P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

Transkrypt

1 P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str Doświadczenie losowe jest to doświadczenie, zdarzenie, które moŝna wielokrotnie powtarzać, ale nie moŝna w sposób jednoznaczny przewidzieć wyniku. a) Rzut kostką jest 6 moŝliwych wyników. b) Wyciąganie jednej karty z talii kart są 52 moŝliwości. c) Rzut dwoma monetami są 4 moŝliwości. 2. Zdarzenie elementarne jest to pojedynczy wynik doświadczenia losowego. a) Doświadczenie losowe rzut monetą. Zdarzenie elementarne wypadł orzeł. b) Doświadczenie losowe wyciąganie jednej karty z puli 52 kart. Zdarzenie elementarne wyciągnęliśmy asa. 3. Zbiór zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich moŝliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia i zbiór ten oznaczamy Ω i zapisujemy Ω = {e 1, e 2, e n }. a) Przy dwukrotnym rzucie monetą mamy następujący zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {(O;O); (O;R); (R;O); (R;R)}. b) Przy jednym rzucie kostką do gry mamy następujący zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. 4. Zdarzenie losowe jest to podzbiór zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego, którego elementy spełniają w sposób pozytywny dane doświadczenie losowe. Zdarzenie losowe oznaczamy A i zawsze zachodzi A Ω. a) Przy rzucie kostką zdarzeniem losowym jest wypadnie liczba oczek mniejsza niŝ trzy. A = {1; 2} są to wszystkie liczby oczek mniejsze od 3. b) Przy rzucie trzech monet zdarzeniem losowym jest wypadną dwa orły A = {(O; O; R); (O; R; O); (R; O; O)} są to wszystkie przypadki, gdy mamy dwa orły. 5. JeŜeli zdarzenie losowe jest niemoŝliwe, puste to zapisujemy A = φ np. przy rzucie kostką wypadnie liczba oczek równa 8 to zdarzenie niemoŝliwe, nigdy to się nie zdarzy. 6. JeŜeli zdarzenie losowe jest pewne to zapisujemy A = Ω np. przy rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza niŝ 8 to zdarzenie pewne, zawsze tak jest, Ŝe jest ich mniej niŝ Moc zbioru jest to liczba określająca ilość elementów w danym zbiorze. Oznaczamy ją A. Przykład. a) Zdarzenie losowe opisane jest za pomocą zbioru A={1,3,5}, to moc A = 3 Strona 1 z 7

2 b) Zdarzenie losowe opisane jest za pomocą zbioru B = {(O; O); (R; R)}, to moc B = 2 8. Reguła mnoŝenia JeŜeli doświadczenie losowe składa się z kilku czynności, to ilość wszystkich moŝliwych zdarzeń elementarnych, tego doświadczenia losowego obliczamy mnoŝąc ilość zdarzeń elementarnych dla pierwszej, razy ilość zdarzeń elementarnych dla drugiej czynności itd. Przykłady a) Ile moŝna stworzyć kodów czterocyfrowych z cyfr: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Cyfry mogą się powtarzać, czyli zwracamy wylosowaną cyfrę do zestawu. Losujemy pierwszą cyfrę kodu spośród 9 Losujemy drugą cyfrę kodu spośród 9 Losujemy trzecią cyfrę kodu spośród 9 Losujemy czwartą cyfrę kodu spośród 9 Ω = = 6561 b) Ile moŝna stworzyć kodów czterocyfrowych z cyfr: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9. Cyfry nie mogą się powtarzać, czy losowanie bez zwracania. Losujemy pierwszą cyfrę kodu spośród 9 Losujemy drugą cyfrę kodu spośród 8 Losujemy trzecią cyfrę kodu spośród 7 Losujemy czwartą cyfrę kodu spośród 6 Ćwiczenie. 2 ; 3; 4 str. 11 Ω = = 3024 Lekcja 3-5 Temat: Obliczanie ilości zdarzeń elementarnych. Str Zad. 1, 2, 3, 4 str. 12 Zad. 1, 2, 3, 4 str. 16 Powtórzenie. Zad. 1, 2 str. 12 Powtórzenie. Zad. 1, 2, str. 17 Zad. 1, 2, 3, 4 str. 19 Zad. 1, 2, 3, 4 str. 21 Powtórzenie. Zad. 1, 2 str. 19 Powtórzenie. Zad. 1, 2, str. 21 Zad. 7, 8 str. 17 Zad. 5 str. 19 Zad. 5, 6 str. 21 Powtórzenie. Zad. 3 str. 21 Powtórzenie. Zad. 4 str. 17 Strona 2 z 7

3 Lekcja 6-7 Temat: Reguła dodawania i diagramy Venna. Str Reguła dodawania JeŜeli zdarzenia losowe A i B są rozłączne, czyli nie mają wspólnych elementów, to moc sumy tych zdarzeń losowych równa się sumie mocy poszczególnych zdarzeń losowych. A B = A + B Przykład Zdarzenie losowe X ile jest róŝnych liczb trzycyfrowych w zapisie, których występują cyfry {2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9} i co najmniej raz wystąpi cyfra 5. Z treści zadania wynika, Ŝe podane liczby mogą się powtarzać. Kolejność jest istotna. Sformułowanie co najmniej raz wystąpi cyfra 5 oznacza Ŝe moŝe wystąpić: raz, dwa razy, trzy razy. Niech Ω oznacza wszystkie liczby trzycyfrowe utworzone z liczb: 2; 3; 5; 6; 7; 8 ; 9. Jest ich siedem. Ω = 7 * 7 * 7 = I poz. setki. II poz. dzies. III poz. jedn. Niech A oznacza wszystkie liczby trzycyfrowe, ale bez liczby 5, czyli wszystkie utworzone z liczb: 2; 3; 6; 7; 8 ; 9. Jest ich sześć. A = 6 * 6 * 6 = I poz. setki. II poz. dzies. III poz. jedn. Moc szukanego zdarzenia losowego X wynosi. Od wszystkich moŝliwych przypadków odejmujemy te, gdzie nie ma liczby 5. Zatem zostaną te, gdzie piątka jest co najmniej raz. X = Ω A = = 127. Zad. 1, 2 str. 23 Zad. 3, 4, 5 str. 24 Powtórzenie. Zad. 1, 2 str Diagramy Venna Diagramy Venna, to schematy graficzne zwykle w postaci elips ilustrujące zaleŝności między zbiorami. Przykład. Dla danego doświadczenia losowego, dane są dwa zdarzenia losowe A i B. Wyniki zdarzeń losowych, to zbiory, które moŝna przedstawić za pomocą diagramów Venna. Wygląda to następująco. Strona 3 z 7

4 Największa elipsa, to zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, czyli Ω. Mniejsze elipsy w środku, to zdarzenia losowe A i B. Część zamalowana w niebieskim kolorze, to część wspólna A B. Na zielono zamalowana jest suma zdarzeń losowych A i B ( A B ), czyli wszystko, co naleŝy do A lub B, ale liczone jest jeden raz. W kolorze pomarańczowym zaznaczone jest zdarzenie losowe A PRZECIWNE do A. W kolorze Ŝółtym mamy róŝnicę zdarzeń losowych A \ B, czyli wyniki naleŝące do A, a NIE naleŝące do B. Na ostatnim rysunku mamy dwa zdarzenia losowe A i B wykluczające się, czyli rozłączne. Ćwiczenie 2, 3 str. 26 Zad. 1, 2 str. 27 Powtórzenie. Zad. 1, 2 str. 27 Lekcja 7-9 Temat: Obliczanie prawdopodobieństwa. Str Prawdopodobieństwem zdarzenia losowego A, gdy poszczególne zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne nazywamy iloraz liczby zdarzeń elementarnych spełniających zdarzenie losowe A, do liczby wszystkich moŝliwych zdarzeń elementarnych Ω występujących w doświadczeniu. Zapisujemy to następująco: n A P(A) =, gdzie A = n A, Ω = N N Przykład. Oblicz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby oczek przy rzucie kostką. Doświadczenie losowe rzut kostką. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}, moc Ω = 6 Zdarzenie losowe wypadnie parzysta liczba oczek. A = {2; 4; 6}, moc A = 3 Prawdopodobieństwo tego zdarzenia losowego: 3 1 P(A) = = 6 2 Zad. 1, 2, 3 str. 30 Zad. 4, 5 str. 31 Powtórzenie. Zad. 1, 2, str. 31 Strona 4 z 7

5 Lekcja druga Zad. 7, 8, 9 str. 31 Zad. 1, 2, 3 str. 34 Powtórzenie. Zad. 1, 2, str. 35 Lekcja trzecia Zad. 4, 5 str. 34 Zad. 6, 7, 8 str. 35 Powtórzenie. Zad. 3, 4 str Rzucamy trzema identycznymi monetami. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wyrzuceniu co najmniej dwóch orłów. 2. Z tali 52 kart losujemy 3 karty ze zwracaniem. Jakie jest prawdopodobieństwo, Ŝe wylosujemy za pierwszym razem damę pik, za drugim razem króla, a za trzecim razem blotkę? 3. Z czterech kart: król pik, król karo, dama pik, dama karo losujemy bez zwracania dwie karty. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu za pierwszym razem króla, a za drugim razem pika. 4. Z czterech identycznych tali kart liczących po 24 karty losujemy po jednej karcie. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania czterech dziesiątek. 5. Rozkład prawdopodobieństwa dla rzutu czworościenną kostką przedstawia tabelka. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, polegającego na wylosowaniu nieparzystej liczby oczek. 6. Oblicz prawdopodobieństwo, Ŝe losując jednocześnie dwie liczby ze zbioru Z = {-2,-1,0,1,2,3,4} wylosujemy dwa miejsca zerowe funkcji: 7. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, Ŝe liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby oczek w pierwszym rzucie. Lekcja Temat: Obliczenie prawdopodobieństwa metodą drzewka. Str Drzewo probabilistyczne Prawdopodobieństwo moŝna równieŝ obliczać metoda drzewka. Wierzchołki noszą nazwę stanów, a strzałki określają prawdopodobieństwo przejścia z jednego stanu do drugiego i musi ich być tyle, by suma prawdopodobieństw opuszczenia jednego stanu zawsze wynosiła jeden, czyli muszą być przedstawione wszystkie moŝliwe przypadki. Rozwiązując zadania metodą drzewka rozbijamy je na etapy, a w etapach mamy róŝne stany. Przykład W urnie jest 5 kul czerwonych i 15 białych. Oblicz, prawdopodobieństwo, Ŝe losując trzy kule bez zwracania będziemy mieli jedną kulę białą i dwie czerwone. Strona 5 z 7

6 Zdarzenie losowe A zostały wylosowane dwie kule czerwone i jedna kula biał. Wybieramy właściwe gałęzie na rysunku są zaznaczone na czerwono. Wówczas prawdopodobieństwo obliczamy nastepująco: P(A) = + + = Zadania Zad. 1, 2, 3 str. 43 Zad. 4, 5 str. 44 Lekcja druga Zadania Zad. 7, 8 str. 45 Zad. 9, 10, 11 str. 46 Lekcja Temat: Własności prawdopodobieństwa. Str Przypomnienie! Zdarzenia losowe A; B; C;, to podzbiory A; B; C:, zbioru wszystkich moŝliwych zdarzeń elementarnych Ω. 2. Pojęcia związane ze zdarzeniami losowymi. a) A B - suma zdarzeń losowych (suma zbiorów) b) A B - iloczyn zdarzeń losowych (iloczyn zbiorów) c) A \ B - róŝnica zdarzeń losowych (róŝnica zbiorów) d) A' - zdarzenie losowe przeciwne, czyli zdarzenie równe róŝnicy A'= Ω \ A (jest to dopełnienie zbioru do zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych) e) A B - zdarzenie losowe A pociąga za sobą zdarzenie losowe B (zbiór A zawiera się w zbiorze B) f) A B = φ - zdarzenia losowe wykluczają się (zbiory są rozłączne) Strona 6 z 7

7 4. Własności prawdopodobieństwa: a). Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego, to zawsze liczba z przedziału P(A) 0; 1, czyli 0 P(A) 1. b) Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi zawsze P( Ω ) = 1 c) Prawdopodobieństwo zdarzenia niemoŝliwego wynosi zawsze P( φ ) = 0 d) JeŜeli zdarzenia losowe A i B wykluczają się, czyli A B =, to prawdopodobieństwo P(A B) = P(A) + P(B). e) JeŜeli zdarzenia losowe A pociąga za sobą zdarzenie losowe B czyli A B, to prawdopodobieństwo P(A) P(B). f) Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego przeciwnego A zawsze wynosi P(A' ) = 1 P(A), czyli P(A) + P(A') = 1 g) Dla dowolnych dwóch zdarzeń losowych A i B związanych z tym samym doświadczeniem losowym zachodzi: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). 5. Zadania Ćwiczenia 1, 2, 3 str. 38 Ćwiczenia 4, 5, 6, 7 str. 39 Zad. 1, 2 str. 40 Lekcja druga Zadania Ćwiczenia 8, 9 str. 40 Zad. 3, 4, 5, 6 str. 41 Powtórzenie. Zad. 1, 2, 3 str. 42 Lekcja Temat: Powtórzenie wiadomości z rachunku prawdopodobieństwa i sprawdzian. Str Zestaw I, II str Test str Lekcja 17 Temat: Sprawdzian z rachunku prawdopodobieństwa i sprawdzian. Str Lekcja 18 Temat: Omówienie sprawdzianu z rachunku prawdopodobieństwa i sprawdzian. Str Strona 7 z 7