DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY

DRGANIA OSCYLATOR HARMONICZNY wyklad 8 017/018, zima 1

Własności sprężyste ciał stałych Przedmiot: Fizyka naprężenie rozciągające naprężenie ścinające naprężenie objętościowe Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia naprężenie to siła odkształcająca odniesiona do jednostki pola powierzchni, na jaką działa naprężenie = (moduł sprężystości) (odkształcenie) gdy próbka powraca do pierwotnych wymiarów po usunięciu naprężenia wyklad 8 017/018, zima

Rozciąganie i ściskanie Naprężenie σ definiuje się jako: Przedmiot: Fizyka gdzie F jest wartością siły przyłożonej do ciała w miejscu, w którym ciało ma pole S przekroju prostopadłego do kierunku działania siły Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa ΔL/L względna zmiana długości W granicach sprężystości czyli dla małych odkształceń obowiązuje prawo Hooke a E- moduł Younga F S L E L wyklad 8 017/018, zima 3 F S

Materiał Gęstość ρ (kg/cm 3 ) Moduł Younga E (10 9 N/m ) Naprężenie niszczące (10 6 N/m ) Przedmiot: Fizyka Wybrane własności sprężyste pewnych materiałów Granice sprężystości (10 6 N/m ) Stal a 7860 00 400 50 Al 710 70 110 95 Beton c 30 30 40 b - Kość 1900 9 b 170 b - a stal konstrukcyjna ASTM-A36, b przy ściskaniu, c o dużej wytrzymałości wyklad 8 017/018, zima 4

Naprężenie ścinające Przedmiot: Fizyka W przypadku odkształcenia poprzecznego (ścinania) naprężenie σ definiuje się również jako: F S ale siła działa równolegle do powierzchni S Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa Δx/L F S G x L moduł ścinania wyklad 8 017/018, zima 5

Naprężenie objętościowe Przedmiot: Fizyka Naprężeniem jest ciśnienie p cieczy p F S Jednostką ciśnienia jest 1 Pa = 1N/m Miarą odkształcenia jest względna zmiana objętości ΔV/V p V K V K - moduł sprężystości objętościowej lub moduł ściśliwości wyklad 8 017/018, zima 6

Przykład 1 Na dnie Oceanu Spokojnego, którego średnia głębokość jest równa około 4000 m, panuje ciśnienie 4,0 10 7 N/m. Ile wynosi, związana z tym ciśnieniem, względna zmiana objętości ΔV/V wody a ile kulki wykonanej ze stali? Moduł ściśliwości wynosi, 10 9 N/m dla wody, a dla stali 16 10 10 N/m. Rozwiązanie: V V p K V V 4 10 dla wody 1,8 % 7, 10 9 dla kuli stalowej V V 4 10 16 10 7 10 0,05% wyklad 8 017/018, zima 7

Oscylator harmoniczny siła harmoniczna F kx siła F proporcjonalna do wychylenia x z położenia równowagi zwrot siły: do położenia równowagi F S L E L k = ES / L k k k k Przedmiot: Fizyka Tylko dla małych wychyleń x z położenia równowagi!!! wyklad 8 017/018, zima 8

Równanie ruchu otrzymujemy z II zasady dynamiki Newtona F wyp ma m d otrzymujemy ogólne równanie różniczkowe oscylatora harmonicznego równanie drugiego rzędu o stałych współczynnikach, jednorodne dt x F wyp porównując i przekształcając wyklad 8 017/018, zima 9 d dt x m kx Po podzieleniu przez d x m, przyjmując, że o mamy x 0 k m dt F o kx 0

Przypomnienie: Równanie oscylatora harmonicznego d dt x m kx 0 wyprowadziliśmy również z zasady zachowania energii mechanicznej wyklad 8 017/018, zima 10

oscylator harmoniczny prosty (bez tłumienia i bez wymuszenia) d x o x dt 0 częstość drgań własnych Częstość drgań własnych zależy wyłącznie od parametrów układu drgającego. Dla układu masa m sprężyna o stałej sprężystości k: k o m Wzór ten pozwala zawsze określić okres drgań T T wyklad 8 017/018, zima 11 o m k

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego prostego czas t Okres ruchu T = czas, w jakim wykonywane jest jedno pełne drganie T 1 Przedmiot: Fizyka x(t) xm cos( t ) wychylenie z położenia równowagi amplituda faza częstość faza początkowa Amplituda = wartość bezwzględna maksymalnego wychylenia z położenia równowagi częstotliwość = liczba drgań (cykli) na sekundę (jednostka 1Hz) wyklad 8 017/018, zima 1

Prędkość w ruchu harmonicznym dx(t) d v(t) xm cos( t ) dt dt v(t) xmsin( t ) Przyspieszenie dv(t) d a(t) xmsin( t ) dt dt a(t) x m cos( t ) czas t wyklad 8 017/018, zima 13 a W ruchu harmonicznym przyspieszenie jest proporcjonalne do przemieszczenia ale ma przeciwny znak x

Sprawdzenie czy proponowana funkcja x(t) xm cos( t ) jest rozwiązaniem równania ogólnego: d x o x 0 dt Należy podstawić: d x a x dt do równania ogólnego Otrzymujemy: x x 0 o z czego wynika, że Częstość drgań ω prostego oscylatora harmonicznego jest o równa częstości drgań własnych ω o wyklad 8 017/018, zima 14

Siła w ruchu harmonicznym przyspieszenie a x Z II zasady dynamiki: F wyp ma m x ale siła harmoniczna: F kx k m Wiemy, że o k m czyli jeszcze raz: o wyklad 8 017/018, zima 15

wyklad 8 017/018, zima 16 Przedmiot: Fizyka Energia w ruchu harmonicznym energia potencjalna sprężystości energia kinetyczna x k E p ) t ( cos kx 1 E m p v m E k ) t ( sin x m 1 E m k

Całkowita energia w ruchu harmonicznym E E p E k 1 kx m cos ( t ) 1 m x m sin ( t ) ale k m czyli E 1 kx m cos ( t ) sin ( t ) kx const 1 m Całkowita energia mechaniczna prostego oscylatora harmonicznego jest zachowana wyklad 8 017/018, zima 17

Zależność energii oscylatora od wychylenia z położenia równowagi E p E x k E parabola k E p odwrócona parabola wyklad 8 017/018, zima 18 E E k k 1 1 kx m k(x m 1 x kx )

Przy przechodzeniu przez położenie równowagi: prędkość jest największa przyspieszenie wynosi zero siła wynosi zero energia kinetyczna jest największa Przy maksymalnym wychyleniu z położenia równowagi: prędkość wynosi zero i zmienia znak przyspieszenie jest największe siła jest maksymalna energia potencjalna jest największa wyklad 8 017/018, zima 19

PRZYKŁADY OSCYLATORÓW HARMONICZNYCH wyklad 8 017/018, zima 0

Wahadło torsyjne moment kierujący κ zależy od długości, średnicy i materiału z jakiego wykonano drut I d dt równanie ruchu z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego wyklad 8 017/018, zima 1

Wahadło torsyjne I d dt d I dt 0 d dt I 0 d o dt 0 równanie oscylatora harmonicznego wyklad 8 017/018, zima o I

Wahadło torsyjne o I T o I okres drgań wahadła torsyjnego wyklad 8 017/018, zima 3

Wahadło torsyjne służy do wyznaczania momentu bezwładności brył o dowolnych nieregularnych kształtach Przykład. Na rysunku przedstawiono cienki pręt o o długości L=1,4 cm i masie m=135 g zawieszony w środku na długim drucie. Zmierzony okres T a drgań torsyjnych pręta wynosi,53 s. Następnie na tym samym drucie zawieszono ciało X o nieregularnym kształcie i zmierzono okres T b, który wynosi 4,76 s. Wyznaczyć moment bezwładności ciała X względem osi, wokół której zachodzą drgania. Dane: L=1,4 cm=0,14 m m=135 g= 0,135 kg T a =,53 s T b =4,76 s Szukane: I b wyklad 8 017/018, zima 4

Rozwiązanie: Okres drgań wahadła torsyjnego z prętem: T a Ia Okres drgań wahadła torsyjnego z ciałem X: T b Ib Szukany moment bezwładności: T 1 T Ib Ia ml T 1 T b a b a wyklad 8 017/018, zima 5 I b Odpowiedź: 6,1 10 4 kg m

Wahadło matematyczne Ruch powoduje moment siły ciężkości: L(F g sin ) Lmgsin znak minus oznacza, że moment siły powoduje zmniejszenie kąta θ Korzystając z II zasady dynamiki dla ruchu obrotowego: I-moment bezwładności wahadła względem punktu zawieszenia I I d dt wyklad 8 017/018, zima 6

Wahadło matematyczne Zakładamy, że kąt θ jest mały (małe drgania) czyli sin θ θ : Lmg wyklad 8 017/018, zima 7 Równanie oscylatora harmonicznego: Częstość drgań: d I dt o Lmg Lmg I 0

Wahadło matematyczne o Lmg I ale I ml Częstość nie zależy od masy o g L Okres T nie zależy od masy T L g wzór prawdziwy dla małej amplitudy drgań wyklad 8 017/018, zima 8

Wahadłem fizycznym jest każda bryła sztywna w ruchu drgającym Wahadło fizyczne mghsin d dt IO d IO dt mgh sin dla małych kątów θ mgh 0 o mgh I O I śm mgh mh wyklad 8 017/018, zima 9

Wahadło fizyczne Przedmiot: Fizyka Wahadło fizyczne służy do wyznaczania przyspieszenia grawitacyjnego g w różnych miejscach na Ziemi i nie tylko T I mh mgh śm Przykład 3. Przymiar metrowy wykonuje drgania wokół punktu zawieszenia O, znajdującego się na jednym z jego końców, w odległości h od jego środka masy C jak na rysunku. Mierząc okres drgań T, wyznaczyć przyspieszenie g w tym punkcie na Ziemi. Rozwiązanie: T I 1 3 śm mg ml L 1 1 ml g wyklad 8 017/018, zima 30 h 8 L 3 T L

T L 3 g Wahadło fizyczne Każdemu wahadłu fizycznemu, drgającemu wokół danego punktu zawieszenia O z okresem T odpowiada wahadło matematyczne o długości L o drgające z tym samym okresem T. Wielkość L o nazywamy długością zredukowaną wahadła fizycznego. Punkt znajdujący się w odległości L o od punktu zawieszenia O nazywamy środkiem wahań wahadła fizycznego dla danego punktu zawieszenia. Przykład 4. Znaleźć długość zredukowaną wahadła z poprzedniego przykładu i wyznaczyć środek wahań. czyli L o 3 L środek wahań znajduje się w punkcie P wyklad 8 017/018, zima 31

ZADANIE DOMOWE 8.1 Przedmiot: Fizyka Na rysunku przedstawiono pingwina skaczącego do wody z trampoliny mającej postać jednorodnej wąskiej deski, której lewy koniec jest zamocowany na zawiasie, a prawy jest oparty na sprężynie. Deska ma długość L=m i masę m=1 kg; stała sprężystości k wynosi 1300 N/m. Gdy pingwin skacze do wody, deska i sprężyna zaczynają wykonywać drgania o małej amplitudzie. Zakładamy, że deska jest wystarczająco sztywna by się nie uginać. Wyznaczyć okres T drgań. HRW, wyklad 8 017/018, zima 3

-kx V Oscylator harmoniczny tłumiony F o Siła oporu = siła Stokesa stała tłumienia siła wypadkowa F bv o F w z II zasady dynamiki czyli ma bv bv wyklad 8 017/018, zima 33 d dt x m bv kx kx kx

d dt x Przedmiot: Fizyka Równanie ogólne oscylatora harmonicznego tłumionego d x dx m b kx 0 dt dt d x 1 dx dt dt b dx k x 0 ox 0 m dt m b m 1 m b lub wyklad 8 017/018, zima 34 czas relaksacji d x dx ox dt dt współczynnik tłumienia 0

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego d x dx ox 0 dt dt Dla małych wartości współczynnika tłumienia, proponujemy rozwiązanie periodyczne, w którym amplituda oscylacji maleje wykładniczo z czasem x(t) e t z(t) a z(t) jest rozwiązaniem prostego oscylatora harmonicznego wyklad 8 017/018, zima 35

Sprawdzamy, czy funkcja równania x(t) d x dx ox 0 dt dt e t z(t) jest rozwiązaniem Umowa: dx dt e t z(t) e t z(t) z (t) dz dt z(t) d z dt d dt x e t z e t z(t) e t z Użyteczne twierdzenie: fg '' f ''g f 'g' fg' ' z z 0 o ω Jest to równanie oscylatora harmonicznego prostego gdy wtedy z(t) Acos t o wyklad 8 017/018, zima 36

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego x(t) x m bt exp cos m t amplituda zależna od czasu o o b m częstość drgań różna od częstości drgań własnych i zależna od tłumienia tlumiony-.xls wyklad 8 017/018, zima 37

Rozwiązanie równania oscylatora harmonicznego tłumionego w postaci periodycznej x(t) Aexp( t)cos jest możliwe tylko dla małych tłumień, tzn. gdy t o ze względu na warunek o 0 Przypadek o nazywamy krytycznym Dla o mamy rozwiązanie aperiodyczne wyklad 8 017/018, zima 38

A(t) Logarytmiczny dekrement tłumienia x m bt exp m A o bt exp m A o A(t 0) Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ jest to logarytm naturalny ze stosunku kolejnych amplitud A(t T) ln A(t) A ln A ln wyklad 8 017/018, zima 39 e n n1 (tt) e t T współczynnik tłumienia b m

ZADANIE DOMOWE 8. Zastanowić się nad interpretacją fizyczną czasu relaksacji. Obliczyć ile razy zmaleje amplituda drgań oscylatora tłumionego w stosunku do amplitudy początkowej w czasie równym czasowi relaksacji. wyklad 8 017/018, zima 40

Straty mocy a współczynnik dobroci Q Współczynnik dobroci Q układu drgającego jest to z definicji iloczyn π i stosunku energii zmagazynowanej do średniej energii traconej w jednym okresie T energia zmagazynowana Q energia tracona w T Dla słabo tłumionego oscylatora harmonicznego Q o Wielkość o lub Q jest odpowiednią miarą braku tłumienia oscylatora. Duże o lub duże Q oznacza, że oscylator jest słabo tłumiony, np. dla struny fortepianu Q 10 3, dla atomu wzbudzonego Q 10 7 wyklad 8 017/018, zima 41

ZADANIE DOMOWE 8.3 W jakim czasie energia oscylatora harmonicznego tłumionego zmniejsza się do e -1 swej wartości początkowej? Ile pełnych drgań wykona w tym czasie oscylator? wyklad 8 017/018, zima 4

Oscylator harmoniczny z wymuszeniem - rezonans Zakładamy periodyczne wymuszenie w postaci siły wymuszającej danej jako: F(t) Fo sin t częstość wymuszenia Równanie oscylatora harmonicznego z tłumieniem i wymuszeniem ma postać: d x m b dt dx dt kx F o sin( t) wyklad 8 017/018, zima 43

Oscylator harmoniczny z wymuszeniem cd. lub po podzieleniu przez masę: d dt x b m dx dt k m x Fo m sin( t) i wprowadzeniu standardowych oznaczeń: d x dt 1 dx dt o x 0 sin( t) W stanie ustalonym drgania oscylatora zachodzą z częstością wymuszenia ω wyklad 8 017/018, zima 44

Oscylator harmoniczny z wymuszeniem cd. Rozwiązaniem równania: d x 1 dx ox 0 sin( t) dt dt jest: x(t) xo( )sin( t ( )) Otrzymujemy drgania niegasnące, jak dla prostego oscylatora harmonicznego, o amplitudzie niezależnej od czasu, ale amplituda x o jest funkcją częstości wymuszenia przesunięcie fazowe nie jest dowolną stałą lecz jest również ściśle określone przez częstość wymuszenia wyklad 8 017/018, zima 45

Przesunięcie fazowe φ(ω) mówi nam, o jaki kąt maksimum przemieszczenia x wyprzedza maksimum siły wymuszającej F. x(t) xo( )sin( t ( )) F(t) Fo sint 1,50 1,00 x φ=-π/ 0,50 Sila 0,00 0,00 1,00,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,00 8,00 9,00 10,00 Serie1 Serie -0,50-1,00-1,50 wymuszony.xls wyklad 8 017/018, zima 46

Można pokazać, że: amplituda drgań x o / 1 o o przesunięcie fazowe tg / o zależą w określony sposób od częstości drgań wymuszony.xls wyklad 8 017/018, zima 47

Rezonans występuje amplituda osiąga wartość maksymalną co w praktyce oznacza gdy częstość wymuszenia zbliża się do częstości drgań własnych o x o / 1 x o o Położenie maksimum amplitudy wychylenia x o zależy od tłumienia ω/ω o wyklad 8 017/018, zima 48

Przykład 5. Znaleźć warunek rezonansu w przypadku gdy: a) rozważamy maksymalną amplitudę wychylenia x max, b) rozważamy maksymalną amplitudę prędkości v max. Rozwiązanie: dx o d a) d d? x o / 1 o rez o wyklad 8 017/018, zima 49 o Wystarczy znaleźć minimum mianownika d d f ( rez ) f ( ) f ( ) 0 o / ( ) o / dla 1

rez o 1 Częstość rezonansu w przypadku (a) zależy od współczynnika tłumienia Gdy tzn. przy braku tłumienia: rez o Amplituda drgań x o o ( rez ) 1 / o 0 wyklad 8 017/018, zima 50

b) amplituda prędkości x(t) xo( )sin( t ( )) d v(t) x(t) xo( )cos( t ( )) dt v max x o ( ) v max / 1 o o dv max d? wyklad 8 017/018, zima 51

ZADANIE DOMOWE 8.4 dv max d Znaleźć Pokazać, że częstość, przy której występuje maksimum amplitudy prędkości jest równa częstości drgań własnych, niezależnie od tłumienia. wyklad 8 017/018, zima 5

Kiedy obserwujemy rezonans tego typu? Przedmiot: Fizyka Najczęściej w obwodach LRC, mierząc natężenie w obwodzie. Oscylator mechaniczny Obwód LRC wychylenie z położenia równowagi, x ładunek elektryczny, q prędkość v=dx/dt natężenie prądu i=dq/dt masa, m indukcyjność, L stała sprężystości, k odwrotność pojemności, 1/C stała tłumienia, b rezystancja, R siła, F napięcie, U wyklad 8 017/018, zima 53

Krzywa rezonansowa dla amplitudy prędkości Położenie maksimum krzywej rezonansowej dla amplitudy natężenia prądu i o nie zależy od tłumienia (oporu) R wyklad 8 017/018, zima 54

Składanie drgań harmonicznych zachodzących w tym samym kierunku x 1 (t)=a 1 cos(ω 1 t+φ 1 ) x (t)=a cos(ω t+φ ) x w (t)=x 1 (t)+x (t) zachodzących w kierunkach wzajemnie prostopadłych x(t)=a x cos(ω x t+φ x ) y(t)=a y cos(ω y t+φ y ) krzywa y(x) wyklad 8 017/018, zima 55

Wygaszanie i wzmacnianie drgań zachodzących w jednym kierunku Załóżmy: (t) Acos( t) (t) Acos( t ) x 1 x drgania o tej samej amplitudzie A zachodzą z tą samą częstością ω, lecz mogą być przesunięte w fazie o φ W wyniku złożenia otrzymujemy: x wyp x1(t) x(t) Acos cos( t ) drgania o amplitudzie zależnej od φ wyklad 8 017/018, zima 56

x wyp x1(t) x(t) Acos cos( t ) dla φ=π, x wyp =0 całkowite wygaszenie drgań dla φ=π, x wyp = A cos (ωt) dwukrotny wzrost amplitudy drgań - wzmocnienie wyklad 8 017/018, zima 57

Dudnienia Nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach (t) y 1 y (t) A sin( A sin( )t )t y y1 y A sin( Korzystając ze wzoru trygonometrycznego: sin( ) sin cos cos )t sin sin( ) t Otrzymujemy: y A cos( t)sin t drgania o modulowanej amplitudzie wyklad 8 017/018, zima 58

Składanie drgań harmonicznych w kierunkach wzajemnie prostopadłych Krzywe Lissajous Jules Antoine Lissajous (18-1880) po raz pierwszy zademonstrował krzywe w roku 1857 Przykład 6. Znaleźć wynik złożenia drgań prostopadłych opisanych równaniami: x(t) A x sin t y(t) A y sin( t ) gdy: φ=0, φ=90 o, φ=180 o liss-prez.xls wyklad 8 017/018, zima 59

y(t) Elipsa jest wynikiem złożenia drgań: A y(t) y x(t) A x sin t A y sin( t x(t) A x sin t sin( t ) A y ) Rozwiązanie analityczne: cos( t) x (t) sin A x t y (t) x (t) y (t) cos t 1 A A A y x y równanie elipsy wyklad 8 017/018, zima 60

PODSUMOWANIE Oscylator harmoniczny: małe drgania (mała amplituda drgań) oraz małe tłumienia Energia jest zachowana jeśli nie ma tłumienia Tłumienie powoduje spadek amplitudy w funkcji czasu i straty energii Oscylator wymuszony charakteryzuje się amplitudą zależną od częstości wymuszenia i może wykazywać rezonansowy wzrost amplitudy wyklad 8 017/018, zima 61