Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Transkrypt

1 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna to tworzymy k-wyrazową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego, gdzie k n. Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

2 Ćw.2. Określ, dla jakiej wartości k wariacja k-wyrazowa bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest permutacją tego zbioru. Ćw.3. Do windy zatrzymującej się na ośmiu piętrach wsiadły trzy osoby. Oblicz, na ile sposobów te osoby mogą opuścić windę, jeśli każda z nich wysiada na innym piętrze. Wariacje 2z6

3 Ćw.4. Oblicz, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych o niepowtarzających się cyfrach. Ćw.5. Rozwiąż równanie V n 2 =210, jeśli n N +. Przykład 12*, Za pomocą cyfr l, 2, 3, 4, 5, 6, 7 zapisujemy trzycyfrowe liczby o niepowtarzających się cyfrach i w sposób losowy wybieramy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wybierzemy liczbę parzystą. Ćw.6*. Uwzględniając dane z poprzedniego przykładu, oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowana liczba jest nieparzysta. Zadania utrwalające Zad.1. Z grupy pięciu osób należy wybrać trzy osoby na trzy różne niezależne stanowiska. Oblicz, na ile sposobów można to zrobić. Zad.2 Na cztery różne posady zgłosiło się piętnastu kandydatów. Ile jest różnych sposobów obsadzenia tych stanowisk? Zad.3 Ile jest różnych możliwości wrzucenia trzech listów do siedmiu skrzynek pocztowych, jeżeli do jednej skrzynki można wrzucić tylko jeden list? Zad.4 Na torze wyścigowym jest dziesięć boksów startowych, po jednym dla każdego konia. W wyścigu bierze udział sześć koni. Oblicz, ile jest możliwości ustawienia koni w boksach na starcie. Zad. 5 Kod alarmu składa się z czterech różnych cyfr wybranych spośród cyfr od l do 9. Oblicz, ile jest możliwości utworzenia kodu. Zad.6 Oblicz, ile można wykonać różnych trójkolorowych chorągiewek z pasków w sześciu kolorach. Zad.7* Na każdej z sześciu kul znajdujących się w kapeluszu zapisana jest jedna z liter: A, E, O, B, L, T. Losujemy kolejno cztery razy po jednej kuli, zapisujemy obok siebie wylosowane litery, tak że powstaje czteroliterowe słowo. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że: a) otrzymamy słowo ABEL lub BELA, b) pierwszą literą otrzymanego słowa jest litera A, Wariacje 3 z 6

4 c) w otrzymanym słowie nie wystąpi litera B. Zad. 8* Z cyfr 1,2,3,4 tworzymy liczby jedno-, dwu-, trzy- i czterocyfrowe o niepowtarzających się cyfrach. Każdą z otrzymanych liczb zapisujemy na oddzielnej kartce i kartki wrzucamy do pudełka, z którego następnie losujemy jedną kartkę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że na wylosowanej kartce jest zapisana liczba: a) trzycyfrowa, b) dwucyfrowa lub trzycyfrowa, c) która nie jest czterocyfrowa. Wariacje z powtórzeniami Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna, to tworzymy k-wyrazową wariację z powtórzeniami zbioru n-elementowego, gdzie liczba k może być liczbą większą od n. DEF: Wariacją k-wyrazową z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy danego zbioru. Ćw.7. Z urny (rysunek obok) zawierającej cztery kule różnych kolorów losujemy po jednej kuli, zapisujemy jej kolor i ponownie wrzucamy ją do urny. Oblicz, ile możliwych wyników losowania, jeśli: a) k = 2, b) k = 3, c) k = 5. kolejno k razy jest wszystkich Wariacje 4 z 6

5 Rozwiązanie.* Ponieważ każdej z pięciu osób przyporządkowujemy numer piętra, na którym ona wysiada, to zdarzeniami elementarnymi tego doświadczenia będą ciągi pięcioelementowe o wyrazach niekoniecznie różnych, wybranych ze zbioru ośmioelementowego, którego elementami są numery pięter. Każde takie przyporządkowanie jest pięciowyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru ośmioelementowego, więc Liczba sposobów wysiadania każdej z pięciu osób na innym piętrze jest równa liczbie pięcioelementowych wariacji bez powtórzeń, czyli Jeśli wszystkie osoby wysiądą na szóstym piętrze, to mamy tylko jeden taki ciąg (VI, VI, VI, VI, VI), który jest zdarzeniem elementarnym sprzyjającym zdarzeniu B. Jeżeli wszyscy wysiądą na tym samym piętrze, to mamy osiem ciągów: (I, I, I, I, I),..., (VIII, VIII, VIII, VIII, VIII), które są zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi zdarzeniu C. Wariacje 5 z 6

6 Ćw.8*. Trzy dziewczynki z klasy Illb obchodzą urodziny w tym samym tygodniu. Oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że każda z nich obchodzi urodziny w innym dniu tygodnia zdarzenia B, że wszystkie trzy obchodzą urodziny w środę zdarzenia C, że wszystkie trzy obchodzą urodziny tego samego dnia. Zadania utrwalające Zad. 1 Cztery osoby wsiadają do pociągu składającego się z trzech wagonów. Oblicz, na ile sposobów mogą to uczynić. Zilustruj to doświadczenie grafem. Zad.2 Oblicz, ile jest różnych liczb trzycyfrowych, które można zapisać za pomocą cyfr l, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Zad.3. Ile jest liczb czterocyfrowych, w których zapisie nie występuje cyfra 0? Zad.4. Określ, ile może być wszystkich siedmiocyfrowych numerów telefonicznych, jeśli na pierwszej pozycji numeru nie może stać cyfra 0. Zad.5. Oblicz, na ile sposobów możesz wypełnić test złożony z dziesięciu pytań, jeżeli na każde pytanie możesz odpowiedzieć tak" lub nie". Zad.6. Rzucamy 3 razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że w każdym rzucie wypadła inna liczba oczek zdarzenia B, że w każdym rzucie wypadła ta sama liczba oczek. Zad.7. Kierowca nocnego autobusu zauważył, że jedzie z nim siedmiu pasażerów. Po zatrzymaniu się na trzech kolejnych przystankach, na których nikt nie wsiadł, spostrzegł, że w autobusie nie ma już pasażerów. Oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że wszyscy pasażerowie wysiedli na drugim przystanku zdarzenia B, że wszyscy pasażerowie wysiedli na tym samym przystanku. Zad.8. Na peronie dworca kolejowego czekało 5 osób. Nadjechał pociąg złożony z sześciu wagonów. Oblicz prawdopodobieństwo: zdarzenia A, że każda osoba wsiądzie do innego wagonu zdarzenia B, że wszystkie osoby wsiądą do jednego wagonu. Wariacje 6 z 6