MACIERZE. Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
|
|
- Mikołaj Karpiński
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MACIERZE Sobiesiak Łukasz Wilczyńska Małgorzata
2 Podstawowe pojęcia dotyczące macierzy Nie bez przyczyny zaczynamy od pojęcia macierzy, które jest niezwykle przydatne we wszystkich zastosowaniach, obliczeniach i zapisach. Już przy rozwiązywaniu układu równań posługujemy się głównie operacjami elementarnymi na macierzy dołączonej takiego układu, a z zapisu macierzowego różnego typu przekształceń liniowych możemy odczytać wiele ich własności.
3 Często też określonemu typowi przekształcenia liniowego odpowiada określony typ macierzy i odwrotnie. Przyjmujemy tu najprostszą definicję macierzy jako tablicy złożonej z liczb, choć można podać jej bardziej poprawną matematyczną definicję, np. jako funkcji określonej na pewnym zbiorze par(i,j) liczb naturalnych.
4 Liczby zawarte w macierzy będziemy nazywali elementami. Elementy macierzy ułożone są w poziome wiersze i w pionowe kolumny Rozmiar macierzy określony jest przez liczbę wierszy i kolumn. Zatem zapis: A m n
5 Niech m i n będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Macierzą (złożoną z m wierszy i n kolumn) nazywamy prostokątną tablicę postaci:
6 Ilość wierszy i kolumn, tj. parę liczb(m,n) nazywamy wymiarem tej macierzy. Np.. Macierz Ma trzy wiersze i cztery kolumny, przy czym a 11 =3, a 23 =7 itd. Elementy macierzy numerowane są dwoma wskaźnikami, np. dla elementu a 24 =6(czytamy a dwa cztery) wskaźnik 2 oznacza numer wiersza, a wskaźnik 4 numer kolumny. Liczba 6 znajduje się na przecięciu się drugiego wiersza i czwartej kolumny.
7 Przykład: Program, który po wypisaniu każdego elementu macierzy, tworzy macierz.
8 #include <iostream> using namespace std; int main() int tablica[4][3]; cout << "Podaj elementy tablicy: " << endl; for(int i = 0; i < 4; i++) for(int j = 0; j < 3; j++) cout << "Element["<< i <<"]["<<j<<"]: "; cin >> tablica[i][j]; cout << "\nwprowadzone elementy tablicy to: " << endl; for(int i = 0; i < 4; i++) for(int j = 0; j < 3; j++) cout <<tablica[i][j]<<" "; cout << endl; return 0;
9 Przekątną główną macierzy tworzą elementy o równych indeksach wierszowych i kolumnowych, np:
10 Macierz nazywamy wektorem wierszowym jeśli składa się tylko z jednego wiersza, np. A 1 4 = a 1 a 2 a 3 a 4 Macierz nazywamy wektorem kolumnowym,jeśli składa się tylko z jednej kolumny, np: A 3 1 =
11 Macierz nazywamy kwadratową jeśli posiada tyle samo wierszy co kolumn, np: A 3 3 =
12 Stopień macierzy kwadratowej określa liczba jej wierszy lub kolumn. Powyższa macierz jest stopnia 4. Macierz nie będąca macierzą kwadratową jest macierzą prostokątną. Macierz nazywamy diagonalną,jeśli jest macierzą kwadratową i wszystkie elementy jej głównej przekątnej są niezerowe, a pozostałe elementy mają wartość równą zero.
13 Macierz nazywamy jednostkową i oznaczamy literą I, jeśli jest macierzą diagonalną, a wszystkie niezerowe elementy są równe 1.
14 Macierz nazywamy trójkątną, jeśli jest macierzą kwadratową i elementy zerowe znajdują się tylko ponad główną przekątną (macierz trójkątna dolna L) lub tylko pod główną przekątną (macierz trójkątna górna U)
15 Macierze mogą być reprezentowane w pamięci komputera przez tablice dwuwymiarowe. Rozwiązanie to przydaje się w przypadku, gdy z góry znany jest rozmiar macierzy.
16 Deklarację tablicy w języku Pascal umieszczamy w sekcji deklaracji zmiennych var. Składnia deklaracji tablicy dwuwymiarowej jest następująca:
17 Słowa array oraz of są słowami kluczowymi, które muszą się pojawić w deklaracji tablicy. Poniżej podajemy kilka przykładów:
18
19 #include <iostream> using namespace std; void p(int m, int n, int ** A) int i,j; for(i = 0; i < m; i++) for(j = 0; j < n; j++) A[i][j] = (i + j) % 2; Program,który tworzy macierz [0,1] for(i = 0; i < m; i++) for(j = 0; j < n; j++) cout << A[i][j] << " "; cout << endl; int main() int ** A,n,m,i; cout << "m = "; cin >> m; cout << "n = "; cin >> n; A = new int * [m]; for(i = 0; i < m; i++) A[i] = new int [n]; p(m,n,a); for(i = 0; i < m; i++) delete [] A[i]; delete [] A; return 0;
20 Pomnożyć macierz A m n przez skalar c. Mnożenie macierzy przez skalar polega na pomnożeniu każdego elementu macierzy przez dany skalar. Mnożąc macierz o wymiarze m n przez stałą k lub przez liczbę, otrzymujemy macierz, która ma również wymiar m n. Jeżeli element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie ma postać a ij, to odpowiednim elementem iloczynu jest ka ij.
21
22 Działanie to jest rozdzielne względem dodawania i odejmowania macierzy. Zatem dla dwóch macierzy A i B zachodzi: k(a + B) = ka + kb oraz ka = Ak
23 #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdlib> #include <time.h> using namespace std; int main() int ** A,c,n,m,iw,ik; srand((unsigned)time(null)); m = rand() % 8 + 2; n = rand() % 8 + 2; A = new int * [m]; for(iw = 0; iw < m; iw++) A[iw] = new int[n]; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) A[iw][ik] = rand() % 100; c = rand() % 21-10; cout << "m = " << m << endl << "n = " << n << endl << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) cout << setw(5) << A[iw][ik]; cout << endl; cout << endl << "c = " << c << endl << endl; Program generuje macierz o losowej liczbie wierszy (od 2 do 9) i losowej liczbie kolumn (od 2 do 9) oraz losowy skalar z zakresu od -10 do 10. Macierz zostaje wypełniona losowymi liczbami (od 0 do 99). for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) A[iw][ik] *= c; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) cout << setw(5) << A[iw][ik]; cout << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) delete [] A[iw]; delete [] A; return 0;
24 Dodać macierz B m n do macierzy A m n i wynik umieścić w macierzy C m n. Operacja dodawania dwóch macierzy polega na dodawaniu ich elementów leżących w tych samych wierszach i kolumnach. Wynika z tego oczywisty wniosek, iż dodawane macierze muszą posiadać takie same wymiary.
25
26 Z określenia tego bezpośrednio wynika, że własności dodawania macierzy są takie same, jak własności struktury, nad którą macierz jest zbudowana - jeżeli dodawanie składowych jest łączne, to łączne jest również dodawanie macierzy itd. W analogiczny sposób odejmujemy macierze.
27 Przykład:
28 Program, który oblicza sumę macierzy
29 #include<iostream> using namespace std; void wprowadz_macierz(int macierz[][10],int wiersze, int kolumny); void dodaj_macierze(int macierza[][10], int macierzb[][10], int macierzc[][10],int wiersze, int kolumny); void wyswietl_wynik(int macierzc[][10],int wiersze,int kolumny); int main() int maca[10][10], macb[10][10], macc[10][10]=0,wmac,kmac; cout << "Podaj rozmiar obu macierzy:\nwierszy: "; cin >> wmac; cout << "Kolumn: "; cin >> kmac; if((kmac) && (wmac) && (wmac<11) && (kmac<11)) cout << "\nmacierz A: \n"; wprowadz_macierz(maca,wmac,kmac); cout << "\nmacierz B\n"; wprowadz_macierz(macb,wmac,kmac); dodaj_macierze(maca,macb,macc,wmac,kmac); wyswietl_wynik(macc,wmac,kmac); else cout << "Zly rozmiar macierzy!\n"; return 0; void wprowadz_macierz(int macierz[][10], int wiersze, int kolumny) for(int i=0; i<wiersze; i++) for(int j=0; j<kolumny; j++) cout << "Podaj element (" << i+1 << "," << j+1 << "): "; cin >> macierz[i][j]; void dodaj_macierze(int macierza[][10], int macierzb[][10], int macierzc[][10],int wiersze,int kolumny) for(int i=0; i<wiersze; i++) for(int j=0; j<kolumny; j++) macierzc[i][j]=macierza[i][j]+macierzb[i][j]; void wyswietl_wynik(int macierzc[][10],int wiersze,int kolumny) cout << "\nwynik:\n"; for(int i=0; i<wiersze; i++) for(int j=0; j<kolumny; j++) cout << macierzc[i][j]; if(j<kolumny-1) cout << ", "; cout << "\n"; cout << "\n";
30 Program generuje trzy macierze o losowej lecz równej liczbie wierszy (od 2 do 5) i losowej lecz równej liczbie kolumn (od 2 do 5). Dwie pierwsze macierze zostają wypełnione losowymi wartościami od 0 do 99 i wyświetlone. Następnie program oblicza w trzeciej macierzy ich sumę i wyświetla wynik.
31 #include <iostream> #include <iomanip> #include <cstdlib> #include <time.h> using namespace std; int main() int **A,**B,**C,n,m,iw,ik; srand((unsigned)time(null)); m = rand() % 5 + 2; n = rand() % 5 + 2; A = new int * [m]; B = new int * [m]; C = new int * [m]; for(iw = 0; iw < m; iw++) A[iw] = new int[n]; B[iw] = new int[n]; C[iw] = new int[n]; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) A[iw][ik] = rand() % 100; B[iw][ik] = rand() % 100; cout << "m = " << m << endl << "n = " << n << endl << endl << "Matrix A:" << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) cout << setw(5) << A[iw][ik]; cout << endl; cout << endl << "Matrix B:" << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) cout << setw(5) << B[iw][ik]; cout << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) C[iw][ik] = A[iw][ik] + B[iw][ik]; cout << endl << "Matrix C = A + B:" << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) for(ik = 0; ik < n; ik++) cout << setw(5) << C[iw][ik]; cout << endl; for(iw = 0; iw < m; iw++) delete [] A[iw]; delete [] B[iw]; delete [] C[iw]; delete [] A; delete [] B; delete [] C; return 0;
32 KONIEC
Transponowanie macierzy Mnożenie macierzy Potęgowanie macierzy Wyznacznik macierzy
Transponowanie macierzy Mnożenie macierzy Potęgowanie macierzy Wyznacznik macierzy Problem Transponować macierz A m n na A T n m. Operacja transponowania macierzy polega na zamianie wierszy w kolumny i
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 2 Tablice dwuwymiarowe cd Funkcje rekurencyjne
1 Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 2 Tablice dwuwymiarowe cd Funkcje rekurencyjne Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie VI, Helion,
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie
Macierze Lekcja I: Wprowadzenie Wydział Matematyki Politechniki Wrocławskiej Definicja Niech dane będą dwie liczby naturalne dodatnie m i n. Układ m n liczb ułożonych w prostokątną tablicę złożoną z m
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
typ y y p y z łoż o on o e n - tab a lice c e w iel e owym m ar a o r we, e stru r kt k ury
typy złożone- tablice wielowymiarowe, struktury Wykład 6 Deklarowanie wskaźników nazwa_typu * nazwa_wskaznika; WSKAŹNIKI: PRZYPOMNIENIE Przypisywanie wskaźnikom wartości double * pn = &zmienna_typu_double;
Część 4 życie programu
1. Struktura programu c++ Ogólna struktura programu w C++ składa się z kilku części: część 1 część 2 część 3 część 4 #include int main(int argc, char *argv[]) /* instrukcje funkcji main */ Część
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika
Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach Określenie wyznacznika 1 Określenie macierzy Niech K bedzie dowolnym cia lem oraz niech n i m bed a dowolnymi liczbami naturalnymi Prostokatn a tablice a 11 a 12 a 1n
O podstawowych operacjach na tablicach. Mateusz Ziółkowski, MBiU II
Wykład Ⅴ O podstawowych operacjach na tablicach Mateusz Ziółkowski, MBiU II Czym są tablice? Tablica (ang. array) to zespół równorzędnych zmiennych, posiadających wspólną nazwę. Jego poszczególne elementy
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Programowanie - wykład 4
Programowanie - wykład 4 Filip Sośnicki Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 20.03.2019 Przypomnienie Prosty program liczący i wyświeltający wartość silni dla wprowadzonej z klawiatury liczby: 1 # include
Wymiar musi być wyrażeniem stałym typu całkowitego, tzn. takim, które może obliczyć kompilator. Przykłady:
5 Tablice Tablica jest zestawem obiektów (zmiennych) tego samego typu, do których można się odwołać za pomocą wspólnej nazwy. Obiekty składowe tablicy noszą nazwę elementów tablicy. Dostęp do nich jest
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Programowanie i struktury danych
Programowanie i struktury danych 1 / 30 STL Standard Template Library, STL (ang. = Standardowa Biblioteka Wzorców) biblioteka C++ zawierająca szablony (wzorce), które umożliwiają wielokrotne użycie. Główne
Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
r. Tablice podstawowe operacje na tablicach
27.03.2014r. Tablice podstawowe operacje na tablicach Tablica - definicja Tablica (ang. array) lub wektor (ang. vector) jest złożoną strukturą danych (ang. compound data structure) zbudowaną z ciągu elementów
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Tytuł pracy dyplomowej
Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie AGH University of Science and Technology Tytuł pracy dyplomowej Twoje imię i nazwisko W ydział M atematyki S tosowanej Dzisiejsza data Twoje
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
tablica: dane_liczbowe
TABLICE W JĘZYKU C/C++ tablica: dane_liczbowe float dane_liczbowe[5]; dane_liczbowe[0]=12.5; dane_liczbowe[1]=-0.2; dane_liczbowe[2]= 8.0;... 12.5-0.2 8.0...... 0 1 2 3 4 indeksy/numery elementów Tablica
Programowanie Procedurale
Programowanie Procedurale Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 6 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Programowanie Procedurale Wykład 6 1 / 27 Zbiór ctime zawiera deklarcję
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Programowanie obiektowe W3
Programowanie obiektowe W3 Przegląd typów strukturalnych w C++ : tablice statyczne i dynamiczne Dr hab. inż. Lucyna Leniowska, prof. UR Zakład Mechatroniki, Automatyki i Optoelektroniki Typy złożone: tablice
Tablice są typem pochodnym. Poniżej mamy przykłady deklaracji różnych tablic:
Tablice TEORIA Tablica to ciąg obiektów tego samego typu, które zajmują ciągły obszar w pamięci. Dzięki stosowaniu tablic, zamiast nazywania każdej z np. stu zmiennych osobno możemy zabudować tablicę 100-elementową,
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
1 Wskaźniki. 1.1 Główne zastosowania wskaźników
1 Wskaźniki Wskaźnik (ang. pointer) jest obiektem (zmienną) przechowującym adres pamięci. Definiowanie wskaźników: typ *nazwa wskaznika; np.: int *wsk na x;, double *xxx;, char *znak;. Aby można było pracować
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Wskaźniki i dynamiczna alokacja pamięci. Spotkanie 4. Wskaźniki. Dynamiczna alokacja pamięci. Przykłady
Wskaźniki i dynamiczna alokacja pamięci. Spotkanie 4 Dr inż. Dariusz JĘDRZEJCZYK Wskaźniki Dynamiczna alokacja pamięci Przykłady 11/3/2016 AGH, Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania 2 Wskaźnik to
Zmienne i struktury dynamiczne
Zmienne i struktury dynamiczne Zmienne dynamiczne są to zmienne, które tworzymy w trakcie działania programu za pomocą operatora new. Usuwa się je operatorem delete. Czas ich występowania w programie jest
Lista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
(3 kwiecień 2014) Marika Pankowska Kamila Pietrzak
(3 kwiecień 2014) Marika Pankowska Kamila Pietrzak Wyszukiwanie liniowe (ang. linear search), zwane również sekwencyjnym (ang. sequential search) polega na przeglądaniu kolejnych elementów zbioru Z. Jeśli
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
I - Microsoft Visual Studio C++
I - Microsoft Visual Studio C++ 1. Nowy projekt z Menu wybieramy File -> New -> Projekt -> Win32 Console Application w okienku Name: podajemy nazwę projektu w polu Location: wybieramy miejsce zapisu i
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Algebra. macierzy brzegowych z zastosowaniami. Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Algebra macierzy brzegowych z zastosowaniami Micha Kolupa Zbigniew Âleszyƒski
Wstęp do programowania
wykład 7 Agata Półrola Wydział Matematyki i Informatyki UŁ sem. zimowy 2016/2017 Losowanie liczb całkowitych Dostępne biblioteki Najprostsze losowanie liczb całkowitych można wykonać za pomocą funkcji
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji
Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji I LO im. F. Ceynowy w Świeciu Radosław Rudnicki joix@mat.uni.torun.pl 17.03.2009 r. Typeset by FoilTEX Streszczenie Celem wykładu jest wprowadzenie
Zadeklarowanie tablicy przypomina analogiczną operację dla zwykłych (skalarnych) zmiennych. Może zatem wyglądać na przykład tak:
Tablice Tablice jednowymiarowe Jeżeli nasz zestaw danych składa się z wielu drobnych elementów tego samego rodzaju, jego najbardziej naturalnym ekwiwalentem w programowaniu będzie tablica. Tablica (ang.
Wstęp do Informatyki
Wstęp do Informatyki Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 11 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Wstęp do Informatyki Wykład 11 1 / 52 Pętla for # i n c l u d e
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Dariusz Brzeziński. Politechnika Poznańska, Instytut Informatyki
Dariusz Brzeziński Politechnika Poznańska, Instytut Informatyki int getmax (int a, int b) { return (a > b? a : b); float getmax (float a, float b) { return (a > b? a : b); long getmax (long a, long b)
Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 1 Tablice powtórzenie Tablice znaków Tablice dwuwymiarowe
Podstawy algorytmiki i programowania - wykład 1 Tablice powtórzenie Tablice znaków Tablice dwuwymiarowe Treści prezentowane w wykładzie zostały oparte o: S. Prata, Język C++. Szkoła programowania. Wydanie
Liczby całkowite i rzeczywiste
Wykład 4(20 marzec 2014r.) Liczby całkowite i rzeczywiste Paulina Rogowiecka Klaudia Kamińska Adrianna Znyk 1 Spis treści: Czynniki pierwsze metoda próbnych dzieleń Pierwszość liczby naturalnej algorytmy
> C++ wskaźniki. Dane: Iwona Polak. Uniwersytet Śląski Instytut Informatyki 26 kwietnia 2017
> C++ wskaźniki Dane: Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet Śląski Instytut Informatyki 26 kwietnia 2017 >??? Co to jest WSKAŹNIK? ++ wskaźniki 2 / 20 >??? Co to jest WSKAŹNIK? To po prostu ADRES
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
1 Podstawy c++ w pigułce.
1 Podstawy c++ w pigułce. 1.1 Struktura dokumentu. Kod programu c++ jest zwykłym tekstem napisanym w dowolnym edytorze. Plikowi takiemu nadaje się zwykle rozszerzenie.cpp i kompiluje za pomocą kompilatora,
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem
Zadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Anna Sobocińska Sylwia Piwońska
Anna Sobocińska Sylwia Piwońska Problem Wyszukiwanie liniowe W n-elementowym zbiorze Z wyszukać element posiadający pożądane własności. Wyszukiwanie liniowe (ang. linear search), zwane również sekwencyjnym
Wstęp do programowania
wykład 6 Agata Półrola Wydział Matematyki i Informatyki UŁ sem. zimowy 2017/2018 Losowanie liczb całkowitych Dostępne biblioteki Najprostsze losowanie liczb całkowitych można wykonać za pomocą funkcji
Informacje wstępne #include <nazwa> - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char
Programowanie C++ Informacje wstępne #include - derektywa procesora umożliwiająca włączenie do programu pliku o podanej nazwie. Typy danych: char, signed char = -128 do 127, unsigned char = od
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Algorytmika i programowanie. Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie
Algorytmika i programowanie Wykład 2 inż. Barbara Fryc Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania w Rzeszowie Tablice Tablica jest zbiorem elementów tego samego typu. Każdy element jest identyfikowany (numer
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.
5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,
Tablice są typem pochodnym. Poniżej mamy przykłady deklaracji różnych tablic:
Tablice TEORIA Tablica to ciąg obiektów tego samego typu, które zajmują ciągły obszar w pamięci. Dzięki stosowaniu tablic, zamiast nazywania każdej z np. stu zmiennych osobno możemy zabudować tablicę 100-elementową,
Rozwiązanie. #include <cstdlib> #include <iostream> using namespace std;
Programowanie C++ Zadanie 1 Napisz program do obliczenia sumy i iloczynu ciągu liczb zakooczonego liczbą zero. Zakładamy, że ciąg zawiera co najmniej jedną liczbę (założenie to jest konieczne przy obliczeniu
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
wykład IV uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski Programowanie C/C++ Język C, a C++. wykład IV dr Jarosław Mederski Spis Język C++ - wstęp
Programowanie uzupełnienie notatek: dr Jerzy Białkowski 1 2 3 4 Historia C++ został zaprojektowany w 1979 przez Bjarne Stroustrupa jako rozszerzenie języka C o obiektowe mechanizmy abstrakcji danych i
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy
Uniwersytet Kazimierza Wielkiego w Bydgoszczy Zespół Szkół nr 5 Mistrzostwa Sportowego XV Liceum Ogólnokształcące w Bydgoszczy Matematyka, królowa nauk Edycja X - etap 2 Bydgoszcz, 16 kwietnia 2011 Fordoński
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Mechanizm dziedziczenia
Mechanizm dziedziczenia Programowanie obiektowe jako realizacja koncepcji ponownego wykorzystania kodu Jak przebiega proces dziedziczenia? Weryfikacja formalna poprawności dziedziczenia Realizacja dziedziczenia
Wskaźniki. nie są konieczne, ale dają językowi siłę i elastyczność są języki w których nie używa się wskaźników typ wskaźnikowy typ pochodny:
Wskaźniki nie są konieczne, ale dają językowi siłę i elastyczność są języki w których nie używa się wskaźników typ wskaźnikowy typ pochodny: typ nw; /* definicja zmiennej nw typu typ */ typ *w_nw; /* definicja
Zajęcia nr 2 Programowanie strukturalne. dr inż. Łukasz Graczykowski mgr inż. Leszek Kosarzewski Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej
Zajęcia nr 2 Programowanie strukturalne dr inż. Łukasz Graczykowski mgr inż. Leszek Kosarzewski Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Pętla while #include using namespace std; int main ()
Wprowadzenie do Scilab: macierze
Wprowadzenie do Scilab: macierze Narzędzia Informatyki Magdalena Deckert Izabela Szczęch Barbara Wołyńska Bartłomiej Prędki Politechnika Poznańska Instytut Informatyki Agenda Definiowanie macierzy Funkcje
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Techniki Programowania wskaźniki 2
Techniki Programowania wskaźniki 2 Łukasz Madej Katedra Informatyki Stosowanej i Modelowania Wykłady opracowane we współpracy z Danutą Szeligą, Łukaszem Sztangretem Jeżeli wskaźnik pokazuje na element
Metody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach
Działania na przekształceniach liniowych i macierzach Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 5 wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa,
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
> C++ dynamiczna alokacja/rezerwacja/przydział pamięci. Dane: Iwona Polak. Uniwersytet Śląski Instytut Informatyki
> C++ dynamiczna alokacja/rezerwacja/przydział pamięci Dane: Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet Śląski Instytut Informatyki 1429536600 > Dzisiejsze zajęcia sponsorują słówka: new oraz delete
ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2015
POLITECHNIKA WARSZAWSKA Instytut Automatyki i Robotyki ZASADY PROGRAMOWANIA KOMPUTERÓW ZAP zima 2015 Język programowania: Środowisko programistyczne: C/C++ Qt Wykład 4 : Napisy. Tablice dwuwymiarowe. Formaty