BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

Transkrypt

1 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie bonów skarbowych oraz lokay w bankach za pieniądze wpływające do ZUS od przyszłych emeryów byłoby bardzo arakcyjną alernaywą do wyboru przez każdego przyszłego emerya-mężczyznę oraz umiarkowanie korzysnym wyborem dla przyszłych emeryek, zauważając jednocześnie że jedynym ryzykiem jakie się z ym wiąże jes ryzyko uray pieniędzy z loka bankowych, kóre o ryzyko można zlikwidowac na przykład poprzez ubezpieczanie kwo powyżej 5 euro bądź uchwalenie odpowiedniej usawy; (b) pokazac w jakim sopniu kapiał emeryalny zgromadzony przez saysyczną panią Kowalską będzie mniejszy od kapiału emeryalnego saysycznego pana Kowalskiego w momencie przejścia ich na emeryurę i co z ego wynika jeśli chodzi o wysokośc ich emeryur gdyby przyjąc że każdy emery i emeryka będzie dysponowac na emeryurze dokładnie ą kwoą pieniędzy kórą wcześniej zgromadził/zgromadziła w czasie swej kariery zawodowej; (c) spopularyzowac prose w zasosowaniu narzędzie maemayczne jakim są równania rekurencyje I-go rodzaju przedsawione np. w [1], za pomocą kórych rozwiązane zosaną kwesie poruszone w (a), (b); (por. również Równania rekurencyjne w 1. Podsawy eoreyczne równań rekurencyjnych Definicja 1 Niech będzie dowolną liczbą nauralną włączając zero, zaś a oraz b kon- krenymi liczbami rzeczywisymi. Wówczas (1) y ay b = 1 + jes równaniem rekurencyjnym (różnicowym) I-go rzędu, gdzie {, 1, 2,,} ozna- cza numer okresu w kórym zachodzi zależnośc (1). Zależnośc a mówi iż warośc pewnej zmiennej y w chwili (okresie ) oznaczana przez y, np. warośc mająku

2 2 zgromadzona na koncie emeryalnym w miesiącu, zależy od warości ej zmiennej w miesiącu bezpośrednio poprzedzającym zgodnie z równaniem (1). Na przykład, równanie różnicowe I-go rzędu może mieć posac: y = + 1, y y 14 1, ip. dla wszyskich liczb nauralnych. Każde akie równanie = y rekurencyjne ma nieskończenie wiele rozwiązań ponieważ każda warośc począkowa y generuje dokładnie jedno rozwiązanie. Na przykład, równanie y = y 1 14 z warunkiem poczakowym y 1 określa jednoznacznie nasępujące rozwiązanie: = 1, 16, 4, 88, id.(porównaj przykład 1 gdzie podane jes pełne rozwiązanie ego równania). Aby podac za chwilę posac ogólną rozwiązania dowolnego równania rekurencyjnego y = ay 1 b, przyjmijmy nasępującą definicję. + Definiacja 2. y = y * nazywamy rozwiązaniem sałym równania y = ay 1 b jeśli + y* spełnia o równanie, o znaczy, y* = ay* + b. Ławo sprawdzic iż w akim przypad- ku y* dane jes wzorem y* = b 1 a. Na przykład, równanie y 1 14 ma sałe = y 14 rozwiązanie y* = = 7, o czym możemy się przekonac również poprzez prose 1 podsawienie: 7 = Twierdzenie 1. Warunek począkowy y oraz dowolne równanie jednoznaczny sposób określają rozwiązanie: (2) Przykład 1. y *) = y * + ( y y a, y* = 1 a b. y = ay 1 b w + Rozwiążmy równaniey y 1 14 z warunkiem począkowym y = 1. Zgodnie ze = wzorem (2), rozwiązaniem ego równania jes + 1 y = 7+ (1 7) = 7+ ponieważ, 14 jak pokazaliśmy przed chwilą, sałe rozwiazanie y* = = 7. Podsawiając za 1 liczby 1, 2,, 4 orzymujemy kolejne wyrazy ciągu y = = 16; y = 7+ = 4; y = 7+ = 88; y = 7+ = y : 4 Gdybyśmy przyjęli że y 9, wówczas orzymalibyśmy rozwiązanie =

3 z kórego wynika iż y = 7 + (9 7) = 7+ 2* y = 7+ 2 * = 1; y = 7+ 2* = 25; y = 7+ 2 * = 61; y = 7+ 2* = 169, 1 a wiec zupełnie inny ciąg Wyliczenie emeryury dla pana Kowalskiego Zagadnienie 1 (Wyliczenie mająku zgromadzonego na rachunku emeryalnym oraz emeryury dla pana Kowalskiego) Pan Kowalski pracował od 25 do 65 roku życia w jednym z dużych mias w Polsce gdzie średnia długośc życia dla mężczyzn jes saysycznie biorąc wyższa niż średnia dla Polski (7.6 la) i wynosi 7 laa. Kowalski zarabiał średnio miesięcznie bruo 6zł z czego % było odprowadzane na jego przyszłą emeryurę, przy czym połowa ej kwoy pochodziła z jego pensji, zaś druga połowa była wpłacana przez pracodawcę. Załóżmy że e % nie było odprowadzane do OFE, lecz przekazywane panu Kowalskiemu, kóry kupował albo bony skarbowe albo deponował pieniądze w banku w zależności od ego kóra z ych 2 inwesycji przynosiła w danym okresie największy zysk. (Na przełomie la 28 i 29 najlepszą lokaą w banku była lokaa na 2 laa kóra przynosiła 7.5% w skali roku, podczas gdy inflacja była rzędu.5%, z czego wynika że realna sopa zwrou z ej lokay w skali roku równała się.75.5 = % ). Wracając do zagadnienia 1, załóżmy że przez la zarudnienia średnia renownośc w skali roku z porfela pana Kowalskiego (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% (najbardziej pesymisyczny scenariusz) do.6 % (najbardziej opimisyczny scenariusz). Zakładamy że po przejściu na emeryurę zgromadzone pieniądze będą reinwesowane przez pana Kowalskiego w aki sam sposób jak przez osanie 4 la, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) 2.4% w skali roku. Na podsawie powyższych danych: (a) powiedz jakiej kwoy w realnych pieniądzach powinien pan Kowalski oczekiwac w momencie przejścia na emeryurę?; (b) oblicz na jak wysoką emeryurę będzie mógł liczyc dożywając do 7 roku;

4 4 (c) oblicz na jak wysoką emeryurę będzie mógł liczyc aby po 8 laach, czyli w wieku 7 la, odchodząc z ego świaa pozosawił po sobie na koncie emeryalnym ys. zł. jako prezen dla wnuczków; (d) porównaj (w zależności od scenariusza) jego przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy był akywny zawodowo; porównaj również przychody neo na emeryurze z prezenem w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy Kowalski był akywny zawodowo. Odpowiedzi : (a) W najbardziej pesymisycznym przypadku będzie o kwoa 664 ys. 942 zł, a w najbardziej opymisycznym 1 mln 156 ys. 179 zł; (b) W najbardziej pesymisycznym przypadku emeryura wynosic będzie 7 ys. 62 zł. miesięcznie, a w najbardziej opymisycznym 1 ys. 249 zł; (c) Pozosawiając swym wnuczkom prezen w wysokości ys. zł, pan Kowalski będzie miał wyższą emeryurę bruo niż jego średnia pensja bruo z okresu gdy był czynny zawodowo. Mianowicie, w najbardziej niekorzysnym scenariuszu będzie miał emeryurę 4 ys. 782 zł, zaś w najbardziej korzysnym emeryura jego będzie wynosic 1 ys. 411 zł. (d) Przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do pensji neo w czasie akywnej pracy zawodowej będą kszałowały się od 25% do 45%, naomias jeśli pan Kowalski pozosawi swym wnuczkom w esamencie ys. zł, powyższe proceny będą kszałowały się od 157% do 42%. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA 1 Odpowiedź na pyanie (a) Na emeryalne kono p. Kowalskiego wpływac będzie co miesiąc przez 4 la % z kwoy 6zł, j. 18zł. Rozważmy 25 scenariuszy, z kórych najbardziej niekorzysny oznacza renownośc na poziomie 1.2% rocznie, nasępny 1.%, kolejny scenariusz 1.4%, id. zaś osani 25-y scenariusz reprezenuje renownośc.6% w skali roku. Renowności e zapisujemy w Excelu w skali miesiąca aby sosując funkcję FV obliczyc kapiał końcowy w 25 scenariuszach. Poniżej dla ilusracji wyliczamy kapiał 1 końcowy gdy renownośc porfela wynosi 2%, czyli w skali miesiąca zaledwie 12 z

5 5 2% =.16667%. Przyszła warośc (FV) akiego srumienia pieniędzy po 48 miesiącach równac się będzie w realnych pieniądzach (zob. Równania rekurencyjne w ) 48 ( ) 1 () FV = 18 = 79191zł, co powierdza również poniższy wykres skopiowany z Excela. Z kolei w abeli 1 podane są warości kapiału końcowego dla 8 skrajnych scenariuszy (4-ech najbardziej pesymisycznych oraz 4-ech najbardziej opymisycznych). Rys. 1 Kapiał emeryalny po 4 laach w zależności od średniej renowności składek emeryalnych %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 abela 1 1.2% 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6% Odpowiedź na pyanie (b) Po 4 laach oszczędzania w czasie pracy zawodowej kapiał końcowy pana Kowal- skiego zacznie być uszczuplany co miesiąc przez wypłacaną emeryurę, będąc opro- cenowany zgodnie z naszym założeniem 2.4% w skali roku, czyli w skali miesiąca oprocenowanie (renownośc) będzie równa (4) 1 12 (2.4%) =.2 (po uwzględnieniu inflacji) i w konsekwencji równanie rekurencyjne podające wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie nasępująco: (5) y 1.2y E, = 1

6 6 gdzie E oznacza emeryurę bruo kóra będzie wypłacana przez 8 la (96 miesięcy). Widzimy więc (porównaj wzór (2)) że w równaniu rekurencyjnym (5) współczynnik a = 1.2, zaś współczynnik b = -E, z czego wynika iż rozwiązanie sałe y* równania (5) równe jes y* = b 1 a E = = 5 E,.2 zaś warunek począkowy, czyli warośc y, zależec będzie od scenariusza. W najbardziej niekorzysnym scenariuszu będziemy mieć y , zaś w najbardziej opy- = misycznym y = Zasosujmy eraz wzór (2) orzymując równanie rekurencyjne (6) y = 5 E+ ([ E) ] (1.2), y opisujące san kona miesięcy po przejściu na emeryurę w najbardziej niekorzys- nym scenariuszu. Skoro (1.2) = oraz ( 1.2) = 8556, 96 5 ( 1.2) = , o y = 5E+ [ E] i w konsek- wencji = 96 (7) E = 8556, E = 762zł, o znaczy, emeryura będzie miesięcznie wynosiła E =7 ys. 62zł. W najbardziej pozyywnym scenariuszu równanie rekurencyjne opisujące wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie bardzo podobnie: (8) ( ) 96 = y = 5 E+ [ E ] (1.2), y. 96 Skoro ( 1.2) = 14179, o (8) możemy przepisac w nasępujący sposób y = 5E+ [ E], z czego wynika iż E = 1249, o znaczy, że = 96 emeryura będzie miesięcznie wynosiła E =1 ys. 249zł. Rozumując w en właśnie sposób orzymujemy (abele 2-4) nasępujące emeryury w zależności od średniej ren- 96 = owności porfela pana Kowalskiego w ciągu 4 la jego pracy zawodowej abela 2 1.2% 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% abela 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7%

7 7 abela 4 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% kóre ilusrujemy na Rys.2 Emeryury pana Kowalskiego w zależności od średniej renowności jego porfela w ciagu 4 la jego pracy zawodowej %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 Odpowiedź na pyanie (c). W przypadku emeryury z prezenem mamy o samo równanie ale inny warunek począkowy kóre dla najgorszego scenariusza wygląda nasepująco: (9) ( ) y = 5 E+ [ E ] (1.2), y. W pozosałych scenariuszach kwoa 664 ys. 942 zł powinna być zasąpiona kwoą wyższą (por. abela 1); np. w najbardziej opymisycznym scenariuszu kwoą 1 mln 156 ys. 179 zł. Rozwiązując (9) orzymamy 96 = = y 96 = 5E+ [ E] i w konsekwencji (por. (7)) (1) E = , E = 4782 zł Wykonując po kolei wszyskie obliczenia dla 25 scenariuszy, uzyskujemy nasępujące emeryury Tabela 5 1.2% 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% Tabela 6 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7%

8 8 Tabela 7 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% Rysunek pokazuje jak będą kszałowały się emeryury z prezenem na le emeryur bez prezenu w 25 różnych scenariuszach (w czasie akywnego życia zawodowego przychody bruo wynosiły 6 zł. Rys. Porównanie emeryur p. Kowalskiego Emeryura bez prezenu Emeryura z prezenem ys. zł 2.% 1.% 2.%.% 4.% Odpowiedź na pyanie (d) W momencie przejścia na emeryurę podaki p. Kowalskiego zmniejszą się z około 29% do około 16% gdyż przesaną by odprowadzane składki na emeryurę. Mnożąc wysokośc emeryur bez prezenu bruo przez.84 (z uwagi na 16%-y podaek) orzymujemy wysokośc emeryury bez prezenu neo, naomias 6 zł mnożymy przez.71 aby określic średnią pensję neo pana Kowalskiego w czasie jego kariery zawodowej orzymując 2556 zł. Dzieląc emeryurę bez prezenu neo przez średnią pensję neo uzyskujemy nasępujące wyniki Tabela 8 1.2% 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6% 25% 256% 261% 267% 27% 279% 286% 292% Tabela 9 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 299% 6% 1% 2% 27% 5% 4% 51% Tabela 1

9 9 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 59% 68% 77% 86% 95% 45% 415% 425% 45% Posępując analogicznie, dzielimy emeryurę z prezenem neo przez średnią pensję neo uzyskując nasępujące wyniki Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% 157% 16% 168% 174% 18% 186% 192% 199% Tabela 12 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 25% 212% 219% 227% 24% 242% 25% 258% Tabela 1 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 266% 275% 28% 292% 2% 11% 21% 2% 42% Dane z powyższych 6 abel (abele 8-1) prezenujemy graficznie na Rys. 4 Emeryury neo pana Kowalskiego w sosunku do pensji neo 5% 45% 4% 5% % 25% 2% 15% 1% 5% %.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% emeryura z prezenem emeryura bez prezenu. Wyliczenie emeryury dla pani Kowalskiej Zagadnienie 2 (Wyliczenie mająku zgromadzonego na rachunku emeryalnym oraz emeryury dla pani Kowalskiej) Pani Kowalska pracowała od 25 do 6 roku życia i oczekuje że będzie jeszcze życ do 79 roku(yle wynosi średnia krajowa dla kobie w Polsce). Kowalska zarabiała średnio

10 1 miesięcznie (bruo) 6zł z czego % (18 zł) było odprowadzane na jej specjalne kono emeryalne. Załóżmy że pani Kowalska zarządzała ym konem sama, kupując albo bony skarbowe albo deponując pieniądze w banku w zależności od ego kóra z ych 2 inwesycji przynosiła w danym okresie większy zysk. Załóżmy że przez 5 la jej zarudnienia średnia renownośc w skali roku z jej porfela (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% (najbardziej pesymisyczny scenariusz) do.6% (najbardziej opymisyczny scenariusz). Jak zauważyliśmy w 1-ej części ego arykułu, na przełomie la 28 i 29 roku realna sopa zwrou z porfela pani Kowalskiej równała się.865%. Zakładamy że po przejściu na emeryurę zgromadzone pieniądze będą reinwesowane przez nią w aki sam sposób jak przez osanie 5 la, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) jedynie 2.4% w skali roku. Na podsawie powyższych danych: (a) powiedz jakiej kwoy w realnych pieniądzach powinna pani Kowalska oczekiwac na swym koncie emeryalnym w momencie przejścia na emeryurę?; (b) oblicz na jak wysoką emeryurę bez prezenu będzie mogła liczyc dożywając do 79 roku; (c) oblicz na jak wysoką emeryurę z prezenem dla wnuczków w wysokości ys. zł będzie mogła liczyc dożywając do 79 roku; (d) porównaj (w zależności od scenariusza) przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy pani Kowalska była akywna zawodowo; Jednocześnie porównaj przychody neo na emeryurze z prezenem w sosunku do średnich przychodów neo w okresie jej zarudnienia. Odpowiedzi : (a) W najbardziej pesymisycznym przypadku będzie o kwoa 56 ys. 74 zł, a w najbardziej opymisycznym 96 ys. 76 zł; (b) W najbardziej pesymisycznym przypadku emeryura bez prezenu wynosic będzie ys. 79 zł., a w najbardziej opymisycznym 4 ys. 956 zł miesięcznie; (c) Pozosawiając swym wnuczkom ys. zł, pani Kowalska w najbardziej niekorzysnym scenariuszu będzie będzie miała emeryurę bruo 2 ys. 4 zł, zaś w najbardziej korzysnym scenariuszu jej emeryura z prezenem będzie wynosic ys. 917 zł.

11 11 (d) Przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do pensji neo w czasie akywnej pracy zawodowej będą kszałowały się od 11% do 16%, naomias przychody neo na emeryurze z prezenem będą niższe i będą wynosic od 67% do 129%. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA 2 Odpowiedź na pyanie (a) Na emeryalne kono p. Kowalskiej wpływac będzie co miesiąc przez 5 la % z kwoy 6zł, j. 18zł. Rozważmy 25 scenariuszy, z kórych najbardziej niekorzysny oznacza renownośc na poziomie 1.2% rocznie, zaś najbardziej korzysny renownośc.6% w skali roku. Tak jak w paragrafie 2, zasosujemy funkcję FV aby obliczyc kapiał końcowy w 25 scenariuszach. Poniżej dla ilusracji wyliczamy kapiał końco- 1 wy gdy renownośc porfela wynosi 2%, czyli w skali miesiąca zaledwie 12 z 2% =.16667%. Przyszła warośc (FV) akiego srumienia pieniędzy po 42 miesiącach (5 laach) równac się będzie w realnych pieniądzach (zob. Równania rekurencyjne w ) 42 ( ) 1 (11) FV = 18 = zł, co powierdza również poniższy wykres skopiowany z Excela. Rys. 5 Kapiał emeryalny pani Kowalskiej po 5 laach pracy w zależności od średniej renowności składek emeryalnych Serie1 2.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% W abeli 11 podane są warości kapiału końcowego dla 4-ech najbardziej pesymis- ycznych oraz 4-ech najbardziej opymisycznych scenariuszy). Tabela % 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6%

12 12 Odpowiedź na pyanie (b) Po 5 laach oszczędzania w czasie pracy zawodowej kapiał końcowy pani Kowal- skiej zacznie być uszczuplany co miesiąc przez wypłacaną emeryurę, będąc oprocen- owany zgodnie z naszym założeniem 121 (2.4%) =.2% (po uwzględnieniu inflacji) i w konsekwencji równanie rekurencyjne podające wielkośc posiadanego przez panią Kowalską mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie ak samo jak w przypadku pana Kowalskiego, czyli (12) y 1.2y E, = 1 gdzie E oznacza emeryurę bruo kóra będzie wypłacana w przypadku pani Kowal- skiej znacznie dłużej niż w przypadku pana Kowalskiego. Ściślej mówiąc, zakładamy że będzie wypłacana przez 19 la (228 miesięcy), podczas gdy poprzednio była wypłacana przez 8 la (96 miesięcy). W konsekwencji, rozwiązanie sałe y* będzie ak jak poprzednio równe y* = b 1 a E = = 5 E,.2 zaś warunek począkowy, czyli warośc y, zależec będzie od scenariusza. W najbar- dziej niekorzysnym scenariuszu będziemy mieć y = 5674, zaś w najbardziej opy- misycznym y = Zasosujmy eraz wzór (2), orzymując równanie (1) ( ) y = 5 E+ [5674 5E ] (1.2), y 228 = opisujące san kona miesięcy po przejściu na emeryurę w najbardziej niekorzys nym scenariuszu. Skoro ( 1.2) = oraz ) = ( , ( 1.2) = , o y = 5E+ [ E] i w konsek- wencji = 228 (14) E = , E = 79 zł, o znaczy, emeryura będzie miesięcznie wynosiła E = ys. 79zł. W najbardziej pozyywnym scenariuszu równanie rekurencyjne opisujące wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie nasępująco: y = 5 E+ [9676 5E ] (1.2), y. (15) ( ) 228 = 228 Skoro 9676 ( 1.2) = , o (8) możemy przepisac w nasępujący sposób

13 1 y = 5E+ [ E], i w konsekwencji = E = , E = 4956, o znaczy, że emeryura będzie miesięcznie wynosiła E = 4 ys. 956zł. Rozumując w en właśnie sposób orzymujemy (abele 12-14) nasępujące emeryury w zależności od średniej renowności porfela pani Kowalskiej w ciągu 5 la jej pracy zawodowej abela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% abela 16 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% abela % 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% kóre ilusrujemy na Rys. 6 Emeryura bez prezenu pani Kowalskiej w zależności od średniej renowności jej porfela w ciągu 5 la jej pracy zawodowej %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 Odpowiedź na pyanie (c) W przypadku emeryury z prezenem mamy o samo równanie ale inny warunek począkowy (16) ( ) y = 5 E+ [5674 5E ] (1.2), y. 228 =

14 14 W pozosałych scenariuszach kwoa 56 ys. 74 zł powinna być zasąpiona kwoą wyższą (por. abela 11); np. w najbardziej opymisycznym scenariuszu kwoą 96 ys. 76 zł. Rozwiązując (16) orzymamy analogicznie jak w punkcie (b) że y = 5E+ [ E] i w konsekwencji = E = , E = 24 zł, Wykonując po kolei wszyskie obliczenia dla 25 scenariuszy, uzyskujemy nasępujące emeryury z prezenem bruo Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% Tabela 19 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% Tabela 2 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% Rysunek 7 pokazuje jak będą kszałowały się emeryury z prezenem w 25 różnych scenariuszach (w czasie akywnego życia zawodowego przychody bruo wynosiły 6 zł.) Rys. 7 Porównanie emeryur pani Kowalskiej Emeryura bez prezenu Emeryura z prezenem ys. zł 1.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Odpowiedź na pyanie (d) W momencie przejścia na emeryurę podaki pani Kowalskiej zmniejszą się z około 29% do około 16% gdyż przesaną by odprowadzane składki na emeryurę. Mnożąc

15 15 wysokośc emeryur bruo przez.84 orzymujemy wysokośc emeryury neo, wiedząc że średnia pensja w czasie pracy zawodowej wynosiła 71% z kwoy 6 zł, czyli 2556 zł. Jeśli podzielimy emeryurę z prezenem neo przez średnią pensję neo z okresu akywności zawodowej (2556 zł), orzymamy Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% 67% 69% 71% 7% 75% 77% 79% 81% Tabela 22 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 84% 86% 88% 91% 9% 96% 99% 11% Tabela 2 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 14% 17% 11% 11% 116% 119% 122% 125% 129% i ilusrujemy graficznie na Rys. 8 Emeryury neo pani Kowalskiej w sosunku do jej pensji neo 18% 16% 14% 12% 1% 8% 6% 4% 2% %.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% emeryura z prezenem w ujęciu procenowym emeryura bez prezenu w ujęciu procenowym ZAKOŃCZENIE Arykuł en nie porusza kwesii opymalnego zarządzania funduszami inwesycyjnymi. Jes o bowiem odrębny ema wymagający innych meod analizy. Ogólnie można powiedziec że profesjonalnie zarządzane fundusze dają większe możliwości uzyskania wysokich zysków (przy jednoczesnym minimalizowaniu ryzyka) niż rozparywany powyżej porfel składajacy się jedynie z bonów skarbowych oraz loka bankowych, spełniając poencjalnie pozyywną rolę w obszarze finansów. Porafią

16 16 one między innymi umiejęnie wykorzysywac korelację jaka isnieje pomiędzy ceną złoa, kursami walu i innymi dobrami z jednej srony a kursami akcji spółek giełdowych z drugiej srony, aby w okresach bessy na giełdzie przynosic zyski, a przynajmniej minimalizowac sray. Podsumowując, zaprezenujmy osanią abelą EMERYTURA w sosunku mnożnik do pensji bruo podakowy neo neo bez prezenu minimalna % Kowalskiego maksymalna % z prezenem minimalna % maksymalna % bez prezenu minimalna % Kowalskiej maksymalna % z prezenem minimalna % maksymalna % Z przeprowadzonej powyżej analizy wynika o ile w gorszej syuacji znalazła by się kobiea w sosunku do mężczyzny na emeryurze gdyby obowiązywała zasada że kobiea i mężczyzna mogą dysponowac na emeryurze dokładnie ym kapiałem kóry zgromadzili w czasie swej kariery zawodowej z uwagi na krószy okres pracy kobiey oraz dłuższy okres jej życia niż w przypadku mężczyzny. Różnice w emeryurach pozosaną dokładnie e same również wedy gdy porfelem emeryalnym kobiey i mężczyzny będzie zarządzał en sam fundusz inwesycyjny. W niniejszym arykule przyjęliśmy iż czas życia pana Kowalskiego wynosi 7 laa, wyliczając dla niego bardzo wysoką emeryurę. Gdyby założyc iż Kowalski będzie żył yle la ile wynosi średnia dla mężczyzn(7.6 la), o jego emeryury byłyby jeszcze wyższe. Bibliografia 1. M. Anhony; N. Biggs, Mahemaics for Economics and Finance, Cambridge Universiy Press, 25