Struktura terminowa stóp procentowych po kryzysie 2007 roku. praca zespołowa

Transkrypt

1 Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku praca zespołowa 17 września 2012

2 Spis reści I Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku 3 1 Opis rynku finansowego po kryzysie Zmiany na rynkach finansowych Nowe podejścia do wyceny Konraky FRA i Basis Swap po kryzysie Założenia Oznaczenia Przyjęe uproszczenia odnośnie konraków FRA Basis spread a sopa FRA Rozważane modele basis spread Podsumowanie Wycena insrumenów pochodnych w rozszerzonym modelu HJM dla wielu krzywych sóp procenowych Dlaczego modelujemy wiele krzywych sóp procenowych? Podsawy modelu Szczegółowa specyfikacja dynamiki sóp Dynamika sóp swapowych Kalibracja modelu i przykłady numeryczne Wyniki kalibracji Wycena konraków IRS i CDS z uwzględnieniem ryzyka konrahena Generalna formuła na wycenę insrumenów pochodnych z ryzykiem defaulu Wycena konraków IRS w ramach Deerminisic-Inensiy Model Założenia modelu Wycena konraków ypu IRS Wycena porfeli IRS-ów Wnioski Wycena konraków CDS w ramach modelu CIR Definicje, oznaczenia, założenia modelu Opis zdarzeń defaulu Kalibracja modelu CIR Wycena konraku ypu CDS Wnioski

3 5 Insrumeny skolaeralizowane Wycena Wybór waluy kolaeralu Srukura erminowa ryzyka międzybankowego Wprowadzenie Model Analiza wyników II Dodaki 46 A Model Heaha - Jarrowa - Morona (Model HJM) 47 B Tworzenie srukury erminowej sóp procenowych 50 B.1 Podsawy konsrukcji krzywej dochodowości B.1.1 Króki koniec B.1.2 Środkowy obszar krzywej B.1.3 Długi koniec krzywej B.2 Inerpolacja B.2.1 Forward monoone convex spline

4 Część I Srukura erminowa sóp procenowych po kryzysie 2007 roku 3

5 Rozdział 1 Opis rynku finansowego po kryzysie Pior Wiazecki Rozdział zosał opracowany na podsawie pracy M. Bianchei, M. Carlicchi Ineres Raes Afer The Credi Crunch: Muliple-Curve Vanilla Derivaives and SABR. Wszyskie zaware w rozdziale rysunki pochodza z wymienionej wyżej pracy. Kryzys finansowy z drugiej połowy 2007 roku spowodował głębokie zmiany na rynkach finansowych, przynosząc konieczność zmiany klasycznej meodologii wyceny insrumenów pochodnych. Sała się ona bezużyeczna, gdyż nie uwzględniała efeków związanych z ryzykiem kredyowym i ryzykiem płynności - wcześniej pomijalnymi, obecnie mającymi duży wpływ na cenę insrumenów finansowych. Widać o na przykładzie waniliowych insrumenów pochodnych sopy procenowej, akich jak depozyy, konraky FRA, swapy, capy, floory, swapcje. Kryzys pokazał, że nawe największe insyucje finansowe mogą zbankruować (upadek Lehman Brohers), więc groźba defaulu konrahena jes realna. Ponado urealniła się groźba uray płynności finansowej. Sopa pożyczek międzybankowych (Euribor/Libor) nie jes już pozbawiona ryzyka - zawiera w sobie komponen ryzyka kredyowego (konrahen nie zwróci pożyczki) oraz ryzyka płynności (przez o, że pożyczyliśmy komuś pieniądze sami możemy sracić płynność), a akże związaną z nimi premię. Te efeky mają wpływ na pewne zjawiska, kóre pojawiły się na rynkach po sierpniu Poniżej przedsawiam opis nowych zjawisk na rynkach finansowych, ich wpływ na sposób wyceny oraz zarys meod radzenia sobie z ym problemem. 1.1 Zmiany na rynkach finansowych Główne zjawiska, jakie obserwuje się na rynkach od sierpnia 2007, a kóre należy obecnie brać pod uwagę przy wycenie insrumenów finansowych można podsumować w czerech punkach. Wyraźny spread między sopami na rynku międzybankowym (Libor, Euribor) a sopą OIS (wcześniej zaniedbywalny) 4

6 Sopa Euribor odzwierciedla średni kosz finansowania banków na rynku międzybankowym dla danego okresu zapadalności. Sopa OIS jes uznawana za najlepszy subsyu sopy wolnej od ryzyka: króki sprawia, że ze sopą OIS nie jes związane ryzyko kredyowe ani ryzyko płynności. Jak widzimy, przed sierpniem 2007 spread między sopą Euribor a sopą konraku OIS był zaniedbywalnie mały (rzędu kilku bps), naomias poem nagle wzrósł, przekraczając w pewnym momencie granicę 200 bps. Do chwili obecnej spread nie wrócił do poziomu sprzed kryzysu, oscylując najczęściej między warościami rzędu kilkudziesięciu bps (powyższy wykres zawiera dane do roku 2010 włącznie, najnowsze noowanie Euribor-OIS spreadu o 38 bps - noowanie z dnia ). Co o w prakyce oznacza? Okazuje się, że komponen ryzyka kredyowego i płynności w sopie Euribor nie może być zaniedbywany przy wycenie insrumenów finansowych. Różnice między sopą FRA a sopą forward Na rysunku przedsawiono spread pomiędzy sopą konraku FRA na sopę Euribor, a sopą forward implikowaną przez noowania konraków OIS (ekwiwalen bezryzykownej sopy forward). Widzimy, że eksplozja spreadu między Euribor a OIS doyczy nie ylko sóp spo, ale akże forward. Wyraźny spread basis swaps 5

7 Basis swap o konrak wymiany odseek od dwóch sóp zmiennych o różnych enorach. Kwoowany jes jako różnica sóp swapowych swapów sandardowych na każdą ze sóp z osobna. Rysunek przedsawia wielkość basis swap spreadu dla rzech swapów: Euribor 3M vs Euribor 6M, Euribor 6M vs 1Y, Euribor 3M vs Eonia. Zauważmy, że spread między Euribor 3M a Eonia nawe nie był kwoowany przed Oczywiście w klasycznej meodologii jednej krzywej sóp procenowych basis swap spread jes niewyłumaczalny. Spread en oznacza, że inwesor jes goów zapłacić premię za orzymywanie płaności związanej z daną sopą procenową częściej - obrazuje o brak zaufania do wypłacalności wysawcy konraku oraz obawę przed problemami z płynnością. To kolejny dowód na o, że obecnie nie można pomijać komponenu ryzyka kredyowego i płynności zawarego w sopie Euribor. Ponado należy uwzględnić efek segmenacji rynku - okazuje się, że rynek podzielił się na srefy gdzie handluje się sopami o danym enorze, w związku z czym sopy o różnych enorach podlegają obecnie różnej dynamice. Rosnąca popularność collaeral agreemens Collaeral agreemen lub CSA (Credi Suppor Annex) jes o umowa, na mocy kórej srony konraku zobowiązują się rozliczać pozycję na bieżąco podczas rwania umowy - w pewnych odsępach czasu (najczęściej codziennie) srony uzupełniają specjalne kono ak, aby jego saldo pokrywało NPV porfela ransakcji. Pieniędzmi z kona zarządza a srona, dla kórej NPV jes dodanie (credior), w zamian płacąc odseki drugiej sronie (debor), według sopy collaeral rae. CSA pozwala prakycznie na zniwelowanie ryzyka niewypłacalności konrahena oraz przerzucenie ryzyka płynności na sronę debor. Najczęściej sosuje się rozliczanie codzienne i sopę overnigh. Po wydarzeniach z 2007 roku zabezpieczanie ransakcji ego ypu umowami sało się sandardem. Oznacza o, że możemy rakować (i wyceniać) insrumeny pochodne jako pozbawione ryzyka defaulu konrahena. Ponado można pokazać, że sopa używana do dyskonowania musi być aka sama jak collaeral rae. 1.2 Nowe podejścia do wyceny Po uwzględnieniu przyoczonych powyżej faków jes jasne, że klasyczne podejście do wyceny insrumenów pochodnych sopy procenowej, używające do wyceny jednej krzywej zarówno do dyskonowania jak i przewidywania przyszłych sóp procenowych jes niedososowane do obecnej syuacji. Obecnie używa się modelu zawierającego wiele krzywych sóp procenowych. Po 6

8 pierwsze, porzebujemy krzywej do dyskonowania przepływów finansowych. Dla konraków objęych CSA z dzienną marginalizacją należy użyć krzywej boosrapowanej z noowań konraków OIS. Do wyceny konraków bez CSA używamy krzywej odzwierciedlającej sposób finansowania się danego podmiou. Po drugie, krzywa sóp forward jakiej należy użyć jes inna od dyskonowej, co więcej, należy użyć różnych krzywych w zależności od enoru sopy procenowej, kórej ona doyczy. Wynika o z różnego składnika ryzyka kredyowego i płynności zawarego w sopach o różnych enorach i w konsekwencji różnej dynamiki ych sóp. Krzywą sóp forward o danym enorze należy konsruować na podsawie kwoowań insrumenów przyjmujących sopę o danym enorze jako insrumen bazowy. Oo zarys sosowanych obecnie meod posępowania przy wycenie insrumenów sopy procenowej. Prose insrumeny sopy procenowej (np. FRA, Swap) W przypadku prosych insrumenów o liniowej funkcji wypłay możemy zasosować nasępującą procedurę: 1. konsruujemy krzywą dyskonową z noowań konraków OIS 2. konsruujemy krzywe sóp forward osobne dla każdego enoru 3. obliczamy przepływy związane z odpowiednimi sopami forward 4. dyskonujemy powyższe przepływy za pomocą krzywej dyskonowej i sumujemy orzymując cenę insrumenu Prose insrumeny opcyjne (np. capy, floory) Przy wycenie insrumenów opcyjnych dochodzą kwesie związane ze zmiennością. Możemy sosować nasępującą procedurę: 1. konsruujemy krzywe sóp procenowych jak poprzednio 2. dla każdego enoru z osobna konsruujemy powierzchnię volailiy orzymaną z noowań opcji na sopę o danym enorze 3. używamy sóp forward oraz volailiy z odpowiedniej krzywej dla obliczenia przepływów związanych ze sopą o danym enorze 4. dyskonujemy za pomocą krzywej dyskonowej i sumujemy, orzymując cenę insrumenu Insrumeny o skomplikowanej funkcji wypłay Tu konieczne jes modelowanie łącznej dynamiki sóp o różnych enorach, oraz sóp używanych do dyskonowania. Sworzony model kalibrujemy w oparciu o noowania insrumenów na sopy o poszczególnych enorach. Obliczenia wykonane przez auorów na rzeczywisych danych dla konraków FSIRS oraz cap/floor, przekonują, że rynek porzucił klasyczną meodologię wyceny. Wycena w meodologii wielu krzywych lepiej dużo lepiej przybliża kwoowania rynkowe. Jes jeszcze jednak daleko od pełnego rozwiązania problemu. O ile krzywą dyskonową można sworzyć radycyjnymi meodami (boosrapping), o yle wygenerowanie krzywych sóp forward, zgodnych z krzywą dyskonową, może sworzyć problemy (auorzy nie podają szczegółów echnicznych, jakie zasosowali przy ich konsrukcji). Ponado sosunkowo niewiele insrumenów da się wycenić mając jedynie dane sopy forward. Do ych bardziej skomplikowanych należałoby sworzyć sochasyczny model sóp procenowych na różne enory oraz sóp dyskonowych rozparywanych łącznie. Nie ulega kwesii, że wycena w radycyjnej meodologii jednej krzywej już się nie sprawdza. Różne próby podejścia do rozwiązania ego problemu zosaną przedsawione dalej. 7

9 Rozdział 2 Konraky FRA i Basis Swap po kryzysie Krzesimir Arodź Rozdział zosał opracowany na podsawie pracy M. Morini, Solving he puzzle in he ineres rae marke. Wszyskie zaware w rozdziale rysunki pochodza z wymienionej wyżej pracy. Zreferowana praca auorswa M. Moriniego pokazuje najpierw równoważność problemów wyceny konraków FRA i Basis Swap. Nasępnie auor przedsawia ogólną koncepcję modelu rynku sóp procenowych, kórej fragmen jes później formalizowany w drugiej części pracy, pozosawiając jednak problem modelowania basis spreadu bez osaecznego rozwiązania. 2.1 Założenia W pracy przyjęo nasępujące zasadnicze założenia: 1. Rozważać będziemy konraky FRA α 2α, gdzie α = 6m oraz analogiczne konraky Basis Swap. 2. Zakładamy, że sopa OIS jes pozbawiona ryzyka kredyowego. 3. Zakładamy, że w chwili sawka depozyu do chwili T dla każdego konrybuora LIBOR jes aka sama i wynosi L M (; T ). 4. Zakładamy, że jeśli bank jes konrybuorem LIBOR na chwilę, o przesanie nim być jedynie wskuek defaulu. Okaże się, że dopiero opuszczenie osaniego założenia pozwala na orzymanie modelu basis spread dającego rezulay zbliżonego rzędu do obserwowanych na rynku. 2.2 Oznaczenia Poniżej przedsawiono używane w dalszej części oznaczenia: 8

10 F Sd "sandardowa" sopa Forward wyznaczona w oparciu o LIBOR E Sd sopa Forward wyznaczona w oparciu o OIS L M rynkowa sopa LIBOR E M rynkowa sopa OIS L X sopa płacona przez konrahena X DF czynnik dyskonowy wyznaczony w oparciu o sopę pozbawioną ryzyka DF L czynnik dyskonowy wyznaczony w oparciu o LIBOR α ułamek roku odpowiadający okresowi 6m 2.3 Przyjęe uproszczenia odnośnie konraków FRA Rozważając konraky FRA, należało by wziąć pod uwagę zabezpieczenie, kóre de faco eliminuje ryzyko kredyowe. Wówczas wycena FRA będzie równa F RA(; α; 2α; K) = E [DF (; 2α)α(L M (α; 2α) K)]. Różnica w sosunku do sandardowej wyceny wynika z rozbieżności pomiędzy sopą LIBOR, od kórej zależy wypłaa, a sopą OIS użyą do dyskonowania. Sopę FRA możemy przedsawić w nasępujący sposób: R F RA (; α; 2α) = F Sd (; α; 2α) + CA(; α; 2α), gdzie CA o "convexiy adjusmen" (auor pracy odwołuje się u do analogicznej syuacji wysępującej dla konraków forward i fuures). W drugiej części pracy Morini pokazuje jednak, że en czynnik jes na yle mały (rzędu 1bp), że nie ma on isonego wpływu na sopę FRA i w efekcie nie może wyjaśniać wysokości basis spreadu na rynku. Należy również wziąć pod uwagę fak, że wypłaa z konraku FRA ma w rzeczywisości miejsce w chwili α, a nie 2α. Obliczając sopę FRA w ych dwóch przypadkach, dosajemy odpowiednio warości: E DF E( ;2α) 0 [L M (α; 2α)] E DF L( ;2α) 0 [L M (α; 2α)] Opierając się na obliczeniach zawarych w drugiej części pracy auor konkluduje, że również a różnica nie ma prakycznego znaczenia i w związku z ym powyższe dwa aspeky konraków FRA są pomijane w dalszych rozważaniach (j przyjmujemy brak kolaeralizacji oraz wypłaę w chwili 2α). 2.4 Basis spread a sopa FRA Morini pokazuje, że problem wyceny FRA jes równoważny wycenie konraku Basis Swap. Przeprowadzając wycenę Basis Swapa poprzez zdyskonowanie sopą OIS przepływów oparych na LIBOR, orzymujemy nasępującą zależność sopy FRA (ozn. RF B RA (0; α; 2α) i basis spreadu (ozn. B(0; 2α)): ( ) RF B 1 RA(0; α; 2α) = F Sd (0; α; 2α)+ DF L (0; α) 1 (F Sd (0; α; 2α) E Sd (0; α; 2α)) 2B(0; 2α). Rysunek 2.1 przedsawia wyniki obliczeń auora powierdzające działanie powyższego wzoru. 9

11 Rysunek 2.1: Sopy FRA 6X12 - rynkowe, orzymane ze "sandardowej" replikacji oraz z zależności od basis spreadu. 2.5 Rozważane modele basis spread W referowanej pracy rozważane są nasępujące rzy modele rynku: 1. Rynek bez ryzyka, j. zachodzi L M (0; T ) = E M (0; T ); 2. Rynek ryzykowny, j. zachodzi L M (0; T ) E M (0; T ); 3. Rynek ryzykowny bez osaniego z przedsawionych założeń. W pierwszym przypadku basis spread jes oczywiście zerowy. W drugim przypadku dosajemy basis spread równy: B(0; 2α) = 1 ( ) 1 2 DF L (0; 2α) 1 (F Sd (0; α; 2α) E Sd (0; α; 2α)). Warość a, jakkolwiek niezerowa, jes znacznie niższego rzędu niż basis spread obserwowany na rynku. Trzeci z rozważanych modeli opuszcza osanie założenie, dopuszczając ym samym możliwość, że bank będący obecnie konrybuorem LIBOR może przesać nim być w przyszłości, jednocześnie nie defaulując. Rozważamy konrak Basis Swap, w kórym bank X (będący na chwilę zawarcia konraku konrybuorem LIBOR) płaci "swoją" sopę, kóra jes ożsama z LIBOR dopóki bank X pozosaje konrybuorem. Reprezenujemy odpowiednio LIBOR oraz sopę płaconą przez bank X jako spread w sosunku do sopy OIS: spread forward dla banku X oznaczamy przez: S M (α; 2α) = L M (α; 2α) E M (α; 2α) S X (α; 2α) = L X (α; 2α) E M (α; 2α); S X (; α; 2α) = F Sd (; α; 2α) E Sd (; α; 2α). 10

12 Zakładamy, że bank X przesanie być konrybuorem LIBOR w chwili α, jeśli jego spread w sosunku do sopy OIS będzie większy niż spread forward w chwili 0. W akiej syuacji zakładamy, że w konrakcie Basis Swap sopa płacona przez bank X w chwili α zosanie zasąpiona sopą płaconą przez bank Y, kóry w chwili α będzie konrybuorem LIBOR. Zaem de faco przedsawiamy konrak Basis Swap jako konrak na sopę konrahena, będącego w chwili zawarcia ransakcji konrybuorem LIBOR z opcją zmiany konrahena na innego konrybuora LIBOR w chwili α, jeśli doychczasowy konrahen przesanie być konrybuorem. Przyjmujemy nasępujące założenie: jeśli spread banku X wzrósł w sosunku do warości S ( 0; α; 2α) o pewną wielkość, o spread banku Y spadł o dokładnie aką samą wielkość. Wówczas zakładając, że spełnione jes równanie: ds X (α; 2α) = S X (α; 2α)σdW, wyceniamy opcję w modelu Blacka-Scholesa, dosając: B(0; 2α) = 1 ( ) 1 2 DF L (0; α) 1 (F Sd (0; α; 2α) E Sd (0; α; 2α))+C 0 (S X (0; α; 2α); S X (0; α; 2α); σ α), gdzie C 0 (X; K; σ T ) = XΦ(d 1 ) KΦ(d 2 ). Auor proponuje dobranie zmienności do powyższego wzoru na podsawie zmienności spreadu indeksu i-traxx. Porównanie basis spreadu orzymanego z modelu w sosunku do rynkowego przedsawia Rysunek 2.2. Rysunek 2.2: Basis spread - obserwowany na rynku oraz orzymany z zaproponowanego modelu. 2.6 Podsumowanie W swojej pracy Morini pokazuje, że wycena FRA i basis spreadu ławo sprowadzają się do jednego problemu. Odrzucane są również niekóre poencjalne wyjaśnienia wielkości basis spreadu 11

13 (związane z różnicą pomiędzy rzeczywisymi własnościami konraku FRA a ich przybliżeniem sosowanym w "klasycznej" wycenie). Sam model basis spreadu opary na wycenie opcji zawiera dość wąpliwe założenie (jeśli spread banku X wzrósł, o spread banku Y spadł o aką samą warość), kóre znacząco uławia obliczenia, ale może powodować niedokładności. Orzymane warości są zbliżone do rynkowych, ale nadal widać różnice. Sam model opary na opcji nie zosał szczegółowo wyprowadzony w bardziej formalnej drugiej części pracy auor przyznaje, że a koncepcja wymaga dalszego rozwinięcia. 12

14 Rozdział 3 Wycena insrumenów pochodnych w rozszerzonym modelu HJM dla wielu krzywych sóp procenowych Michał Pawłowski Rozdział zosał opracowany na podsawie pracy N. Moreni, A. Pallavicini Parsimonious HJM Modelling for Muliple Yield-Curve Dynamics. Wszyskie zaware w rozdziale rysunki pochodza z wymienionej wyżej pracy. W przeciwieńswie do wcześniejszych modeli prezenowanych podczas zajęć seminarium magiserskiego (modeli rakujących jedynie o wycenie nieskomplikowanych insrumenów akich jak np. IRS, FRA), poniższa praca ukazuje kompleksowe podejście do wyceny insrumenów pochodnych sopy procenowej, gdy na rynku isnieje wiele różnych krzywych sóp. 3.1 Dlaczego modelujemy wiele krzywych sóp procenowych? Teoria leżąca u podsaw klasycznych modeli sopy procenowej umożliwia zabezpieczenie przyszłych przepływów finansowych (wykorzysujących sopy forward) przy użyciu obligacji zerokuponowych, zgodnie z zasadą braku arbirażu na rynku. Wenczas porzebujemy ylko jednej krzywej sóp. Wraz z począkiem kryzysu finansowego na świecie (lao 2007), rynkowe kwoowania sóp forward oraz obligacji zerokuponowych zaczęły wyraźnie odbiegać od fundamenów wyceny bezarbirażowej wskuek: 1. kryzysu płynności na rynkach finansowych 2. niemożności ignorowania ryzyka niewywiązania się konrahena ze swoich zobowiązań Jedno z możliwych podejść do rozwiązania powsałego problemu, pojawiające się najczęściej w najnowszej lieraurze, polega na osobnym modelowaniu krzywej służącej do dyskonowania 13

15 Rysunek 3.1: Euribor (1y) - Eurepo (1y) spread (czarna krzywa), warość CDS (1y) insrumenu służącego przenoszeniu ryzyka kredyowego (czerwona krzywa) przyszłych przepływów finansowych, jak i każdej ze sóp forward (dla różnych okresów odsekowych). Inna częso badana możliwość, o osobne modelowanie basis spreadów dla różnych enorów i erminów zapadalności. Wprowadzenie zby wielu akywów bazowych do modelu może jednak skukować jego przeparameryzowaniem, co nasręcza wielu problemów podczas kalibracji. Szczególnie jes o widoczne przy modelowaniu basis spreadów, jako że nawe jeżeli rynek Euro kwouje konraky ypu swap o enorach 1, 3, 6, 12 - miesięcznych, płynne są zaledwie 3 miesięczne (zapadalność 1 rok) i 6 miesięczne (zapadalność 2-30 la). Swapcje o pozosałych enorach opare na sopach Euribor czy Eonia, nie są akywnie kwoowane. Podobnie dzieje się dla capów/floorów i innych opcji sopy procenowej. W niniejszej pracy modelujemy za pomocą rodziny procesów Markowa krzywe sóp, kóre są nam porzebne, bazując na słynnym, klasycznym modelu HJM. 3.2 Podsawy modelu Zaznaczmy na wsępie, że jako srukurę erminową sóp porzebną do dyskonowania, j. oparą na sopie pozbawionej wszelkiego ryzyka, przyjmujemy srukurę implikowaną sopą konraków OIS, gdyż jak wiadomo Euribor jes sopą niezabezpieczoną, zn. kumuluje ryzyko niewypłacalności lub upadku konrahena, podczas gdy wolna od ryzyka kredyowego sopa Eurepo obsługuje konraky o erminach zapadalności nieprzekraczających jednego roku. Zakładamy, że rynek jes wolny od arbirażu, j. posulujemy isnienie miary wolnej od ryzyka, względem kórej handlowane akywa w każdej chwili powiększają swoją warość zgodnie z chwilową sopą wolną od ryzyka r, kórą uożsamiamy z Eonią. Wprowadzamy chwilowe sopy forward oraz bezryzykowne ceny obligacji zerokupono- 14

16 wych f (T ) = E T [r T ], P (T ) = E exp T r u du = exp T f (u)du Pierwsza warość oczekiwana jes względem miary, kórej numeraire o P (T ), j. miary T -forward, naomias druga jes względem miary neuralnej wobec ryzyka. W modelach sóp procenowych wykorzysujących jedną krzywą, ceny obligacji zerokuponowych obserwowanych w chwili = 0 worzą srukurę erminową T P 0 (T ), kóra jes spójna z kwoowaniami (depozyów, konraków FRA, swapów). Jednakże od począku kryzysu, kwoowania e są obarczone znaczną ilością ryzyka kredyowego i ryzyka płynności, w związku z czym zbiór insrumenów przeznaczony do boosrappingu bezryzykownej srukury erminowej sóp musi zosać uważnie wyselekcjonowany. Jak już było wspomniane, wybór padł na sopę OIS. Całą bezryzykowną krzywą konsruujemy przy wykorzysaniu rynkowych kwoowań sopy OIS, sarując z fixingu Eonii. Definiujemy bezryzykowne sopy forward na przedziale [T-x,T] jako E (T, x) = 1 exp x T T x f (u)du 1. Sopy Euribor na okres [, T] oznaczamy L (T ). Są one referencyjnymi sopami dla depozyów srefy Euro. Co więcej, wybiera się je jako akywa bazowe dla większości insrumenów pochodnych sopy procenowej, akich jak np. IRSy, basis swapy. Wprowadzamy akże obarczone ryzykiem sopy forward na okres [T x, T ] jako F (T, x) = E T [L T x (T )], kóre z definicji są maryngałami względem miary T-forward. Ponieważ rakujemy jednodniowe depozyy (indeksowane Eonią) jako pozbawione niemal całkowice ryzyka, możemy myśleć o Eonii jako o jednodniowej sopie Euribor. Kierując się dalej ą analogią, możemy napisać r = lim x 0 L ( + x), zn. gdy długość enoru sopy Euribor zbiega do 0, zanikają również wszelkie ryzyka z ą sopą związane. Wedy prawdą jes eż, że f (T ) = lim x 0 F (T, x). Jak już było wspomniane, nie jes możliwa replikacja depozyów indeksowanych sopą Euribor przy użyciu obligacji zerokuponowych. Dokładniej, dla x > 0 L ( + x) 1 ( ) 1. x P ( + x) 1 Sąd, wydaje się nauralne modelować sopy Euribor dla różnych enorów jako osobne akywa. Jednakże ewolucja ych sóp nie może przebiegać w sposób całkowicie losowy, gdyż należy wziąć pod uwagę fak, że depozyy o dłuższym enorze muszą być obłożone większą premią za ryzyko. 15

17 Rysunek 3.2: Euribor (6m) - Euribor(3m) spread (czarna krzywa), OIS (6m) - OIS (3m) spread (czerwona krzywa) Ściślej, jeśli srukura erminowa sóp bezryzykownych jes rosnąca, o sopy forward powinny być rosnącymi funkcjami enorów. Dla dowolnie przyjęego powinno być E (x, + x) > E ( x, + x) L ( + x) > L ( + x) x > x. (3.1) Jak się jednak okazuje, w fazie największego kryzysu finansowego (osani rymesr 2007r.), o nauralne, jak można by przypuszczać, założenie okresowo nie było spełnione, o czym świadczy rysunek 3.2. Są okresy, gdy E (6m, +6m) E (3m, +3m) > 0 oraz L (+6m) L (+3m) < 0. W związku z ym, implikacja (3.1) nie będzie uwzględniana w dalszej pracy. Waro na wsępie jeszcze poczynić uwagę n. basis-swap spreadu niekórzy auorzy modelują go bezpośrednio przy użyciu dodanich procesów, aczkolwiek jak wynika z rysunku 3.3, ego ypu spread pozosawał długimi okresami ujemny (koniec 2009r.) 3.3 Szczegółowa specyfikacja dynamiki sóp Przyjmujemy założenie, że względem miary T-forward df (T ) = σ (T ) dw (T ), (3.2) d(f (T, x) + k(t, x)) F (T, x) + k(t, x) gdzie σ (T ) = σ (T, T, 0), Σ (T, x) = T T x = Σ (T, x) dw (T ), (3.3) σ (u, T, x)du, przy czym σ (u; T, x) jes rodziną procesów zmienności, W (T ) jes n-wymiarowym procesem Wienera względem miary T -forward, naomias k(t, x) jes rodziną przesunięć spełniających lim xk(t, x) = 1. f 0 (T ) oraz F 0 (T, x) x 0 konsruujemy na podsawie danych rynkowych. Aby uzasadnić posać zmienności wysępującej 16

18 Rysunek 3.3: Basis-swap spread pomiędzy Euribor (1y) a Euribor (6m) w równaniu (3.2) zauważmy, że dla x 0, Σ (T, x) xσ (T, T, 0)+O(x 2 ). Wenczas równanie (3.3) przyjmuje posać df (T, x) = (F (T, x) + k(t, x))(xσ (T, T, 0) + O(x 2 )) dw (T ). Uwzględniając kolejno, iż x 0, O(x 2 ) 0, k(t, x)x 1, F (T, x) f (T ), osanie równanie zbiega do równania (3.2). Jak ławo sprawdzić wzorem Io, rozwiązaniem równania (3.3) jes F (T, x) + k(t, x) = (F 0 (T, x) + k(t, x)) exp ( Σ s (T, x) 2 ds + Co więcej, przy użyciu echniki zamiany numeraire a orzymujemy dw (T ) = dw d W., ln P. (T ) = dw d dw d W., T.. 0 W., σ s (u, u, 0) dw s (u) du T. f. (u)du = dw + = 0 T ) Σ s (T, x) dw s (T ). σ (u, u, 0)du d, gdzie W jes procesem Wienera względem miary nuralnej wobec ryzyka. Biorąc pod uwagę osanie wyniki, możemy napisać ( ) F (T, x) + k(t, x) ln = Σ s (T, x) dw s 1 T F 0 (T, x) + k(t, x) 2 Σ s(t, x)ds + σ s (u, u, 0)duds. 0 s Aby uczynić powyższe równanie ławiejszym do analizy i obróbki, zasosujmy znane z rozszerzenia Richkena-Sankarasubramaniana modelu HJM podsawienie, zakładając rozdzielną posać zmienności σ: σ (u, T, x) = h q(u, T, x)g(, u), q(u, u, 0) = 1, 17

19 g(, u) = exp u λ(y)dy, gdzie h jes adapowanym procesem macierzowym, q jes diagonalno - macierzową deerminisyczną funkcją, λ jes deerminisyczną wekorową funkcją. Tym sposobem orzymujemy główny rezula osiągnięy w pracy równanie na sopę F posaci ln ( ) F (T, x) + k(t, x) = F 0 (T, x) + k(t, x) G(, T x, T, T, x) przy czym X jes wekorowym procesem Io X i = N g i (s, ) h ik,s dw k,s + (h s h s ) ik k=1 0 naomias Y jes macierzowym procesem Y ik = 0 G(, T 0, T 1, T, x) = (X + Y (G 0 (,, T ) 1 2 G(, T x, T, T, x) )), s g k (s, y)dyds, i = 1,..., N, g i (s, )(h s h s ) ik g k (s, )ds, X i 0 = 0, Y ik 0 = 0, i, k = 1..., N, T 1 T 0 q(y, T, x)g(, y)dy, G 0 (, T 0, T 1 ) = T 1 T 0 g(, y)dy. Możemy eraz opisywać dynamikę chwilowej sopy forward oraz ryzykownych sóp forward ypu Euribor jedynie poprzez dynamikę procesów X oraz Y, kóre spełniają w mierze neuralnej wobec ryzyka nasępujący układ równań: N dx i = (Y ik λ i ()X)d i + h ik, dw k,, k=1 ( ) dy ik = (h h ) ik (λ i () + λ k ())Y ik d. Wykorzysując wzór na dynamikę chwilowych sóp forward (3.2), jak i zależność T 1 + xe (T, x) = exp f (y)dy, możemy napisać, przyjmując q(u, T, x) 1 (wedy ln T x G(, T x, T, T, x) G 0 (, T x, T )), ( ) ( 1 + xe (T, x) = G 0 (, T x, T ) (X + Y G 0 (,, T ) 1 )) 1 + xe 0 (T, x) 2 G 0(, T x, T ). Zauważmy, że jeżeli w analogicznym wzorze na logarym F również przyjmiemy q(u, T, x) 1 i k(t, x) = 1 x, o wówczas równania na logarymy ych sóp różnią się ylko warościami 18

20 począkowymi. Mamy wenczas do czynienia z idealną chwilową korelacją pomiędzy Euriborem a Eonią, zn. zachodzi 1 + xf (T, x) 1 + xe (T, x) = 1 + xf 0(T, x) 1 + xe 0 (T, x). Podczas kalibracji mamy swobodę wyboru funkcji q(u, T, x) oraz k(t, x). W ogólności, auorzy rekomendują wybór k(t, x) jako funkcji kawałkami sałej, naomias q(u, T, x) = q(t, x)p(u) dla funkcji skalarnej q i wekorowej p. 3.4 Dynamika sóp swapowych W obrębie prezenowanego modelu jeseśmy w sanie wyprowadzić przybliżone wzory na dynamikę sóp swapowych. Przyjmijmy, że noga zmienna płaci w momenach T a+1,..., T b, naomias noga sała w chwilach T a+1,..., T b, τ k = T a+1+k T a+k, k = 0,..., b a 1, τ k = T a+1+k T a+k, k = 0,..., b a 1. Sopa swapowa spełnia zależność S ab (x) = b k=a+1 τ k P (T k )F (T k, x). b τ k P (T k ) k=a+1 Zdefiniujmy również wagi Daje się pokazać, że w ab k () = τ k P (T k ) b k=a+1 τ k P (T k ). [ ds ab (x) S ab (x) + ψ ab] b δk ab Σ (T k, x) dw, k=a+1 gdzie ψ ab = b k=a+1 b τ k P 0 (T k )k(t k, x), δk ab = τ kp 0 (T k ) [k(t k, x) + F 0 (T k, x)]. b τ k P 0 (T k ) τ j P 0 (T j ) [k(t j, x) + F 0 (T j, x)] k=a+1 j=a+1 Basis swap spread dla enorów nóg zmiennych x i x wynosi B ab (x, x) = S ab (x) S ab ( x). 3.5 Kalibracja modelu i przykłady numeryczne Isnieją jawne przesłanki, że rynek pieniężny w srefie Euro należy modelować przy użyciu wielu krzywych sóp procenowych. Szczególnie jes o widoczne przy wycenie nieskomplikowanych konraków, jak np. IRS. W przypadku ych bardziej złożonych, czasami udaje się zarzeć wady 19

21 Rysunek 3.4: Srukura erminowa Eonii oraz Euriboru w konwencji ACT/360. Dane boosrapowane z kwoowań rynkowych r. związane z wykorzysaniem ylko jednej krzywej poprzez odpowiednią kalibrację zmienności, określenie korelacji paramerów, id. W szczególności, dzieje się ak dla rynku swapcji. Wyniki kalibracji zosaną pokazane na przykładzie ważonego modelu gaussowskiego, j. specjalnego przypadku zaprezenowanego doąd modelu. Dane wykorzysane do kalibracji o ceny swapcji a-he-money kwoowane przez ICAP pochodzące z dnia r. Niech h = ε()hr T, gdzie h jes sałą macierzą diagonalną, R jes dolnorójkąną macierzą aką, że RR T = ρ, gdzie ρ jes macierzą korelacji, ε() = 1 + (β β 1 ) exp( β 2 ), β 0, β 1, β 2 są dodanimi sałymi. Procesy X oraz Y spełniają przy powyższej charakeryzacji nasępujący układ równań w mierze neuralnej wobec ryzyka dla i, j = 1, 2: 2 ( ) dx i = Y ij λ i X i d + ε()h i d W i, dy ij = ε 2 ()h i h j ρ ij + (λ i + λ j )Y ij d, j=1 d W i, W j = ρ ijd, gdzie λ i są nieujemnymi sałymi, d W = R T dw. Przyjmujemy akże q i (u, T, x) = exp( xη i ) oraz k(t, x) = 1 x. Orzymujemy 10 paramerów, kóre należy skalibrować do danych rynkowych: λ 1, λ 2, h 1, h 2, η 1, η 2, ρ 12, β 0, β 1, β 2. Naszym celem będzie porównanie wyników kalibracji ważonego dwuczynnikowego modelu gaussowskiego WG2++ z dwoma innnymi modelami bazującymi na modelu HJM: dwuczynnikowym gaussowskim modelem G2++ dla jednej krzywej sóp procenowych o zależnej poprzez ε() od czasu zmienności. Zakłada się również η i = 0, j. q 1 oraz F 0 (T, x) = E 0 (T, x). W ym modelu używa się jednej krzywej, zarówno do dyskonowania jak i przewidywania, orzymanej sandardowymi echnikami z depozyów, konraków erminowych oraz sóp swapowych. 20

22 Rysunek 3.5: Ceny swapcji a-he-money kwoowanych przez ICAP, pobranych na plaformie Bloomberg r. W pierwszym wierszu długości rwania konraku IRS, w pierwszej kolumnie jego począek. W srefie Euro swapcje roczne bazują na 3-miesięcznej sopie Euribor, pozosałe na 6-miesięcznej. dwuczynnikowym modelem MMG orzymanym z WG2++, gdy przyjmie się η i = 0 Ceny swapcji są dane za pomocą nasępującej warunkowej warości oczekiwanej względem neuralnej wobec ryzyka miary: Π ab T a = E exp r u du x b k=a+1 ( ) + P Ta (T k ) ST ab a (x, x) K, gdzie x o enor nogi zmiennej, x o enor nogi sałej. Do obliczenia sopy swapowej wykorzysujemy jej dynamikę zaprezenowaną wcześniej. Możemy eraz skorzysać z wzoru Blacka: Π ab = x b k=a+1 ( ) P (T k )Bl K + ψ ab (x, x), S ab (x, x) + ψ ab (x, x), Γ ab (x), gdzie Bl jes ceną Blacka dla danej ceny wykonania, sopy forward i zmienności. W szczególności, zmienność wynosi Γ ab (x) = b k=a+1 b k=a+1 δ ab k T k δ ab k Σ (T k, x) = b k=a+1 δ ab k T k 1 h q(u, T k, x)g(, u)du = 3.6 Wyniki kalibracji T k T k 1 σ (u, T k, x)du = b k=a+1 ε()hr exp( xη) exp(λ) δ ab k b k=a+1 T k T k 1 ε()hr exp( xη)g(, u)du = δk ab 1 λ [exp( λt k 1) exp( λt k )]. Analizując wyniki kalibracji (rysunek 3.6) waro zwrócić uwagę na fak, iż X 1 oraz X 2 operują na dwóch różnych skalach czasowych, zn. ponieważ λ 1 < λ 2, pierwszy proces ma zawsze 21

23 Rysunek 3.6: Warości paramerów orzymane po kalibracji modeli do swapcji a-he-money kwoowanych przez ICAP r. Osani wiersz pokazuje błąd kalibracji w sosunku do błędu orzymanego w modelu G2++. Na rysunku po prawej sronie szkiele zmienności, zn. iloczyn ε()h k dla k = 1, 2 w zależności od czasu w laach. empo powrou do średniej mniejsze niż drugi. Taki rezula pozwala uniknąć zdegenerowanych przypadków. Dodoakowo, im więcej sopni swobody w modelu - im bardziej saje się on złożony, ym zmienności procesów X 1 oraz X 2 bardziej się rozjeżdżają. Co więcej, dla procesu o większym empie powrou do średniej zmienność jes większa (proces zmienia się na krószym odcinku czasowym, co powoduje większą zmienność - zgodność z inuicją). Dla swapcji o długości jednego roku błąd kalibracji maleje wraz ze złożonością modelu, czyli m.in. modelowanie wielu krzywych się do ego znacznie przyczynia, co widać porównując górny obrazek na rysunku 3.7 (model G2++ dla jednej krzywej) z prawym dolnym dolnym (model WG2++ dla wielu krzywych). Dla pozosałych enorów wyniki nie są jednoznaczne, co wskazuje, iż modelowanie wielu krzywych ma szczególnie duże znaczenie, gdy chodzi o króki czas wymiany sóp w konrakcie IRS będącym insrumenem bazowym swapcji. Różnice w zmiennościach implikowanych dla Euriboru 3-miesięcznego i 6-miesięcznego (co widać na rysunku 3.8) wynikają dla modeli MMG oraz WG2++ z różnych począkowych krzywych sóp (są o modele dla wielu krzywych, G2++ jes modelem dla jednej krzywej), dla modelu WG2++ dodakowo jes o spowodowane ym, że η 1, η 2 0 (różnią się δk ab oraz exp( xη) 0). Przeanalizowany model napoyka obecnie rudności związane z fakem, iż rynek jes zby młody, aby kwoować swapcje o wszyskich możliwych długościach rwania IRSu, jednakże z czasem syuacja a ulegnie poprawie. Do rozparzonego modelu wielu krzywych wprowadzono jeden nowy sopień swobody w porównaniu z isniejącym już w lieraurze modelem MMG, co zaowocowało lepszymi wynikami. Auorzy wyrażają nadzieję udoskonalenia w przyszłości ego modelu o zmienność sochasyczną, a nasępnie skalibrowaniu go do rozbudowanych już kwoowań rynkowych. 22

24 Rysunek 3.7: Błędy kalibracji - różnice w punkach bazowych pomiędzy rynkowymi a implikowanymi z modelu zmiennościami cen swapcji. Przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: G2++, MMG, WG2++. Lewe osie - długość IRSu, prawe osie - począek IRSu. Rysunek 3.8: Każdy panel ukazuje zmienności implikowane w zależności od czasu rozpoczęcia bazowego konraku IRS. Górny lewy rysunek jes dla jednorocznego IRSu, górny prawy dla dwuleniego, dolny lewy dla pięcioleniego, dolny prawy dla dziesięcioleniego. 23

25 Rozdział 4 Wycena konraków IRS i CDS z uwzględnieniem ryzyka konrahena Michał Szubski Helena Zaręba Rozdział zosał opracowany na podsawie prac D. Brigo, K. Chourdakis Counerpary risk for credi defaul swaps oraz D. Brigo, M. Masei A Formula for Ineres Rae Swaps Valuaion under Counerpary Risk in presence of Neing Agreemens. Kolejnym emaem omawianym przez nas na seminarium była wycena konraków IRS i CDS z uwzględnieniem ryzyka niewywiązania się konrahena ze swoich zobowiązań. Jak wspominaliśmy wcześniej, ryzyko o znacznie wzrosło po kryzysie finansowym, rozpoczęym w 2007 roku i dlaego problem en sał się bardzo akualny. 4.1 Generalna formuła na wycenę insrumenów pochodnych z ryzykiem defaulu Będąc w posiadaniu modelu opisującego ryzyko defaulu można spróbować wycenić insrumeny pochodne z uwzględnieniem nowego efeku. Dla momenu wygaśnięcia insrumenu pochodnego T, nasępujący wzór wyraża wysokość przepływów pieniężnych między konrahenami (górny indeks D rozróżnia przepływy z uwzględnieniem defaulu i bez): Π D (, T ) = 1 {τ>t } Π(, T )+ gdzie: +1 {<τ T } [Π(, τ) + D(, τ)(rec(np V (τ)) + ( NP V (τ)) + )] Π D = "Payoff" wypłaa z opcji zdyskonowana na chwilę z uwzględnieniem ryzyka defaulu. D(, T ) czynnik dyskonujący przepływ pieniędzy w momencie T na momen. Rec "recovery facor" w syuacji niewypłacalności konrahena odzyskujemy część należnych nam pieniędzy, wyznaczoną przez Rec. Warość Rec jes określona w umowie, kórą zawieramy. 24

26 NP V () = E (CF (, T )) warość bieżąca neo (Ne Presen Value). Π(, T ) przepływy pieniężne między momenem i T zdyskonowane na momen. Powyższy wzór inuicyjnie możemy rozumieć w nasępujący sposób: Jeżeli defaul nasąpi po momencie T, o nie ma on wpływu na wypłay z insrumenu pochodnego, wygasającego po chwili T. W przeciwnym przypadku, jeżeli defaul nasąpi między momenem a T, o do momenu τ przepływy pieniężne miedzy sronami były zgodne z konrakem. Po chwili τ, jeżeli zgodnie z umową o my powinniśmy wypłacić pieniądze konrahenowi o robimy o nie zważając na jego defaul. Wreszcie, jeżeli konrahen powinien nam wypłacić pewną kwoę, o oczywiście po chwili τ nie może ego uczynić dlaego wypłaca jedynie ułamek z ej kwoy określony przez Rec. Powyższy wzór pozwolił nam na wyprowadzenie nowego wzoru na wycenę insrumenów pochodnych: W chwili dla zdarzenia {τ > } cena insrumenu z uwzględnieniem ryzyka defaulu jes wyrażona nasępującym wzorem: E (Π D (, T )) = E (Π(, T )) LGD E (1 <τ T D(, τ)(np V (τ)) + ) gdzie LGD = 1 Rec (Loss Given Defaul) Powyższe równanie pokazuje nam, że jeżeli chcemy wycenić pewien insrumen, o począkowo powinniśmy wycenić go nie uwzględniając defaulu, a nasępnie obliczyć nasępującą warunkową warość oczekiwaną: E (1 <τ T D(, τ)(np V (τ)) + ). W omawianym przez nas arykule auorzy skupili się jedynie na problemie obliczenia warości oczekiwanej. Jednak analizując wcześniejsze omawiane przez nas problemy widzimy, że obliczenie warości insrumenu pochodnego bez uwzględnienia możliwości defaulu nie jes wcale prose. Pozosają oware pyania: w jaki sposób o zrobić? Z jakiś krzywych sóp procenowych korzysać? 4.2 Wycena konraków IRS w ramach Deerminisic-Inensiy Model W pierwszej referowanej przez nas pracy auorzy wprowadzili model, kóry pozwala modelować prawdopodobieńswo niewypłacalności jednego z konrahenów - Deerminisic-Inensiy Model. Nasępnie wyprowadzili ogólny wzór na wycenę insrumenów pochodnych w ym modelu i wykorzysali en wzór w szczególnym przypadku wyceny IRS-ów Założenia modelu Główne założenie omawianego przez nas modelu jes nasępujące: zdarzenie defaulu jes opisane przez niejednorodny proces Poissona z inensywnością γ() Auorzy pracy nie łumaczą w jaki sposób dokonali wyboru powyższego założenia, jednak jasne jes, że w ym modelu możemy w ławy sposób explicie obliczyć prawdopodobieńswo defaulu w każdym momencie czasu. Bardziej formalnie założenia modelu są nasępujące: 25

27 Skoki w procesie Poissona są niezależne od wszyskich innych zmiennych obserwowanych na rynku. Zmienna losowa określająca czas defaulu - τ jes zdefiniowana, jako czas pierwszego skoku procesu Poissona z inensywnością γ() Inensywność γ() jes funkcją deerminisyczną, kórą dopasowujemy korzysając z danych rynkowych, na przykład z noowań Credi Defaul Swaps. Przypominamy, że niejednorodny proces Poissona z inensywnością γ() jes o proces, kóry dla 0 spełnia: N 0 = 0. (N ) 0 ma przyrosy niezależne. P (N +h N = 1) = γ()h + o(h) P (N +h N > 1) = o(h) Jak wspomnieliśmy wcześniej przy powyższych założeniach bezpośrednio obliczenie dysrybuany zmiennej τ jes prose i prowadzi nas do nasępującego wyniku: k Q(τ T ) = 1 exp( γ(s)ds) 0 Co równoważnie możemy zapisać poniższym warunkiem: Jeżeli Γ() := k 0 γ(s)ds i ξ niezależna zmienna losowa o rozkładzie wykładniczym o: momen defaulu = τ = Γ 1 (ξ) Powyższy sposób przedsawienia zmiennej τ wpływa na polepszenie możliwości analizy numerycznej powyższego modelu, ponieważ symulowanie zmiennej o rozkładzie wykładniczym jes bardzo prosym zadaniem Wycena konraków ypu IRS Wykorzysując wprowadzony wzór na cenę insrumenu, wyceniamy konrak IRS zawary w momencie T a, kóry w momenach T i, i {a+1;...; b} wymienia sały przepływ K na sopę LIBOR. Warość E(Π()) obliczamy, korzysając z ogólnie znanych wzorów na wycenę IRS-ów bez uwzględnienia defaulu. Aby obliczyć warość: E(1 {τ Tb }D(, τ)(np V (τ)) + ) zakładamy, że defaul może nasąpić ylko w momenach T j i orzymujemy: E(1 {τ Tb }D(, τ)(np V (τ)) + ) = b 1 i=a+1 (Q(τ > T i 1 ) Q(τ > T i ))Swapion i,b (, K, S i,b (), σ i,b ) gdzie Swapion i,b (, K, S i,b (), σ i,b ) o cena swapcji, czyli opcji na IRS, zawarej w chwili, począek IRS-u w chwili T i, koniec w chwili T b. 26

28 4.2.3 Wycena porfeli IRS-ów Zasanówmy się, jak wygląda syuacja, kiedy wyceniamy cały porfel IRS-ów IRS-ów zawarych między dwoma przedsiębiorswami A i B, z różnymi enorami i czasami zapadalności. A i B mogą wysępować zarówno w pozycji długiej jak i krókiej. Możemy zsumować przepływy każdego dnia T i i w en sposób orzymać nowy IRS, o nasępującej funkcji wypłay: gdzie Π IRS () = χ i = ±1 w zależności od pozycji b i=a+1 F i () = F (T i 1, T i ) - sopa forward na LIBOR α i - ułamek neingu D(, T i )[α i χ i F i () χ i K i ] Przeprowadzając podobne rozumowanie, jak dla pojedynczego konraku IRS orzymujemy, nasępujący wzór na wycenę: E (Π D P IRS ()) = E (Π PIRS ()) L GD b a=a+1 Q {τ (Ti 1 ;T i ]}E (D(, T i )(NP V (τ)) + ) Widzimy, że ponownie problemem jes obliczenie warości E(1 {τ Tb }D(, τ)(np V (τ)) + ). Auorzy pracy zaproponowali dwa różne sposoby na jej obliczenie: 1. W pierwszym sposobie zakładamy, że sopy Forward mają lognormalną dynamikę. Nasępnie sosując kilkakronie echnikę zamrażania i echnikę zamiany numeraire przedsawiamy poszukiwaną warość oczekiwaną jako cenę europejskiej opcji kupna lub sprzedaży w modelu Blacka-Scholesa. W rezulacie orzymujemy: E(D(, τ)(np V (τ)) + ) = Ĉi,b()E [(Ŝi,b() ˆK) + ] = Ĉi,b()Black(Ŝi,b(), ϑ 2 i,b, ˆK) dla: d 1 = d 1 = Ŝi,b() φln( ˆK ) φ 1 2 ϑ2 i,b ϑ i,b Ŝi,b() φln( ˆK )+φ 1 2 ϑ2 i,b ϑ i,b φ = ±1 w zależności od znaków Ŝi,b() oraz ˆK, zmienności ϑ 2 i,b procesu Ŝi,b() obliczonej na podsawie Wzoru Iô, oraz ˆω k () := α k P (,T k ) Ĉ i,b () Ŝ i,b () := b k=i+1 ˆω k ()χ k F k () ˆK := b k=i+1 ˆω k ()χ k K k α k Ĉ i,b () := b k=i+1 α k P (, T k ) Dodakowo nasza warość oczekiwana wynosi zero, jeżeli Ŝi,b() < 0 i ˆK > 0 oraz jes równa cenie forward na akywo Ŝi,b() w przeciwnym przypadku. 27

29 2. Drugi sposób polega na wprowadzeniu pomocniczego procesu Y, będącego maryngałem z lognormalną gęsością: gdzie: Ti A Ti = X + φy (T i ) = X + φy ()exp( η(s)dw s 1 Ti η 2 (s)ds) 2 W - ruch Browna względem Ĉi,b η - zmienność procesu Y Chcemy, aby kolejne momeny procesu A równały się, kolejnym momenom procesu Ŝi,b(T i ). Czyli rozwiązujemy nasępujący układ równań: Ê [(Ŝi,b(T i )) m ] = Ê[A Ti ] ze względu na zmienne X, Y () oraz η. Okazuje się, że układ en ma jednoznaczne rozwiązanie posaci: dla: m k = Ê[(Ŝ)k ] β = φ m 1(3m 2 2m 2 1 ) m 3 (m 2 m 2 a) 3 2 (exp(η 2 T i ) 1) 1 2 = ( 4β+4 4+β 2 ) 3 1 m Y 0 = 2 m 2 1 exp(η 2 T i ) 1 X = m 1 + φ ( 4β+4 4+β 2 ) 1 3 Nasępnie obliczając poszukiwaną warość oczekiwaną, zasępujemy proces Ŝi,b(T i ) procesem A Wnioski Auorzy pierwszej omawianej przez nas pracy zaproponowali nowy sposób modelowania ryzyka. Zaleą wprowadzonego przez nich modelu jes fak, że znamy explicie "gęsość ryzyka". Jednak, jak okazuje się na przykładzie IRS-ów, wycena bardziej skomplikowanych insrumenów pochodnych nawe w uproszczonym modelu jes rudnym zadaniem, wymagającym wprowadzenia wielu nowych założeń nie zawsze zgodnych z naszą inuicją. 4.3 Wycena konraków CDS w ramach modelu CIR++ Druga z referowanych prac proponuje model uwzględniający ryzyko defaulu jednej ze sron w przypadku insrumenów ypu CDS - Credi Defaul Swap. Wprowadzony jes nowy model (CIR++) zdarzeń defaulu, korelacja między zdarzeniami oraz przedsawione zosały dwie meody wyliczenia poprawki do ceny konraku ze względu na możliwość defaulu jednej ze sron konraku. 28

30 4.3.1 Definicje, oznaczenia, założenia modelu Credi Defaul Swap CDS (Credi Defaul Swap) jes insrumenem finansowym, kórego sprzedawca zobowiązuje się zapłacić nabywającemu umówioną sumę, jeżeli wysąpi określone w umowie zdarzenie. W zamian za o, kupujący płaci sprzedawcy regularne premie wynoszące pewną część zobowiązania. Konrak obowiązuje pewien usalony wcześniej okres, bądź do wysąpienia zdarzenia. Typowy przykład: właściciel (A) jakiegoś zobowiązania doyczącego (B) kupuje CDS doyczący ego zobowiązania od sprzedawcy (C). W en sposób, A płacąc premie zabezpiecza się przed możliwością defaulu dłużnika. Jeżeli B zdefauluje, o C przekaże A cały zaległy dług B i orzyma od A prawa do zobowiązania wobec B. Definicje τ 1 - momen defaulu podmiou CDS τ 2 - momen defaulu drugiej srony konraku Przesrzeń probabilisyczna (Ω, G, G, Q), gdzie (G ) - filracja opisująca całość informacji na rynku, Q - miara neuralna względem ryzyka F G = F H - wszyskie zdarzenia poza defaulami H = σ({τ 1 u}, {τ 2 u} : u ) E ( ) = E( F ) T - momen wygaśnięcia konraku Założenia modelu Rozważamy wycenę CDS przy założeniach: Druga srona konraku może zdefaulować. Srona wyceniająca konrak nie może zdefaulować (ma znacznie większą wiarygodność kredyową od drugiej srony konraku). Isnieje korelacja pomiędzy zdarzeniami defaulu dla podmiou CDS i drugiej srony konraku. Zmienność credi spreadu ma znaczenie i będzie modelowana. Dla uławienia przyjmujemy, że czynniki dyskonowe są deerminisyczne Opis zdarzeń defaulu Zdarzenia defaulu posiadają nasępujące charakerysyki: Inensywność defaulów λ 1 (podmiou CDS) i λ 2 (drugiej srony konraku) oraz skumulowane inensywności Λ 1 = 0 λ 1(s)ds i Λ 2 = 0 λ 2(s)ds nie zależą od siebie. Ponado λ i > 0. 29

31 Defaul jes opisany procesem Coxa, a więc τ i = Λ 1 i (ξ i ), gdzie ξ i - zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym ze średnią 1 akie, że U i = 1 exp( ξ i ) są skorelowane z użyciem kopuły C(u 1, u 2 ) := Q(U 1 u 1, U 2 u 2 ) Przyjmujemy, że C jes kopułą Gaussowską zn. C(u 1, u 2 ) = φ Σ (φ 1 (u 1 ), φ 1 (u 2 )), gdzie φ - dysrybuana sandardowego rozkładu normalnego, φ Σ - dysrybuana dwuwymiarowego rozkładu normalnego z macierzą korelacji Σ. Model CIR++ Inensywności nie są w ym przypadku procesami deerminisycznymi, zamias ego opisywane są procesem CIR: λ j () = y j () + ψ j (, β j ) ψ jes funkcją deerminisyczną zależną od wekora paramerów β, aką że ψ(0, β) = λ(0) y 0. Chcemy, żeby y były procesami CIR, czyli: dy j () = κ(µ y j ())d + ν y j ()dw j () Zaem β j = (κ j, µ j, ν j, y j (0)) Dodając dj j () = d( N j () i=1 Yj i), gdzie N j() - proces Poissona z inensywnością α liczący skoki, Y - niezależne zmienne losowe o rozkładzie wykładniczym i średniej γ, do prawej srony powyższego równania na dy j () można wprowadzić skokowość Kalibracja modelu CIR++ Aby skalibrować model chcemy, aby. Dla modelu CIR++ mamy Q(τ 2 ) model = Q(τ 2 ) marke Q(τ 2 ) model = E(e Λ 2() ) = E(exp( ψ 2 (, β) Y 2 ())) Gdzie Y 2 () = 0 y 2(s)ds. Sąd: ψ 2 (, β) = ln( P CIR (0,, y i (0), β 2 ) Q(τ 2 ) marke ) P CIR - ceny obligacji w modelu CIR, z odpowiednimi warunkami począkowymi Podobnie z momenem defaulu τ Wycena konraku ypu CDS (1) Podejście z dyskreyzacja czasu Korzysając z ogólnego wzoru na wycenę konraku w przypadku możliwości zdarzenia defaulu jednej ze sron można orzymać, przy założeniu = 0 i dyskreyzując 0 = T 0, T 1,..., T b = T : 30

32 E {Π D (0, T b )} = E {Π(0, T b )}+ b LGD E {1 {Tj 1 τ 2 T j }D(0, T j )(E Tj {Π(T j, T b )}) + } (4.1) j=1 Ponieważ T j 1 τ 2 T j, τ 2 można było przybliżyć przez T j. Wyceniamy CDSa na okres pomiędzy T a i T b w zamian za premię S, przy założeniu że sopy są deerminisyczne. Po prosych przeliczeniach okazuje się, że: + b i=a+1 CDS a,b (0, S, LGD; Q(τ > ) = ( Tb S P (0, T )( T γ() 1 )Q(τ [, + d))+ T a ) Tb P (0, T i )α i Q(τ T i ) + LGD P (0, T )Q(τ [, + d)) T a Gdzie P (0, T ) = E(D(0, T )), α i - ułamek roku pomiędzy T i 1 a T i, T γ() - pierwszy T i po chwili. Wprowadzamy poprawkę wynikającą z defaulu drugiej srony konraku, odnosząc ją do równania (1). Chcemy policzyć: E {1 {Tj 1 τ 2 T j }(E{Π(T j, T b ) G Tj }) + } Zauważamy, że E{Π(T j, T b ) G Tj } = CDS a,b (T j, S, LGD) Jednocześnie pamięamy, że procesy modelujące defauly są ze sobą skorelowane za pomocą funkcji kopula. Dlaego uwzględniamy explicie zdarzenie defaulu τ 1. CDS a,b (T j, S, LGD) = 1 {τ1 >T j }CDS a,b (T j, S, LGD) Ale po przekszałceniach i skorzysaniu z modelu opisującego momeny defaulu można orzymać: E{1 {Tj 1 τ 2 T j }(E{Π(T j, T b ) G Tj }) + } = ( = E ) (CDS a,b (T j, S, LGD)) + E{1 {Tj 1 τ 2 T j }1 {τ1 >T j } F Tj } = ( = E (CDS a,b (T j, S, LGD)) + [exp( Λ 2 (T j 1 ) exp( Λ 2 (T j )+ C(1 exp( Λ 1 (T j )), 1 exp( Λ 2 (T j )))+ ) +C(1 exp( Λ 1 (T j )), 1 exp( Λ 2 (T j 1 )))] Aby policzyć warość CDS a,b (T j, S, LGD) porzebna jes wiedza o warości Q(τ 1 > u G Tj ) dla u T j. 1 {Tj 1 τ 2 T j }Q(τ 1 > u G Tj ) = E[1 {Tj 1 τ 2 T j }1 {τ1 >u} G Tj ] = = E[1 {Tj 1 τ 2 T j }1 {τ1 >T j }1 {τ1 >u} G Tj ] = = 1 {Tj 1 τ 2 T j }E[1 {τ1 >u} G Tj, T j 1 τ 2 T j, τ 1 > T j ] 31

33 = 1 {Tj 1 τ 2 T j }E[1 {τ1 >u} F Tj, T j 1 τ 2 T j, τ 1 > T j ] = Q(τ 1 > u, T j 1 τ 2 T j F Tj ) = 1 {Tj 1 τ 2 T j } Q(τ 1 > T j, T j 1 τ 2 T j F Tj ) Co pozwala nam wyznaczyć dokładną cenę konraku CDS, przy założeniu że znamy odpowiednie prawdopodobieńswa (zn. mamy już skalibrowany model CIR). (2) Podejście numeryczne W pracy zaware zosało również podejście numeryczne do wyceny konraku, nie korzysające z przybliżeń zawarych w dyskreyzacji. Wprowadzenie ego podejścia zaargumenowano ym, że poprzednie nie jes dosaecznie skueczne. Wracamy do wzoru: E {Π D (, T )} = E {Π(, T )}+ LGD E {1 { τ2 T }D(, τ 2 )(NP V (τ 2, T )) + } = Ineresuje nas E {1 { τ2 T }D(, τ 2 )(NP V (τ 2, T )) + } = = E {1 { τ2 T }D(, τ 2 )(CDS a,b (τ 2, S, T )) + } = = E {1 { τ2 T }D(, τ 2 )(1 {τ1 >τ 2 }CDS a,b (τ 2, S, T )) + } Aby obliczyć ą warość oczekiwaną porzebna nam wiedza o 1 {τ1 τ 2 }Q(τ 1 > u G τ2 ) = 1 {τ1 τ 2 }Q(τ 1 > u G τ2, τ 1 τ 2 ) Q(τ 1 > T G τ2, τ 1 τ 2 ) = Q(U 1 > 1 exp( Y 1 (T ) Ψ 1 (T )) G τ2, τ 1 τ 2 ) Gdzie U 1 - zmienna o sandardowym rozkładzie jednosajnym, Y 1 (T ) = T 0 y 1(s)ds, Ψ 1 (T ) = ψ 1(s)ds, λ 1 = y 1 + ψ 1. Z własności warunkowej warości oczekiwanej można zapisać: T 0 Dalej: Q(U 1 > 1 exp( Y 1 (T ) Ψ 1 (T )) G τ2, τ 1 τ 2 ) = ) = E (Q(U 1 > 1 exp( Y 1 (T ) Ψ 1 (T )) G τ2 ) G τ2, τ 1 τ 2 = = E(P (U 1 ) G τ2, τ 1 τ 2 ) P (u 1 ) = Q(Y 1 (T ) Y 1 (τ 2 ) < log(1 u 1 ) Y 1 (τ 2 ) Ψ 1 (T ) G τ2 ) I e warości orzymać można używając fracional FFT - nie zosało o jednak dokładniej opisane w pracy. Q(τ 1 > T G τ2, τ 1 τ 2 ) = E(P (U 1 ) G τ2, τ 1 τ 2 ) = = 1 Ū 1 P (u)dc 1 2 (u, U 2 ) 32

34 Gdzie C 1 2 (u, U 2 ) = Q(U 1 < u G τ2, τ 1 > τ 2 ). Znając τ 2 znamy U 2 = 1 exp( Y 2 (τ 2 ) Ψ 2 (τ 2 )). Dzięki nierówności τ 1 > τ 2 mamy U 1 > 1 exp( Y 1 (τ 2 ) Ψ 1 (τ 2 )) = Ū1. Sąd: I dalej: Korzysając z własności kopuły: C 1 2 (u, U 2 ) = Q(U 1 < u, U 1 > Ū1 U 2 ) Q(U 1 > Ū1 U 2 ) C 1 2 (u, U 2 ) = Q(U 1 < u U 2 ) Q(U 1 < Ū1 U 2 ) 1 Q(U 1 < Ū1 U 2 ) C 1 2 (u, U 2 ) = C(u,U 2 ) u 2 C(Ū1,U 2 ) u 2 1 C(Ū1,U 2 ) u Wnioski Na koniec pracy przedsawione zosało case sudy. Wynika z niego, że poprawka do CDS może osiągać znaczną warość - nawe do 90bp przy bazowym spreadzie ok w przypadku dużej korelacji zdarzeń defaulu. Oczywiście, ze względu na rodzaj konraku, poprawka a nie jes symeryczna dla sron konraku. To, czego w pracy zabrakło moim zdaniem o - dokładny opis kalibracji modelu (skąd wziąć prawdopodobieńswa), opisanej meody fracional FFT, porównania obu meod wyceny pomiędzy sobą oraz z rynkiem, aby można było ocenić ich skueczność. 33

35 Rozdział 5 Insrumeny skolaeralizowane Marcin Sosnowski Rozdział zosał opracowany na podsawie pracy M. Fujii, Y Shimada, A. Takashi, Collaeral Posing and Choice of Collaeral Currency, Implicaions for Derivaive Pricing and Risk Managemen. Wszyskie zaware w rozdziale rysunki pochodza z wymienionej wyżej pracy. Nabierający coraz większego znaczenia problem upadku konrahena doprowadził do porzeby znalezienia zabezpieczania konraków przed aką ewenualnością. Jednym ze sposobów zabezpieczenia się przed akim ryzykiem jes nabywanie insrumenów skolaeralizowanych. Mechanizm ich działania jes prosy. Jeżeli zawary w przeszłości konrak uzyska niezerową warość bieżącą srona posiadająca pozycję o dodaniej warości orzymuje w zasaw od swojego konrahena akywo, kóre przejdzie na jego własność w przypadku niewypłacalności srony posiadającej ujemną warość bieżącą. Zasaw przekazywany jes drugiej sronie na zasadzie lokay o usalonym oprocenowaniu oznaczanym przez c() (sopa kolaeralu, w Polsce częse jes przyjęcie sopy lombardowej NBP). Zasaw może być nasępnie lokowany po oprocenowaniu r() (syuacja przedsawiona na rysunku 5.1). Insrumeny skolaeralizowane sały się szczególnie popularne po kryzysie finansowym 2007 roku. W 2003 roku sanowiły one 30% rynku OTC. W roku 2009 ich udział wzrósł do 70%. W 80% przypadków zasaw sanowiła goówka, w ponad 50% przypadków waluą kolaeralu (niezależnie od waluy wypłay) był USD. Rysunek 5.1: Mechanizm przekazywania zasawu przy dodaniej warości bieżącej po sronie A i pełnej kolaeralizacji W dalszej części zosanie omówione podejście,w kórym zakładamy, że akywem zasawu jes goówka. Warość kolaeralu wynosi 100% warości bieżącej konraku. Jes on uzupełniany 34

36 w sposób ciągły i pokrywane są nawe najmniejsze zmiany warości obecnej. Przyjęe założenia pozwalają na ominięcie szacowania prawdopodobieńswa upadku konrahena. W przypadku nasąpienia akiego zdarzenia zasaw przechodzi na własność srony z dodaną warością obecną i może być przeznaczony na zawracie na rynku OTC konraku o akiej samej wypłacie. Ryzyko o jes więc zabezpieczone. 5.1 Wycena W szacowaniu warości konraku używana będzie efekywna sopa procenowa y (i) () o kapializacji ciągłej będąca różnicą pomiędzy oprocenowaniem, po jakim srona o dodaniej warości konraku lokuje orzymany zasaw, a sopą kolaeralu płaconą jego właścicielowi. Indeks i oznacza waluę zasawu. Sopa a wynosi: y (i) () = r (i) () c (i) (). W przypadku, gdy walua kolaeralu jes inna niż wypłay warość obecna będzie w sposób ciągły przeliczana po akualnie obowiązującym kursie spo wynoszącym f x (i,j) () (wymiana waluy j na i, warość wyrażona w walucie j na 1 jednosję i).. Cenę konraku wyrażoną w walucie i (zasaw w walucie j) w momencie będziemy oznaczali przez h (i) (). Bierze ona pod uwagę zarówno warość obecną wypłay jak i o, że w przyszłości mogą nasąpić wypłay spowodowane przekazaniem kolaeralu. Cena jes więc opisana równaniem: h (i) () = E Q i (e T ) r (i)(s)ds h (i) (T ) + f x (i,j) () E Q j ( T ( e s r(j) (u)du h y (j) (i) ) ) (s) f x (i,j) ds, (s) gdzie Q k oznacza miarę maryngałową dla waluy k. Po zmianie numéraire w drugim członie równania i skorzysaniu z paryeu uzyskujemy wzór wyrażony względem 1 miary maryngałowej: h (i) () = E Q i ( e T r (i) (s)ds h (i) (T ) + T ) e s r(i) (u)du y (j) (s)h (i) (s)ds. (5.1) Skorzysanie z paryeu sopy procenowej i kursu waluowego niesie ze sobą bardzo znaczące implikacje dla osaecznej formuły wyceny. Począkowo formuła służąca do liczenia warości bieżącej brała pod uwagę zarówno obecny jak i przyszły kurs waluowy. Ryzyko waluowe było więc uwzględniane w kolaeralu. Po modyfikacjach kurs waluowy oddziaływuje na warość bieżącą konraku wyłącznie pośrednio poprzez wpływ na sopy procenowe. Oznacza o przeniesienie niezawarej w modelach sób procenowych części ryzyka waluowego na sronę posiadającą w momencie dodanie PV. Po pomnożeniu równania 5.1 sronami przez e 0 r(i) (s)ds i podsawieniu prawej srony równania w 5.2 widać, że zdefiniowany poniżej proces X() jes maryngałem. X() := e 0 r(i) (s)ds h (i) () + e s 0 r(i) (u)du y (j) (s)h (i) (s)ds (5.2) 0 Nasępnie po zasosowaniu do powyższej formuły wzoru Iô możemy wyznaczyć dh (i) () jako liniowe równanie sochasyczne: 35

37 ( dh (i) s ) ( ) () = d e 0 r(i) (u)du dx(s) + r (i) () y (j) () h (i) ()d 0 Po rozwiązaniu go dla = 0 i przyłożeniu warości oczekiwanej uzyskujemy h (i) (0) = E Q i 0 ( h (i) T ) (T )e 0 (y(j) r (i) )(s)ds [ T E Q i 0 0 s ( e 0 (y(j) r (i))(u)du s d e 0 dx(s)) ] r(i) (u)du. 0 Jeśli proces ξ() = e 0 r(i) (u) jes prognozowalny i całkowalny z kwadraem, o 0 e s jes maryngałem lokalnym względem miary Q i. Jeżeli jes on dodakowo ciągły i całkowalny z kwadraem, o mamy do czynienia z maryngałem. Drugi elemen równania można więc pominąć, a formułę przeskalować na dowolny momen czasu uzyskując nasępującą posać: h (i) () = E Q i (e ( T r (i) T ) ) (s)ds y e (j) (s)ds h (i) (T ) 0 r(i) (u)du dx(s) W dajszej części auorzy wprowadzają nowe akywo finansowe bon skarbowy oprocenowany sopą kolaeralu c (i) () i używają go jako nowe numéraire. Uzyskaną w en sposób miarę maryngałową oznaczmy przez T(i) c, a owarzyszący jej czynnik dyskonowy oznaczmy przez D (i) (, T ). Poniższe przejście jes efekem zaniedbania małej (zdaniem auorów) korelacji pomiędzy c (i) () a sopami y (i) () oraz y (j) (). h (i) () D (i) (, T )E T c (i) (e ) T (y(i) y (j))(s)ds h (i) (T ), 5.2 Wybór waluy kolaeralu W dalszej części arykułu auorzy zajmują się rozważaniem wpływu, jaki wybór waluy w kórej przekazywany jes kolaeral wywiera na cenę zawieranego konraku. Dla wygody wprowadźmy oznaczenie y (i,j) () = (y (i) y (j) )(), gdzie i oznacza waluę konraku, a j waluę wypłay kolaeralu. W przypadku insrumenów dających osobie przekazującej zasaw w dowolnym momencie możliwość zmiany jego waluy kolaeral będzie złożony w najwygodniejszej (generującen najmniejsze kosza) walucie. Oznacza o, że efekywna sopa wyniesie max j C y (i) () y (j) (), gdzie C oznacza zesaw dopuszczalnych walu. Najczęsszym rozwiązanem jes możliwość składania zasawu w USD. W ej syuacji funkcja opisująca wybór oprocenowania wyniesie { } max y (i) () y USD (), 0. W przypadku gdy korelacja pomiędzy sopami procenowymi a funkcją wypłay jes niewielka czynnik dskonujący sopą y (i,usd) () może być wyprowadzony przed ogólną formułę, a cenę konraku można w przybliżeniu opisać nasępującym wzorem: h (i) () D (i) (, T )E Q i (e T ) (y(i) y (j) )(s)ds E T c ( ) (i) h (i) (T ). W powyższym wzorze pierwsza warunkowa warość oczekiwana wzięa jes względem miary Q i, ponieważ wyprowadzenie zosało dokonane przed zmianą miary na T(i) c. Uzyskano w en sposób drugi czynnik dyskonowy zależny od doboru walu konraku. Jego wielkość dla EUR i JPY jako waluy wypłay oraz USD jako dopuszczalny kolaeral zosała przeanalizowana na rysunku

38 Rysunek 5.2: Czynnik dyskonowy związany z doborem waluy kolaeralu dla konraków o wypłacie w EUR i JPY dających możliwość składania kolaeralu w USD dla modelu HW (z różnymi zmiennościami) w zależności od czasu zapadalności 37

39 Rozdział 6 Srukura erminowa ryzyka międzybankowego Wojciech Tyczyński Rozdział zosał opracowany na podsawie pracy D. Filipović, A. B. Trolle The Term Srucure of Inerbank Risk. Wszyskie zaware w rozdziale rysunki pochodza z wymienionej wyżej pracy. Do ej pory zajmowaliśmy się przede wszyskim ryzykiem jako całością. Prezenowana poniżej praca próbuje wyłumaczyć srukurę ego ryzyka oraz przeanalizować wpływ jego poszczególnych komponeneów w zależności od erminu zapadalności insrumenu finansowego jak również pokazać jak kszałował się en wpływ na przesrzeni osanich la. 6.1 Wprowadzenie W ej części prezenowanej pracy przeanalizujemy srukurę erminową ryzyka międzybankowego. Przede wszyskim zaprezenujemy model, kóry dekomponuje o ryzyko na ryzyko bankrucwa (defaul risk) oraz ryzyko płynności (non-defaul risk). Wykorzysując go pokażemy jak poszczególne komponeney ryzyka wpływają na jego wielkość w zależności od erminu zapadalności rozważanych insrumenów finansowych jak również pokażemy jak zmieniało się o w przeciągu osanich kilku la. W celu przeprowadzenia analizy będziemy wykorzysywali kilka podsawowych insumenów finansowych oraz och noowania na rynkach finansowych. Oczywiście podsawowym insumenem są sopy Libor i Euribor. W dalszej części pracy będziemy skupiali sie przede wszyskim na insrumenach kolaeralizowanych. Poniżej przedsawiam podsawowe założenia dosyczące kolaeralizacji: Kolaeralizacja odbywa się w czasie rzeczywisym (a zaem depozy zabezpieczają zmienia sie z każdą zmianą wyceny insrumenu finansowego) Kolaeralizacja wynosi 100% warości konraku. Beneficjen może zainwesować ę kwoę po sopie r(), musi zaś zapłacić r c () = lim T L(, T ) jako zabezpieczenie. 38

40 Konsekwencją powyższych założeń jes nasępujący wzór na wycenę dowolnych insrumenów kolaeralizowanych: [ V () = E e T r(s)ds X + T e u ] r(s)ds (r(u) r c (u))v (u)du gdzie E jes warunkową warości oczekiwaną względem bezryzykownej miary maryngałowej pod warunkiem filracji F reprezenującej informacje dosępne na rynku do chwili. X jes wypłaą z rozważanego konraku wypłacaną w chwili zapadalności T. Można pokazać, że przy powyższych założeniach warość insrumenu finansowego jes zadana nasępującym wzorem: V () = E [e T ] r c(s)ds X Pozosałymi insrumenami, z kórych będziemy korzysać w dalszej analizie są konraky IRS, Basis Swap, OIS oraz CDS. Zakładamy, że wszyskie z nich są kolaeralizowane. 6.2 Model Wprowadzony model będzie się opierał o rozszerzony model podwójnie sochasyczny (exended doubly sochasic framework). Polega on przede wszyskim na umożliwieniu w nim dowolnie wielu czasów bankrucwa (kóre o odpowiadają bankrucwom różnych insyucji finansowych). W przesrzeni probablisycznyej (Ω, F, Q) definiujemy ciąg zmiennch losowych o rozkładzie wykładniczym ε( 0 ) Exp(1) ( 0 0), niezależnych od F. Ponado, niech dla każdego 0 0 λ( 0, ) będzie nieujemnym F adapowalnym procesem spełniającym zależność: λ( 0, s)ds < 0 0 Definiujemy eraz nasępujące zmienne losowe: } τ( 0 ) = inf { > 0 λ( 0, s)ds ε( 0 ) 0 Wówczas τ( 0 ) jes czasem zarzymania względem filracji: G = F ( 0 0σ(1 {τ(0 ) }) s ) A zaem proces λ( 0, s) jes inensywnością procesu bankrucwa. Można pokazać, że we wprowadzonym właśnie modelu dla nieujemnych zmiennych losowych Y F mierzalnych zachodzi: ] E [Y 1 {τ(0 )>T } G 0 = E 0 [Y e T λ( 0,s)ds ] 0 Korzysając z powyższego wzoru dosajemy, iż w chwili 0 warość niezabezpieczonej (niekolaeralizowanej) pożyczki na okres [ 0, T ] o nominale 1 wynosi: [ B( 0, T ) = E 0 e T ] r(s)ds 0 1{τ(0 )>T } = E 0 [e T (r(s)+λ( 0,s))ds ] 0 Teraz zdefiniujemy sopę Libor ak, aby uwzględniała ona zarówno ryzyko bankrucwa jak i ryzyko płynności. Ryzyko bankrucwa uwzględniamy korzysając z powyższego wzoru na warość pożyczki niezabezpieczonej, zaś ryzyko płynności uwzględniamy wprowadzając czynnik muliplikaywny Ξ( 0, T ): L( 0, T ) = 1 ( 1 ) T 0 B( 0, T ) 1 Ξ( 0, T ) 39

41 z zachowaniem inuicyjnego warunku: lim Ξ( 0, T ) = 1 T 0 Korzysając eraz z wyrażenia na spread IRS-OIS dla pojedynczego okresu i powyższego określenia sopy Libor dosajemy: L( 0, T ) OIS( 0, T ) = 1 ([ 1 T 0 B( 0, T ) 1 ] [( 1 ) ]) + P c ( 0, T ) B( 0, T ) 1 (Ξ( 0, T ) 1) Możemy eraz zauważyć, że pierwszy nawia w powyższym wzorze odpowiada za ryzyko bankrucwa, zaś drugi składnik odpowiada za ryzyko płynności. Przejdźmy eraz do wprowadzenia modelu czynników afinicznych, kóry o wykorzysamy do przeprowadzenia analizy. Zakładamy, że bezryzykowna sopa r() jes modelowana przez nasępujące procesy Gaussowskie: dr() =κ r (γ() r())d + σ r dw r () dγ() =κ γ (θ γ γ())d + σ γ (ρdw r () + 1 ρ 2 dw γ ()) gdzie γ() jes sochasycznym czasem powrou do średniej procesu r(). Załóżmy eż, że procesy modelujące inensywność bankrucwa sarujące w chwili 0 sarują zawsze z ego samego punku: λ( 0, 0 ) = Λ( 0 ) = Λ zaś sam proces jes modelowany nasępującym równwaniem: gdzie: λ( 0, ) = Λ + κ λ (Λ λ( 0, s))ds + 0 N() - proces zliczający z inensywnością ν() N() j=n( 0 )+1 Z λ,j Z λ,1, Z λ,2,... - niezależne zmienne o rozkładzie wykładniczym ze średnią 1 ζ λ Inensywność procesu zliczającego N() modelujemy równaniem: lub dwoma równaniami: dν() =κ ν (φ ν ν())d + σ ν ν()dw ν () dν() =κ ν (µ() ν())d + σ ν ν()dw ν () dµ() =κ µ (φ µ µ())d + σ µ µ()dw µ () Ponado proces Ξ( 0, T ) odpowiadający za ryzyko płynności modelujemy nasępująco: 1 [ Ξ( 0, T ) = E 0 e T ξ(s)ds ] 0 gdzie proces ξ() ewoluuje zgodnie z równaniem: dξ() =κ ξ (φ ξ ξ())d + σ ξ ξ()dw ξ () 40

42 lub zgodnie z dwoma równaniami: dξ() =κ ξ (ɛ() ξ())d + σ ξ ξ()dw ξ () dɛ() =κ ɛ (φ ɛ ɛ())d + σ ɛ ɛ()dw ɛ () Zauważmy, że powyższe rozważania pozwalają nam w rzeczywisości na wprowadzenie rzech modeli: A(2, 1, 1), A(2, 2, 2), A(2, 2, 2), kóre oznaczają, że odpowiednio r(), ν(), ξ() są modelowane przez odpowiednią liczbę procesów (1 lub 2). W każdym z ych rzech modeli można w sposób analiyczny wycenić rozparywane wcześniej insrumeny finansowe. Jes o jednak skomplikowane i nie jes adresowane w ym rozdziale. 6.3 Analiza wyników Esymacja paramerów modelu zosała wykonana w oparciu o meodą maksymalnej wiarygodności oraz filr Kalmana (a konkreniej uncesed Kalman filer ). Poniżej przedsawiam analizę orzymanych wyników. Na rysunku 6.1 przedsawione zosały wyniki esymacji zmiennych sanowych: r(), ν() oraz ξ() dla rynku amerykańskiego. Przeanalizujmy eraz wspomniane wykresy. Po pierwsze zauważmy, że przerywane pionowe linie na wykresach oznaczają kluczowe wydarzenia dla rynków finansowych, kórymi były odpowiednio: 1. Przejęcie banku Bear Searns przez JP Morgan (16 marca 2008) 2. Bankrucwo banku Lehman Borhers (15 września 2008) 3. Obiżenie raingu Grecji prze agencję Sandard and Poor s (27 kwienia 2010) Zobaczmy eraz jak kszałowały się warości procesów ν() oraz ξ() w okolicach ych wydarzeń. Po pierwsze możemy zauważyć, iż w przypadku przejęcia banku Bern Searns oraz zmniejszenia raingu Grecji mamy do czynienia z wyraźnymi skokami warości ν() oraz wyraźnym spadkiem warości ξ(), naomias w przypadku upadku banku Lehman Brohers syuacji jes dokładnie odwrona. Pozwala o na wysnucie hipoezy, iż w przypadku pierwszego i rzeciego wydarzenia mieliśmy do czynienia z maerializacją ryzyka kredyowego (modelowanego pośrednio przez zmienna ν()), zaś w przypadku upadku banku Lehman Broher mieliśmy przede wszyskim do czynienia z brakiem płynności. Zajmijmy się eraz analizą srukury ryzyka międzybankowego. Zauważmy, że zbadanie wielkości ryzyka kredyowego jes sosunkowo prose - wysarczy bowiem przyjąc Ξ( 0, T ) = 1. Oczywiście wówczas komponen non-defaul jes obliczany jako odpowiednia różnica. W celu przeanalizowania wspomnianej srukury spójrzmy na rysunki 6.2 oraz 6.3. Na rysunku 6.2 mamy do czynienia z ryzykiem dla rynku amerykańskiego. Górny wiersz zawiera dekompozycję na czynnik ryzyka kredyowego i ryzyka płynności ryzyka dedukowanego ze spreadu pomiędzy sopami Libor a konrakami OIS o ym samym erminie zapadlności. Dolny wiersz przedsawia analogiczną dekompozycję spreadu IRS-OIS. Rysunek 6.3 prezenuje e same wyniki dla rynku europejskiego. Zauważmy, że w przypadku obu rynków w pierszej połowie rozważanego okresu komponen non-defaul odgrywa dość znaczącą rolę. Naomias w drugiej części okresu jego wielkość jes zaniedbywalnie mała - można przyjąć, że całość ryzyka jes związana z ryzykiem bankrucwa. Ponado zauważmy, że w pierwszej połowie okresu analizy komponen non-defaul jes znacznie mniejszy w przypadku spreadu IRS-OIS, co powierdza ezę, iż spread en odzwierciedla nasze oczekiwania na ema przyszłych warości spreadu Libor-OIS. 41

43 Rysunek 6.1: Wyniki esymacji zmiennych sanowych w modelach A(2, 1, 1), A(2, 2, 1) i A(2, 2, 2) dla rynku amerykańskiego. 42

44 Rysunek 6.2: Dekompozycja ryzyka międzybankowego na defaul (ciemnoszary) oraz non-defaul (jasnoszary) na rynku amerykańskim. 43

45 Rysunek 6.3: Dekompozycja ryzyka międzybankowego na defaul (ciemnoszary) oraz non-defaul (jasnoszary) na rynku europejskim. 44