P k k (n k) = k {O O O} = ; {O O R} =

Transkrypt

1 Definicja.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Każdy -elementowy podzbiór zbioru A wybrany (w dowolnej olejności) bez zwracania nazywamy ombinacją bez powtórzeń. Twierdzenie.5 (Kombinacje bez powtórzeń). Liczba możliwych ombinacji bez powtórzeń -elementowych ze zbioru n-elementowego wynosi Cn n n (n ) Dowód. Każda -wyrazowa wariacja bez powtórzeń oreśla jednoznacznie -elementowy zbiór wybrany w jaimś porządu; Liczba sposobów wyboru tych samych -elementów jest dana przez liczbę permutacji zbioru -elementowego; Każdej ombinacji -elementowej odpowiada wariacji -wyrazowych bez powtórzeń. Cn V n n n P (n ) Przyład.4 (Ilość płaszczyzn). Ile różnych płaszczyzn można poprowadzić w przestrzeni trójwymiarowej przez cztery punty, nie leżące w jednej płaszczyźnie? Każda trója puntów wyznacza jedną płaszczyznę. Rożnych płaszczyzn jest 4 C4 4 Definicja.6 (Kombinacje z powtórzeniami). -elementową ombinacją z powtórzeniami elementów zbioru A nazywamy -elementowy multizbiór złożony z elementów zbioru A. Multizbiór to rozszerzenie pojęcia zbioru w tórym ażdy element może występować wiele razy. Przyład.5 (ombinacje z powtórzeniami). Jaie są możliwe wynii rzutu trzema monetami? -elementowymi ombinacjami z powtórzeniami zbioru A {O R} są multizbiory: {O O O}; {O O R}; {O R R}; {R R R} -elementowe ombinacje z powtórzeniami elementów zbioru 2-elementowego A {O R} to różne sposoby rozmieszczenia taich samych ule w 2 pudełach {O O O} ; {O O R} {O R R} ; {R R R} Ich liczebność to ilość możliwych rozmieszczeń trzech ule na czterech dostępnych pozycjach: 4 C4 4

2 Twierdzenie.6 (ombinacje z powtórzeniami). Liczba możliwych -elementowych ombinacji z powtórzeniami elementów zbioru n-elemenetowego wynosi C n + n Dowód. Na ile sposobów taich samych ul można powładać do n pudełe? Liczba ul w i-tym pudełu oznacza liczbę powtórzeń i-tego elementu zbioru A w ombinacji z powtórzeniami. ciąg ul i n + rese Ilość możliwych sposobów rozmieszczeń ul na n + możliwych pozycjach: n + Cn+ 4 Przestrzenie równie prawdopodobnych zdarzeń elementarnych Jeśli już umiemy przeliczać zbiory zdarzeń elementarnych to drugą trudnością jaą możemy napotać orzystając z twierdzenia o prawdopodobiństwie ombinatorycznym to upewnienie się, że spełnione są założenia tego twierdzenia czyli czy zdarzenia elementarne są równie prawdopodobne. Twierdzenie 4. (Esperyment -stopniowy). Jeśli jaiś esperyment można przedstawić jao -stopniową procedurę, przy czym i-ta operacja może być wyonana na l i (i... ) równie prawdopodobnych sposobów to esperyment można wyonać na l l 2 l równie prawdopodobnych sposobów. Równie prawdopodobne zdarzenia elementarne to uporzadowane ciagi wyniów olejnych stopni esperymentu. Twierdzenie 4.2 (Wariacje, permutacje i ombinacje bez powtórzeń). Jeśli przy ażdym wybieraniu z n-elementowego zbioru o tórym mowa w definicji wariacji, permutacji lub ombinacji bez powtórzeń, wybranie onretnego elementu jest równie prawdopodobne ja pozostałych to zdarzenia elementarne będące wariacjami (permutacjami lub ombinacjami bez powtórzeń) sa równie prawdopodobne. Dowód. wariacje z powtórzeniami i bez powtórzeń oraz permutacje bez powtórzeń to uporządowane ciągi wyniów olejnych stopni esperymentu -stopniowego. Zatem są równie prawdopodobne; ażdej permutacji z powtórzeniami odpowiada taa sama liczba ( 2 n ) równie prawdopodobnych permutacji bez powtórzeń P P 2...n 2 n ażdej ombinacji bez powtórzeń odpowiada taa sama liczba () równie prawdopodobnych wariacji bezpowtórzeń C n V n 4

3 Uwaga: Na ogół ombinacjom z powtórzeniami odpowiadają różne liczby równie prawdopodobnych uporządowanych ciągów wyniów olejnych losowań. Zatem ombinacje z powtórzeniami na ogół nie są równie prawdopodobne. Przyład 4. (dwurotny rzut monetą). Jaie jest prawdopodobieństwo uzysania jednego orła i jednej reszi w rzucie dwoma monetami. Losujemy ze wzracaniem dwa elementy ze zbioru A {O R}. Wariacje z powtórzeniami są równie prawdopodobne Ω {(O R); (O O); (R R); (R O)} P ({O R}) Nie interesuje nas olejność w jaiej wypada orzeł i resza Ω {{O O}; {O R}; {R R}} P ({O R}) Kombinacje z powtórzeniami nie są równie prawdopodobne. Przyład 4.2 (Wybieranie ul z pudeła). W pudełu znajduje się b białych i c czarnych ul. Wyciągamy olejno losowo n ul z pudeła. Jaie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich jest doladnie ul czarnych? Rozpatrzmy losowanie bez zwracania oraz ze wzracaniem. Bez zwracania Nie interesuje nas olejność a ule się nie powtarzają zatem zdarzeniami elementarnymi równie prawdopodobnymi będa ombinacje bez powtórzeń. P ( czarnych) C c C n b Cc+b n c b n gdzie Cc jest ilością możliwych wyborów ul z pośród c ul czarnych, C n b jest ilością możliwych wyborów pozostałych n ul z pośród b ul białych a Cc+b n jest ilością możliwych wyborów n ul z pośród c + b ul. Ze zwracaniem Można sobie pomyśleć, że ule mogą się powtarzać zaten zderzeniami elementarnymi będą ombinacje z powtórzeniami P ( czarnych) C c Cn b C n c+b Jest to błąd bo ombinacje z powtórzeniami na ogół nie są równie prawdopodobne. Aby rozwiązać problem losowania ze zwracaniem należy założyć potencjalną rozróżnialność ule i przedstawić proces losowania jao n-stopniowy esperyment tórego równie prawdopodobnymi zdarzeniami elementarnymi są uporządowane wynii olejnych losowań, czyli wariacjami z powtórzeniami. P ( czarnych) V c V n b V n c+b C n c+b n c b n n (c + b) n Iloczyn V c V n b oreśla liczbę możliwych uporządowań ul czarnych oraz (osobno) ul białych. Musimy jeszcze uwzględnić różne możliwość rozmieszczeń ul czarnych pośród n ul białych ich liczba jest ilością ombinacji bez powtórzeń Cn. 5

4 Ostatni wzór z powyższego przyładu możemy przeształcić do postaci c P ( czarnych) c b n n (c + b) n c c + b c c + b n b n c + b c p ( p) n n c + b n n gdzie p c+b jest prawdopodobieństwem wylosowania czarnej uli w pojedyńczym losowaniu. Rozład tai nazywamy rozładem dwumianowym i oreśla on prawdopodobieństwo uzysania sucesów w n niezależnych próbach, z tórych ażda ma stałe prawdopodobieństwo sucesu równe p. Tutaj przez suces rozumiemy wylosowanie uli czarnej. Przyład 4. (Ułady art w poerze). Standardowa talia do gry w poera słada się z 52 art. Każda arta ma dwie cechy: wartość (jest ich ) oaz olor (jest ich 4). Gracz otrzymuje 5 art tóre się nie powtarzają a ich olejność losowania nie jest istotna. Zatem równie prawdopodobnymi zdarzeniami elementarnymi będę ombinacje bez powtórzeń 5 elementowe ze zbioru 52 elementowego. 52 Ω Jaie są prawdopodobieństwa otrzymania w pojedyńczym losowaniu puntowanych uładów art? para art tej samej wartości, pozostałe arty mają różne wartości. P ( para) liczba możliwych wartości tworzących parę 4 2 liczba możliwych ombinacji olorów wybranej pary 2 liczba możliwych ombinacji wartości pozostałych trzech art 4 4 liczba możliwych olorów ażdej z pozostałych art dwie pary o różnych wartościach, pozostała arta musi mieć inna wartość. P (2 pary) liczba możliwych ombinacji wartości tworzących dwie pary 4 2 liczba możliwych ombinacji olorów w ażdej pary liczba możliwych wartości pozostałej arty 4 4 liczba możliwych olorów pozostałej arty 6

5 strit, pięć olejnych co do wartości art, ale nie tego samego oloru bo to już poer. Kombinacja A,2,,4,5 też jest stritem. P (strit) 0( 4 5 4) liczba możliwych ombinacji wartości art w stricie (najniższa artą w stricie może być: A,2,...,0 4 4 liczba możliwych olorów ażdej arty w stricie 4 - liczba ombinacji olorów prowadzących do poera 5 Prawdopodobieństwo warunowe Definicja 5. (Prawdopodobieństwo warunowe). Prawdopodobieństwem warunowym zajścia zdarzenia A pod waruniem, że zaszło zdarzenie B nazywamy: P (A B) P (A B) P (B) jeśli P (B) > 0 Definicja ta jest zgodna z interpretacją częstościową prawdopodobieństwa. Dla sończonej ilości N wyniów esperymentu losowego P (A B) N A B N B N A B/N N B /N N P (A B) P (B) Przyład 5. (Prawdopodobieństwo warunowe). Znajdź prawdopodobieństwo warunowe, że rodzina posiadająca dwóję dzieci ma dwóję chłopców wiedząc, że przynajmniej jedno z dzieci jest chłopcem. Ω {(D C); (D D); (C D); (C C)} gdzie na pierwszym miejscu umieściliśmy dzieco starsze. P (A dwóch chłopców) 4 P (B przynajmniej jeden chłopiec) 4 P (A B) /4 /4 Przyład 5.2 (Prawdopodobieństwo warunowe). Znajdź prawdopodobieństwo warunowe, że rodzina posiadająca dwóję dzieci ma dwóję chłopców wiedząc, że starsze jest chłopcem. Ω {(D C); (D D); (C D); (C C)} gdzie na pierwszym miejscu umieściliśmy dzieco starsze. P (A dwóch chłopców) 4 P (B starszy chłopiec) 2 4 P (A B) /4 2/4 2 7

6 Przyład 5. (Prawdopodobieństwo warunowe). Znajdź prawdopodobieństwo warunowe, że rodzina posiadająca dwóję dzieci ma dwóję chłopców wiedząc, że pierwsze tóre nam przedstawiono jest chłopcem. Ω {(D C); (D D); (C D); (C C)} gdzie na pierwszym miejscu umieściliśmy dzieco tóre nam pierwsze przedstawiono. Rozwiazanie (inny sposób). P (A dwóch chłopców) /4 P (B pierwsze przedstawiono chłopca) 2/4 P (A B) /4 2/4 2 Ω (D C); (D C ); (D D); (D D ); (C D); (C D ); (C C); (C C ) gdzie na pierwszym miejscu umieściliśmy dzieco starsze a to tóre nam pierwsze przedstawiono oznaczono gwiazdą. P (A) 2/8 P (B) 4/8 P (A B) 2/8 4/8 2 W przyładzie 5. warune wyeliminował z przestrzeni zdarzeń elementarnych tylo jedno zdarzenia, podczas gdy w przyładach 5.2 i 5. warune eliminuje połowę zdarzeń elementarnych. Twierdzenie 5. (Prowdopodobieństwo iloczynu zdarzeń). P (A B) P (A B) P (B) o ile P (B) > 0 twierdzenie to wynia wprost z definicji pr. warunowego; obliczenie pr. P (A B) i P (B) jest często łatwiejsze niż bezpośrednie obliczenie pr. P (A B). Przyład 5.4 (Bra oincydencji dnia urodzin). Jaie jest prawdopodobieństwo, że w grupie n losowo wybranych osób wszyscy urodzili się w innym dniu rou? Na podstawie twierdzenia o prawdopodobieństwie ombinatorycznym moglibyśmy stwierdzić, że prawdopodobieństwo taiego zdarzenia wynosi P V 65 n 65 V n (65 n)65 n 65 Niemniej jedna wyorzystajmy prawdopodobieństwo warunowe do rozwiązania tego problemu. B - w grupie osób wszyscy urodzili się w innym dniu A osoba urodziła się w innym dniu niż pozostałe. P (B ) 65/65 Dla grupy dwóch osób prawdopodobieństwo taie wynosi: P (B 2 ) P (A 2 B ) P (A 2 B ) P (B ) 64/65 65/65 Dla grupy trzech osób prawdopodobieństwo taie wynosi: P (B ) P (A B 2 ) P (A B 2 ) P (B 2 ) 6/65 64/65 65/65 8

7 Dla grupy n osób prawdopodobieństwo taie wynosi: P (B n ) P (A n B n ) P (A n B n ) P (B n ) 65 (n ) (65 n)65 n P n n Rysune : Zależność prawdopodobieństwa brau oincydencji dnia urodzin w grupie n osób od liczebności tej grupy. Twierdzenie 5. można łatwo uogólnić na więszą liczbę zdarzeń Twierdzenie 5.2 (Prawdopodobieństwo iloczynu wielu zdarzeń). Dla dowolonych zdarzeń losowych A A 2... A n o ile P (A A 2 A n ) > 0 P (A A 2 A n ) P (A ) P (A 2 A ) P (A A A 2 ) P (A n A A 2 A n ) Dowód. Twierdzenie to wynia z wielorotnego zastosowania twierdzenia 5. Przyład 5.5. W pudełu mamy n ul wśród tórych jest jedna biała a reszta jest czarna. Wybieramy ule z pudeła bez zwracania. Jaie jest prawdopodobieństwo wylosowania uli białej w -tym losowaniu? A i - w i-tym losowaniu wybrano ulę czarną 9

8 B i - w i-tym losowaniu wybrano ulę białą C A A 2 A B P (C) P (A ) P (A 2 A ) P (B A A 2 A ) n n n 2 n n n 2 n ( ) n ( ) + n ( ) n Prawdopodobieństwo wylosowania uli białej w ażdym losowaniu jest taie samo. Twierdzenie 5. (Prawdopodobieństwo całowite). Niech C C 2 Ω P (C i ) > 0 i 2... C i i C j sa rozłaczne i j C C 2 Ω wtedy, dla dowolnego A Ω zachodzi: Dowód. P (A) P (A C )P (C ) + P (A C 2 )P (C 2 ) + P (A C i ) P (C i ) i P (A) P (A Ω) P (A (C C 2 )) P ((A C ) (A C 2 ) ) P (A C ) + P (A C 2 ) + P (A C )P (C ) + P (A C 2 )P (C 2 ) + Przyład 5.6. Dane są trzy identyczne pudeła, o tórych wiadomo, że w jednym znajdują się dwie ule białe, w drugim jedna ula czarna i jedna biała a w trzecim dwie ule czarne. Do losowo wybranego pudeła dodajemy ulę białą a następnie losujemy z niego jedną ulę. Jaie jest pr., że wylosowano ulę białą? C - wylosowano pierwsze pudeło C 2 - wylosowano drugie pudało C - wylosowano trzecie pudeło A - wylosowano białą ulę Zdarzenia C C 2 i C są parami rozłączne oraz C C 2 C Ω zatem P (A) P (A C )P (C ) + P (A C 2 )P (C 2 ) + P (A C )P (C )

9 Twierdzenie 5.4 (Twierdzenie Bayes a). Niech A B Ω taimi, że P (A) > 0 P (B) > 0 wtedy, zachodzi: P (B A) P (A B)P (B) P (A) Dowód. Zatem P (A B) P (A B)P (B) P (B A)P (A) P (B A) P (A B)P (B) P (A) Przyład 5.7 (Twierdzenie Bayes a). Dane są trzy identyczne pudeła, o tórych wiadomo, że w jednym znajdują się dwie ule białe, w drugim jedna ula czarna i jedna biała a w trzecim dwie ule czarne. Do losowo wybranego pudeła dodajemy ulę białą a następnie losujemy z niego jedną ulę. Jaie jest pr., że losowano z trzeciego pudeła jeśli wylosowano ulę białą? C - wylosowano pierwsze pudeło C 2 - wylosowano drugie pudało C - wylosowano trzecie pudeło A - wylosowano białą ulę Z poprzedniego przyładu P (A) 2/ Teraz interesuje nas prawdopodobieństwo warunowe P (C A) z twierdzeniem Bayes a mamy P (C A) P (A C )P (C ) P (A) / / 2/ Przyład 5.8 (parados Monty Halla (idź na całość)). Uczestni teleturnieju stoi przed trzema zasłoniętymi bramami. Za jedną z nich jest nagroda (umieszczana za bramami całowicie losowo). Gracz wybiera jedną z brame. Prowadzący program odsłania inną bramę (zawsze pustą), po czym proponuje graczowi zmianę pierwotnego wyboru. Czy gracz powinien pozostać przy swoim pierwotnym wyborze? A- nagroda znajduje się za bramą A B- nagroda znajduje się za bramą B C- nagroda znajduje się za bramą C 6 P (A) P (B) P (C) Gracz wybrał bramę A a prowadzący odsłonił pustą bramę B B - prowadzący wsaże, że brama B jest pusta Zdarzenia A B C są parami rozłączne oraz A B C Ω 2

10 . P (A B ) P (B A)P (A) P (B ) P (B A)P (A) P (B A)P (A) + P (B B)P (B) + P (B C)P (C) P (C B ) P (B C)P (C) P (B ) P (B C)P (C) P (B A)P (A) + P (B B)P (B) + P (B C)P (C) Zmiana pierwotnego wyboru dwurotnie zwięsza szansę wygrania nagrody. Definicja 5.2 (Niezależność zdarzeń). Zdarzenia A B Ω nazywamy niezależnymi jeśli Definicje 6. wyorzystujemy w dwojai sposób: P (A B) P (A) P (B) Obliczamy obie strony równania aby stwierdzić zależność lub niezależność zdarzeń Załadając niezależność zdarzeń A i B możemy obliczyć P (A B) Twierdzenie 5.5 (Niezależność zdarzeń). Jesli A B Ω sa niezależne to P (A) P (B) P (A B) P (A B)P (B) P (A) P (A B) P (A) P (B) P (A B) P (B A)P (A) P (B) P (B A) Jeśli zdarzenia są niezależne to fat zajścia jednego z tych zdarzeń nie zmienia prawdopodobieństwa zajścia drugiego. 22