Twierdzenie o trzech ciągach. WYKŁAD 6 3 RACHUNEK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ 31 Ciągi liczbowe - ogriczoość, mootoiczość, zbieżość ciągu Liczb e Twierdzeie o trzech ciągch 3A+B1 (Defiicj: ieskończoość) Symbole,,

Bardziej szczegółowo

Funkcja wykładnicza i logarytm

Funkcja wykładnicza i logarytm Rozdział 3 Fukcja wykładicza i logarytm Potrafimy już defiiować potęgi liczb dodatich o wykładiku wymierym: jeśli a > 0 i x = p/q Q dla p, q N, to aturalie jest przyjąć a x = a 1/q) p = a 1/q } {{... a

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy

Wykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Lista zadań Lista zadań 21 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] Wrocław, 3 paździerika 03 SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia. INDUKCJA MATEMATYCZNA.. Wprowadzeie.. Lista zadań 4.

Bardziej szczegółowo

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.

1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2. 1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste piąte uzupełioe GiS Oficya Wydawicza GiS Wrocław 07 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 7 Wyzaczyć zbiór wszyskich warości rzeczywisych parameru p, dla kórych całka iewłaściwa jes zbieża x xe Dzieląc przedział całkowaia orzymujemy x x e x x e x x e Zbadamy, dla kórych warości parameru p całki

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima globalna lista zadań

Analiza I.1, zima globalna lista zadań Aaliza I., zima 207 - globala lista zadań Marci Kotowsi 8 styczia 208 Podstawy Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczby 7 2 + oraz 7 2 dzielą się przez 6. Zadaie 2. Rozstrzygij, czy poiższe liczby

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013

Analiza Funkcjonalna WPPT IIIr. semestr letni 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 Aaliza Fukcjoala WPPT IIIr. semestr leti 2011 WYK LAD 9,5: ZBIEŻNOŚĆ S LABA I *-S LABA TWIERDZENIE BANACHA ALAOGLU 28/05/2013 NiechX ozaczaprzestrzeńbaacha,ax jejdual a(czyliprzestrzeńfukcjoa lów ograiczoych

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania

Analiza I.1, zima wzorcowe rozwiązania Aaliza I., zima 07 - wzorcowe rozwiązaia Marci Kotowsi 5 listopada 07 Zadaie. Udowodij, że dla ażdego aturalego liczba 7 + dzieli się przez 6. Dowód. Tezę udowodimy za pomocą iducji matematyczej. Najpierw

Bardziej szczegółowo

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki

1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki 1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae

Bardziej szczegółowo

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE

ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 8. ZBIEŻNOŚĆ CIĄGU ZMIENNYCH LOSOWYCH. TWIERDZENIA GRANICZNE 1 Zbieżość ciągu zmieych losowych z prawdopodobieństwem 1 (prawie apewo) Ciąg zmieych losowych (X ) jest

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej.

Zadanie 1.6. Niech n N, a R + \ N, a 2 = n. Wykazać, że a / Q. Zadanie 1.7. Wykazać następujące twierdzenia za pomocą indukcji matematycznej. . Liczby wymiere zasada idukcji matematyczej przekroje Dedekida Zadaie.. Niech A Q. Wykazać że jeśli istieje mi A odp. max A) to istieje if A odp. sup A) oraz if A = mi A odp. sup A = max A). Zadaie..

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE

ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH - DZIAŁANIA ALGEBRAICZNE WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględą liczby rzeczywistej x defiiujemy wzorem: { x dla x 0 x = x dla x < 0 Liczba x jest to odległość a osi liczbowej

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak

Materiały do wykładu Matematyka Stosowana 1. Dariusz Chrobak Materiały do wykładu Matematyka Stosowaa Dariusz Chrobak 7 styczia 207 Spis treści Zbiory liczbowe i fukcje 2. Zbiór liczb wymierych Q...................... 2.2 Liczby iewymiere.........................

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VI: Metoda Mote Carlo 17 listopada 2014 Zastosowaie: przybliżoe całkowaie Prosta metoda Mote Carlo Przybliżoe obliczaie całki ozaczoej Rozważmy całkowalą fukcję f : [0, 1] R. Chcemy zaleźć przybliżoą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0

EGZAMIN, ANALIZA 1A, zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 42=4.0, 48=4.5, 54=5.0 EGZAMIN, ANALIZA A, 5.0.04 zadań po 5 punktów, progi: 30=3.0, 36=3.5, 4=4.0, 48=4.5, 54=5.0 Zadanie. W każdym z zadań.-.5 podaj w postaci uproszczonej) kresy zbioru oraz napisz, czy kresy należą do zbioru

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia

Wyk lad 8 Zasadnicze twierdzenie algebry. Poj. ecie pierścienia Wy lad 8 Zasadicze twierdzeie algebry. Poj ecie pierścieia 1 Zasadicze twierdzeie algebry i jego dowód Defiicja 8.1. f: C C postaci Wielomiaem o wspó lczyiach zespoloych azywamy fucj e f(x) = a x + a 1

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Fukcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział 12 12. Gęste podzbiory zbioru liczb rzeczywistych Adrzej Nowicki 16 kwietia 2013, http://www.mat.ui.toru.pl/~aow Spis

Bardziej szczegółowo

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a

5. Szeregi liczbowe. A n = A = lim. a k = lim a k, a k = a 1 + a 2 + a 5. Szeregi liczbowe Niech będzie day iesończoy ciąg liczbowy {a }. Ciąg A = azywamy ciągiem sum częściowych ciągu {a }. Jeżeli ciąg {A } jest zbieży, mówimy, że ciąg {a } jest sumowaly, a graicę a A =

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 ANALIZA MATEMATYCZNA Maria Gewert Zbigiew Skoczylas ANALIZA MATEMATYCZNA Przykłady i zadaia Wydaie dwudzieste szóste zmieioe Oficya Wydawicza GiS Wrocław 08 Maria Gewert Wydział Matematyki Politechika

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań

Krzysztof Rykaczewski. Analiza matematyczna I Zbiór zadań Krzysztof Rykaczewski Aaliza matematycza I Zbiór zadań Motto: Powiedz mi a zapomę Pokaż mi a zapamiętam Pozwól mi zrobić a zrozumiem. Cofucius : Zbiór zadań z aalizy matematyczej Uiwersytet Mikołaja Koperika

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska

Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki. Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Zestaw zadań do skryptu z Teorii miary i całki Katarzya Lubauer Haa Podsędkowska Ciała σ - ciała. Zbadaj czy rodzia A jest ciałem w przestrzei X=[0] a) A = X 0 b) A = X 0 3 3 c) A = { X { }{}{ 0}{ 0 }

Bardziej szczegółowo

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO

SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO Wrocław, 2 grudia 203 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis

Wykład 0. W analizie matematycznej szeregiem liczbowym przyjęło się nazywać napis Wykład 0. Matematyka, semestr leti 00/0 Program poprzediego semestru kończy się badaiem szeregów liczbowych. W tak zwaych dawych czasach ludziom sprawiało trudość zrozumieie, że suma ieskończoej liczby

Bardziej szczegółowo

Powtórka dotychczasowego materiału.

Powtórka dotychczasowego materiału. Powtórk dotychczsowego mteriłu. Zdi do smodzielego rozwiązi. N ćwiczeich w środę 7.6.7 grupy 4 leży wskzć zdi, które sprwiły jwięcej problemów. 43. W kżdym z zdń 43.-43.5 podj wzór fukcję różiczkowlą f

Bardziej szczegółowo

Wykªad 2. Szeregi liczbowe.

Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym

Bardziej szczegółowo

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ

ANALIZA MATEMATYCZNA 1 (MAP 1024) LISTY ZADAŃ ANALIZA MATEMATYCZNA (MAP 0) LISTY ZADAŃ Listy zadań przezaczoe są dla studetów którzy program matematyki szkoły poadgimazjalej zają jedyie a poziomie podstawowym Obejmują iezbęde do dalszej auki zagadieia

Bardziej szczegółowo