Matematyka stosowana i metody numeryczne

Transkrypt

1 Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń.. Błąd bezwzględny i względny Błąd bezwzględny: x = x X. Błąd względny: ɛ x = x x = x X x. Algebra macierzy Działania na macierzach: dodawanie/odejmowanie, mnożenie (przez liczbę, przez inną macierz). Wyznacznik macierzy. Macierz odwrotna.. Normy macierzy Dla macierzy jednokolumnowej lub jednowierszowej X określamy następujące normy: suma modułów: X = x i i= norma euklidesowa: X = i= x i

2 norma maksimum: X = max i x i Dla macierzy prostokątnej A określamy następujące normy: norma sumy kolumn: A = max j n m norma euklidesowa: A = norma sumy wierszy: A = i= m a ij i= a ij j= max i m a ij 3 Układy liniowych równań algebraicznych j= a ij x j = b i, dla i =,,..., n j= Decyzja wyboru odpowiedniej metody zależy od: postaci macierzy A, A X = B specyfiki zagadnienia, które jest reprezentowane przez układ równań. 3. Podstawianie w przód Dla macierzy dolnotrójkątnych: x i = b i i j= l ij x j l ii dla i =,,..., n 3. Podstawianie wstecz Dla macierzy górnotrójkątnych: x i = b i n j=i+ u ij x j u ii dla i = n, n,...,

3 Rozwiązać układ liniowych równań AX = B, gdzie: 0 0 8, B = równanie: i = 3 x i = b i /a ii x 3 = b 3 /a 33 = 3 równanie: i = s = a ij x j s = a j x j = a 3 x 3 = 8 j=i+ j=+ x i = (b i s)/a ii x = (b 8)/a = 3 równanie: i = s = a ij x j s = a j x j = a x + a 3 x 3 = 3.3 Metoda Gaussa j=i+ j=+ x i = (b i s)/a ii x = (b )/a = Rozwiązanie: I. Eliminacja w przód: W n krokach o numerach k =,, 3,..., n : gdzie: a (k+) ij = a (k) ij m ik a (k) kj X = [,, T b (k+) i m ik = a(k) ik a (k) kk dla: i = k +, k +,..., n j = k +, k +,..., n. II. Podstawianie wstecz. = b (k) i m ik b (k) k Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 0 8, B =. 9 Etap I krok k = ; wiersz i = [,, 0 [ wiersz i =, m = a /a = wiersz i = 3, m 3 = a 3 /a = 0.5 [ 8 [ [ 0 [ = [0 8 [6 [ 9 [ [ 5 [ = [0 3 [0 3

4 krok k = wiersz i = [0,, 8 [6 wiersz i = 3, m 3 = a 3 /a = 0.75 [0 3 [0 [0 3 6 [ = [0 0 [ Etap II Podstawianie wstecz poprzedni przykład dla układu z macierzą górnotrójkątną. 3. Metoda Gaussa-Jordana Układ równań o postaci: przekształcamy jak napisano poniżej. 6 a () x + a () x + a () 3 x a () n x n = b () a () x + a () x + a () 3 x a () n x n = b () a () n x + a () n x + a () n3 x a () nnx n = b () n Pierwsze równanie dzielimy przez a (), a następnie od i tego wiersza, i =, 3,..., n, odejmujemy wiersz pierwszy pomnożony przez a () i, otrzymując: x + a () x + a () 3 x a () n x n = b () a () x + a () 3 x a () n x n = b () a () n x + a () n3 x a () nnx n = b () n Następnie drugie równanie dzielimy obustronnie przez a () i od i tego wiersza, i =, 3,..., n, odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez a () i. Po n eliminacjach otrzymujemy układ postaci: czyli gotowe rozwiązanie. x = b (n) x = b (n) x n = b (n) n

5 przykładzie. Krok : Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie A i B są dane jak w poprzednim. wiersz [,, 0 [/a [,, 5 [ a) od wiersza [, 8, [ odejmujemy wiersz [,, 5 [ a = [,, 0 [ [0,, 8 [6 b) od wiersza 3 [,, 9 [ odejmujemy wiersz [,, 5 [ a 3 = [,, 5 [ [0, 3, [0 Po. eliminacji: Krok :. wiersz [0,, 8 [6/a [0,, [ a) od wiersza [,, 5 [ odejmujemy wiersz [0,, [ a = [0,, [ 8 [, 0, 9 [0 b) od wiersza 3 [0, 3, [0 odejmujemy wiersz [0,, [ a 3 = [0, 3, 6 [ [0, 0, [ Po. eliminacji: Krok 3: 3. wiersz 3 [0, 0, [ /a 33 [0, 0, [ a) od wiersza [, 0, 9 [0 odejmujemy wiersz 3 [0, 0, [ a 3 = [0, 0, 9 [9 [, 0, 0 [ b) od wiersza [0,, [ odejmujemy wiersz 3 [0, 0, [ a 3 = [0, 0, [ [0,, 0 [ Po 3. eliminacji: Po wykonaniu eliminacji wektor B stanowi rozwiązanie. 5

6 3.5 Metoda Choleskiego-Banachiewicza I. Rozkład A = L L T : k l kk = (akk lkp ) l ik = p= gdzie: k =,,..., n; i = k +, k +,..., n. a ik k p= l kk l ip l kp II. Rozwiązanie układu z macierzą dolnotrójkątną L Y = B Y (podstawianie w przód). III. Rozwiązanie układu z macierzą górnotrójkątną U X = Y X (podstawianie wstecz). Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: 8 8 7, B = I. Wykonujemy rozkład A = L L T : = 57 l 0 0 l l 0 l 3 l 3 l 33 l l l 3 0 l l l 33 a = l l = a = l l l = 8/ = a 3 = l 3 l l 3 = / = a = l + l l = 7 6 = a 3 = l 3 l + l 3 l l 3 = ( + 8)/ = 7 a 33 = l3 + l3 + l33 l 33 = 57 9 = L = II. Podstawianie w przód: L Y = B Y III. Podstawianie wstecz: U X = Y X Y = X =

7 3.6 Metoda Jacobiego Tworzymy ciąg przybliżeń x (), x (),... według wzoru: x (k+) i = n j=,j i a ij x (k) j + b i a ii i =,,..., n. Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie: , B = Sprawdzamy warunki zbieżności. Przyjmujemy początkowe przybliżenie x (0) = 0. Przyjmujemy kryterium przerwania procesu iteracyjnego, np. sprawdzamy wielkość residuum ε.. iteracja k = 0:. iteracja k = : x () = (a x (0) + a 3 x (0) 3 b )/a =.3 x () = (a x (0) + a 3 x (0) 3 b )/a =. x () 3 = (a 3 x (0) + a 3 x (0) b 3 )/a 33 =. oraz ε = x () = (a x () + a 3 x () 3 b )/a = 0.88 x () = (a x () + a 3 x () 3 b )/a = 0.87 x () 3 = (a 3 x () + a 3 x () b 3 )/a 33 = 0.8 oraz ε = iteracja k = 5: x (6) = oraz ε =.0e Metoda Gaussa-Seidla Tworzymy ciąg przybliżeń x (), x (),... według wzoru: x (k+) i = i j= a ij x (k+) j n j=i+ a ij x (k) j + b i a ii i =,,..., n. 7

8 przykładzie. Rozwiązać układ liniowych równań A X = B, gdzie A i B są określone w poprzednim Warunki zbieżności, początkowe przybliżenie i kryterium przerwania procesu iteracyjnego przyjmujemy jak w poprzednim przykładzie.. iteracja k = 0:. iteracja k = : x () = (a x (0) + a 3 x (0) 3 b )/a =.3 x () = (a x () + a 3 x (0) 3 b )/a =.0 x () 3 = (a 3 x () + a 3 x () b 3 )/a 33 = oraz ε = x () = (a x () + a 3 x () 3 b )/a = x () = (a x () + a 3 x () 3 b )/a =.0006 x () 3 = (a 3 x () + a 3 x () b 3 )/a 33 = oraz ε =.096e. iteracja k = 3: x (5) = oraz ε =.0e 8 Układy równań nad- i podokreślonych. Podokreślone układy równań Układy równań o macierzach A m n, gdzie m < n, nazywamy podokreślonymi. Taki układ równań można rozwiązać za przy pomocy metody Gaussa-Jordana. Rozwiązać układ równań: [ x + 6 x x 3 = 8 x + 9 x 8 x 3 = 5 [ [ x =.0 0.5x 3 x =.0 + x 3 Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą nie przechodzącą przez początek układu współrzędnych. 8

9 . Nadokreślone układy równań Współczynniki nadokreślonego układu równań A x = b tworzą macierz A m n, gdzie m > n. W tym przypadku możliwe są dwie sytuacje: układ nie ma rozwiązania jest sprzeczny, układ ma rozwiązanie nie jest sprzeczny. Zastosowanie metody Gaussa-Jordana rozstrzyga czy układ ma rozwiązanie czy jest sprzeczny. Jeśli układ jest sprzeczny to możemy poszukiwać pseudorozwiązania w sensie metody najmniejszych kwadratów: S x = t gdzie: S = A T A, t = A T b. Rozwiązać nadokreślony układ równań: Stosujemy algorytm Gaussa-Jordana x + x = 3 x + x = x + x = x = 0.5, x =.5, 0 = (!!) Układ równań jest sprzeczny (0 ). Szukamy pseudorozwiązania w sensie metody najmniejszych kwadratów. [ [ S = A T A = 6 = [ S x = t t = A T b = 6 [ [ x x = 3 5 [ 0 3 = [ 0 3 { x =.0 x =.5 9