BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:"

Transkrypt

1 1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie bonów skarbowych oraz lokay w bankach za pieniądze wpływające do ZUS od przyszłych emeryów byłoby bardzo arakcyjną alernaywą do wyboru przez każdego przyszłego emerya-mężczyznę oraz umiarkowanie korzysnym wyborem dla przyszłych emeryek, zauważając jednocześnie że jedynym ryzykiem jakie się z ym wiąże jes ryzyko uray pieniędzy z loka bankowych, kóre o ryzyko można zlikwidowac na przykład poprzez ubezpieczanie kwo powyżej 5 euro bądź uchwalenie odpowiedniej usawy; (b) pokazac w jakim sopniu kapiał emeryalny zgromadzony przez saysyczną panią Kowalską będzie mniejszy od kapiału emeryalnego saysycznego pana Kowalskiego w momencie przejścia ich na emeryurę i co z ego wynika jeśli chodzi o wysokośc ich emeryur gdyby przyjąc że każdy emery i emeryka będzie dysponowac na emeryurze dokładnie ą kwoą pieniędzy kórą wcześniej zgromadził/zgromadziła w czasie swej kariery zawodowej; (c) spopularyzowac prose w zasosowaniu narzędzie maemayczne jakim są równania rekurencyje I-go rodzaju przedsawione np. w [1], za pomocą kórych rozwiązane zosaną kwesie poruszone w (a), (b); (por. również Równania rekurencyjne w 1. Podsawy eoreyczne równań rekurencyjnych Definicja 1 Niech będzie dowolną liczbą nauralną włączając zero, zaś a oraz b kon- krenymi liczbami rzeczywisymi. Wówczas (1) y ay b = 1 + jes równaniem rekurencyjnym (różnicowym) I-go rzędu, gdzie {, 1, 2,,} ozna- cza numer okresu w kórym zachodzi zależnośc (1). Zależnośc a mówi iż warośc pewnej zmiennej y w chwili (okresie ) oznaczana przez y, np. warośc mająku

2 2 zgromadzona na koncie emeryalnym w miesiącu, zależy od warości ej zmiennej w miesiącu bezpośrednio poprzedzającym zgodnie z równaniem (1). Na przykład, równanie różnicowe I-go rzędu może mieć posac: y = + 1, y y 14 1, ip. dla wszyskich liczb nauralnych. Każde akie równanie = y rekurencyjne ma nieskończenie wiele rozwiązań ponieważ każda warośc począkowa y generuje dokładnie jedno rozwiązanie. Na przykład, równanie y = y 1 14 z warunkiem poczakowym y 1 określa jednoznacznie nasępujące rozwiązanie: = 1, 16, 4, 88, id.(porównaj przykład 1 gdzie podane jes pełne rozwiązanie ego równania). Aby podac za chwilę posac ogólną rozwiązania dowolnego równania rekurencyjnego y = ay 1 b, przyjmijmy nasępującą definicję. + Definiacja 2. y = y * nazywamy rozwiązaniem sałym równania y = ay 1 b jeśli + y* spełnia o równanie, o znaczy, y* = ay* + b. Ławo sprawdzic iż w akim przypad- ku y* dane jes wzorem y* = b 1 a. Na przykład, równanie y 1 14 ma sałe = y 14 rozwiązanie y* = = 7, o czym możemy się przekonac również poprzez prose 1 podsawienie: 7 = Twierdzenie 1. Warunek począkowy y oraz dowolne równanie jednoznaczny sposób określają rozwiązanie: (2) Przykład 1. y *) = y * + ( y y a, y* = 1 a b. y = ay 1 b w + Rozwiążmy równaniey y 1 14 z warunkiem począkowym y = 1. Zgodnie ze = wzorem (2), rozwiązaniem ego równania jes + 1 y = 7+ (1 7) = 7+ ponieważ, 14 jak pokazaliśmy przed chwilą, sałe rozwiazanie y* = = 7. Podsawiając za 1 liczby 1, 2,, 4 orzymujemy kolejne wyrazy ciągu y = = 16; y = 7+ = 4; y = 7+ = 88; y = 7+ = y : 4 Gdybyśmy przyjęli że y 9, wówczas orzymalibyśmy rozwiązanie =

3 z kórego wynika iż y = 7 + (9 7) = 7+ 2* y = 7+ 2 * = 1; y = 7+ 2* = 25; y = 7+ 2 * = 61; y = 7+ 2* = 169, 1 a wiec zupełnie inny ciąg Wyliczenie emeryury dla pana Kowalskiego Zagadnienie 1 (Wyliczenie mająku zgromadzonego na rachunku emeryalnym oraz emeryury dla pana Kowalskiego) Pan Kowalski pracował od 25 do 65 roku życia w jednym z dużych mias w Polsce gdzie średnia długośc życia dla mężczyzn jes saysycznie biorąc wyższa niż średnia dla Polski (7.6 la) i wynosi 7 laa. Kowalski zarabiał średnio miesięcznie bruo 6zł z czego % było odprowadzane na jego przyszłą emeryurę, przy czym połowa ej kwoy pochodziła z jego pensji, zaś druga połowa była wpłacana przez pracodawcę. Załóżmy że e % nie było odprowadzane do OFE, lecz przekazywane panu Kowalskiemu, kóry kupował albo bony skarbowe albo deponował pieniądze w banku w zależności od ego kóra z ych 2 inwesycji przynosiła w danym okresie największy zysk. (Na przełomie la 28 i 29 najlepszą lokaą w banku była lokaa na 2 laa kóra przynosiła 7.5% w skali roku, podczas gdy inflacja była rzędu.5%, z czego wynika że realna sopa zwrou z ej lokay w skali roku równała się.75.5 = % ). Wracając do zagadnienia 1, załóżmy że przez la zarudnienia średnia renownośc w skali roku z porfela pana Kowalskiego (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% (najbardziej pesymisyczny scenariusz) do.6 % (najbardziej opimisyczny scenariusz). Zakładamy że po przejściu na emeryurę zgromadzone pieniądze będą reinwesowane przez pana Kowalskiego w aki sam sposób jak przez osanie 4 la, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) 2.4% w skali roku. Na podsawie powyższych danych: (a) powiedz jakiej kwoy w realnych pieniądzach powinien pan Kowalski oczekiwac w momencie przejścia na emeryurę?; (b) oblicz na jak wysoką emeryurę będzie mógł liczyc dożywając do 7 roku;

4 4 (c) oblicz na jak wysoką emeryurę będzie mógł liczyc aby po 8 laach, czyli w wieku 7 la, odchodząc z ego świaa pozosawił po sobie na koncie emeryalnym ys. zł. jako prezen dla wnuczków; (d) porównaj (w zależności od scenariusza) jego przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy był akywny zawodowo; porównaj również przychody neo na emeryurze z prezenem w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy Kowalski był akywny zawodowo. Odpowiedzi : (a) W najbardziej pesymisycznym przypadku będzie o kwoa 664 ys. 942 zł, a w najbardziej opymisycznym 1 mln 156 ys. 179 zł; (b) W najbardziej pesymisycznym przypadku emeryura wynosic będzie 7 ys. 62 zł. miesięcznie, a w najbardziej opymisycznym 1 ys. 249 zł; (c) Pozosawiając swym wnuczkom prezen w wysokości ys. zł, pan Kowalski będzie miał wyższą emeryurę bruo niż jego średnia pensja bruo z okresu gdy był czynny zawodowo. Mianowicie, w najbardziej niekorzysnym scenariuszu będzie miał emeryurę 4 ys. 782 zł, zaś w najbardziej korzysnym emeryura jego będzie wynosic 1 ys. 411 zł. (d) Przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do pensji neo w czasie akywnej pracy zawodowej będą kszałowały się od 25% do 45%, naomias jeśli pan Kowalski pozosawi swym wnuczkom w esamencie ys. zł, powyższe proceny będą kszałowały się od 157% do 42%. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA 1 Odpowiedź na pyanie (a) Na emeryalne kono p. Kowalskiego wpływac będzie co miesiąc przez 4 la % z kwoy 6zł, j. 18zł. Rozważmy 25 scenariuszy, z kórych najbardziej niekorzysny oznacza renownośc na poziomie 1.2% rocznie, nasępny 1.%, kolejny scenariusz 1.4%, id. zaś osani 25-y scenariusz reprezenuje renownośc.6% w skali roku. Renowności e zapisujemy w Excelu w skali miesiąca aby sosując funkcję FV obliczyc kapiał końcowy w 25 scenariuszach. Poniżej dla ilusracji wyliczamy kapiał 1 końcowy gdy renownośc porfela wynosi 2%, czyli w skali miesiąca zaledwie 12 z

5 5 2% =.16667%. Przyszła warośc (FV) akiego srumienia pieniędzy po 48 miesiącach równac się będzie w realnych pieniądzach (zob. Równania rekurencyjne w ) 48 ( ) 1 () FV = 18 = 79191zł, co powierdza również poniższy wykres skopiowany z Excela. Z kolei w abeli 1 podane są warości kapiału końcowego dla 8 skrajnych scenariuszy (4-ech najbardziej pesymisycznych oraz 4-ech najbardziej opymisycznych). Rys. 1 Kapiał emeryalny po 4 laach w zależności od średniej renowności składek emeryalnych %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 abela 1 1.2% 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6% Odpowiedź na pyanie (b) Po 4 laach oszczędzania w czasie pracy zawodowej kapiał końcowy pana Kowal- skiego zacznie być uszczuplany co miesiąc przez wypłacaną emeryurę, będąc opro- cenowany zgodnie z naszym założeniem 2.4% w skali roku, czyli w skali miesiąca oprocenowanie (renownośc) będzie równa (4) 1 12 (2.4%) =.2 (po uwzględnieniu inflacji) i w konsekwencji równanie rekurencyjne podające wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie nasępująco: (5) y 1.2y E, = 1

6 6 gdzie E oznacza emeryurę bruo kóra będzie wypłacana przez 8 la (96 miesięcy). Widzimy więc (porównaj wzór (2)) że w równaniu rekurencyjnym (5) współczynnik a = 1.2, zaś współczynnik b = -E, z czego wynika iż rozwiązanie sałe y* równania (5) równe jes y* = b 1 a E = = 5 E,.2 zaś warunek począkowy, czyli warośc y, zależec będzie od scenariusza. W najbardziej niekorzysnym scenariuszu będziemy mieć y , zaś w najbardziej opy- = misycznym y = Zasosujmy eraz wzór (2) orzymując równanie rekurencyjne (6) y = 5 E+ ([ E) ] (1.2), y opisujące san kona miesięcy po przejściu na emeryurę w najbardziej niekorzys- nym scenariuszu. Skoro (1.2) = oraz ( 1.2) = 8556, 96 5 ( 1.2) = , o y = 5E+ [ E] i w konsek- wencji = 96 (7) E = 8556, E = 762zł, o znaczy, emeryura będzie miesięcznie wynosiła E =7 ys. 62zł. W najbardziej pozyywnym scenariuszu równanie rekurencyjne opisujące wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie bardzo podobnie: (8) ( ) 96 = y = 5 E+ [ E ] (1.2), y. 96 Skoro ( 1.2) = 14179, o (8) możemy przepisac w nasępujący sposób y = 5E+ [ E], z czego wynika iż E = 1249, o znaczy, że = 96 emeryura będzie miesięcznie wynosiła E =1 ys. 249zł. Rozumując w en właśnie sposób orzymujemy (abele 2-4) nasępujące emeryury w zależności od średniej ren- 96 = owności porfela pana Kowalskiego w ciągu 4 la jego pracy zawodowej abela 2 1.2% 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% abela 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7%

7 7 abela 4 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% kóre ilusrujemy na Rys.2 Emeryury pana Kowalskiego w zależności od średniej renowności jego porfela w ciagu 4 la jego pracy zawodowej %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 Odpowiedź na pyanie (c). W przypadku emeryury z prezenem mamy o samo równanie ale inny warunek począkowy kóre dla najgorszego scenariusza wygląda nasepująco: (9) ( ) y = 5 E+ [ E ] (1.2), y. W pozosałych scenariuszach kwoa 664 ys. 942 zł powinna być zasąpiona kwoą wyższą (por. abela 1); np. w najbardziej opymisycznym scenariuszu kwoą 1 mln 156 ys. 179 zł. Rozwiązując (9) orzymamy 96 = = y 96 = 5E+ [ E] i w konsekwencji (por. (7)) (1) E = , E = 4782 zł Wykonując po kolei wszyskie obliczenia dla 25 scenariuszy, uzyskujemy nasępujące emeryury Tabela 5 1.2% 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% Tabela 6 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7%

8 8 Tabela 7 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% Rysunek pokazuje jak będą kszałowały się emeryury z prezenem na le emeryur bez prezenu w 25 różnych scenariuszach (w czasie akywnego życia zawodowego przychody bruo wynosiły 6 zł. Rys. Porównanie emeryur p. Kowalskiego Emeryura bez prezenu Emeryura z prezenem ys. zł 2.% 1.% 2.%.% 4.% Odpowiedź na pyanie (d) W momencie przejścia na emeryurę podaki p. Kowalskiego zmniejszą się z około 29% do około 16% gdyż przesaną by odprowadzane składki na emeryurę. Mnożąc wysokośc emeryur bez prezenu bruo przez.84 (z uwagi na 16%-y podaek) orzymujemy wysokośc emeryury bez prezenu neo, naomias 6 zł mnożymy przez.71 aby określic średnią pensję neo pana Kowalskiego w czasie jego kariery zawodowej orzymując 2556 zł. Dzieląc emeryurę bez prezenu neo przez średnią pensję neo uzyskujemy nasępujące wyniki Tabela 8 1.2% 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6% 25% 256% 261% 267% 27% 279% 286% 292% Tabela 9 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 299% 6% 1% 2% 27% 5% 4% 51% Tabela 1

9 9 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 59% 68% 77% 86% 95% 45% 415% 425% 45% Posępując analogicznie, dzielimy emeryurę z prezenem neo przez średnią pensję neo uzyskując nasępujące wyniki Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% 157% 16% 168% 174% 18% 186% 192% 199% Tabela 12 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 25% 212% 219% 227% 24% 242% 25% 258% Tabela 1 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 266% 275% 28% 292% 2% 11% 21% 2% 42% Dane z powyższych 6 abel (abele 8-1) prezenujemy graficznie na Rys. 4 Emeryury neo pana Kowalskiego w sosunku do pensji neo 5% 45% 4% 5% % 25% 2% 15% 1% 5% %.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% emeryura z prezenem emeryura bez prezenu. Wyliczenie emeryury dla pani Kowalskiej Zagadnienie 2 (Wyliczenie mająku zgromadzonego na rachunku emeryalnym oraz emeryury dla pani Kowalskiej) Pani Kowalska pracowała od 25 do 6 roku życia i oczekuje że będzie jeszcze życ do 79 roku(yle wynosi średnia krajowa dla kobie w Polsce). Kowalska zarabiała średnio

10 1 miesięcznie (bruo) 6zł z czego % (18 zł) było odprowadzane na jej specjalne kono emeryalne. Załóżmy że pani Kowalska zarządzała ym konem sama, kupując albo bony skarbowe albo deponując pieniądze w banku w zależności od ego kóra z ych 2 inwesycji przynosiła w danym okresie większy zysk. Załóżmy że przez 5 la jej zarudnienia średnia renownośc w skali roku z jej porfela (po uwzględnieniu inflacji) wynosiła od 1.2% (najbardziej pesymisyczny scenariusz) do.6% (najbardziej opymisyczny scenariusz). Jak zauważyliśmy w 1-ej części ego arykułu, na przełomie la 28 i 29 roku realna sopa zwrou z porfela pani Kowalskiej równała się.865%. Zakładamy że po przejściu na emeryurę zgromadzone pieniądze będą reinwesowane przez nią w aki sam sposób jak przez osanie 5 la, przynosząc średnio (po uwzględnieniu inflacji) jedynie 2.4% w skali roku. Na podsawie powyższych danych: (a) powiedz jakiej kwoy w realnych pieniądzach powinna pani Kowalska oczekiwac na swym koncie emeryalnym w momencie przejścia na emeryurę?; (b) oblicz na jak wysoką emeryurę bez prezenu będzie mogła liczyc dożywając do 79 roku; (c) oblicz na jak wysoką emeryurę z prezenem dla wnuczków w wysokości ys. zł będzie mogła liczyc dożywając do 79 roku; (d) porównaj (w zależności od scenariusza) przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do średnich przychodów neo w okresie gdy pani Kowalska była akywna zawodowo; Jednocześnie porównaj przychody neo na emeryurze z prezenem w sosunku do średnich przychodów neo w okresie jej zarudnienia. Odpowiedzi : (a) W najbardziej pesymisycznym przypadku będzie o kwoa 56 ys. 74 zł, a w najbardziej opymisycznym 96 ys. 76 zł; (b) W najbardziej pesymisycznym przypadku emeryura bez prezenu wynosic będzie ys. 79 zł., a w najbardziej opymisycznym 4 ys. 956 zł miesięcznie; (c) Pozosawiając swym wnuczkom ys. zł, pani Kowalska w najbardziej niekorzysnym scenariuszu będzie będzie miała emeryurę bruo 2 ys. 4 zł, zaś w najbardziej korzysnym scenariuszu jej emeryura z prezenem będzie wynosic ys. 917 zł.

11 11 (d) Przychody neo na emeryurze bez prezenu w sosunku do pensji neo w czasie akywnej pracy zawodowej będą kszałowały się od 11% do 16%, naomias przychody neo na emeryurze z prezenem będą niższe i będą wynosic od 67% do 129%. ROZWIĄZANIE ZAGADNIENIA 2 Odpowiedź na pyanie (a) Na emeryalne kono p. Kowalskiej wpływac będzie co miesiąc przez 5 la % z kwoy 6zł, j. 18zł. Rozważmy 25 scenariuszy, z kórych najbardziej niekorzysny oznacza renownośc na poziomie 1.2% rocznie, zaś najbardziej korzysny renownośc.6% w skali roku. Tak jak w paragrafie 2, zasosujemy funkcję FV aby obliczyc kapiał końcowy w 25 scenariuszach. Poniżej dla ilusracji wyliczamy kapiał końco- 1 wy gdy renownośc porfela wynosi 2%, czyli w skali miesiąca zaledwie 12 z 2% =.16667%. Przyszła warośc (FV) akiego srumienia pieniędzy po 42 miesiącach (5 laach) równac się będzie w realnych pieniądzach (zob. Równania rekurencyjne w ) 42 ( ) 1 (11) FV = 18 = zł, co powierdza również poniższy wykres skopiowany z Excela. Rys. 5 Kapiał emeryalny pani Kowalskiej po 5 laach pracy w zależności od średniej renowności składek emeryalnych Serie1 2.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% W abeli 11 podane są warości kapiału końcowego dla 4-ech najbardziej pesymis- ycznych oraz 4-ech najbardziej opymisycznych scenariuszy). Tabela % 1.% 1.4% 1.5%.%.4%.5%.6%

12 12 Odpowiedź na pyanie (b) Po 5 laach oszczędzania w czasie pracy zawodowej kapiał końcowy pani Kowal- skiej zacznie być uszczuplany co miesiąc przez wypłacaną emeryurę, będąc oprocen- owany zgodnie z naszym założeniem 121 (2.4%) =.2% (po uwzględnieniu inflacji) i w konsekwencji równanie rekurencyjne podające wielkośc posiadanego przez panią Kowalską mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie ak samo jak w przypadku pana Kowalskiego, czyli (12) y 1.2y E, = 1 gdzie E oznacza emeryurę bruo kóra będzie wypłacana w przypadku pani Kowal- skiej znacznie dłużej niż w przypadku pana Kowalskiego. Ściślej mówiąc, zakładamy że będzie wypłacana przez 19 la (228 miesięcy), podczas gdy poprzednio była wypłacana przez 8 la (96 miesięcy). W konsekwencji, rozwiązanie sałe y* będzie ak jak poprzednio równe y* = b 1 a E = = 5 E,.2 zaś warunek począkowy, czyli warośc y, zależec będzie od scenariusza. W najbar- dziej niekorzysnym scenariuszu będziemy mieć y = 5674, zaś w najbardziej opy- misycznym y = Zasosujmy eraz wzór (2), orzymując równanie (1) ( ) y = 5 E+ [5674 5E ] (1.2), y 228 = opisujące san kona miesięcy po przejściu na emeryurę w najbardziej niekorzys nym scenariuszu. Skoro ( 1.2) = oraz ) = ( , ( 1.2) = , o y = 5E+ [ E] i w konsek- wencji = 228 (14) E = , E = 79 zł, o znaczy, emeryura będzie miesięcznie wynosiła E = ys. 79zł. W najbardziej pozyywnym scenariuszu równanie rekurencyjne opisujące wielkośc posiadanego przez pana Kowalskiego mająku w miesiącu, licząc czas od momenu przejścia na emeryurę, wyglądac będzie nasępująco: y = 5 E+ [9676 5E ] (1.2), y. (15) ( ) 228 = 228 Skoro 9676 ( 1.2) = , o (8) możemy przepisac w nasępujący sposób

13 1 y = 5E+ [ E], i w konsekwencji = E = , E = 4956, o znaczy, że emeryura będzie miesięcznie wynosiła E = 4 ys. 956zł. Rozumując w en właśnie sposób orzymujemy (abele 12-14) nasępujące emeryury w zależności od średniej renowności porfela pani Kowalskiej w ciągu 5 la jej pracy zawodowej abela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% abela 16 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% abela % 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% kóre ilusrujemy na Rys. 6 Emeryura bez prezenu pani Kowalskiej w zależności od średniej renowności jej porfela w ciągu 5 la jej pracy zawodowej %.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Serie1 Odpowiedź na pyanie (c) W przypadku emeryury z prezenem mamy o samo równanie ale inny warunek począkowy (16) ( ) y = 5 E+ [5674 5E ] (1.2), y. 228 =

14 14 W pozosałych scenariuszach kwoa 56 ys. 74 zł powinna być zasąpiona kwoą wyższą (por. abela 11); np. w najbardziej opymisycznym scenariuszu kwoą 96 ys. 76 zł. Rozwiązując (16) orzymamy analogicznie jak w punkcie (b) że y = 5E+ [ E] i w konsekwencji = E = , E = 24 zł, Wykonując po kolei wszyskie obliczenia dla 25 scenariuszy, uzyskujemy nasępujące emeryury z prezenem bruo Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% Tabela 19 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% Tabela 2 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% Rysunek 7 pokazuje jak będą kszałowały się emeryury z prezenem w 25 różnych scenariuszach (w czasie akywnego życia zawodowego przychody bruo wynosiły 6 zł.) Rys. 7 Porównanie emeryur pani Kowalskiej Emeryura bez prezenu Emeryura z prezenem ys. zł 1.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% Odpowiedź na pyanie (d) W momencie przejścia na emeryurę podaki pani Kowalskiej zmniejszą się z około 29% do około 16% gdyż przesaną by odprowadzane składki na emeryurę. Mnożąc

15 15 wysokośc emeryur bruo przez.84 orzymujemy wysokośc emeryury neo, wiedząc że średnia pensja w czasie pracy zawodowej wynosiła 71% z kwoy 6 zł, czyli 2556 zł. Jeśli podzielimy emeryurę z prezenem neo przez średnią pensję neo z okresu akywności zawodowej (2556 zł), orzymamy Tabela % 1.% 1.4% 1.5% 1.6% 1.7% 1.8% 1.9% 67% 69% 71% 7% 75% 77% 79% 81% Tabela 22 2.% 2.1% 2.2% 2.% 2.4% 2.5% 2.6% 2.7% 84% 86% 88% 91% 9% 96% 99% 11% Tabela 2 2.8% 2.9%.%.1%.2%.%.4%.5%.6% 14% 17% 11% 11% 116% 119% 122% 125% 129% i ilusrujemy graficznie na Rys. 8 Emeryury neo pani Kowalskiej w sosunku do jej pensji neo 18% 16% 14% 12% 1% 8% 6% 4% 2% %.%.5% 1.% 1.5% 2.% 2.5%.%.5% 4.% emeryura z prezenem w ujęciu procenowym emeryura bez prezenu w ujęciu procenowym ZAKOŃCZENIE Arykuł en nie porusza kwesii opymalnego zarządzania funduszami inwesycyjnymi. Jes o bowiem odrębny ema wymagający innych meod analizy. Ogólnie można powiedziec że profesjonalnie zarządzane fundusze dają większe możliwości uzyskania wysokich zysków (przy jednoczesnym minimalizowaniu ryzyka) niż rozparywany powyżej porfel składajacy się jedynie z bonów skarbowych oraz loka bankowych, spełniając poencjalnie pozyywną rolę w obszarze finansów. Porafią

16 16 one między innymi umiejęnie wykorzysywac korelację jaka isnieje pomiędzy ceną złoa, kursami walu i innymi dobrami z jednej srony a kursami akcji spółek giełdowych z drugiej srony, aby w okresach bessy na giełdzie przynosic zyski, a przynajmniej minimalizowac sray. Podsumowując, zaprezenujmy osanią abelą EMERYTURA w sosunku mnożnik do pensji bruo podakowy neo neo bez prezenu minimalna % Kowalskiego maksymalna % z prezenem minimalna % maksymalna % bez prezenu minimalna % Kowalskiej maksymalna % z prezenem minimalna % maksymalna % Z przeprowadzonej powyżej analizy wynika o ile w gorszej syuacji znalazła by się kobiea w sosunku do mężczyzny na emeryurze gdyby obowiązywała zasada że kobiea i mężczyzna mogą dysponowac na emeryurze dokładnie ym kapiałem kóry zgromadzili w czasie swej kariery zawodowej z uwagi na krószy okres pracy kobiey oraz dłuższy okres jej życia niż w przypadku mężczyzny. Różnice w emeryurach pozosaną dokładnie e same również wedy gdy porfelem emeryalnym kobiey i mężczyzny będzie zarządzał en sam fundusz inwesycyjny. W niniejszym arykule przyjęliśmy iż czas życia pana Kowalskiego wynosi 7 laa, wyliczając dla niego bardzo wysoką emeryurę. Gdyby założyc iż Kowalski będzie żył yle la ile wynosi średnia dla mężczyzn(7.6 la), o jego emeryury byłyby jeszcze wyższe. Bibliografia 1. M. Anhony; N. Biggs, Mahemaics for Economics and Finance, Cambridge Universiy Press, 25

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA

Wykład 3 POLITYKA PIENIĘŻNA POLITYKA FISKALNA Makroekonomia II Wykład 3 POLITKA PIENIĘŻNA POLITKA FISKALNA PLAN POLITKA PIENIĘŻNA. Podaż pieniądza. Sysem rezerwy ułamkowej i podaż pieniądza.2 Insrumeny poliyki pieniężnej 2. Popy na pieniądz 3. Prowadzenie

Bardziej szczegółowo

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak

Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem

Bardziej szczegółowo

Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie!

Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczytaj koniecznie! Prowadzisz lub będziesz prowadzić działalność gospodarczą? Przeczyaj koniecznie! Jeseś osobą prowadzącą pozarolniczą działalność, jeśli: prowadzisz pozarolniczą działalność gospodarczą na podsawie przepisów

Bardziej szczegółowo

Warszawa, dnia 5 czerwca 2017 r. Poz. 13 UCHWAŁA NR 29/2017 ZARZĄDU NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO. z dnia 2 czerwca 2017 r.

Warszawa, dnia 5 czerwca 2017 r. Poz. 13 UCHWAŁA NR 29/2017 ZARZĄDU NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO. z dnia 2 czerwca 2017 r. DZIENNIK URZĘDOWY NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO Warszawa, dnia 5 czerwca 2017 r. Poz. 13 UCHWAŁA NR 29/2017 ZARZĄDU NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO z dnia 2 czerwca 2017 r. zmieniająca uchwałę w sprawie wprowadzenia

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

Matematyka finansowa 20.03.2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r. Komisja Egzaminacyjna dla Akuariuszy XXXVIII Egzamin dla Akuariuszy z 20 marca 2006 r. Część I Maemayka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minu 1 1. Ile

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć

Bardziej szczegółowo

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW

dr Bartłomiej Rokicki Katedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Kaedra Makroekonomii i Teorii Handlu Zagranicznego Wydział Nauk Ekonomicznych UW Sposoby usalania płac w gospodarce Jednym z głównych powodów, dla kórych na rynku pracy obserwujemy poziom bezrobocia wyższy

Bardziej szczegółowo

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie!

Sprawujesz osobistą opiekę nad dzieckiem? Przeczytaj koniecznie! Sprawujesz osobisą opiekę nad dzieckiem? Przeczyaj koniecznie! Czy z yułu sprawowania osobisej opieki nad dzieckiem podlegasz ubezpieczeniom społecznym i zdrowonemu Od 1 września 2013 r. osoba sprawująca

Bardziej szczegółowo

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb)

Marża zakupu bid (pkb) Marża sprzedaży ask (pkb) Swap (IRS) i FRA Przykład. Sandardowy swap procenowy Dealer proponuje nasępujące sałe sopy dla sandardowej "plain vanilla" procenowej ransakcji swap. ermin wygaśnięcia Sopa dla obligacji skarbowych Marża

Bardziej szczegółowo

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego

Stała potencjalnego wzrostu w rachunku kapitału ludzkiego 252 Dr Wojciech Kozioł Kaedra Rachunkowości Uniwersye Ekonomiczny w Krakowie Sała poencjalnego wzrosu w rachunku kapiału ludzkiego WSTĘP Prowadzone do ej pory badania naukowe wskazują, że poencjał kapiału

Bardziej szczegółowo

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE

O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)

Bardziej szczegółowo

Silniki cieplne i rekurencje

Silniki cieplne i rekurencje 6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać

Bardziej szczegółowo

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP

WYCENA KONTRAKTÓW FUTURES, FORWARD I SWAP Krzyszof Jajuga Kaedra Inwesycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYCENA KONRAKÓW FUURES, FORWARD I SWAP DWA RODZAJE SYMERYCZNYCH INSRUMENÓW POCHODNYCH Symeryczne insrumeny

Bardziej szczegółowo

Wyższa Szkoła Marketingu i Zarządzania w Lesznie

Wyższa Szkoła Marketingu i Zarządzania w Lesznie Wyższa Szkoła Markeingu i Zarządzania w Lesznie MATERIAŁY ROBOCZE NA ZAJĘCIA Z PRZEDMIOTU BIZNES PLAN Opracowali: dr Jacek Kowalewski mgr Kazimierz Linowski Leszno 2008 2 S P I S T R E Ś C I WPROWADZENIE.

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło

ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU. Henryk J. Wnorowski, Dorota Perło 0-0-0 ZAŁOŻENIA NEOKLASYCZNEJ TEORII WZROSTU EKOLOGICZNIE UWARUNKOWANEGO W MODELOWANIU ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU REGIONU Henryk J. Wnorowski, Doroa Perło Plan wysąpienia Cel referau. Kluczowe założenia neoklasycznej

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r. Maemayka ubezpieczeń życiowych 25.01.2003 r. 1.. Dany jes wiek całkowiy x. Nasępujące prawdopodobieńswa przeżycia: g= 2p x + 1/3, h= 2p x + 1/ 2, j= 2p x + 3/4 obliczono sosując inerpolację zakładającą,

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie

ĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1

Ćwiczenia ZPI. Katarzyna Niewińska, ćwiczenia do wykładu Zarządzanie portfelem inwestycyjnym 1 Ćwiczenia ZPI 1 W banku A oprocentowanie lokat 4% przy kapitalizacji kwartalnej. W banku B oprocentowanie lokat 4,5% przy kapitalizacji miesięcznej. W banku A ulokowano kwotę 1000 zł. Jaki kapitał należy

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Twoje konto w ZUS. Co powinieneś wiedzieć. Przeczytaj koniecznie!

Twoje konto w ZUS. Co powinieneś wiedzieć. Przeczytaj koniecznie! Twoje kono w ZUS. Co powinieneś wiedzieć Przeczyaj koniecznie! Kono ubezpieczonego zakładane jes na podsawie pierwszego zgłoszenia do ubezpieczeń społecznych lub ubezpieczenia zdrowonego. Od 1 maja 2011

Bardziej szczegółowo

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**

Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych** Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

zajmują się profesjonalnym lokowaniem powierzonych im pieniędzy. Do funduszu może wpłacić swoje w skarpecie.

zajmują się profesjonalnym lokowaniem powierzonych im pieniędzy. Do funduszu może wpłacić swoje w skarpecie. Fundusze inwestycyjne to instytucje, które zajmują się profesjonalnym lokowaniem powierzonych im pieniędzy. Do funduszu może wpłacić swoje oszczędności każdy, kto nie chce ich trzymać w skarpecie. Wynajęci

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ

OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI

Bardziej szczegółowo

OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR

OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach OPTYMALIZACJA PORTFELA IWESTYCYJEGO ZE WZGLĘDU A MIIMALY POZIOM TOLERACJI DLA USTALOEGO VaR Wprowadzenie W osanich laach bardzo popularną miarą ryzyka sała

Bardziej szczegółowo

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme)

System zielonych inwestycji (GIS Green Investment Scheme) PROGRAM PRIORYTETOWY Tyuł programu: Sysem zielonych inwesycji (GIS Green Invesmen Scheme) Część 6) SOWA Energooszczędne oświelenie uliczne. 1. Cel programu Ograniczenie lub uniknięcie emisji dwulenku węgla

Bardziej szczegółowo

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE

DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE DYNAMICZNE MODEE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Joanna Małgorzaa andmesser Szkoła Główna

Bardziej szczegółowo

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD

Parytet stóp procentowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUSD Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Marcin Gajewski Uniwersye Łódzki 4.12.2008 Parye sóp procenowych a premia za ryzyko na przykładzie kursu EURUD Niezabazpieczony UIP)

Bardziej szczegółowo

2015-12-16. Wyliczanie emerytury na zasadach zbliżonych do tych panujących przed 1.01.1999 r. Emerytura. Do kiedy stare emerytury?

2015-12-16. Wyliczanie emerytury na zasadach zbliżonych do tych panujących przed 1.01.1999 r. Emerytura. Do kiedy stare emerytury? Emerytura Zasady wyliczania wysokości emerytury to suma pieniędzy, którą będzie comiesięcznie otrzymywał ubezpieczony z ZUS w momencie, gdy nabędzie status emeryta. Wyliczanie emerytury na zasadach zbliżonych

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO

ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO ZARZĄDZANIE KOSZTAMI UTRZYMANIA GOTÓWKI W ODDZIAŁACH BANKU KOMERCYJNEGO Sreszczenie Michał Barnicki Poliechnika Śląska, Wydział Oranizacji i Zarządzania Monika Odlanicka-Poczobu Poliechnika Śląska, Wydział

Bardziej szczegółowo

Zarządzanie ryzykiem. Lista 3

Zarządzanie ryzykiem. Lista 3 Zaządzanie yzykiem Lisa 3 1. Oszacowano nasępujący ozkład pawdopodobieńswa dla sóp zwou z akcji A i B (Tabela 1). W chwili obecnej Akcja A ma waość ynkową 70, a akcja B 50 zł. Ile wynosi pięciopocenowa

Bardziej szczegółowo

Polityka fiskalna. Makroekonomia II Joanna Siwińska-Gorzelak

Polityka fiskalna. Makroekonomia II Joanna Siwińska-Gorzelak Poliyka fiskalna Makroekonomia II Joanna Siwińska-Gorzelak Budże rządu Wydaki publiczne: Zakupy rządowe (G) zakupy dóbr i usług (również inwesycyjne) Płaności ransferowe (TR) zasiłki i inne płaności, za

Bardziej szczegółowo

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH

WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów

Bardziej szczegółowo

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE

SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE SYMULACYJNA ANALIZA PRODUKCJI ENERGII ELEKTRYCZNEJ I CIEPŁA Z ODNAWIALNYCH NOŚNIKÓW W POLSCE Janusz Sowiński, Rober Tomaszewski, Arur Wacharczyk Insyu Elekroenergeyki Poliechnika Częsochowska Aky prawne

Bardziej szczegółowo

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR

Zerowe stopy procentowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR Zerowe sopy procenowe nie muszą być dobrą odpowiedzią na kryzys Andrzej Rzońca NBP, SGH, FOR 111 seminarium BRE-CASE Warszaw awa, 25 lisopada 21 Plan Wprowadzenie Hipoezy I, II, III i IV Próba (zgrubnej)

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk

Wykład 6. Badanie dynamiki zjawisk Wykład 6 Badanie dynamiki zjawisk TREND WYODRĘBNIANIE SKŁADNIKÓW SZEREGU CZASOWEGO 1. FUNKCJA TRENDU METODA ANALITYCZNA 2. ŚREDNIE RUCHOME METODA WYRÓWNYWANIA MECHANICZNEGO średnie ruchome zwykłe średnie

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia II. Plan

Makroekonomia II. Plan Makroekonomia II Wykład 5 INWESTYCJE Wyk. 5 Plan Inwesycje 1. Wsęp 2. Inwesycje w modelu akceleraora 2.1 Prosy model akceleraora 2.2 Niedosaki prosego modelu akceleraora 3. Neoklasyczna eoria inwesycji

Bardziej szczegółowo

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego

Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Licz i zarabiaj matematyka na usługach rynku finansowego Przedstawiony zestaw zadań jest przeznaczony dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych i ma na celu ukazanie praktycznej strony matematyki, jej zastosowania

Bardziej szczegółowo

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych

Dobór przekroju żyły powrotnej w kablach elektroenergetycznych Dobór przekroju żyły powronej w kablach elekroenergeycznych Franciszek pyra, ZPBE Energopomiar Elekryka, Gliwice Marian Urbańczyk, Insyu Fizyki Poliechnika Śląska, Gliwice. Wsęp Zagadnienie poprawnego

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR

LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje

Bardziej szczegółowo

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro

Struktura sektorowa finansowania wydatków na B+R w krajach strefy euro Rozdział i. Srukura sekorowa finansowania wydaków na B+R w krajach srefy euro Rober W. Włodarczyk 1 Sreszczenie W arykule podjęo próbę oceny srukury sekorowej (sekor przedsiębiorsw, sekor rządowy, sekor

Bardziej szczegółowo

Makroekonomia II POLITYKA FISKALNA. Plan. 1. Ograniczenie budżetowe rządu

Makroekonomia II POLITYKA FISKALNA. Plan. 1. Ograniczenie budżetowe rządu Makroekonomia II Wykład 6 POLITKA FISKALNA Wykład 6 Plan POLITKA FISKALNA. Ograniczenie budżeowe rządu. Obliczanie długu i deficyu.2 Sosunek długu do PK.3 Wypłacalność rządu.4 Deficy srukuralny i cykliczny

Bardziej szczegółowo

EMERYTURY KAPITAŁOWE WYPŁATY Z II FILARA

EMERYTURY KAPITAŁOWE WYPŁATY Z II FILARA EMERYTURY KAPITAŁOWE WYPŁATY Z II FILARA Emerytury indywidualne, renta rodzinna dla wdów i wdowców, waloryzacja według zysków takie emerytury kapitałowe proponuje rząd. Dlaczego? Dlatego, że taki system

Bardziej szczegółowo

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1

Badanie funktorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 adanie funkorów logicznych TTL - ćwiczenie 1 1. Cel ćwiczenia Zapoznanie się z podsawowymi srukurami funkorów logicznych realizowanych w echnice TTL (Transisor Transisor Logic), ich podsawowymi paramerami

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: MARTYNA MALAK 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE 2 hp://www.oucome-seo.pl/excel2.xls DODATEK SOLVER WERSJE EXCELA 5.0, 95, 97, 2000, 2002/XP i 2003. 3 Dodaek Solver jes dosępny w menu Narzędzia. Jeżeli Solver nie jes dosępny

Bardziej szczegółowo

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH

Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX

MODELOWANIE KURSÓW WALUTOWYCH NA PRZYKŁADZIE MODELI KURSÓW RÓWNOWAGI ORAZ ZMIENNOŚCI NA RYNKU FOREX Krzyszof Ćwikliński Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informayki i Finansów Kaedra Ekonomerii krzyszof.cwiklinski@ue.wroc.pl Daniel Papla Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

Emerytura. Wyliczanie emerytury. Do kiedy stare emerytury? 2014-04-03. Zasady wyliczania wysokości emerytury

Emerytura. Wyliczanie emerytury. Do kiedy stare emerytury? 2014-04-03. Zasady wyliczania wysokości emerytury Emerytura Zasady wyliczania wysokości emerytury to suma pieniędzy, którą będzie comiesięcznie otrzymywał ubezpieczony z ZUS w momencie, gdy nabędzie status emeryta. Reforma ubezpieczeń społecznych podzieliła

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0

i 0,T F T F 0 Zatem: oprocentowanie proste (kapitalizacja na koniec okresu umownego 0;N, tj. w momencie t N : F t F 0 t 0;N, F 0 Maemayka finansowa i ubezpieczeniowa - 1 Sopy procenowe i dyskonowe 1. Sopa procenowa (sopa zwrou, sopa zysku) (Ineres Rae). Niech: F - kapiał wypoŝyczony (zainwesowany) w momencie, F T - kapiał zwrócony

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie wektorowe

Przestrzenie wektorowe Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:

Bardziej szczegółowo

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE

Gr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego

Bardziej szczegółowo

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO

E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO E5. KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU STAŁEGO Marek Pękała i Jadwiga Szydłowska Procesy rozładowania kondensaora i drgania relaksacyjne w obwodach RC należą do szerokiej klasy procesów relaksacyjnych. Procesy

Bardziej szczegółowo

MINISTERSTWO PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ

MINISTERSTWO PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ MINISTERSTWO PRACY I POLITYKI SPOŁECZNEJ DEPARTAMENT ANALIZ EKONOMICZNYCH I PROGNOZ ANALIZA ROZLICZNIE SKŁADEK EMERYTALNYCH WPŁACANYCH DO ZUS I OFE ZA OKRES LIPIEC 1999 CZERWIEC WARSZAWA, LISTOPAD r. Analiza

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 10 WPŁYW DYSKRECJONALNYCH INSTRUMENTÓW POLITYKI FISKALNEJ NA ZMIANY AKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ

ROZDZIAŁ 10 WPŁYW DYSKRECJONALNYCH INSTRUMENTÓW POLITYKI FISKALNEJ NA ZMIANY AKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ Ryszard Barczyk ROZDZIAŁ 10 WPŁYW DYSKRECJONALNYCH INSTRUMENTÓW POLITYKI FISKALNEJ NA ZMIANY AKTYWNOŚCI GOSPODARCZEJ 1. Wsęp Organy pańswa realizując cele poliyki sabilizacji koniunkury gospodarczej sosują

Bardziej szczegółowo

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów

U b e zpieczenie w t eo r ii użyteczności i w t eo r ii w yceny a ktywów dr Dariusz Sańko Kaedra Ubezpieczenia Społecznego Szkoła Główna Handlowa dariusz.sanko@gmail.com lisopada 006 r., akualizacja i poprawki: 30 sycznia 008 r. U b e zpieczenie w eo r ii użyeczności i w eo

Bardziej szczegółowo

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH

WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH SaSof Polska, el. 12 428 43 00, 601 41 41 51, info@sasof.pl, www.sasof.pl WYKORZYSTANIE STATISTICA DATA MINER DO PROGNOZOWANIA W KRAJOWYM DEPOZYCIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH Joanna Maych, Krajowy Depozy Papierów

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez

MATEMATYKA wykład 1. Ciągi. Pierwsze 2 ciągi są rosnące (do nieskończoności), zaś 3-i ciąg jest zbieŝny do zera. co oznaczamy przez MATEMATYKA wkład Ciągi,, 2, 3, 4,,, 3, 5, 7, 9,,,,,,,,, są przkładami ciągów 2 4 6 8 Pierwsze 2 ciągi są rosące (do ieskończoości), zaś 3-i ciąg jes zbieŝ do zera co ozaczam przez lim a ch 2-óch ciągów,

Bardziej szczegółowo

KOSZTOWA OCENA OPŁACALNOŚCI EKSPLOATACJI WĘGLA BRUNATNEGO ZE ZŁOŻA LEGNICA ZACHÓD **

KOSZTOWA OCENA OPŁACALNOŚCI EKSPLOATACJI WĘGLA BRUNATNEGO ZE ZŁOŻA LEGNICA ZACHÓD ** Górnicwo i Geoinżynieria Rok 31 Zeszy 2 2007 Kazimierz Czopek* KOSZTOWA OCENA OPŁACALNOŚCI EKSPLOATACJI WĘGLA BRUNATNEGO ZE ZŁOŻA LEGNICA ZACHÓD ** 1. Wprowadzenie Uwzględniając ylko prosy bilans energii

Bardziej szczegółowo

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz

EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH. dr inż. Robert Stachniewicz EFEKTYWNOŚĆ INWESTYCJI MODERNIZACYJNYCH dr inż. Rober Sachniewicz METODY OCENY EFEKTYWNOŚCI PROJEKTÓW INWESTYCYJNYCH Jednymi z licznych celów i zadań przedsiębiorswa są: - wzros warości przedsiębiorswa

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH

METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH

PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 15 Barbara Baóg Iwona Foryś PROGNOZOWANIE ZUŻYCIA CIEPŁEJ I ZIMNEJ WODY W SPÓŁDZIELCZYCH ZASOBACH MIESZKANIOWYCH Wsęp Koszy dosarczenia wody

Bardziej szczegółowo

Maksyminowe strategie immunizacji portfela

Maksyminowe strategie immunizacji portfela Alina Kondraiuk-Janyska Maksyminowe sraegie immunizacji porfela rozprawa dokorska Promoor: dr hab. Leszek Zaremba Kaedra Meod Ilościowych Wyższa Szkoła Zarządzania- The Polish Open Universiy Wydział Fizyki

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

MODEL GOSPODARKI POLSKIEJ ECMOD

MODEL GOSPODARKI POLSKIEJ ECMOD WYDZIAŁ PROJEKCJI MAKROEKONOMICZNYCH DAMS 25 KWIETNIA 2007 R. MODEL GOSPODARKI POLSKIEJ ECMOD WERSJA Z KWIETNIA 2007 R. 1 PODSUMOWANIE ZMIAN WPROWADZONYCH DO MODELU ECMOD OD MAJA 2005 R. DO KWIETNIA 2007

Bardziej szczegółowo

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza

Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Porównanie opłacalności kredytu w PLN i kredytu denominowanego w EUR Przykładowa analiza Opracowanie: kwiecień 2016r. www.strattek.pl strona 1 Spis 1. Parametry kredytu w PLN 2 2. Parametry kredytu denominowanego

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO ODPOWIED NA PYTANIE PROFESORA RAUTSKAUKASA

ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO ODPOWIED NA PYTANIE PROFESORA RAUTSKAUKASA ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECI SKIEGO NR 394 PRACE KATEDRY EKONOMETRII I STATYSTYKI NR 15 2004 JÓZEF HOZER Uniwersye Szczeci ski ODPOWIED NA PYTANIE PROFESORA RAUTSKAUKASA 1. PYTANIE PROFESORA RAUTSKAUKASA

Bardziej szczegółowo

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3

Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 3 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.

Bardziej szczegółowo

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1

Ocena płynności wybranymi metodami szacowania osadu 1 Bogdan Ludwiczak Wprowadzenie Ocena płynności wybranymi meodami szacowania osadu W ubiegłym roku zaszły znaczące zmiany doyczące pomiaru i zarządzania ryzykiem bankowym. Są one konsekwencją nowowprowadzonych

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL AUTOR: ŻANETA PRUSKA 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE EXCEL 2 AUTOR: mgr inż. ŻANETA PRUSKA DODATEK SOLVER 2 Sprawdzić czy w zakładce Dane znajduję się Solver 1. Kliknij przycisk Microsof Office, a nasępnie kliknij przycisk Opcje

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim

Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015

Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015 Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii

Bardziej szczegółowo

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe Pior Srożek * Kobiey w przedsiębiorswach usługowych prognozy nieliniowe Wsęp W dzisiejszym świecie procesy społeczno-gospodarcze zachodzą bardzo dynamicznie. W związku z ym bardzo zmienił się sereoypowy

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 161 181 A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr (01) 161 181 Pierwsza wersja złożona 9 marca 01 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 15 grudnia 01 080-0339 Anna Michałek

Bardziej szczegółowo

Inwestycje w lokale mieszkalne jako efektywne zabezpieczenie przed inflacją na przykładzie Poznania w latach

Inwestycje w lokale mieszkalne jako efektywne zabezpieczenie przed inflacją na przykładzie Poznania w latach Radosław Trojanek Kaedra Mikroekonomii Akademia Ekonomiczna w Poznaniu Srona nieparzysa Inwesycje w lokale mieszkalne jako efekywne zabezpieczenie przed inflacją na przykładzie Poznania w laach 996-2004.

Bardziej szczegółowo

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Skręcalność właściwa sacharozy. opiekun ćwiczenia: dr A. Pietrzak

Katedra Chemii Fizycznej Uniwersytetu Łódzkiego. Skręcalność właściwa sacharozy. opiekun ćwiczenia: dr A. Pietrzak Kaedra Chemii Fizycznej Uniwersyeu Łódzkiego Skręcalność właściwa sacharozy opiekun ćwiczenia: dr A. Pierzak ćwiczenie nr 19 Zakres zagadnień obowiązujących do ćwiczenia 1. Akywność opyczna a srukura cząseczki.

Bardziej szczegółowo

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)

A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339

Bardziej szczegółowo

z graniczną technologią

z graniczną technologią STUDIA OECOOMICA POSAIESIA 23, vol., no. (25) Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu, Wydział Informayki i Gospodarki Elekronicznej, Kaedra Ekonomii Maemaycznej emil.panek@ue.poznan.pl iesacjonarny model von

Bardziej szczegółowo

Krzywe na płaszczyźnie.

Krzywe na płaszczyźnie. Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

Kinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t

Kinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz W Y K Ł A D I Ruch jednowymiarowy Kinemayka Zaczniemy wykład z fizyki od badania przedmioów będących w ruchu. Dział fizyki, kóry zajmuje się badaniem ruchu ciał bez wnikania

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

Planowanie finansów osobistych

Planowanie finansów osobistych Planowanie finansów osobistych Osoby, które planują znaczne wydatki w perspektywie najbliższych kilku czy kilkunastu lat, osoby pragnące zabezpieczyć się na przyszłość, a także wszyscy, którzy dysponują

Bardziej szczegółowo

Bankructwo państwa: teoria czy praktyka

Bankructwo państwa: teoria czy praktyka Bankrucwo pańswa: eoria czy prakyka Czy da się zapanować nad długiem publicznym? Maciej Biner Lenie Seminarium Ekonomiczne Czeszów 11 września 2011 Plan 1. Wprowadzenie do problemayki długu od srony księgowej.

Bardziej szczegółowo

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI

OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI 3/27/2011 Ewa Kusideł ekusidel@uni.lodz.pl 1 OPŁACALNOŚĆ INWESTYCJI www.kep.uni.lodz.pl\ewakusidel 3/27/2011 Inwestycje i ryzyko na rynku nieruchomości 2 Inwestycja Inwestycja Nakład na zwiększenie lub

Bardziej szczegółowo

Identyfikacja wahań koniunkturalnych gospodarki polskiej

Identyfikacja wahań koniunkturalnych gospodarki polskiej Rozdział i Idenyfikacja wahań koniunkuralnych gospodarki polskiej dr Rafał Kasperowicz Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu Kaedra Mikroekonomii Sreszczenie Celem niniejszego opracowania jes idenyfikacja wahao

Bardziej szczegółowo