Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe

Transkrypt

1 Modelowanie ryzyka kredytowego MODELOWANIE ZA POMOCA FUNKCJI HAZARDU cz. II: CDS y - swapy kredytowe Mariusz Niewęgłowski Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych, Politechniki Warszawskiej Warszawa 2014 hazardu Warszawa / 23

2 CDS - Swapy kredytowe (Credit Default Swap) CDS jest kontraktem pomiędzy dwoma stronami (kontrahentami) A i B zwiazanym z defaultem firmy C, B umawia się, że w momencie τ wypłaci wypłatę Z stronie A w przypadku defaultu firmy C przed upływem terminu wygaśnięciem kontraktu. Jeżeli nie będzie defaultu przed terminem wygaśnięcia kontraktu strona B nic nie płaci. Strona A płaci pewne ustalone kwoty za ochronę przed defaultem. Opłaty dokonywane sa w regularnych momentach czasu do momentu wygaśnięcia kontraktu lub defaultu (jeżeli ten nastapi pierwszy). Zwykle opłaty składaja się z kwoty c i wypłacanej w T i (stała noga CDS a). Wypłata na wypadek defaultu jest nazywana noga defaultu. hazardu Warszawa / 23

3 CDS - Swapy kredytowe (Credit Default Swap) Strona A zwykle nie może anulować kontraktu. Może natomiast przenieść kontrakt na stronę D. D będzie wpłacać opłaty za ochronę i otrzyma wypłatę w przypadku defaultu. Może się zdażyć, że strona D może zarzadać(lub zapłacić) pewnej dodatkowej opłaty za zgodę na przeniesienie kontraktu. hazardu Warszawa / 23

4 Stylizowane CDS y Założenie C : Załóżmy, że stopy procentowe sa zerowe, r = 0. Definicja Stylizowanym CDS em o stałym spreadzie κ i wypłata zastępcza w momencie defaultu δ nazywamy wypłatę (0, A,, Z, τ), gdzie Z (t) = δ(t), A t = κt Lemat Funkcja δ : [0, T ] R reprezentuje zabezpieczana wypłatę. Stała κ nazywa się spreadem (premia) CDS a (stopa CDS a). Cena ex-dividend CDS a wygasajacego w T o spreadzie κ jest dany wzorem ( ) S t (κ) = E Q δ(τ)1 {t<τ T } + 1 {t<τ} κ(τ T t) H t hazardu Warszawa / 23

5 Stylizowane CDS y Lemat Cena ex-dividend CDS a wygasajacego w T o spreadzie κ jest dany wzorem ( 1 T T ) S t (κ) = 1 {t<τ} δ(u)dg(u) κ G(u)du. G(t) t t Widzimy, że mamy S t (κ) = 1 {t<τ} St (κ), t [0, T ], gdzie S t (κ) jest cena ex-dividend przed defaultem CDS a hazardu Warszawa / 23

6 Rynkowy CDS spread Załóżmy że kontrakt CDS był zawarty w s t w taki sposób, że jego cena poczatkowa była 0. Rynkowym CDS em rozpoczętym w s jest kontrakt CDS którego wartość w momencie rozpoczęcia jest równa 0. Rynkowym CDS Spread dla momentu T nazywamy taki poziom spreadu κ = κ(s, T ) który sprawia, że kontrakt CDS rozpoczynany w s o terminie wygaśnięcia T jest warty 0 w momencie rozpoczęcia. Rynkowy CDS spread jest więc określony przez równanie S s (κ(s, T )) = 0 hazardu Warszawa / 23

7 Rynkowy CDS spread Rynkowy CDS κ(s, T ) jest więc rozwiazaniem równania ( 1 T T ) δ(u)dg(u) κ(s, T ) G(u)du = 0 G(s) s s Stad mamy dla każdego s [0, T ]: κ(s, T ) = T s T s δ(u)dg(u) G(u)du hazardu Warszawa / 23

8 Rynkowy CDS spread - przykład Niech δ(t) = δ, F(t) = 1 e γt przy mierze Q. Wtedy Z ostaniego wzoru mamy Z ostaniego wzoru mamy S t (κ) = 1 {t<τ} (δγ κ)γ 1 (1 e γ(t t) ) κ(s, T ) = δγ, s [0, T ). κ(s, T ) = δγ, s [0, T ). Czyli rynkowy CDS spread jest niezależny of s!! W konsekwencji cena rynkowego CDS a rozpoczętego w s jest równa zero w dowolnym momencie t [s, T ]. Tak nie jest w rzeczywistości! hazardu Warszawa / 23

9 Kalendarzowy - rynkowy CDS spread Cena ex-dividend dla t [0, T ] kontraktu CDS zawartego w s t po rynkowym spreadzie może być zwiazana z aktualnym rynkowym spreadem Istotna wielkościa jest tzw. kalendarzowy spread t.j. Mamy S t (κ(s)) = 1 {t<τ} (κ(t) κ(s)) Interpretacja T t 1 {t<τ} ν(t, s) = κ(t, T ) κ(s, T ) G(u)du G(t) T t G(u)du G(t) = 1 {t<τ} ν(t, s) T t ( T ) = 1 {t<τ} E Q 1 {u<τ} du H t t G(u)du G(t) hazardu Warszawa / 23

10 Dynamika cen CDS ów Załóżmy że τ ma funkcję intensywności γ, tzn t G(t) = Q(τ > t) = exp( γ(u)du) 0 Jaka jest dynamika ceny ex-dividend CDS a o spreadzie κ rozpoczętego w s < T? Dynamika na przedziale [s, T ] jest ds t (κ) = S t (κ)dm t + (1 H t )(κ δ(t)γ(t))dt gdzie M jest H-martyngałem przy mierze Q, zadanym wzorem M t = H t t 0 (1 H u )γ(u)du, t 0. hazardu Warszawa / 23

11 Strategie inwestycji z CDS ami Definicja Strategia φ = (φ 0, φ 1, C) jest samofinansujaca się jeżeli proces bogactwa V (φ) zdefiniowany spełnia V t (φ) = φ 0 t + φ 1 t S t (κ) dv t (φ) = φ 1 t ds t (κ) + φ 1 t dd t dc t gdzie S(κ) jest cena ex-dividend CDS a z procesem dywidend D. Jeżeli mamy V 0, φ 1, C to można znaleźć φ 0 (jedyne) takie że strategia (φ 0, φ 1, C) jest samofinansujaca. Jest ona dana wzorem φ 0 t = V 0 + t 0 φ 1 uds u (κ) + t 0 φ 1 udd u (C t C 0 ) φ 1 t S t (κ) hazardu Warszawa / 23

12 Replikacja za pomoca CDS ów Definicja Strategia (φ, C) replikuje wypłatę (X, A, Z, τ) jeżeli Proces φ = (φ 1, φ 2 ) oraz V (φ, C) sa zatrzymane w τ T C(τ t) = A(τ t), t [0, T ]. φ jest samofinansujaca się. V τ T (φ, C) = X1 {τ>t } + Z (τ)1 {τ T } hazardu Warszawa / 23

13 Replikacja: Wstęp Cena ex-dividend wypłaty (X, A, Z, τ) ma postać π t = 1 {t<τ} π(t), gdzie π(t) = Z (t) + Ã(t), t [0, T ), gdzie Z (t) = 1 ( T XG(T ) G(t) Ã(t) = 1 G(t) T t G(u)dA(u). Mamy π 0 = π(0) = π 0 ponadto mamy dynamiki d π(t) = γ(t)( π(t) Z (t))dt da t, t ) Z (u)dg(u), dπ t = π(t )dm t γ(t)(1 H t )Z (t)dt da(t τ), d π t = (Z (t) π(t ))dm t. hazardu Warszawa / 23

14 Replikacja/Hedging Proposition Załóżmy, że S t (κ) δ(t) dla kazdego t [0, T ]. Niech φ 1 t = φ 1 (t τ) gdzie φ 1 jest funkcja na [0, T ] dana wzorem φ 1 (t) = Z (t) π(t ) δ(t) S t (κ), ponadto niech t τ φ 0 (t) = π(0) + φ 1 (u)dsu(κ) c A(t τ) φ 1 t S t (κ). 0 Wtedy strategia ((φ 0, φ 1 ), A) replikuje wypłatę (X, A, Z, τ). hazardu Warszawa / 23

15 Replikacja za pomoca CDS ów: Dowód Wystarczy szukać, V 0, φ 1, C. Załóżmy, że mamy strategie replikujac a (φ, C) wtedy C = A. Stad dv t (φ, A) = φ 1 t dst c (κ) dc(t τ) Biorac φ 1 jak w założeniach = φ 1 t (δ(t) S t (κ))dm t da(t τ) dv t (φ, A) = (Z (t) π(t))dm t da(t τ) Jeżeli dodatkowo V 0 = π(0) to V (φ, A) = π na [0, T τ) Pozostaje pokazać, że V T τ (φ, A) = X1 {τ>t } + Z (τ)1 {τ T } hazardu Warszawa / 23

16 Replikacja za pomoca CDS ów : Dowód cd. W tym celu rozpatrzmy dwa przypadki Jeżeli τ T to V τ = V τ + V τ = π(τ) + (Z (τ) π(τ)) = Z (τ) Jeżeli τ > T to V T = π(t ) = X hazardu Warszawa / 23

17 CDS - rzeczywista implementacja Notacja t 0 data zawarcia kontraktu, T termin wygaśnięcia, Moment defaultu - zmienna losowa τ Spread CDS a jest oznaczany κ(t ), wypłata zastępcza R, {t j : j = 0, 1,..., N}, gdzie 0 = t 0 i T N = T oznacza terminy płatności premi (tzw. tenory), okres naliczania premi jest t j t j 1 (jako część roku) tzn. że płatności sa wielkości κ(t )(t j t j 1 ) jeżeli nie było defaultu w okresie (t j 1, t j ] Proces indykatora defaultu H t = 1 {t τ} Czynnik dyskontujacy β ( t ) β(t) = exp r(s)ds 0 hazardu Warszawa / 23

18 CDS - rzeczywista implementacja Zdyskontowane przepływy skumulowane z nogi premii CDS a Noga premii = κ(t ) co jest czasami przybliżane Noga premii κ(t ) N j=1 tj β(t j ) (1 H u )du t j 1 N β(t j )(t j t j 1 )1 {τ>tj } j=1 hazardu Warszawa / 23

19 CDS - rzeczywista implementacja Zdyskontowane skumulowane przepływy z nogi zabezpieczanej CDS a ProtectionLeg = Jak wyceniamy? T 0 (1 R)β(t)dH t = β(τ)(1 R)1 {τ T } hazardu Warszawa / 23

20 CDS - rzeczywista implementacja Zakładamy istnienie miary martyngałowej/wyceniajacej P. Zakładamy niezależność τ od stóp procentowych przy P Wartosc nogi premii κ(t ) oraz N B(0, t j )(t j t j 1 )P (τ > t j ) j=1 N Wartosc nogi zab. (1 R) B(0, t j )(P (τ > t j 1 ) P (τ > t j )) j=1 hazardu Warszawa / 23

21 CDS - rzeczywista implementacja Uczciwy (rynkowy) spread κ 0 (T ) w momencie 0 κ 0 (T ) (1 R) N j=1 B(0, t j)(p (τ > t j 1 ) P (τ > t j )) N j=1 B(0, t j)(t j t j 1 )P (τ > t j ) Spread κ 0 (T ) nie zależy od nominału, ale zależy od R oraz maturity T P (τ > t j ) można wyznaczyć na podstawie np. cen obligacji Nie należy stosować historycznych estymacji prawdopodobieństw defaultu! hazardu Warszawa / 23

22 CDS - rzeczywista implementacja Martyngałowe prawdopodobieństwa P (τ > t j ) można również wyznaczyć na podastawie cen CDS-ów )(zamiast cen obligacji) Możne ich następnie użyć do wyceny bardziej skopmlikowanych instrumentów Załóżmy, że obserwujemy kwotowania CDS ów o różnych maturity T 1, T 2,..., T m oraz tenorach gdzie t0 i = 0 i t N i czyli mamy {t i j, j = 0, 1,... N i} = T i dla i = 1,..., m κ 0 (T 1 ), κ 0 (T 2 ),..., κ 0 (T m ) hazardu Warszawa / 23

23 Implikowane rozkład τ z CDS-ów:Bootstrapping Możemy teraz skalibrować model intensywności z przedziałami stała intensywnościa tzn. ( t ) P (τ > t) = exp γ(u)du 0 gdzie γ jest stała pomiędzy datami T i 1 oraz T i, gdzie T 0 = 0, używajac κ 0 (T i ) (1 R i) N i j=1 B(0, t j)(p (τ > tj 1 i ) P (τ > tj i)) Ni j=1 B(0, ti j )(ti j tj 1 i )P (τ > tj i) możemy wyznaczyć implikowana intensywność defaultu (tzw. Bootstrapping) kładac κ(t i ) = η(t i ) gdzie η(t i ) sa rynkowymi kwotowaniami spreadów. hazardu Warszawa / 23