RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek
Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję dwóch zmiennych, która parze (i, j) przyporządkowuje dokładnie jeden element a ij, przy czym i = 1, 2,, m, natomiast j = 1, 2,, n Tworzy się w ten sposób zbiór m n elementów umieszczonych w tablicy o m wierszach i n kolumnach a 11 a 12 a 1j a 1n a 21 a 22 a 2j a 2n A = a i1 a i2 a ij a in a m1 a m2 a mj a mn Ogólnie dany element macierzy a ij może być np liczbą rzeczywistą, liczbą zespoloną, operatorem (np różniczkowania, całkowania), funkcją lub wektorem
Czym jest macierz? Inny zapis A = {a ij}, gdzie: i = 1, 2,, m, j = 1, 2,, n [m n] [m n] - wymiary macierzy (liczba wierszy, liczba kolumn) i - indeks numeracji wierszy j - indeks numeracji kolumn Dalsze rozważania ograniczymy wyłącznie do macierzy rzeczywistych, tzn dla których element a ij jest liczbą rzeczywistą
Macierz kwadratowa, diagonalna, jednostkowa Jeśli m n to macierz A nazywamy prostokątną Jeśli m = n = N to macierz A nazywamy kwadratową (stopnia N) Przekątna główna macierzy kwadratowej A składa się z elementów [n n] a ii, gdzie i = 1, 2,, n Macierz kwadratowa A, w której wszystkie [n n] elementy poza przekątną główną są zerowe, nazywa się macierzą diagonalną (oznaczoną D) Jeśli wszystkie elementy macierzy diagonalnej mają wartość 1, to taka macierz stanowi macierz jednostkową (oznaczoną I) a 11 0 0 1 0 0 D = 0 a 22 0 [n n] I = 0 1 0 [n n] 0 0 a nn 0 0 1 D = diag(a ii ) { 0 dla i j I = {δ ij}, gdzie δ ij = [n n] 1 dla i = j δ ij symbol Kroneckera
Macierz transponowana Macierz A T jest transponowana względem macierzy A, jeśli a ij = a T ji (wiersze zamieniamy z kolumnami) a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 A = [m n] a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Właściwości macierzy transponowanej: ( ) 1 A T T = A A T [m n] = 2 (αa) T = αa T, α liczba rzeczywista 3 (A + B) T = A T + B T 4 (A B) T = B T A T a 12 a 22 a m2 a 1n a 2n a mn
Macierz symetryczna i antysymetryczna Jeśli dla macierzy kwadratowej macierz A jest symetryczna A zachodzi związek A = A T to [n n] Jeśli dla macierzy kwadratowej A zachodzi związek A = A T to [n n] macierz A jest antysymetryczna (skośnie symetryczna) Przykład: 4 3 2 3 1 1 2 1 5 0 4 2 4 0 5 2 5 0 Macierz symetryczna i antysymetryczna Jeśli A jest macierzą kwadratową to: 1 A + A T jest macierzą symetryczną, 2 A A T jest macierzą antysymetryczną Jeśli A jest dowolną macierzą prostokątną i S = A A T, to S jest macierzą symetryczną
Macierz trójkątna Macierzą trójkątną nazywamy macierz o postaci: l 11 0 0 u 11 u 21 u 1n l 21 l 22 0 0 u 22 u 2n L = U = l n1 l n2 l nn 0 0 u nn L jest macierzą dolnotrójkątną (trójkątną lewą) U jest macierzą górnotrójkątną (trójkątną prawą) Suma, iloczyn i odwrotność macierzy dolnotrójkątnych (górnotrójkątnych) tworzy ponownie macierz dolnotrójkątną (górnotrójkątną) Jeżeli przynajmniej jeden z elementów na przekątnej głównej macierzy trójkątnej jest równy 0 wówczas macierz ta jest osobliwa
Równość, dodawanie, odejmowanie macierzy Dwie macierze A i B są równe, jeśli odpowiednie elementy są [m n] [m n] sobie równe, tzn a ij = b ij dla i = 1, 2,, m i j = 1, 2,, n Sumą lub różnicą dwóch macierzy nazywamy macierz A i [m n] B [m n] C, gdzie c ij = a ij ± b ij : [m n] C = A ± B = c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n = a 11 ± b 11 a 12 ± b 12 a 1n ± b 1n a 21 ± b 21 a 22 ± b 22 a 2n ± b 2n c m1 c m2 c mn a m1 ± b m1 a m2 ± b m2 a mn ± b mn 1 Przemienność dodawania: A + B = B + A 2 Łączność dodawania i odejmowania: (A ± B) ± C = A ± (B ± C) 3 A + 0 = A
Mnożenie macierzy przez liczbę Iloczyn (αa lub Aα) macierzy A i liczby α tworzy macierz: αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa = Aα = {αa ij } = αa m1 αa m2 αa mn 1 1 A = A 2 0 A = 0 3 α(βa) = (αβ)a 4 (α + β)a = αa + βa 5 α(a + B) = αa + αb
Mnożenie macierzy przez macierz Iloczyn dwóch macierzy c ik = A i [m n] B tworzy macierz [n p] C, gdzie: [m p] n a ij b jk dla i = 1, 2,, m i k = 1, 2,, p j=1 Przykład: 1 4 2 2 1 2 3 0 1 0 0 5 c 11 = C = [m p] A [m n] 2 1 1 3 2 0 0 4 B [n p] = 2 21 10 5 2 19 4 a 1j b j1 = a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 13 b 31 + a 14 b 41 j=1 = ( 1) 2 + 4 1 + 2 ( 2) + ( 2) 0 = 2 ( ) 4 c 32 = a 3j b j2 = a 31 b 12 + a 32 b 22 + a 33 b 32 + a 34 b 42 j=1 = ( 1) ( 1) + 0 3 + 0 0 + 5 ( 4) = 19
Właściwości mnożenia macierzy 1 Mnożenie A B może być wykonalne, natomiast mnożenie B A może być niewykonalne Liczba wierszy pierwszej macierzy musi się zgadzać z liczbą kolumn drugiej macierzy, tak aby zapewnić prawidłowe sumowanie iloczynów 2 Dla macierzy kwadratowych także zazwyczaj zachodzi A B B A 3 Mnożenie macierzy jest łączne: (A B) C = A (B C) 4 Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania: (A ± B) C = A C ± B C C(A ± B) = C A ± C B 5 Jeśli A B = 0, to nie oznacza, że koniecznie A = 0 lub B = 0 6 Jeśli A B = A C, to B nie zawsze jest równe C, nawet gdy A 0 7 A I = I A = A
Potęgowanie macierzy Dla macierzy A obowiązują następujące reguły potęgowania: A 0 = I A 1 = A A 2 = A A A 3 = A A A itd Właściwości potęgowania macierzy: 1 A k A p = A k+p 2 (A k ) p = A k p
Wyznacznik macierzy Każdej macierzy kwadratowej A możemy przypisać wartość liczbową D, nazywaną wyznacznikiem macierzy A stopnia N i oznaczoną jako det A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = D a n1 a n2 a nn W literaturze można spotkać także oznaczenia: det (A) = A = a ij = det a ij Znane są różne sposoby obliczania wartości wyznacznika det jest skrótem francuskiego słowa determinant czyli wyznacznik
Wyznacznik macierzy Rozwinięcie Laplace a Wyznacznik macierzy A jest równy sumie iloczynów elementów dowolnie wybranego wiersza (kolumny) przez ich dopełnienia algebraiczne det A = det A = n a ij A ij j=1 n a ij A ij i=1 rozwinięcie względem i tego wiersza rozwinięcie względem j tej kolumny gdzie: a ij element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, A ij dopełnienie algebraiczne elementu a ij Dopełnienie algebraiczne A ij elementu a ij macierzy A stanowi minor M ij pomnożony przez ( 1) i+j Minorem M ij macierzy A przynależnym elementowi a ij nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny
Wyznacznik macierzy Rozwinięcie Laplace a Przykład: Obliczyć wyznacznik macierzy A: A = 1 3 2 4 1 2 1 1 0 3 Korzystając z rozwinięcia 3-go wiersza: det A = a ij A ij, i = 3: j=1 1 3 2 det A = 4 1 2 1 1 0 = a 31 A 31 + a 32 A 32 + a 33 A 33 = a 31 ( 1) (3+1) M 31 + a 32 ( 1) (3+2) M 32 + a 33 ( 1) (3+3) M 33 = 1 ( 1) (3+1) 3 2 1 2 + ( 1) ( 1)(3+2) 1 2 4 2 = 8 6 = 2
Wyznacznik macierzy Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3 a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 21 a 22 a 23 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 det A = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 32 Powyższa reguła wykorzystuje definicję permutacyjną wyznacznika, ale ma zastosowanie tylko dla macierzy stopnia 3 Jeśli obliczamy wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3, to można wykorzystać rozwinięcie Laplace a i właściwości wyznaczników, a po sprowadzeniu ich do stopnia 3 zastosować regułę Sarrusa Wyznacznik macierzy stopnia wyższego niż 3 można obliczyć także przy pomocy eliminacji Gaussa
Wyznacznik macierzy Reguła Sarrusa dla macierzy stopnia 3 Przykład: Obliczyć wyznacznik macierzy A: A = 1 3 2 4 1 2 1 1 0 1 3 2 4 1 2 1 1 0 1 3 4 1 1 1 = 1 ( 1) 0 + 3 2 1 + 2 4 ( 1) 1 ( 1) 2 ( 1) 2 1 0 4 3 = 0 + 6 8 + 2 + 2 + 0 = 2
Właściwości wyznaczników 1 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0 2 Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przedstawimy między sobą dwie kolumny (dwa wiersze) 3 Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe lub proporcjonalne kolumny (dwa wiersze) jest równy 0 4 Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (pewnego wiersza) macierzy kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy 5 Wyznacznik macierzy nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolumny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny (innego wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę 6 Jeżeli det A = 0, to macierz jest osobliwa 7 Wyznacznik z macierzy trójkątnej jest równy iloczynowi wyrazów głównej przekątnej
Właściwości wyznaczników 8 det A = det(a T ) 9 det(ab) = det A det B (twierdzenie Cauchy ego) 10 det(a + B) det A + det B 11 det(a 1 ) = (det A) 1 12 Jeżeli macierz A jest trójkątna, to det A = a 11 a 22 a nn
Wyznacznik macierzy stopnia 4 Przykład: 1 0 2 1 1 3 1 2 4 5 1 2 1 1 2 1 ( 1) ( 1) 1+2 1 1 1 4 1 0 1 2 2 1 1 2 4 1 2 1 2 1 3 ( 1) 3+1 w 4 + w 1 (-2) k 2 + k 3 2 w 1 + w 3 1 1 1 0 0 1 0 0 1 3 1 2 4 5 1 2 1 1 2 1 1 1 0 4 1 4 1 2 3 1 1 1 4 1 0 3 0 0 3 (-1) k 1 + k 3
Macierz odwrotna Jeśli macierz kwadratowa A jest nieosobliwa, to możemy otrzymać macierz do niej odwrotną A 1 Zachodzi zatem zależność: Oznaczmy: C = A 1 A A 1 = A 1 A = I Element macierzy odwrotnej c ij obliczamy w następujący sposób: c ij = 1 det A ( 1)i+j M T ij gdzie M T ij jest minorem otrzymywanym z macierzy A T
Właściwości macierzy odwrotnych 1 Jeśli det A = 0 czyli macierz jest osobliwa, to macierz odwrotna A 1 nie istnieje 2 (A B) 1 = B 1 A 1 3 ( A T ) 1 = ( A 1 ) T = A T 4 det ( A 1) = (det A) 1 5 ( A 1 ) 1 = A
Macierz odwrotna Przykład: Obliczyć macierz odwrotną do danej macierzy A: 1 3 2 1 4 1 A = 4 1 2 A T = 3 1 1 1 1 0 2 2 0 c 11 = 1 det A ( 1)2 M T 11 1 = 2 ( ) c 33 = 1 det A ( 1)6 M T 33 1 = 2 C = A 1 = 10 10 40 10 10 30 15 20 65 1 1 2 0 = 1 det A = 2 1 4 3 1 = 13 2 A C = I
Definicja normy macierzy Normą macierzy kwadratowej A nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą A (nie należy mylić z wyznacznikiem!), która spełnia następujące warunki: 1 A > 0, gdy A 0 i 0 = 0 2 αa = α A, α jest liczbą 3 A + B A + B 4 A B A B
Normy macierzy Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy następujące normy: n suma modułów: X 1 = x i i=1 n norma euklidesowa: X 2 = x i 2 i=1 norma maksimum: X = max x i i Dla macierzy prostokątnej A określamy następujące normy: m norma sumy kolumn: A 1 = max a ij 1 j n i=1 m n norma euklidesowa: A 2 = a ij 2 norma sumy wierszy: A = i=1 j=1 max 1 i m j=1 n a ij
Normy macierzy Przykład: Obliczyć normy macierzy: A = [ 1 2 6 3 ] A 1 = max [7, 5] = 7 1 j 2 A 2 = 1 + 4 + 36 + 9 = 70711 [ ] 3 A = max = 9 1 i 2 9
Zadanie domowe Oblicz wyznacznik, macierz odwrotną i normy macierzy: 2 4 2 A = 1 4 1 1 2 1
Matematyka jest alfabetem, przy pomocy którego Bóg opisał świat Galileusz Dziękuję za uwagę