Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Transkrypt

1 PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia techicze, zajęcia komputerowe, iormatyka Poziom rozszerzoy 5 Ciągi Uczeń: 1 wyzacza wyrazy ciągu określoego wzorem rekurecyjym; oblicza graice ciągów, korzystając z graic ciągów typu 1/, 1/ oraz z twierdzeń o działaiach a graicach ciągów; rozpozaje szeregi geometrycze zbieże i oblicza ich sumy 11 Rachuek różiczkowy Uczeń: 1 oblicza graice ukcji (i graice jedostroe), korzystając z twierdzeń o działaiach a graicach i z własości ukcji ciągłych; oblicza pochode ukcji wymierych; korzysta z geometryczej i izyczej iterpretacji pochodej; 4 korzysta z własości pochodej do wyzaczeia przedziałów mootoiczości ukcji; 5 zajduje ekstrema ukcji wielomiaowych i wymierych; 6 stosuje pochode do rozwiązywaia zagadień optymalizacyjych Kometarz do podstawy programowej przedmiotu matematyka Zbigiew Semadei, Marci Karpiński, Krystya Sawicka, Marta Jucewicz, Aa Dubiecka, Wojciech Guzicki, Edward Tutaj: O tym, jaka będzie wykładia podstawy programowej, zadecyduje praktyka auczaia i praktyka egzamiów maturalych Po kilku latach ukcjoowaia owej podstawy programowej, w wyiku współdziałaia szkoły, komisji egzamiacyjych i uczeli wyższych, ustali się pewie poziom iterpretowaia i realizowaia obowiązujących wymagań

2 ZALECANE WARUNKI I SPOSÓB REALIZACJI W przypadku ucziów zdolych, moża wymagać większego zakresu umiejętości, jedakże wskazae jest podwyższaie stopia trudości zadań, a ie poszerzaie tematyki Rodzaje zadań egzamiacyjych w arkuszu maturalym a poziomie rozszerzoym: 1 Zadaia zamkięte (wielokrotego wyboru lub prawda ałsz) Zadaia z kodowaą odpowiedzią Zadaia otwarte krótkiej odpowiedzi 4 Zadaia otwarte rozszerzoej odpowiedzi Przykłady: Zadaie 1 Szereg geometryczy Day jest ieskończoy ciąg geometryczy a określoy dla 1, o ilorazie wszystkich wyrazów tego ciągu jest rówa 6 Oblicz a a1 Zakoduj odpowiedź q Suma a1 Ze wzoru a sumę wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego S 1 q dla q 1 obliczamy a 1 : a1 6, stąd a a a1 q Zatem a a Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje trzy cyry otrzymaego wyiku: cyry 1,1,1

3 Zadaie Graica ciągu Oblicz graicę Zakoduj odpowiedź Obliczamy graicę W arkuszu odpowiedzi ależy zakodować cyry 0,1,6 Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje trzy cyry obliczoej graicy: cyry 0,1,6 Zadaie Graica ciągu Ciąg a określoy jest wzorem jakiej wartości p graica ciągu a a 7 p 1 p p 1 p Wyzaczamy graicę ciągu a w zależości od p: jest rówa 0 Zakoduj odpowiedź p p 7p1 7 p 1 p p 7p 1 1 p 1 p p Rozwiązujemy rówaie 7p 1 0 p 1 p 7 W arkuszu odpowiedzi ależy zakodować cyry 0,1,4 Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią dla 1 i p 0 Oblicz, dla Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje trzy cyry obliczoej graicy: cyry 0,1,4

4 Zadaie 4 Graica ciągu Ciągi a, b określoe są astępująco: Oblicz graicę a b a Zakoduj odpowiedź 1 oraz b 115, dla 1 Obliczamy graicę W arkuszu odpowiedzi ależy zakodować cyry,5,0 Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje trzy cyry obliczoej graicy: cyry,5,0 Ciągi a, a Oblicz b b określoe są dla 1 Zakoduj odpowiedź Zadaie 5 Graica ciągu Obliczamy graicę wzorami: a 5 oraz b W arkuszu odpowiedzi ależy zakodować cyry 0,,7 Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią Zdający otrzymuje pkt gdy zakoduje trzy cyry obliczoej graicy: cyry 0,,7 Zadaie 6 Graica ukcji Daa jest ukcja określoa wzorem rówa x x x dla x Graica x x jest A B 1 C 0 D

5 : Obliczamy 4 1 Odp: B Zadaie 7 Graica ukcji 16 x Daa jest ukcja określoa wzorem x x 4 rówa A B 0 C 8 D : Przekształcamy wzór daej ukcji: x x 16 x x 4 4 x4 x 4 i obliczamy graicę: x x4 x4 x 4 x 4 x 4 x4 x 4 8 dla x 4 Graica x4 x jest Odp: C Zadaie 8 Pochoda ukcji w pukcie Daa jest ukcja określoa wzorem x x dla x Graica x x x jest rówa A B 0 C 6 D : Obliczamy graicę: x x x x x Odp: A

6 Zadaie 9 Pochoda ukcji w pukcie Fukcja jest określoa jest wzorem ukcji dla x Zakoduj odpowiedź x 5 1 ( x) x 1 dla 1 x Oblicz wartość pochodej Przekształcamy wzór ukcji i obliczamy pochodą tej ukcji: 5 x 1 5x x 5 ( x) x1 x1 5x x 5 x 1 5x x 5 x 1 x x 1 5x x 5 x x1 x1 x x0 x x x1 x1 40 Zatem 1,6 5 W arkuszu odpowiedzi ależy zakodować cyry 1,6,0 Schemat oceiaia zadaia z kodowaa odpowiedzią Zdający otrzymuje p gdy zakoduje trzy cyry otrzymaego wyiku: cyry 1,6,0 Zadaie Rówaie styczej Daa jest ukcja określoa wzorem x 1 x x 1 dla x R i leżący a wykresie tej ukcji pukt A o współrzędej x rówej Wyzacz rówaie styczej do wykresu ukcji w pukcie A y x w pukcie A x0, x0, gdzie współczyik kierukowy a jest rówy Stycza do wykresu ukcji o wzorze postaci y ax b x 1 x x 1 oraz x0 przypadku ma rówaie a x 0 W aszym

7 Mamy zatem x x 4x, skąd dostajemy, czyli,, a 4 Pukt A ma współrzęde A Prosta o rówaiu y x b ma przechodzić przez pukt A, więc b Zatem b 1 i ostateczie rówaie styczej ma postać y x 1 Schemat oceiaia, w którym jest istoty postęp 1 pkt Wyzaczeie pochodej ukcji: x x 4x Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Obliczeie współczyika kierukowego styczej: a pełe pkt Wyzaczeie rówaia styczej do wykresu ukcji w pukcie A: y x 1 Zadaie 11 Mootoiczość 1 Fukcja daa jest wzorem x x mx 4x 1 Wyzacz wszystkie wartości parametru m, dla których ukcja jest rosąca w całej dziedziie Obliczamy pochodą ukcji : ' x x mx 4 Na to by ukcja była rosąca w całej dziedziie wystarczy, by pochoda ukcji, przyjmowała wartości dodatie dla wszystkich x D Obliczamy wyróżik trójmiau m m x mx i wyzaczamy te wartości parametru m, dla których te wyróżik jest ujemy m, Dla, m pochoda ukcji jest dodatia dla wszystkich x D, a więc ukcja jest rosąca w tym zbiorze Poieważ 1,, dla m 1, ukcja jest rosąca Schemat oceiaia, w którym jest istoty postęp 1 pkt Obliczeie pochodej ukcji : ' x x mx 4 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Zapisaie waruku a to, żeby ukcja była rosąca w całej dziedziie: pochoda ukcji ma przyjmować wartości dodatie dla wszystkich x D pełe pkt Wyzaczeie wszystkie wartości parametru m, dla których ukcja jest rosąca w całej dziedziie: m,

8 Zadaie 1 Optymalizacja Rozpatrujemy wszystkie prostopadłościay, w których przekąta ma długość d oraz stosuek długości krawędzi podstawy jest rówy :4 Wyzacz długości krawędzi podstawy tego z rozpatrywaych prostopadłościaów, który ma ajwiększe pole powierzchi boczej Ozaczmy przez h wysokość prostopadłościau, a przez x oraz 4x długości krawędzi jego podstawy Korzystając z twierdzeia Pitagorasa wyzaczamy długość c przekątej podstawy, c x 4x 5x, oraz zapisujemy zależość d h 5x h 5x (1) Pole P powierzchi boczej tego prostopadłościau jest rówe P 14xh Z rówości (1) wyzaczamy zależość h od x : h d 5x, określamy ukcję Px ( ) opisującą pole powierzchi boczej prostopadłościau w zależości od x : d dla 0, 5 P( x) 14x d 5x x Wzór tej ukcji zapiszemy w postaci 4 d dla 0, 5 P( x) 14 d x 5x x Rozważmy ukcję pomociczą określoą wzorem 4 d dla x 0, 5 ( x) d x 5x Z aktu, że ukcja g() t t jest rosąca w 0; wyika, że ukcje P oraz są rosące (malejące) w tych samych przedziałach oraz mają ekstrema lokale (tego samego rodzaju) dla tych samych argumetów d Wyzaczymy wartość ajwiększą ukcji w przedziale 0, 5 Obliczamy pochodą ukcji : ( x) d x 0x x d 50x d W przedziale 0, 5 pochoda ma jedo miejsce zerowe d x,

9 ( x) 0 dla ( x) 0 dla d x 0,, d d x, 5 Wyika stąd, że dla d x ukcja ma maksimum lokale i jest to jedocześie wartość ajwiększa, bo w przedziale d,0 ukcja jest malejąca d 0, ukcja jest rosąca, a przedziale Odpowiedź: Długości krawędzi podstawy prostopadłościau, który ma ajwiększe pole powierzchi boczej to: d Uwaga, d 5 1 Zdający z rówości (1) może wyzaczyć zależość x od h : x d h, otrzymując 5 ukcję Ph ( ) opisującą pole powierzchi boczej prostopadłościau w zależości od h: 14 P( h) h d h 5 dla h 0, d Fukcja ta przyjmuje ajwiększą wartość dla d h Metoda rozwiązaia w tym przypadku jest aalogicza Schemat oceiaia zadaia składa się z trzech etapów a) Pierwszy etap składa się z trzech części: zastosowaie twierdzeia Pitagorasa i zapisaie, że c x 4x 5x d h 5x oraz zapisaie pola P powierzchi boczej prostopadłościau jako ukcji jedej zmieej P( x) 14x d 5x, zapisaie, że dziedzią ukcji d jest przedział 0, 5 P( x) 14x d 5x

10 Za poprawe rozwiązaie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 pukt, o ile poprzedia część etapu została zrealizowaa bezbłędie b) Drugi etap składa się z trzech części: zapisaie wzoru pochodej ukcji, p: ( x) d x 0x xd 50x zapisaie, że w przedziale d 0, 5, pochoda ukcji ' ma jedo miejsce zerowe d x, d zapisaie wraz z uzasadieiem, że dla x ukcja P osiąga ajwiększą wartość d Oczekujemy, że zdający po zapisaiu, że w pukcie x ukcja P osiąga maksimum lokale, uzasadi, że maksimum lokale jest jedocześie ajwiększą d wartością tej ukcji Wystarczy, jeżeli zdający zapisze, że w przedziale 0, ukcja P jest rosąca, zaś w przedziale d,0 jest malejąca Za poprawe rozwiązaie każdej z części tego etapu zdający otrzymuje 1 pukt, o ile poprzedia część etapu została zrealizowaa bezbłędie c) Trzeci etap 1 pukt zdający otrzyma za zapisaie długości krawędzi podstawy prostopadłościau o ajwiększym polu powierzchi boczej: d Uwaga:, d 5 Pukty za realizację daego etapu przyzajemy tylko wówczas, gdy zdający rozwiązał poprawie poprzedi etap zadaia Zadaie 1 Własość Darboux Fukcja określoa jest wzorem rówaia x 1 Obliczamy pochodą ukcji : x x x 6 Wyzacz liczbę rozwiązań

11 x 1x 6 x x 1 x 6x 6 x 4 x 6x x 6x Wyzaczamy ekstrema lokale ukcji Miejscami zerowymi pochodej są liczby 6 i Rozwiązujemy ierówości x 0 oraz x 0 i otrzymujemy: x 0 x, 6, oraz x 0 x6, Dla x 6spełioy jest waruek wystarczający istieia ekstremum i jest to maksimum lokale, które jest rówe 6 0 Dla x rówież spełioy jest waruek wystarczający istieia ekstremum i jest to miimum lokale, które jest rówe Fukcja przyjmuje wartości dodatie tylko dla x i jest w tym przedziale rosąca Wyika stąd, że rówaie x 1 ma dokładie jedo rozwiązaie Schemat oceiaia, w którym jest istoty postęp 1 pkt x x x Obliczeie pochodej ukcji : 6 Pokoaie zasadiczych trudości zadaia pkt Wyzaczeie ekstremów lokalych ukcji : dla x 6 osiąga maksimum lokale rówe 0, dla x osiąga miimum lokale rówe pełe pkt Uzasadieie, że rówaie x 1 ma dokładie jedo rozwiązaie 48 7