Układy równań liniowych. Krzysztof Patan

Save this PDF as:

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Układy równań liniowych. Krzysztof Patan"

Transkrypt

1 Układy równań liniowych Krzysztof Patan

2 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych rozmiarach Przykład: numeryczne modele przewidywania i prognozy pogody są dane w postaci układów równań różniczkowych cząstkowych rozwiązywanych na siatce zawierającej bardzo dużą liczbę węzłów zadanie sprowadza się do rozwiązania układu równań liniowych o ogromnej liczbie zmiennych Stąd potrzeba szybkich i wydajnych obliczeniowo metod ich rozwiązywania

3 Sformułowanie problemu a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x a 2n x n = b =. a m1 x 1 + a m2 x 2 + a m3 x a mn x n = b m Postać macierzowa gdzie: A R m n, b R m, x R n. Ax = b,

4 Wyznacznik macierzy kwadratowej A Liczba określona rekurencyjnie: dla n = 1 det(a) = a 11 dla n > 1 det(a) = n ( 1) k+1 a 1k M 1k gdzie M 1k jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie 1-go wiersza i k-tej kolumny. Zachodzi: n a ij ( 1) i+j M ij dla dowolnego i {1,..., n} j=1 det(a) = n a ij ( 1) i+j M ij dla dowolnego j {1,..., n} i=1 gdzie M ij jest wyznacznikiem macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, tzw. minorem stopnia n 1 macierzy A. Liczbę D ij = ( 1) i+j M ij dla i, j = 1,..., n nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu a ij w macierzy A k=1

5 Macierz osobliwa Macierz kwadratowa A dla której det A = 0 Macierz odwrotna Macierz kwadratowa A 1 dla której AA 1 = A 1 A = 1 n Macierz odwrotna A 1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Macierz transponowana Macierz A T o elementach a ij takich, że a ij = a ji Macierz symetryczna Macierz dla której A T = A

6 Macierz osobliwa Macierz kwadratowa A dla której det A = 0 Macierz odwrotna Macierz kwadratowa A 1 dla której AA 1 = A 1 A = 1 n Macierz odwrotna A 1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Macierz transponowana Macierz A T o elementach a ij takich, że a ij = a ji Macierz symetryczna Macierz dla której A T = A

7 Macierz osobliwa Macierz kwadratowa A dla której det A = 0 Macierz odwrotna Macierz kwadratowa A 1 dla której AA 1 = A 1 A = 1 n Macierz odwrotna A 1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Macierz transponowana Macierz A T o elementach a ij takich, że a ij = a ji Macierz symetryczna Macierz dla której A T = A

8 Macierz osobliwa Macierz kwadratowa A dla której det A = 0 Macierz odwrotna Macierz kwadratowa A 1 dla której AA 1 = A 1 A = 1 n Macierz odwrotna A 1 istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy A jest macierzą nieosobliwą. Macierz transponowana Macierz A T o elementach a ij takich, że a ij = a ji Macierz symetryczna Macierz dla której A T = A

9 Macierz trójkątna górna (dolna) Macierz kwadratowa w której i, j i > j a ij = 0 (i < j a ij = 0) Przykład: a 11 a 12 a 13 a U = 0 a 22 a 23 L = a 21 a a 33 a 31 a 32 a 33 Rząd macierzy Liczba rank(a) równa najwyższemu stopniu podmacierzy kwadratowej (skonstruowanej przez wykreślenie wybranych wierszy i/lub kolumn z danej macierzy) o niezerowym wyznaczniku. Dla macierzy A o wymiarze m n mamy więc: rank(a) min(m, n) Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn tej macierzy (tzw. rząd kolumnowy) a także liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy (tzw. rząd wierszowy).

10 Macierz trójkątna górna (dolna) Macierz kwadratowa w której i, j i > j a ij = 0 (i < j a ij = 0) Przykład: a 11 a 12 a 13 a U = 0 a 22 a 23 L = a 21 a a 33 a 31 a 32 a 33 Rząd macierzy Liczba rank(a) równa najwyższemu stopniu podmacierzy kwadratowej (skonstruowanej przez wykreślenie wybranych wierszy i/lub kolumn z danej macierzy) o niezerowym wyznaczniku. Dla macierzy A o wymiarze m n mamy więc: rank(a) min(m, n) Rząd macierzy jest równy liczbie liniowo niezależnych kolumn tej macierzy (tzw. rząd kolumnowy) a także liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy (tzw. rząd wierszowy).

11 Normy macierzowe n A = max a ij norma wierszowa; i=1,...,n j=1 n A = max a ij norma kolumnowa; j=1,...,n i=1 n n A = a ij 2 norma Euklidesowa i=1 j=1 (Schura, F robeniusa); A = max λ norma spektralna λ S gdzie: λ wartości własne macierzy A

12 Istnienie rozwiązania układu równań Twierdzenie Kroneckera-Capellego Założenia: Ax = b A R m n, b R m, x R n Zachodzi: rank(a) < rank([a, b]) rank(a) = rank([a, b]) < n rank(a) = rank([a, b]) = n brak rozwiązania; nieskończenie wiele rozwiązań; dokładnie jedno rozwiązanie. gdzie [A, b] jest macierzą rozszerzoną, powstałą przez dołączenie wektora wyrazów wolnych b do macierzy układu A. Można policzyć rozwiązanie stosując wzór: x = A 1 b, ale w praktyce unikamy operacji odwracania macierzy: kosztowna obliczeniowo, może prowadzić do dużych błędów numerycznych

13 Istnienie rozwiązania układu równań Twierdzenie Kroneckera-Capellego Założenia: Ax = b A R m n, b R m, x R n Zachodzi: rank(a) < rank([a, b]) rank(a) = rank([a, b]) < n rank(a) = rank([a, b]) = n brak rozwiązania; nieskończenie wiele rozwiązań; dokładnie jedno rozwiązanie. gdzie [A, b] jest macierzą rozszerzoną, powstałą przez dołączenie wektora wyrazów wolnych b do macierzy układu A. Można policzyć rozwiązanie stosując wzór: x = A 1 b, ale w praktyce unikamy operacji odwracania macierzy: kosztowna obliczeniowo, może prowadzić do dużych błędów numerycznych

14 Sprawdzenie uwarunkowania układu równań Przykład układu źle uwarunkowanego: { { 2x + 6y = 8 x = 1 2x + 6, y = 8, y = 1 { { 2x + 6y = 8 x = 10 2x + 5, y = 8, y = 2 Wskaźnik uwarunkowania: card(a) = A A 1 Układ dobrze uwarunkowany, gdy card(a) = 1 Dla układów źle uwarunkowanych (card(a) > 1000) można mieć zaufanie jedynie do rzędu wyniku Interpretacja geometryczna uwarunkowania układu równań liniowych: kąt przecięcia się hiperpłaszczyzn definiowanych równaniami (złe uwarunkowanie oznacza mały kąt przecięcia, a więc dużą wrażliwość na błędy przetwarzania numerycznego)

15 Jak radzimy sobie w praktyce? Metody rozwiązywania układów równań liniowych dla kwadratowej macierzy A n n Metody dokładne eliminacja Gaussa rozkład trójkątny Choleskiego-Banachiewicza (dla symetrycznych macierzy A) Thomasa (dla trójdiagonalnych macierzy A) Metody iteracyjne Jacobiego Gaussa - Seidle a

16 Metody dokładne Układ równań o macierzy trójkątnej górnej u 11 x 1 + u 12 x u 1,n 1 x n 1 + u 1n x n = b 1 u 22 x u 2,n 1 x n 1 + u 2n x n = b 2. u n 1,n 1 x n 1 + u n 1,n x n = b n 1 u nn x n = b n Rozwiązanie trywialne: x n = bn u nn ( x i = 1 u ii b i n j=i+1 u ij x j ) i = n 1, n 2,..., 1

17 Układ równań o macierzy trójkątnej dolnej l 11 x 1 = b 1 l 21 x 1 + l 22 x2 = b 2.. l n 1,1 x 1 + l n 1,2 x l n 1,n 1 x n 1 = b n 1 l n1 x 1 + l n2 x l n,n 1 x n 1 + l nn x n = b n Rozwiązanie trywialne: x 1 = b 1 l 11 ( ) x i = 1 l ii b i i 1 l ij x j j=1 i = 2, 3,..., n

18 Metoda eliminacji Gaussa I faza: za pomocą elementarnych operacji wierszowych na macierzy [A, b] sprowadzamy macierz układu do postaci trójkątnej II faza: dalej rozwiązanie już trywialne (patrz poprzednie 2 slajdy) Własności metody: liczba mnożeń: 1 3 n3 + n n liczba dodawań: 1 3 n n2 5 6 n zatem złożoność obliczeniowa jest rzędu O(n 3 ) Modyfikacje dotyczą sposobu sprowadzenia do postaci trójkątnej, tak aby zminimalizować wpływ błędów przetwarzania numerycznego tzw. eliminacja Gaussa z wyborem częściowym i pełnym cel zapewnienie mnożników 1, uniknięcie błędu przepełnienia przy operacji dzielenia

19 Metoda eliminacji Gaussa - prosty przykład 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 ( 0.5) ( 2) x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 + 4x 1 + 2x 2 x 3 = 5 + Otrzymujemy: Mamy [II faza]: 2x 1 + x 2 +x 3 = 7 0.5x x 3 = 5.5 3x 3 = 9 3x 3 = 9 x 3 = 3 0.5x x 3 = 5.5 x 2 = 2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 x 1 = 1

20 Metoda eliminacji Gaussa - prosty przykład 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 ( 0.5) ( 2) x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 + 4x 1 + 2x 2 x 3 = 5 + Otrzymujemy: Mamy [II faza]: 2x 1 + x 2 +x 3 = 7 0.5x x 3 = 5.5 3x 3 = 9 3x 3 = 9 x 3 = 3 0.5x x 3 = 5.5 x 2 = 2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 x 1 = 1

21 Metoda eliminacji Gaussa - prosty przykład 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 ( 0.5) ( 2) x 1 + x 2 + 2x 3 = 9 + 4x 1 + 2x 2 x 3 = 5 + Otrzymujemy: Mamy [II faza]: 2x 1 + x 2 +x 3 = 7 0.5x x 3 = 5.5 3x 3 = 9 3x 3 = 9 x 3 = 3 0.5x x 3 = 5.5 x 2 = 2 2x 1 + x 2 + x 3 = 7 x 1 = 1

22 Rozkład trójkątny (tzw. dekompozycja LU) a 11 a a 1n a 21 a a 2n a n1 a n2... a nn Ax = b LUx = b = l l 21 l l n1 l n2... l nn { Ly = b Ux = y u 11 u u 1n 0 u u 2n u nn Mamy n 2 równań z n 2 + n niewiadomymi układ niedookreślony Brakujące warunki zwykle są definiowane w postaci: Rozkład trójkątny: Doolittle a l ii = 1 i = 1, 2,..., n Crouta u ii = 1 i = 1, 2,..., n Cholesky ego l ii = u ii i = 1, 2,..., n

23 Wyznacznik macierzy A = LU przy czym: det(a) = det(lu) = det(l)det(u) = det(u) dla rozkładu Doolittle a = det(l) dla rozkładu Crouta (det(l)) 2 dla rozkładu Cholesky ego n det(l) = l ii, n det(u) = u ii i=1 i=1

24 Metoda Cholesky ego-banachiewicza (dla symetrycznych macierzy A) Dla każdej nieosobliwej macierzy symetrycznej można dokonać rozkładu (dekompozycji): A = LL T a 11 a a 1n a 12 a a 2n a 1n a 2n... a nn = l l 21 l l n1 l n2... l nn l 11 l l n1 0 l l n l nn Powyższy układ równań posiada jednoznaczne rozwiązanie, zatem: Ax = b LL T x = b { Ly = b L T x = y

25 Metody iteracyjne Idea Sekwencyjne polepszanie rozwiązania: x k+1 = F (x k, A, b, ) Aby rozpocząć proces iteracyjny potrzebne przybliżenie początkowe x 0. Jak długo iterować? aż x k+1 x k < ɛ Metoda Jacobiego iteracji prostej Idea wyprowadzenia wzoru iteracyjnego: Mamy: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2... a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n Przekształcamy równania do postaci: x 1 = 1 a 11 (b 1 a 12x 2 a 13x 3... a 1nx n) x 2 = 1 a 22 (b 2 a 21x 1 a 23x 3... a 2nx n)... x n = 1 a nn (b n a n1x 1 a n2x 2... a n,n 1x n 1)

26 Metody iteracyjne Idea Sekwencyjne polepszanie rozwiązania: x k+1 = F (x k, A, b, ) Aby rozpocząć proces iteracyjny potrzebne przybliżenie początkowe x 0. Jak długo iterować? aż x k+1 x k < ɛ Metoda Jacobiego iteracji prostej Idea wyprowadzenia wzoru iteracyjnego: Mamy: a 11x 1 + a 12x a 1nx n = b 1 a 21x 1 + a 22x a 2nx n = b 2... a n1x 1 + a n2x a nnx n = b n Przekształcamy równania do postaci: x 1 = 1 a 11 (b 1 a 12x 2 a 13x 3... a 1nx n) x 2 = 1 a 22 (b 2 a 21x 1 a 23x 3... a 2nx n)... x n = 1 a nn (b n a n1x 1 a n2x 2... a n,n 1x n 1)

27 Metoda Jacobiego iteracji prostej Co można zapisać macierzowo: gdzie: Wzór iteracyjny: x = Cx + g { a ij C : c ij = aii i j 0 i = j Elementy wektora x k+1 wyznaczamy: x k+1 1 = 1 x k+1 = Cx k + g g : g i = b i a ii a 11 (b 1 a 12 x k 2 a 13 x k 3... a 1n x k n) x k+1 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 x k 1 a 23 x k 3... a 2n x k n)... x k+1 n = 1 a nn (b n a n1 x k 1 a n2 x k 2... a n,n 1 x k n 1) Aby proces był zbieżny wystarczy aby C < 1 dla dowolnego rodzaju normy

28 Metoda Gaussa-Seidla Idea wyprowadzenia wzoru iteracyjnego: Ax = b (L + D + U)x = b Dx = (L + U)x + b x = D 1 (L + U)x + D 1 b gdzie macierze L, D, U maja postać: l L = l 31 l ; D = l n1 l n2... l n,n 1 0 U = 0 u 12 u u 1n u n 2,n 1 u n 2,n u n 1,n d d d d nn ;

29 Metoda Gaussa-Seidla Wzór iteracyjny: x k+1 = D 1 Lx k+1 D 1 Ux k + D 1 b Jeśli A jest symetryczna i dodatnio określona (tzn. y y T Ay > 0, gdzie: y dowolny wektor kolumnowy) to proces iteracyjny jest zbieżny niezależnie od x 0 Elementy wektora x k+1 są wyznaczane sekwencyjnie: x k+1 1 = 1 a 11 (b 1 a 12 x k 2 a 13x k 3 a 14x k 4... a 1nx k n) x k+1 2 = 1 a 22 (b 2 a 21 x1 k+1 a 23 x k 3 a 24x k 4... a 2nx k n) x k+1 3 = 1 a 33 (b 3 a 31 x1 k+1 a 32 x k+1 2 a 34 x k 4... a 3nx k n)... x k+1 n = 1 a nn (b n a n1 x k+1 1 a n2 x k+1 2 a n3 x k a n,n 1 x k+1 n 1 )

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania

Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.

Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p. Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa

Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa 1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych

1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych 2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /

Bardziej szczegółowo

Macierze. Rozdział Działania na macierzach

Macierze. Rozdział Działania na macierzach Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3

Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3 3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Własności wyznacznika

Własności wyznacznika Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Matematyka stosowana i metody numeryczne

Matematyka stosowana i metody numeryczne Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych

Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 8

Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn

Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

, A T = A + B = [a ij + b ij ].

, A T = A + B = [a ij + b ij ]. 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m

Bardziej szczegółowo

10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów

10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem

Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,

Bardziej szczegółowo

A A A A A A A A A n n

A A A A A A A A A n n DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności

Bardziej szczegółowo

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =

04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A = 04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska

RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy

Bardziej szczegółowo

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...

det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,... Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i

Bardziej szczegółowo

Wartości i wektory własne

Wartości i wektory własne Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój

METODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p. Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce

Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych

Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań

Bardziej szczegółowo

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1

Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1 Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50

Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH

III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY

Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018

DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo

Bardziej szczegółowo

Lista nr 1 - Liczby zespolone

Lista nr 1 - Liczby zespolone Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić

Bardziej szczegółowo

Macierze i Wyznaczniki

Macierze i Wyznaczniki dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi

Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi Plan wykładu:. Definicje macierzy, norm etc.. Metoda eliminacji Gaussa, Jordana. Rozkład LU metodą Gaussa. Układy równań z macierzą

Bardziej szczegółowo

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy

Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach. WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.

Bardziej szczegółowo

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:

Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,

Bardziej szczegółowo

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra

Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.

Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x. Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska

ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N

Bardziej szczegółowo

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.

ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory i działania na zbiorach.

1 Zbiory i działania na zbiorach. Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje

D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla

Bardziej szczegółowo

9 Układy równań liniowych

9 Układy równań liniowych 122 II PRZESTRZENIE WEKTOROWE 9 Układy równań liniowych 1 Istnienie rozwiązań układu równań liniowych W tym paragrafie przerwiemy chwilowo ogólną analizę struktur pojawiających się w przestrzeniach wektorowych,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze

Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A

Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Elementy algebry macierzy

Wykład 14. Elementy algebry macierzy Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,

Bardziej szczegółowo

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26

2.1. Postać algebraiczna liczb zespolonych Postać trygonometryczna liczb zespolonych... 26 Spis treści Zamiast wstępu... 11 1. Elementy teorii mnogości... 13 1.1. Algebra zbiorów... 13 1.2. Iloczyny kartezjańskie... 15 1.2.1. Potęgi kartezjańskie... 16 1.2.2. Relacje.... 17 1.2.3. Dwa szczególne

Bardziej szczegółowo

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym

Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym 1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej

Laboratorium Techniki Obliczeniowej i Symulacyjnej Ćwiczenie 10. Metody numeryczne rozwiązywania układów równań liniowych. Opracował: dr inż. Sebastian Dudzik 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z algorytmami numerycznymi przetwarzania

Bardziej szczegółowo

Numeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1

Numeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b

Rozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1

Bardziej szczegółowo

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013

Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32

det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka

Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość

Bardziej szczegółowo

Metody i analiza danych

Metody i analiza danych 2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach

Bardziej szczegółowo

MN 09 wych. Trochę teorii. Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b. Uwagi wstępne. Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych

MN 09 wych. Trochę teorii. Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b. Uwagi wstępne. Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych Układy równań linio- MN 9 wych Część I Trochę teorii Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b slajd Uwagi wstępne Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych Większość zagadnień inżynierskich

Bardziej szczegółowo

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników

Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna

Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy

Bardziej szczegółowo

Macierze. Układy równań.

Macierze. Układy równań. Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Macierze Układy równań 1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie

Bardziej szczegółowo

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice

Metody Obliczeniowe w Nauce i Technice 12. Iteracyjne rozwiązywanie Ax=B Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści I Zadania Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna Geometria analityczna na płaszczyźnie Liczby zespolone 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera

Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 24 czerwca 2019 roku Egzamin pisemny zestaw. ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x n, to funkcja x0 x gx ( ) + [ gx (

Bardziej szczegółowo

Większość zagadnień inżynierskich sprowadza się do przewidywania odpowiedzi projektowanego urządzenia na działanie zewnętrznych czynników.

Większość zagadnień inżynierskich sprowadza się do przewidywania odpowiedzi projektowanego urządzenia na działanie zewnętrznych czynników. MN 09 Układy równań liniowych Część I Trochę teorii Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b Uwagi wstępne Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych Większość zagadnień inżynierskich

Bardziej szczegółowo