Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza Dr hab. iż.. Mariusz Przybycień Literatura: Rachue prawdopodobieństwa i statystya matematycza w zadaiach, tom I i II, W. Krysici i i., PWN 200. Wstęp do rachuu prawdopodobieństwa, W. Feller, PWN 2006. Zadaia z probabilistyi,. Plucińsa, E. Plucińsi, PWN 1983. Statystya dla fizyów, R.N. Nowa, PWN, 2002. Statystya dla fizyów. Ćwiczeia, R.N. Nowa, PWN, 2002. aliza daych, S. radt, PWN, 1998. Wstęp do aalizy błędu pomiarowego, R.J. Taylor, PWN, 2001. Ja aalizować wyii pomiarów, H. bramowicz, PWN 1992. Statistical Data alysis, G. Cowa, Oxford Uiv. Press, 1998. http://home.agh.edu.pl/mariuszp Wyład 1-21
Statystya - podstawowe pojęcia Statystya aua zajmująca się plaowaiem badań, a taże zbieraiem, orgaizacją, prezetacją i aalizą daych, oraz wyciągaiem wiosów i podejmowaiem decyzji a ich podstawie. Słowo statystya jest taże używae do oreśleia samych daych i wielości pochodych. Populacja zbiór wszystich przedstawicieli posiadających badaą cechę. Przyład: adaia demograficze - spis powszechy. Kotrola jaości zbiór wszystich urządzeń daego typu produowaych przez fabryę. Próba losowa reprezetatywa próba całej populacji, tz. taa, tóra odzwierciedla wszystie cechy i związi w iej występujące. Przyład: Próbami losowymi ie są p. sodaże wśród czyteliów dowolego z czasopism, wśród przechodiów a ulicy, głosowaia telewidzów w programach. Mówimy, że próba jest prosta jeśli rezultat wyboru jedego elemetu ie ma wpływu a rezultat wyboru iego elemetu. Przyład: Losując bez zwracaia ule z ury, tóra jest wypełioa sończoą liczbą ul białych i czarych, mamy do czyieia z próbą, tóra ie jest prosta. Wyład 1-31
w sobie iych zdarzeń elemetarych. Przyłady: Zdarzeia elemetare Zachowaie uładu, tórego ie możemy przewidzieć z całowitą pewością, azywamy przypadowym. Miarą przypadowości jest prawdopodobieństwo. Pojęcia pierwote rachuu prawdopodobieństwa to zdarzeie elemetare i przestrzeń zdarzeń elemetarych Ω. Dowoly podzbiór Ã Ω azywamy zdarzeiem losowym. Uwaga: Zdarzeia elemetare muszą być esluzywe dae zdarzeie elemetare ie zawiera jedoroty rzut moetą: orzeł (O) i resza (R) to dwa zdarzeia elemetare, tóre budują całą przestrzeń Ω {O, R} rzut dwoma moetami: Ω {(O,O), (O,R), (R,O), (R,R)} miesiąc urodzi: Ω {Sty, Lut, Mar, Kwi, Maj, Cze, Lip, Sie, Wrz, Paź, Lis, Gru} czas życia żarówi zdarzeia elemetare są dowolymi liczbami dodatimi, t>0, a przestrzeń jest iesończoa; ale może w oretym problemie lepiej wybrać Ω {1, 2, 3, } godziy/di/miesiące. liczba wypadów a srzyżowaiu w ciągu miesiąca: Ω {1,2,3, } a może Ω {1, 2, 3,, 1000} często prościej rozważyć iesończoy ciąg. jądro promieiotwórcze w olejych odstępach 1s może się rozpaść (R) lub ie (). Przestrzeń zdarzeń elemetarych jest iesończoa: R, R, R, R, Wyład 1-41
Zdarzeia elemetare - przyłady rzut dwoma ostami do gry: Ω {x, y}, gdzie x 1,,6 oraz y 1,,6 1 2 3 4 6 1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (,1) (6,1) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (,2) (6,2) suma ocze wyrzucoych a dwóch ostach Ω {2, 3, 4,, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} dwie osoby przy wadratowym stole iteresuje as zdarzeie : siedzą w rogu. (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (,3) (6,3) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (,4) (6,4) (1,) (2,) (3,) (4,) (,) (6,) (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (,6) (6,6) przyłady różych wyborów przestrzei zdarzeń elemetarych: 2 3 4 6 Wyład 1-1
Zdarzeia elemetare - przyłady Przyłady przestrzei zdarzeń elemetarych, w tórych możliwa jest tylo częściowa obserwacja zdarzeń elemetarych: Kadydat do pracy powiie charateryzować się pewymi zdolościami a poziomie z. Jeda dyspoujemy jedyie wyiiem x testu oceiajacego tę zdolość. Dyspoujemy jedyie ograiczoą zajomością przestrzei Ω {z, x} Chcemy zaleźć ryteria selecji z 0, x 0, taie aby stosując regułę aceptuj adydatów z wyiiem x > x 0 jedocześie masymalizować liczbę aceptowaych osób, tóre spełiają warue z > z 0 Uwaga: oiecza jest zajomość statystyczej relacji pomiędzy x i z. odpowiedzi radomizowae dotyczy aiet a tematy, a tóre pytai z reguły ie udzielają szczerej odpowiedzi lub ie chcą w ogóle odpowiadać (ses, arotyi, łamaie prawa, podati, ) ietoway rzuca dwoma ostmi: zieloą i białą, i tylo o za wyi rzutów. Następie odpowiada a jedo z dwóch pytań Czy jesteś osobą typu Q? lub Czy a białej ostce wypadła 1? w zależości od tego czy a zieloej ostce wypadła ieparzysta czy parzysta liczba ocze. Wyład 1-61
Pojęcie prawdopodobieństwa Pewii rachuu prawdopodobieństwa (Kolmogorov 1933): 1) Każdemu zdarzeiu losowemu Õ Ω przypisujemy liczbę P(), zwaą prawdopodobieństwem tego zdarzeia, taą że 0bP()b1. 2) P-two zdarzeia pewego jest rówe jedości P(Ω) 1. 3) P-two sumy esluzywych zdarzeń losowych i, czyli taich że «, jest rówe sumie p-tw tych zdarzeń P( ) P() + P() Klasycza defiicja prawdopodobieństwa: liczba zdarze elemetarych sprzyjajacych zdarzeiu P() liczba wszystich zdarze elemetarych Defiicja częstościowa prawdopodobieństwa: Miarą p-twa jest względa częstości występowaia zdarzeia iedy liczba obserwacji dąży do iesończoości. Prawdopodobieństwa subietywe: (przydate gdy mamy do czyieia ze zdarzeiami tóre są iepowtarzale, p. iepewości systematycze, p-two że istieje bozo Higgs a),, tratujemy jao hipotezy (tz. stwierdzeia tóre albo są prawdziwe albo fałszywe); P() miara aszej wiary w to, że jest prawdziwe Przyład: wybór pomiędzy otrzymaiem gotówi a udziałem w loterii Wyład 1-71
Zdarzeia elemetare - przyłady Przyład: Rozmieszczeie r 3 ul (rozróżialych) w 3 omórach: { abc } { a bc } { a bc} { abc } { b ac } { b ac} { abc} { c ab } { c ab} { ab c } { a bc} { a b c} { ac b } { b ac} { a c b} { bc a } { c ab} { b a c} { ab c} { ab c} { b c a} { ac b} { ac b} { c a b} { bc a} { bc a} { c b a} 1. 10. 19. 2. 11. 20. 3. 12. 21. 4. 13. 22.. 14. 23. 6. 1. 24. 7. 16. 2. 8. 17. 26. 9. 18. 27. Zdarzeie : w jedej z omóre są co ajmiej dwie ule - zdarzeia el. 121 Zdarzeie : pierwsza omóra ie jest pusta - zdarzeia el. 1, 41, 2227 Zdarzeie C: zachodzi zarówo ja i - zdarzeia el. 1, 41 Zdarzeie D: zachodzi lub - zdarzeia el. 127 (cała przestrzeń) 1 P ( Ei ) 27 i 1,..., 27 Wyład 1-81
Zdarzeia elemetare - przyłady Przyłady zagadień typu r ul w omórach : Di urodzi: r osób, 36 di Wypadi: r wypadów, 7 di tygodia Strzelaie do celu: r trafień, celów Klasyfiacja elemetów (p. ludzi) wg. ategorii (wie): r elemetów, ategorii Opuszczaie widy przez ludzi: r pasażerów, pięter Rzuty ośćmi do gry: r ości (rzutów), 6 możliwych wyiów daego rzutu Przypade ul ierozróżialych: { } { } { } { } { } { } { } { } { } { } 1. -- 4. - 7. - 10. 2. - -. - 8. - 3. -- 6. - 9. - P ( E ) P ( E ) P ( E ) 1 P ( E )... P ( E ) 1 P ( E ) 2 1 2 3 4 9 10 27 9 9 1 P ( E i ) i 1,..., 10 10 Przypade ierozróżialych zarówo ul ja i omóre: 1. -- 2. - 3. { } { } { } Wyład 1-91
Prawa de Morgaa: Przyład: Działaia aia a zbiorach Prawa rozdzielości dla dodawaia i możeia: ( C) ( ) ( C) ( C) ( ) ( C) Wiose z pewia (3): P( C) P( ( C)) P() + P( C) P( ( C)) P() + P() + P(C) -P( C) P(( ) ( C)) P() + P() + P(C) P( C) P( ) P( C) + P( C) Ω Mamy ( ) oraz ( ) ( ) P( ) P() + P( ) P() P( ) + P( ) Odejmując stroami dostajemy: P( ) P() + P() P( ) P-two zdarzeia przeciwego do zdarzeia : ( ) ( ) P 1 P Wyład 1-101 10
Elemety ombiatoryi Jeżeli przestrzeń zdarzeń elemetarych jest sończoa, to obliczaie prawdopodobieństw zdarzeń będących podzbiorami tej przestrzei ułatwiają pojęcia i twierdzeia z ombiatoryi. Reguła iloczyu: jeśli pewą czyość wyouje się w etapach, przy czym etap 1 moża wyoać a 1 sposobów, etap 2 a 2 sposobów,, wreszcie etap -ty a sposobów, to liczba N sposobów jaimi moża wyoać tę czyość wyosi: Rozróżiamy dwa typy losowań: N 1 2 bez powtórzeń raz wylosoway elemet ie wraca do populacji, z powtórzeiami wylosoway elemet wraca do populacji przed olejym losowaiem. Rozróżiamy dwa typy uporządowaia: olejość losowaych elemetów jest istota (wariacje, permutacje), olejość losowaych elemetów ie jest istota (ombiacje). Wyład 1-111 11
Wariacje z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosoway elemet za ażdym razem zwracamy do populacji (losowaie ze zwracaiem). Każdy z elemetów możemy wybrać a sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji z powtórzeiami ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: W Rzucając oste do gry uzysamy jedą z 6 możliwych ofiguracji. Wśród ich w przypadach ie będzie ai jedej jedyi, atomiast w -1 przypadach wypadie doładie jeda jedya. Z cyfr 1, 2, 3, 4, moża utworzyć 3 trzycyfrowych liczb aturalych, w tórych ażda z cyfr może się powtarzać dowolą ilość razy. Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to rozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład Maxwella-oltzmaa). Wyład 1-121 12
Wariacje bez powtórze rzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a -1, trzeci a -2, atomiast -ty tylo a -+1 sposobów. Ozacza to, że liczba -wyrazowych wariacji bez powtórzeń ze zbioru -elemetowego wyosi: Przyłady: V ( 1)( 2) ( + 1) ( ) Mając do dyspozycji sześć pioowych pasów o różych barwach możemy utworzyć 6/(63) trójolorowych flag. Z cyfr 1, 2, 3, 4, moża utworzyć /(3) trzycyfrowych liczb aturalych w tórych ażda z cyfr może wystąpić co ajwyżej jede raz. Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda ula, to ul (ule są marosopowe a więc rozróżiale) moża rozmieścić w ich a /() sposobów. (alogia: omóri piętra budyu, ule osoby w widzie) Wyład 1-131 13
Permutacje bez i z powtórzeiami Losujemy elemetów spośród elemetów bez zwracaia. Pierwszy elemet moża wybrać a sposobów, drugi już tylo a 1, trzeci a 2, atomiast przedostati tylo a 2 sposoby. Ozacza to, że liczba permutacji bez powtórzeń zbioru -elemetowego wyosi: Przyład: (statystya Maxwella-oltzmaa) cząste moża rozmieścić po jedej w ustaloych omórach a sposobów. P ( 1)( 2) 2 1 Jeśli wśród elemetów mamy różych elemetów, z tórych pierwszy powtarza się 1 razy, drugi 2 razy,, -ty razy ( 1 + 2 + + ), to liczba rozróżialych losowań bez zwracaia, czyli liczba permutacji z powtórzeiami zbioru -elemetowego, w tórym poszczególe elemety powtarzają się odpowiedio 1, 2,, razy wyosi: (,,..., ) P 1 2 1 2 Przyład: (statystya M-) w pierwszej omórce 1, w drugiej 2,, w -tej cząste moża rozmieścić a P ( 1, 2,, ) sposobów. Wyład 1-141 14
Kombiacje bez powtórze rzeń Losujemy elemetów spośród elemetów przy czym wylosowaego elemetu ie zwracamy do populacji (losowaie bez zwracaia). Nie iteresuje as rówież olejość wylosowaych elemetów. Mamy więc do czyieia z -elemetowymi podzbiorami zbioru -elemetowego. Liczba -elemetowych ombiacji bez powtórzeń z -elemetowego zbioru wyosi: Przyłady: C ( ) Z 10 osób możemy utworzyć trzy zespoły liczące odpowiedio po, 3 i 2 osoby a ( 10) ( ) 10 ( ) ( ) 220 3 10 3 3 sposobów. Na ile sposobów moża rozmieścić 20 ul w trzech omórach, ta aby w pierwszej było ich 10, w drugiej 6, a w trzeciej 4? Odpowiedź: ( 20) ( 10) 10 6 Jeżeli w ażdej omórce może zaleźć się tylo jeda cząsta, to ierozróżialych cząste moża rozmieścić w r omórach a ( ) sposobów (rozład Fermiego Diraca). Wyład 1-11 1
Kombiacje z powtórzeiami Rozważmy elemety różych rodzajów. Elemety tego samego rodzaju tratujemy jao ierozróżiale. Każdy zbiór elemetowy ( ) gdy ażdy elemet ależy do jedego z tych rodzajów azywamy -elemetową ombiacją z powtórzeiami z rodzajów elemetów. Liczba -elemetowych ombiacji z powtórzeiami z elemetów rodzajów jest rówa: + 1 ( + 1) C C + 1 ( 1) Przyłady: Rozpatrzmy rozmieszczeie 8 ierozróżialych ul w 6 omórach - liczba rozróżialych rozmieszczeń wyosi ( ) 8 C 13 6 1287 8 ( ) ( ) Rzucając r ierozróżialych oste do gry, otrzymamy C r r + r r + 6 ierozróżialych ofiguracji (omóri to liczby ocze, ule to osti). Jeśli w ażdej omórce może zaleźć się dowola liczba cząste, to ierozróżialych cząste możemy rozmieścić w omórach a sposobów (rozład osego- C Eisteia). Wszystie omóri będą zajęte w przypadach. C Wyład 1-161 16
Przyład: mechaia statystycza Każdy możliwy sta uładu to put w przestrzei fazowej. Statystya M-(cząsti rozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): W Statystya -E (cząsti ierozróżiale, dowola liczba cząste w omórce): C + 1 ( + 1) C + 1 ( 1) Statystya F-D (cząsti ierozróżiale, co ajwyżej jeda cząsta w omórce): C ( ) p-two rozmieszczeia cząste po jedej w ustaloych omórach: 1 ( 1) 1 ( ) M-: p -E: p F-D: p C ( + 1) C Statystya -E: + 1 ( 1) 1 - wszystie omóri zajęte: C ( ) ( ) 1 1 - doładie m cząste w ustaloej omórce: C + m 2 m 1 m - doładie m cząste w jedej z omóre: C m 1 Wyład 1-171 17
Prawdopodobieństwo - przyłady Przyład 1: Wida z 7 pasażerami jedzie przez 10 pięter. Jaa jest szasa, że ludzie będą wysiadali pojedyczo a piętrach? alogia: 7 ul tóre mamy rozmieścić w 10 omórach. Każdy przypade oddzielego wysiadaia odpowiada losowaiu bez zwracaia. Sytuację gdy po ilu pasażerów może wysiąść a jedym z pięter możemy opisać jao losowaie ze zwracaiem. Oczywiście pasażerowie są rozróżiali i jest istote to to wysiądzie a tórym piętrze. Szuae prawdopodobieństwo jest więc rówe: 7 V10 P 7 W 10 006. Przyład 2: Wyciągamy art z talii 2 dobrze potasowaych art. Jaie jest p-two, że są wśród ich a) 4 asy, b) 4 asy i jede ról, c) trzy 10-ti i dwa walety, d) 9-ta, 10-ta, walet, rólowa i ról, e) trzy są tego samego oloru i dwie ie, f) co ajmiej jede as? a) P 4 1 C4 C48 C 2 1 414 b) P 4 1 C4 C4 C 2 1 649740 d) P 1 1 1 1 1 C4 C4 C4 C4 C4 C 2 64 16243 c) P 3 2 C4 C4 C 2 1 108290 e) P 3 2 4C13 3 C13 429 C 416 2 f) C48 3673 18482 P 1 1 C 414 414 2 Wyład 1-181 18