Macierze Lekcja I: Wprowadzenie

Transkrypt

1 Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej

2 Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m wierszy i n kolumn nazywamy macierzą. a 1,1 a 1,2... a 1,n a 2,1 a 2,2... a 2,n A = a m,1 a m,2... a m,n Zbiór macierzy mxn oznaczamy symbolem M m,n. Jeśli chcemy napiać, że macierz A ma m wierszy i n kolumn to piszemy A M m,n

3 Definicja Podczas tych zajęć będziemy czasem posługiwali się angielskimi odpowiednikami nazw poszczególnych pojęć. Dlaczego?

4 Definicja Podczas tych zajęć będziemy czasem posługiwali się angielskimi odpowiednikami nazw poszczególnych pojęć. Dlaczego? Angielskie nazwy występują w technice i oprogramowaniu komputerowym. Część funkcji programów bierze swoje nazwy z j. angielskiego.

5 Definicja Podczas tych zajęć będziemy czasem posługiwali się angielskimi odpowiednikami nazw poszczególnych pojęć. Dlaczego? Angielskie nazwy występują w technice i oprogramowaniu komputerowym. Część funkcji programów bierze swoje nazwy z j. angielskiego. I tak angielska nazwa dla macierzy to:

6 Zastosowanie macierzy Współcześnie dostępnych jest wiele programów komputerowych, których zasada działania opiera się na zasadach obliczeniowych macierzy (czyli na tych, które poznamy.

7 Zastosowanie macierzy Współcześnie dostępnych jest wiele programów komputerowych, których zasada działania opiera się na zasadach obliczeniowych macierzy (czyli na tych, które poznamy. Jednym z takich programów jest Matlab. Niestety jest to program komercyjny i potrzeba na niego zakupić licencję :(

8 Zastosowanie macierzy Współcześnie dostępnych jest wiele programów komputerowych, których zasada działania opiera się na zasadach obliczeniowych macierzy (czyli na tych, które poznamy. Jednym z takich programów jest Matlab. Niestety jest to program komercyjny i potrzeba na niego zakupić licencję :( Są jednak inne darmowe programy oparte na licencji GNU GPL. Przykładami są GNU Octave oraz Scilab.

9 Scilab Część przykładów będzie pokazywana w programie Scilab. Jest to oprogramowanie darmowe i można je pobrać ze strony producenta ( Obecnie najnowszą wersją jest Scilab i jest ona dostępna na różne systemy operacyjne.

10 Scilab Część przykładów będzie pokazywana w programie Scilab. Jest to oprogramowanie darmowe i można je pobrać ze strony producenta ( Obecnie najnowszą wersją jest Scilab i jest ona dostępna na różne systemy operacyjne. Do programu można dodatkowo pobrać moduł Xcos, który służy do przeprowadzania różnego rodzaju symulacji. I tak na przykład można wykonać symulację obwodów elektrycznych i sprawdzić jak zmienia się napięcie w obwodzie RLC w różnych warunkach. Zatem warto zapoznać się z tym programem!

11 Scilab

12 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0.

13 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0. Macierz kwadratowa (square matrix) to macierz, w której m = n

14 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0. Macierz kwadratowa (square matrix) to macierz, w której m = n Główna przekątna (main diagonal) to elementy a i,i, i = 1,..., n. Występuje w macierzach kwadratowych!

15 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0. Macierz kwadratowa (square matrix) to macierz, w której m = n Główna przekątna (main diagonal) to elementy a i,i, i = 1,..., n. Występuje w macierzach kwadratowych! Macierz trójkątna (triangular matrix) charakteryzuje się tym, że elementy powyżej lub poniżej głównej przekątnej są równe 0. Jeśli są to elementy powyżej to mówimy o macierzy trójkątnej dolnej (lower triangular matrix). W przeciwnym wypadku jest to macierz trójkątna górna (upper triangular matrix).

16 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0. Macierz kwadratowa (square matrix) to macierz, w której m = n Główna przekątna (main diagonal) to elementy a i,i, i = 1,..., n. Występuje w macierzach kwadratowych! Macierz trójkątna (triangular matrix) charakteryzuje się tym, że elementy powyżej lub poniżej głównej przekątnej są równe 0. Jeśli są to elementy powyżej to mówimy o macierzy trójkątnej dolnej (lower triangular matrix). W przeciwnym wypadku jest to macierz trójkątna górna (upper triangular matrix). Macierz diagonalna (diagonal matrix) posiada tylko niezerową główną przekątną. Jest szczególnie ważna przy potęgowaniu macierzy. Niestety to działanie wykracza poza ramy tego kursu :(

17 Podstawowe definicje Macierzą zerową nazywamy macierz, w której każdy element jest równy 0. Macierz kwadratowa (square matrix) to macierz, w której m = n Główna przekątna (main diagonal) to elementy a i,i, i = 1,..., n. Występuje w macierzach kwadratowych! Macierz trójkątna (triangular matrix) charakteryzuje się tym, że elementy powyżej lub poniżej głównej przekątnej są równe 0. Jeśli są to elementy powyżej to mówimy o macierzy trójkątnej dolnej (lower triangular matrix). W przeciwnym wypadku jest to macierz trójkątna górna (upper triangular matrix). Macierz diagonalna (diagonal matrix) posiada tylko niezerową główną przekątną. Jest szczególnie ważna przy potęgowaniu macierzy. Niestety to działanie wykracza poza ramy tego kursu :( Szczególną macierzą diagonalną jest macierz jednostkowa (identity matrix). Oznaczana przez literę I. Wtedy a i,i = 1, i = 1,..., n.

18 Macierz a wektor Często stosowanym pojęciem jest wektor. Można go traktować jako macierz, w której jeden z wymiarów jest równy 1.

19 Macierz a wektor Często stosowanym pojęciem jest wektor. Można go traktować jako macierz, w której jeden z wymiarów jest równy 1. W algebrze macierze wykorzystywane są przy rozwiązywaniu układów równań liniowych. W zaawansowanej matematyce występują o wiele częściej. A czy w życiu codziennym?

20 Działania na macierzach: dodawanie Pierwszym działaniem, które poznamy jest dodawanie macierzy.

21 Działania na macierzach: dodawanie Pierwszym działaniem, które poznamy jest dodawanie macierzy. Przypuśćmy, że dane mamy dwie macierze A = [a i,j ] oraz B = [b i,j ]. Co istotne: A, B M m,n!

22 Działania na macierzach: dodawanie Pierwszym działaniem, które poznamy jest dodawanie macierzy. Przypuśćmy, że dane mamy dwie macierze A = [a i,j ] oraz B = [b i,j ]. Co istotne: A, B M m,n! W wyniku dodawania macierzy dostajemy nową macierz C M m,n : C = A + B c i,j = a i,j + b i,j, gdzie c i,j są elementami nowej macierzy C.

23 Działania na macierzach: dodawanie Pierwszym działaniem, które poznamy jest dodawanie macierzy. Przypuśćmy, że dane mamy dwie macierze A = [a i,j ] oraz B = [b i,j ]. Co istotne: A, B M m,n! W wyniku dodawania macierzy dostajemy nową macierz C M m,n : C = A + B c i,j = a i,j + b i,j, gdzie c i,j są elementami nowej macierzy C.Mówiąc najprościej: dodajemy do siebie elementy na tych samych pozycjach w każdej z macierzy. Co istotne: jest to działanie przemienne: A + B = B + A.

24 Działania na macierzach: mnożenie przez liczbę (skalar) Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n oraz liczba α R.

25 Działania na macierzach: mnożenie przez liczbę (skalar) Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n oraz liczba α R. Wtedy: B = α A b i,j = α a i,j, gdzie b i,j są elementami nowej macierzy B.

26 Działania na macierzach: mnożenie przez liczbę (skalar) Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n oraz liczba α R. Wtedy: B = α A b i,j = α a i,j, gdzie b i,j są elementami nowej macierzy B.Mówiąc najprościej: mnożymy przez liczbę α każdy wyraz macierzy A. Co istotne: jest to działanie przemienne: α A = A α.

27 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność)

28 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność)

29 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność) 3 A + 0 = A

30 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = A + A = 0

31 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = A + A = 0 5 α(a + B) = αa + αb 6 (α + β)a = αa + βa

32 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = A + A = 0 5 α(a + B) = αa + αb 6 (α + β)a = αa + βa 7 1 A = A

33 Kilka własności Niech A, B M m,n oraz α, β R. Wtedy: 1 A + B = B + A (przemienność) 2 A + (B + C) = (A + B) + C (łączność) 3 A + 0 = A 4 A + ( A) = A + A = 0 5 α(a + B) = αa + αb 6 (α + β)a = αa + βa 7 1 A = A 8 (αβ)a = α(βa)

34 Działania na macierzach: transponowanie macierzy Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n. Transpozycją macierzy A nazywamy macierz B = A T b i,j = a j,i.

35 Działania na macierzach: transponowanie macierzy Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n. Transpozycją macierzy A nazywamy macierz Zauważmy, że A T M n,m. B = A T b i,j = a j,i.

36 Działania na macierzach: transponowanie macierzy Dana niech będzie macierz A = [a i,j ], A M m,n. Transpozycją macierzy A nazywamy macierz B = A T b i,j = a j,i. Zauważmy, że A T M n,m. Mówimy, że macierz A jest symetryczna jeżeli A = A T. Mówimy, że macierz jest antysymetryczna jeżeli A = A T.

37 Działania na macierzach: mnożenie macierzy Chyba najbardziej skomplikowane. Niech A = [a i,j ], A M m,n oraz B = [b i,j ], B M n,k. Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy!

38 Działania na macierzach: mnożenie macierzy Chyba najbardziej skomplikowane. Niech A = [a i,j ], A M m,n oraz B = [b i,j ], B M n,k. Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy! W wyniku mnożenia macierzy dostajemy macierz C = [c i,j ], C M m,k o elementach c i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j +...a i,n b n,j.

39 Działania na macierzach: mnożenie macierzy Chyba najbardziej skomplikowane. Niech A = [a i,j ], A M m,n oraz B = [b i,j ], B M n,k. Zwróćmy uwagę na wymiary poszczególnych macierzy! W wyniku mnożenia macierzy dostajemy macierz C = [c i,j ], C M m,k o elementach c i,j = a i,1 b 1,j + a i,2 b 2,j +...a i,n b n,j. UWAGA! Mnożenie macierzy NIE jest przemienne!

40 Kilka własności Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, to jednak zachowane są inne własności: 1 A(B + C) = AB + AC

41 Kilka własności Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, to jednak zachowane są inne własności: 1 A(B + C) = AB + AC 2 (B + C)A = BA + CA

42 Kilka własności Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, to jednak zachowane są inne własności: 1 A(B + C) = AB + AC 2 (B + C)A = BA + CA 3 A(αB) = (αa)b = α(ab)

43 Kilka własności Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, to jednak zachowane są inne własności: 1 A(B + C) = AB + AC 2 (B + C)A = BA + CA 3 A(αB) = (αa)b = α(ab) 4 (AB)C = A(BC)

44 Kilka własności Choć mnożenie macierzy nie jest przemienne, to jednak zachowane są inne własności: 1 A(B + C) = AB + AC 2 (B + C)A = BA + CA 3 A(αB) = (αa)b = α(ab) 4 (AB)C = A(BC) 5 AI = IA = A dla macierzy kwadratowych.

45 Przykłady w Scilab

46 Podziękowania Dziękuję za uwagę