Lista zadań do wykładu pierwszego

Lista zadań do wkładu pierwszego Równania parametrczne ważniejszch łuków OdcineknapłaszczźnieokońcachA= 1, 1 ),B= 2, 2 )maprzedstawienieparametrczne: := 1 + 2 1 )t, = 1 + 2 1 )t, gdziet [0,1]. OkrągośrodkuS= 0, 0 )ipromieniurmaprzedstawienieparametrczne: := 0 +Rcost, = 0 +Rsint, gdziet [0,2π]. ElipsaośrodkuS= 0, 0 )ipółosiacha,bmaprzedstawienieparametrczne: := 0 +acost, = 0 +bsint, gdziet [0,2π]. Asteroida ma przedstawienie parametrczne: :=acos 3 t, =asin 3 t, gdziet [0,2π]. a a

kloida ma przedstawienie parametrczne: :=at sint), =a1 cost), gdziet [0,2π]. 2a πa 2πa Kardioida ma przedstawienie parametrczne: :=acost1+cost), =asint1+cost), gdziet [0,2π]. 2a OdcinekwprzestrzeniokońcachA= 1, 1,z 1 ),B= 2, 2,z 2 )maprzedstawienieparametrczne: := 1 + 2 1 )t, = 1 + 2 1 )t, z=z 1 +z 2 z 1 )t, gdziet [0,1]. z Liniaśrubowaoskokuh,nawiniętanawalec 0 ) 2 + 0 ) 2 =R 2,maprzedstawienieparametrczne: := 0 +Rcost, = 0 +Rsint, z= h t, gdziet R. 2π z Jedenzwójliniiśrubowejotrzmam,gdt [0,2π]. Równania fragmentów łuków określonch wżej otrzmam zmniejszając odpowiednio zakres zmienności parametru t. Na rsunkach strzałką zaznaczono kierunek przebiegu łuków prz wzroście parametru t.

Wzor na długość łuku Niech= { t),t) ) : t [α,β] } będziełukiemzwkłm,gładkimnapłaszczźnie.wteddługość tego łuku wraża się wzorem: β = [ t)] 2 +[ t)] 2 dt. α Podobnie,niech = { t),t),zt) ) : t [α,β] } będziełukiemzwkłm,gładkimwprzestrzeni. Wted długość tego łuku wraża się wzorem: 1.1. Obliczć długości łuków: = β α [,t)] 2 +[,t)] 2 +[z,t)] 2 dt. a):=at sint),=a1 cost),gdzie0 t 2πoraza>0ckloidazwkła); b):jedenzwójliniiśrubowejoskokuhnawiniętejnawalecopromieniur; c):=e t cost,=e t sint,z=e t,gdzie0 t< stożkowaliniaśrubowa). Zamiana całki krzwoliniowej niezorientowanej na pojednczą Niechfbędziefunkcjąciągłąnałukugładkim= { t),t) ) : t [α,β] } Wted β f,)dl= f t),t) ) [ t)] 2 +[ t)] 2 dt, α Jeżelifunkcjafjestciągłanałukugładkim={,)): [a,b]},to f,)dl= b a f,)) 1+[ )] 2 d. 1.2. Obliczć całkę krzwoliniową f,)dlpołuku,jeżeli: a)f,)= 1 odcinekłączącpunkt0, 1),2,0); 2 +2, b)f,)=, częśćokręgu 2 + 2 =R 2 leżącawićwiartceukładu; c)f,)= 2 + 2, okręg 2 + 2 =; d)f,)= 1, łukwkresufunkcji=1 2 2międzpunktami0, 2),4,0); e)f,)=+ 2 dl, brzegtrójkątaowierzchołkacha=0,0),b=4,0),=4,2). Niechfbędziefunkcjąciągłąnałukugładkim= { t),t),zt) ) : t [α,β] }.Wted f,,z)dl= β α f t),t),zt) ) [ t)] 2 +[ t)] 2 +[z t)] 2 dt. 1.3. Obliczć całkę krzwoliniową f,,z)dlpołuku,jeżeli: a)f,,z)= 2 + 2 +z 2, liniaśrubowa=cost,=sint,z=t,gdzie0 t 2π;

b)f,,z)=z ćwiartkaokręgu 2 + 2 +z 2 =4, 2 + 2 =1leżącawpierwszmoktancie układu współrzędnch; c)f,,z)= z 1+2, łukzadanparametrcznie=t,=t2,z=t 3,gdzie0 t 1; d)f,,z)=, brzegtrójkątaowierzchołkacha=0,0,0),b=1,1,2),=2,1,1). 1.4.interpretacja geometrczna całki krzwoliniowej niezorientowanej) Niech oznacza powierzchnię boczną walcapowierzchnia walcowa) o tworzącch przechodzącch przez łuk R 2.PonadtoniechtworzącewalcabędąrównoległedoosiOziwpunkcie,) majądługość f,) 0.Uzasadnić,żepolepowierzchniwrażasięwzorem: = f,)dl. z z f,),) Korzstając z powższego obliczć pole części powierzchni: a)=2 2,którależwpierwszmoktancieijestograniczonapłaszczznamiz=0,z=; b)walcowej 2 + 2 =1ograniczonejpłaszczznamiz=,z=5+; c)walcowej 2 + 2 =4ograniczonejpłaszczznamiz=0,z=1++. Zastosowanie całek krzwoliniowch niezorientowanch płaszczzna Niech R 2 będziełukiemmaterialnmogęstościliniowejmaswpunkcie,) równejλ,). Wted: masałukuwrażasięwzorem:m= λ,)dl; moment statczne względem osi układu współrzędnch łuku wrażają się wzorami: MS = λ,)dl, MS = λ,)dl; współrzędne środka mas łuku wrażają się wzorami: = MS M, =MS M ; moment bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnch łuku wrażają się wzorami: I = 2 λ,)dl, I = 2 λ,)dl, I O = 2 + 2) λ,)dl. Zastosowanie całek krzwoliniowch niezorientowanch przestrzeń Niech R 3 będziełukiemmaterialnmogęstościliniowejmaswpunkcie,,z) równejλ,,z). Wted:

masałukuwrażasięwzorem:m= λ,,z)dl. moment statczne względem płaszczzn układu współrzędnch łuku wrażają się wzorami: MS = zλ,,z)dl, MS z = λ,,z)dl, MS z = λ,,z)dl; współrzędne środka mas łuku wrażają się wzorami: = MS z M, =MS z M, z =MS M ; moment bezwładności względem osi lub początku układu współrzędnch łuku wrażają się wzorami: I = 2 +z 2) λ,,z)dl, I = 2 +z 2) λ,,z)dl, I z = 2 + 2) λ,,z)dl, I O = 2 + 2 +z 2) λ,,z)dl. 1.5. Obliczć masę łuku o gęstości liniowej λ, jeżeli: a) =2cost,=2sint,gdzie0 t 2π,λ,)= ; b) =ln,gdzie1. e,λ,)wkażdmpunkciejestrównakwadratowiodciętejtegopunktu; c) odcinekokońcacha=1,2),b= 11,11),λ,)wkażdmpunkciejestrówna 1 30 kwadratu odległości tego punktu od środka układu współrzędnch; d) =e t cost,=e t sint,z=e t,gdzie0 t 1,λ,)wkażdmpunkciejestodwrotnie proporcjonalana do kwadratu odległości tego punktu od środka układu współrzędnch i w punkcie1, 0, 1) jest równa 3; e) =tcost,=tsint,z=t 2,gdzie0 t 1,λ,,z)= z. 1.6. Obliczć współrzędne środka mas łuku jednorodnego, jeżeli: a):=t sint,=1 cost,gdzie0 t 2πckloida); b):=sin 3 t,=cos 3 t,gdzie0 t π 2 łukasteroid); c) prawpółokręg 2 + 2 =π 2 ; d):=cost,=sint,z=t,gdzie0 t 2π; e) brzegtrójkątasfercznego 2 + 2 +z 2 =1położonegowpierwszmoktancieukładuwspółrzędnch. 1.7. Obliczć moment bezwładności łuku jednorodnego: a) wkresfunkcji=e,gdzie0 1,względemosiO; b) brzegkwadratuobokua,względemprzekątnej; c) okręg 2 + 2 =r 2,względemjegośrednic; d) liniaśrubowa=cost,=sintz=t,gdzie0 t 2π,względemosiOz. Lista zadań do wkładu drugiego Zamiana całki krzwoliniowej zorientowanej na pojednczą Jeżelinałukugładkim= { t),t) ) : t [α,β] },któregoorientacjajestzgodnazjegoparametrzacją,polewektorowe F=P,Q)jestciągłe,to P,)d+Q,)d= β α [ P t),t) ) t)+q t),t) ) t) ] dt.

Podobnie,jeżelinałukugładkim= { t),t),zt) ) : t [α,β] },któregoorientacjajestzgodnaz jegoparametrzacją,polewektorowe F=P,Q,R)jestciągłe,to P,,z)d+Q,,z)d+R,,z)dz = β α [ P t),t),zt) ) t)+q t),t),zt) ) t)+r t),t),zt) ) z t) ] dt. 2.1. Obliczć całki krzwoliniowe zorientowane z podanch pól wektorowch po wskazanch łukach zorientowanch zgodnie z parametrzacją): a) F,)= 2 + 2, ), : =t,=e t,gdziet [0,1]; [ b) F,)= +,), : =2cost,=2sint,gdziet 0, π ] ; 2 c) F,)=2, 1), : =t sint,=1 cost,gdziet [0,2π]; d) F,,z)=,,z), : =2t,=t 2,z=1 t,gdziet [0,1]; e) F,,z)=,3z, 5 2 z), : =t,=t 2,z=t 3,gdziet [0,0]; f) F,,z)=z,z,), : =cost,=sint,z=t,gdziet [0,2π]. Jeżelipolewektorowe F=P,Q)jestciągłenałukugładkimopisanmrównaniem=),gdzie [a,b]iorientacjałukujestzgodnazewzrostemzmiennej,to P,)d+Q,)d= b a [ P,) ) +Q,) ) ) ] d. 2.2. Obliczć całki krzwoliniowe zorientowane z podanch pól wektorowch po wskazanch łukach zorientowanch zgodnie z parametrzacją): a) F,)= 2 2, 2 2 ), : = 2,gdzie [ 1,1]; b) F,)=, 2), : = 1,gdzie [1,4]; c) F,)=,), : =,gdzie [0,1]. 2.3. Obliczć podane całki krzwoliniowe zorientowane po wskazanch łukach: a) 2 +2 ) d+ 2 ) d, gdzie odcinekłączącpunkta=0,0)ib=2,2); b) d+ 2 d, gdzie brzegtrójkątaowierzchołkacha=0,0),b=1,2),= 1,4),zorientowandodatnio; c) 2d+,d, gdzie ćwiartkaokręguskierowanaodpunktua=1,0)dob=0,1); d) 2 d++1)d, gdzie okręg 2 + 2 +2=0,zorientowandodatnio; e) 2zd+ 2 z+z 2) d+ 2 +2z ) dz, gdzie odcinekłączącpunkta=0,0,0)ib=1,1,1); f) 3+5z)d++4)d+6 z)dz,

gdzie brzegtrójkątaowierzchołkacha=2,0,0),b=0,2,0),=0,0,2),obieganwkolejności ABA. 2.4. Obliczć całkę krzwoliniową 2d+ 2 d,jeżeliłukjest: a)prostą=,gdzie0 1;b)parabola= 2,gdzie0 1;c)parabola= 2,gdzie 0 1. Warunki konieczne i wstarczające potencjalności pola Niechpolewektorowe F=P,Q)będzieróżniczkowalnewsposóbciągłnaobszarzewpukłmD R 2. Wówczaspole FjestpotencjalnenaDwteditlkowted,gd P,)= Q,) dla,) D. Niech pole wektorowe F =P, Q, R) będzie różniczkowalne w sposób ciągł na obszarze wpukłm V R 3.Wówczaspole FjestpotencjalnenaVwteditlkowted,gd P,,z)= Q,,z), P z,,z)= R,,z), Q z,,z)= R,,z) dla,,z) V. 2.5. Sprawdzić, cz pole F jest potencjalne. Jeżeli tak to wznaczć ten potencjał. a) F,)=e,e 4); b) F,)=e,e ); c) F,)=cos2+sin+),sin+)); d) F,)= arctg, ln 1+ 2)) ; e) F,,z)=+z,+z,+); f) F,,z)= 3 5z, 3 5z,z 3 5 ). ałka krzwoliniowa z pola potencjalnego ałka zorientowana w polu potencjalnm nie zależ od drogi całkowania i jest równa różnic potencjałów w punktach końcowm i początkowm drogi całkowania. Wszczególności,jeżelipolewektorowe F=P,Q)będzieciągłeimapotencjałU,to P,)d+Q,)d=UB) UA), AB gdzie AB jest dowolnm zorientowanm kawałkami gładkim łukiem o początku A i końcu B. Podobnie,jeżelipolewektorowe F=P,Q,R)będzieciągłeimapotencjałU,to P,,z)d+Q,,z)d+R,,z)dz=UB) UA), AB gdzie AB jest dowolnm zorientowanm kawałkami gładkim łukiem o początku A i końcu B. 2.6. Sprawdzić, cz podane całki krzwoliniowe nie zależą od kształtu krzwej całkowania. Jezeli tak, to obliczć je: a) e cosd e sind,gdziea=0,0),b= 1, π ) ; 2 AB b) AB AB 2d 1 d,gdziea=2,1),b=1,2); c) 2 d+ 2 d,gdziea=2,0),b=0,2);

d) +ln)d+ d,gdziea=1,1),b=2,3); AB e) AB f) AB d+d+zdz,gdziea=1,1,1),b=2,3, 1); 2 2z ) d+ 2 2z ) d+ z 2 2 ) dz,gdziea=1,1,1),b=2,3,4). Twierdzenie Greena Niech 1.obszardomkniętD R 2 będzienormalnwzględemobuosiukładu, 2. brzeg obszaru D będzie zorientowan dodatnio, 3.polewektorowe F=P,Q)będzieróżniczkowalnewsposóbciągłnaD. Wted Pd+Qd= D ) Q P dd. 2.7. Wkorzstując twierdzenie Greena obliczć podane całki krzwoliniowe zorientowane. Sprawdzić wnik obliczając te całki bezpośrednio: a) +)d+2d, gdzie brzegtrójkątaowierzchołkacha=0,1),b=2,0),=0,2)zorientowandodatnio; b) d +)d, gdzie brzegobszaruograniczonegoparabolą= 2 iprostą=4zorientowandodatnio; c) 1 2 ) d+ 1+ 2) d, gdzie okręg 2 + 2 =R 2,zorientowandodatnio; d) 2 + ) d+ + 2) d, gdzie brzegtrójkątaowierzchołkacha=1,1),b=3,2),=2,5),zorientowandodatnio; e) e 1 cos)d e sin)d, gdzie brzegobszaru0 π,0 sin,zorientowandodatnio; f) +)d )d, gdzie brzegobszaruograniczonegoparabolą= 2 1iprostą+=1zorientowanujemnie. Pole obszaru PoleobszaruD R 2 ograniczonegołukiemzamkniętmkawałkamigładkim,dodatniozorientowanm względem obszaru D, wraża się wzorami: D = d= d= 1 d d. 2 2.8. Za pomocą całki krzwoliniowej zorientowanej obliczć pola obszarów ograniczonch łukami zamkniętmi:

a):=acost,=bsint,gdziet [0,2π]elipsa); b):=cost1+cost),=sint1+cost),gdziet [0,2π]kardioida); c):=cos 3 t,=sin 3,gdziet [0,2π]asteroida). Praca w polu wektorowm Praca w polu wektorowm F wkonana wzdłuż łuku zorientowanego, od punktu początkowego do końcowego, wraża się wzorem: W= F. 2.9.Obliczćpracępotrzebnąnaprzemieszczeniemasjednostkowejwpoluwektorowm F podczas ruchu po łuku zorientowanm, jeżeli: a) F,)= 2, 2), dowolnłukłączącpunkta=1,0),b=0,3); b) F,)=e,2 e ), dowolnłukłączącpunkta=0,0),b=1, 2); c) F,,z)= +,z, 2 +z ), prostałączącapunkta=1,1,1)zpunktemb=0,2,3); d) F,,z)=,+z,z), łuk=cost,=sint,z=todpunktua=1,0,0)dopunktu B= 1,0,π); e) F,,z)=,, z), dowolnłukłączącpunkta= 1, 1,z 1 )należącdosfer 2 + 2 + z 2 =r 2 zpunktemb= 2, 2,z 2 )należącmdosfer 2 + 2 +z 2 =R 2. Lista zadań do wkładu trzeciego Równania parametrczne ważniejszch płatów powierzchniowch Płaszczznaprzechodzącaprzezpunkt r 0 = 0, 0,z 0 )irozpiętanawektorach a= 1, 1,z 1 ), b= 2, 2,z 2 )maprzedstawienieparametrczne: = 0 +u 1 +v 2, : = 0 +u 1 +v 2, z=z 0 +uz 1 +vz 2, gdzieu R,v R. z Sfera o środku w początku układu współrzędnch i promieniu r ma przedstawienie parametrczne: =rcosucosv, : =rsinucosv, [ z=rsinv, gdzieu [0,2π],v π ] 2,π. 2

z Powierzchniastożkaokreślonarównaniemz=k 2 + 2,gdzie 2 + 2 r 2,maprzedstawienieparametrczne: =vcosu, : =vsinu, z=kv, gdzieu [0,2π],v [0,r]. z Powierzchniaparabolidobrotowejokreślonarównaniemz=k 2 + 2),gdzie 2 + 2 r 2,maprzedstawienie parametrczne: =vcosu, : =vsinu, z=kv 2, gdzieu [0,2π],v [0,r]. z Powierzchniawalcowaopisanarównaniem 2 + 2 =r 2,gdzie0 z H,maprzedstawienieparametrczne: =rcosu, : =rsinu, z=v, gdzieu [0,2π],v [0,H].

z Uwaga. Równania fragmentów tch płatów powierzchniowch otrzmam zmniejszając odpowiednio zakres parametrów u, v. Wzór na pole płata powierzchniowego Niech={ ru,v)=u,v),u,v),zu,v)):u,v) D}będziegładkimpłatempowierzchniowm. Pole tego płata wraża się wzorem: r = u r v dudv, D D gdzie r ) u = u, u, z, r ) u v = v, v, z.jeżelipłatgładkijestwkresemfunkcjiz=z,), v gdzie,) D,tojegopolewrażasięwzorem: ) 2 ) 2 z z = 1+ + dd. Analogicznie wglądają wzor na pola płatów gładkich, które są wkresami funkcji postaci =, z) oraz=,z). 3.1. Obliczć pola płatów: a) częśćpłaszczzn2+3+z 6=0wciętaprzezwalec 2 + 2 =4; b) częśćparaboloidz= 2 + 2 odciętaprzezpłaszczznęz=h,gdzieh>0; c) powierzchniabocznastożkaściętegoopromieniachpodstawr,riwsokościh,gdzier<r. Zamiana całki powierzchniowej niezorientowanej na całkę podwójną Jeżelifunkcjafjestciągłanapłaciegładkim= { ru,v) : u,v) D },gdzieobszard R 2 jest regularn, to f,,z)ds= f ru,v) ) r u r v dudv. D Jeżelinatomiastpłatgładkijestwkresemfunkcjiz=z,),gdzie,) Dorazfunkcjafjest ciągła na, to wzór na zamianę całek przjmuje postać: f,,z)ds= f,,z,) 1+ ) D ) 2 z + ) 2 z dd. Podobnewzormamdlapłatówopisanchrównaniami=,z), =,z). 3.2. Obliczć całki powierzchniowe niezorientowane po wskazanch płatach:

a) 2 + 2) ds,gdziejestsferą 2 + 2 +z 2 =R 2 ; b) zds,gdziejestpółsferą 2 + 2 +z 2 =4,z 0; c) ds,gdziejestczęściąpłaszczznz=4 położonąnakwadratem[0,2] [0,2]; d) ++z)ds,gdziejestczęściąpłaszczzn++z=1położonąwpierwszmoktancie układu współrzędnch; e) 2 + 2 ds,jestpowierzchniąbocznąstożkaz= 2 + 2,z 3. Zastosowanie całek powierzchniowch niezorientowanch Niech R 3 będziepłatemmaterialnmogęstościpowierzchniowejmaswpunkcie,,z) równej σ,,z).wted: masa płata wraża się wzorem: M= σ,,z)ds. moment statczne względem płaszczzn układu współrzędnch płata wrażają się wzorami: MS z = σ,,z)ds, MS z = σ,,z)ds, MS = zσ,,z)ds. współrzędne środka mas płata wrażają się wzorami: = MS z M, =MS z M, z =MS M. moment bezwładności względem osi oraz względem początku układu współrzędnch płata wrażają się wzorami: I = 2 +z 2) σ,,z)ds, I = 2 +z 2) σ,,z)ds, I z = 2 + 2) σ,,z)ds, I 0 = 2 + 2 +z 2) σ,,z)ds. 3.3. Obliczć mas podanch płatów o wskazanch gęstościach powierzchniowch: a)z=+,gdzie [1,2], [2,3]orazσ,,z)=z; b)powierzchniapółsferz= R 2 2 2,σ,,z)=z; c)powierzchniastóżkaz= 2 + 2,z 1,σ,,z)= 2 + 2 +z 2. 3.4. Znaleźć położenia środków mas jednorodnch płatów materialnch: a)++z=4, 2 + 2 1; b)z=2 2 + 2, 2 z 6; c)z= 2 + 2, z 1; d) sześcienne pudełko o krawędzi aotwarte od gór). 3.5. Obliczć moment bezwładności podanch jednorodnchjeżeli nie podano innej gęstości powierzchniowej) płatów materialnch względem wskazanch osi: a)sferaopromieniurimasiem,względemśrednic; b)paraboloidaz= 2 + 2,gdziez h,ogęstościpowierzchniowejmasσ,,z)= 1 1+42 +4 2,

względem osi Oz; c)powierzchniaośmiościanu + + z =aomasiem,względemosioz; d)powierzchniabocznawalca 2 + 2 =R 2, H z H,omasieM,względemosiO. Lista zadań do wkładu czwartego z Płat powierzchniow dwustronn Płat powierzchniow jednostronnwstęga Möbiusa) Zamiana całki powierzchniowej zorientowanej na całkę podwójną Jeżelipolewektorowe F=P,Q,R)jestciągłenagładkimizorientowanmpłacie={u,v),u,v),zu,v)): u,v) D} gdzie D jest obszarem regularnm na płaszczźnie, to P,,z)ddz+Q,,z)dzd+R,,z)dd= ) ) ) ) =± P u,v),u,v),zu,v) A+Q u,v),u,v),zu,v) B+R u,v),u,v),zu,v) dudv, D gdzie z z A= u v, B= u v, = u v z z u v u v u v Znak stojąc przed całką podwójną ustala się na podstawie orientacji płata. W zapisie wektorowm prawa strona powższego wzoru przjmuje postać ) ) r ± F ru, v) u r dudv. v D Jeżeligładkipłatzorientowanjestwkresemfunkcjiz=z,),gdzie,) D,apolewektorowe F=P,Q,R)jestciągłena,to P,,z)ddz+Q,,z)dzd+R,,z)dd= = D [ P,,z,) ) z +Q,,z,) ) z R,,z,) ) ] dd. Podobnerównościmająmiejsce,gdpłatjestwkresemfunkcji=,z)lub=,z). 4.1. Obliczć powierzchniowe zorientowane: a) ddz+dzd+zdd, gdziejestzewnętrznąstronąpółsfer 2 + 2 +z 2 =1,z 0; b) ddz+zdzd+zdd,

gdzie jest zewnętrzną stroną powierzchni czworościanu ograniczonego płaszczznami = 0, = 0, z=0,++z=1; c) 2 ddz+z 2 dzd+z 2 dd, gdziejestzewnętrznąstronąpowierzchnisześcianu0 1,0 1,0 z 1; d) 2 ddz+ 2 dzd+z 2 dd; gdziejestgórnąstronąpowierzchnistożkaz= 2 + 2,z 1; e) z 2 dd, gdziejestzewnętrznąstronąsfer 2 + 2 +z 2 =4. Twierdzenie Gaussa Ostrogradsiego Jeżeli 1. jest zorientowanm kawałkami gładkim płatem zamkniętm, któr jest brzegiem obszaru domkniętegov R 3, 2.polewektorowe F=P,Q,R)jestróżniczkowalnewsposóbciągłnaV, to ) P Pddz+Qdzd+Rdd= + Q + R dddz. z 4.2. Prz pomoc twierdzenia Gaussa Ostrogradskiego obliczć podane całki powierzchniowe. Sprawdzić otrzmane wniki obliczając te całki bezpośrednio: a) 2ddz 2 dzd+2zdd, gdziejestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: 2 + 2 +z 2 9, 0, 0,z 0; b) +z)ddz++)dzd++z)dd, gdziejestzewnętrznąstronąbrzeguobszaruv: 2 + 2 R 2,++z 2R,z 0; c) 3 ddz+ 3 dzd+z 3 dd, gdziejestwewnętrznąstronąpowierzchniwalcav: 2 + 2 R 2,0 z H. V Twierdzenie Stokesa Jeżeli 1. jest płatem kawałkami gładkim zorientowanm, którego brzeg jest łukiem kawałkami gładkim zorientowanm zgodnie z orientacją płata, 2.polewektorowe F=P,Q,R)jestróżniczkowalnewsposóbciągłnapłaciełączniezbrzegiem), to Pd+Qd+Rdz= ) ) ) R P Q Q ddz+ z z R dzd+ P dd. 4.3. Korzstając z twierdzenia Stokesa obliczć podane całki krzwoliniowe. Sprawdzić otrzmane wniki obliczając te całki bezpośrednio: a) 2 3 d+d+zdz,gdziejestokręgiem 2 + 2 =R 2,z=0,zorientowanmdodatnio;

b) c) d++)d+++z)dz,gdzie: =sint,=cost,z=sint+costdlat [0,2π]; +z)d+z+)d++)dz,gdziejestokręgiem 2 + 2 +z 2 =R 2,=. Rotacja pola wektorowego Rotacją pola wektorowego F =P, Q, R) określam wzorem i j k ) bfrot F= R z = Q z, P z R, Q P P Q R Dwergencja pola wektorowego Dwergencję pola wektorowego F =P, Q, R) określam wzorem div F= P + Q + R z. 4.4. Obliczć rotacje i dwergencje pól wektorowch: a) F,,z)= 3,2z 2,z ) ; b) F,,z)=2+3z,3z 4,5 z); c) F,,z)= z 3,2 2 4,5z 2) ; d) F,,z)= ++z, 2 + 2 +z 2,z ). 4.5. Pokazać, że: ) a)rot α F+β G =αrot F+βrrot G, gdzieα,β R; ) b)div α F+β G =αdiv F+βdiv G, gdzieα,β R; c)div F G) = G rot F F rot G. Lista zadań do wkładu piątego Funkcja wkładnicza Niechz=+i,gdzie, R.Funkcjęwkładnicząe z definiujemzapomicąwzorueulera: e z =e cos+isin). Funkcje trgonometrczne Funkcje trgonometrczne zmiennej zespolonej z definiujem wzorami: sinz= eiz e iz 2i ; cosz= eiz +e iz ; 2 tgz= sinz cosz ; ctgz=cosz sinz.

Logartm liczb zepolonej Logartmemliczbzespolonejz 0nazwamkażdąliczbęzespolonątaką,żee w =z.zbiórwszstkich logartmówliczbzoznaczamprzezlogz.jeżeliz 0,to Logz={ln z +iargz+2kπi,gdziek Z}. Logartmem głównm liczb zespolonej z 0 nazwam liczbę log z określoną wzorem gdzie arg z jest argumentem głównm liczb z logz=ln z +iargz, 5.1. Obliczć wartości wrażeń: a) sin 2i); b) cos1 + i); c) Log 4); d)log 4); e)log 3+i ) ; f)log 3+i ). 5.2. Dowieść, że: a)sin 2 z+cos 2 z=1; b)sinz 1 +z 2 )=sinz 1 cosz 2 +cosz 1 sinz 2 ; c)e z1+z2 =e z1 e z2 ; d)e z+2kπi =e z dlak Z; e)e z 0dlakażdegoz. zęść rzeczwista i część urojona funkcji zespolonej Niechfz)będziefunkcjązespolonąokreślonąnazbiorzeD iniechdlaz=+i D fz)=u,)+iv,), gdzie u, ), v, ) są funkcjami rzeczwistmi zmiennch rzeczwistch. Wted funkcję u, ) nazwam częścią rzeczwistą, a funkcję v, ) częścią urojoną funkcji fz). Przjmujem, że dziedzin funkcjiu,),v,)pokrwająsięzdjakopodzbiorem R 2 ). 5.3. Wznaczć część rzeczwistą i część urojoną funkcji: a)fz)=z 2 z; b)fz)= 1 z ; c)fz)=iz3 +z; 1 d)fz)=sinz; e)fz)=chz; f)fz)=e. 5.4.Podać,przkładliczbzespolonchztakich,że: sinz >1, cosz >1. 5.5. Rozwiązać równania: a)e z+i = 4; b)e z =e Rez ; c)cosz= 2; d)sinz=i. Równania auch ego-riemanna Jeślifunkcjafz)=u,)+iv,)mawpunkciez 0 = 0 +i 0 pochodną,tojejczęśćrzeczwista u,)iczęśćurojonav,)mająwpunkcie 0, 0 )pochodnecząstkowepierwszegorzęduspełniające równaniaauch ego 1 Riemanna 2 { u 0, 0 )=v 0, 0 ), u 0, 0 )= v 0, 0 ). Spełnienie warunków auch ego Riemanna w punkcie nie wstarcza do istnienia w nim pochodnej funkcji zespolonej. Jeśli natomiast pochodne cząstkowe pierwszego rzędu funkcji u, ), v, ) są ciągłewpunkcie 0, 0 )ispełniająwnimrównaniaauch ego Riemanna,tofunkcjazespolonafz)= u,)+iv,),gdziez=+i,mapochodnąwpunkciez 0 = 0 +i 0.Ponadto f z 0 )=u 0, 0 )+iv 0, 0 )=v 0, 0 ) iu 0, 0 ). 1 AugustinLouisauch1789-1857),matematkfrancuski. 2 BernhardRiemann1826-1866),matematkniemiecki.

5.6. Wkazać, że podane funkcje spełniają równania auch ego-riemanna: a)fz)=e z ; b)fz)=cosz; c)fz)= 1 z ; d)fz)=logz. Funkcje holomorficzne Mówim,żefunkcjafz)jestholomorficznawpunkciez 0,jeślimapochodnąf z)wpewnmotoczeniu tego punktu. Mówim, że funkcja fz) jest holomorficzna w obszarze, jeśli jest holomorficzna w każdm punkcie tego obszaru. 5.7. Sprawdzić, cz podane funkcje są holomorficzne. W przpadku odpowiedzi poztwnej obliczć jej pochodną: a)fz)=e z ; b)fz)= 1 z ; c)fz)=zrez; d)fz)=zimz; e)fz)=zz; f)fz)=z 2. 5.8.Znaleźćfunkcjęholomorficznąfz)=u,)+iv,)wiedząc,że: a)u,)= 2 2 +; b)u,)= 2 2 +2; c)v,)=4 3 4 3 +1; d)u,)=2+,f 2)=i; e)v,)= 2 + 2,f2)=0; f)v,)=e sin+2,f0)=5. Wskazówka. Wkorzstać równania -R. Lista zadań do wkładu szóstego Równania parametrczne ważniejszch łuków na płaszczźnie zespolonej Odcineknapłaszczźniezespolonejokońcachz 1,z 2 maprzedstawienieparametrczne: :zt)=z 1 +z 2 z 1 )t, gdziet [0,1]. Imz Rez Okrągośrodkuz 0 ipromieniurmaprzedstawienieparametrczne: :zt)=z 0 +re it, gdziet [0,2π]. Imz Rez Elipsaośrodkuz 0 ipółosiacha,bmaprzedstawienieparametrczne: :zt)=z 0 +acost+ibsint, gdziet [0,2π].

Imz Uwaga. Równanie z = zt), gdzie t I, jest równoważne układowi równań rzeczwistch { =t), =t), gdziet I,przczmt)=Rezt),t)=Imzt)dlat I. 6.1. Napisać równania parametrczne podanch krzwch: a)odcinkałączącegopunktz 1 =2+i,z 2 = 1; b)okręguośrodkuz 0 =2 iipromieniur=3; c)elipsośrodkuz 0 =0ipółosiacha,b; Rez d)częściparaboli= 2 zawartejmiędzpunktamiz 1 =1+i,z 2 = 3+3i. Zamiana całki krzwoliniowej z funkcji zespolonej na całkę oznaczoną Niechfbędziefunkcjąciągłąnałukugładkim.Wted β fz)dz= fzt))z t)dt, α gdziez=zt)dlat [α,β]jestparametrzacjązgodnąłuku. 6.2. Obliczć podane całki po zadanch krzwch: a) e z zdz, odcinekopoczątku iikońcu1; b) 3z+1) zdz, półokrąg{z : z =1,Rez 0}opoczątku iikońcui; c) e z dz, łamanaowierzchołkachkolejno0, π 2, π 2 1 i); d) z z)dz, łukparaboli= 2 opoczątku1+iikońcu0; e) zrez 2 dz, ćwiartkaokręgu{z : z =2,Rez 0,Imz 0}opoczątku2iikońcu2.

ałka krzwoliniowa z funkcji zespolonej mającej funkcję pierwotną Jeślifunkcjafz)jestciągłaimapierwotnąFz)naobszarzeD,tocałka fz)dzpodowolnmłuku zawartmwobszarzed,mającmpoczątekaikoniecb,niezależoddrogicałkowaniaoraz b fz)dz= fz)dz=fb) Fa). a 6.3. Obliczć podane całki po wskazanej krzwej regularnej o zadanm początku a i końcu b: a) e iz dz, dowolnakrzwa, a=i,b=0; b) 2zcos iz 2) dz, dowolnakrzwa, a= π 2,b=π 2 i; c) zsinzdz, dowolnakrzwa, a=0,b= π 2 i; d) zdz z 2, odcinek, a=0,b=1+i. +2 Twierdzenie całkowe auch ego Jeśli funkcja fz) jest holomorficzna w obszarze jednospójnm D, a jest kawałkami gładkim łukiem zamkniętmkrzwa Jordana) leżącm w tm obszarze, to fz)dz=0. 6.4. Uzasadnićbez wkonwania obliczeń) równości: e z dz a) =0, trójkątowierzchołkach 1,2i, 2+4i; b) z zdz z 2 =0, okrąg z =1. +4 Wzór całkow auch ego i jego uogólnienie Jeślifunkcjafz)jestholomorficznawobszarzejednospójnmD,a Djestkawałkamigładką, dodatniozorientowanąkrzwąjordanazawierającąpunktz 0 wswmwnętrzu,toprawdziwjestwzór całkow auch ego fz)dz =2πifz 0 ) z z 0 oraz jego uogólnienie gdzien N. fz)dz z z 0 ) n+1=2πi n! fn) z 0 ), 6.5. Korzstając ze wzoru całkowego auch ego lub jego uogólnień obliczć podane całki: a) e z dz zz 2i), okrąg z 3i =2zorientowandodatnio;

b) c) d) e) ze 2πz dz z 2 +1, łamanazamkniętaowierzchołkach0,1+2i, 1+2izorientowanadodatnio; dz z 2 2, okrąg z 2i =2zorientowandodatnio; +9) sinzdz z 2 π 2 2, okrąg z 3 =1zorientowandodatnio; ) e z dz 3, okrąg z πi =1zorientowandodatnio. zz πi) Lista zadań do wkładu siódmego Szeregi Talora Jeślifunkcjafz)jestholomorficznawobszarzeD,tomożnająrozwinąćwokółkażdegopunktu z 0 Dwszeregpotęgow f n) z 0 ) fz)= z z 0 ) n. n! n=0 SzeregtennazwamszeregiemTalorafunkcjifz)ośrodkuwpunkciez 0.Jeżeliz 0 =0,toszereg ten nazwam szeregiem Maclaurina. Prz czm jakąkolwiek metodą otrzmam rozwinięcie funkcji holomorficznej w szereg potęgow o środku w danm punkcie, to będzie to jej szereg Talora. 7.1.RozwinąćwszeregTalorawotoczeniupunktuz 0 funkcjęfz): a)fz)= 1 z+2,z 0=i, b)fz)= z2 z+2,z 0=2. 1 Wskazówka. Wkorzstać rozwinięcie 1 u = u n,gdzie u <1. Szeregi Laurenta n=0 Niech będą dane szeregi c n z z 0 ) n c n oraz z z n=0 n=1 0 ) n,gdziec n dlan N.Sumętchszeregów oznaczam smbolem c n z z 0 ) n n= inazwamszeregiemlaurentaośrodkuwpunkciez 0 iwspółcznnikachc n.pierwszztchszeregów nazwam częścią regularną, a drugi częścią osobliwą tego szeregu. Jeślifunkcjafz)jestholomorficznawpierścieniuP={z :r< z z 0 <R},tomożnająrozwinąć wnimwszereglaurenta fz)= n= c n z z 0 ) n, gdzie c n = 1 2πi fζ)dζ n+1 dlan Z, ζ z 0 ) gdziejestdowolnmdodatniozorientowanmokręgiemośrodkuwpunkciez 0 zawartmwpierścieniu P. Prz czm możem szukać rozwinięć funkcji holomorficznch w szereg Laurenta, wkorzstując znane już rozwinięcia oraz twierdzenia o szeregach potęgowch. Jest to z reguł łatwiejsze niż korzstanie z podanch powżej wzorów na współcznniki.

7.2. Znaleźć rozwinięcie funkcji fz) w szereg Laurenta we wskazanm pierścieniu P: 1 a)fz)=, P={z :1< z < }; z1 z) 1 b)fz)=, P={z :0< z 1 <1}; z1 z) z c)fz)=, P={z :4< z+3 < }; z 1)z+3) z 2 1 d)fz)=, P={z :2< z <3}. z+2)z+3) 1 Wskazówka. Wkorzstać rozwinięcie 1 u = u n,gdzie u <1. Punkt osobliwe n=0 Jeślifunkcjafz)niejestholomorficznawpunkciez 0,alejestholomorficznawsąsiedztwietegopunktu, toz 0 nazwampunktemosobliwmodosobnionmfunkcjifz). Przczmpunktz 0 nazwam: 1. pozornie osobliwm, jeżeli istnieje granica właściwa limfz). z z 0 [ ] 2. biegunem, jeżeli limfz)=,ponadtomówim,żez 0 jestbiegunemk-krotnm,jeżelilim z z 0 ) k fz) z z 0 ] z z 0 0oraz lim z z 0 ) k+1 fz) =0.. z z 0 [ 3. istotnie osobliwm, jeżeli nie istnieje granica lim z z 0 fz). 7.3. Określić rodzaj punktów osobliwch odosobnionch podanch funkcji. W przpadku biegunów zbadać ich krotność: a)fz)= z2 z 2 +1 ; d)fz)=ztgz; Residua sinz b)fz)= z 2 π 2; c)fz)= z sinz ; e)fz)= z2 e z 1 ; f)fz)=zsin1 z. Niechfunkcjafz)będzieholomorficznawpewnmsąsiedztwiepunktuz 0.Residuumfunkcjifz)w punkciez 0 nazwamliczbę res z0 fz)=c 1, gdziec 1 oznaczawspółcznnikzindeksem 1wczęściosobliwejrozwinięciafunkcjifz)wszereg Laurentawsąsiedztwiepunktuz 0. Jeśliz 0 jestbiegunemjednokrotnmfunkcjifz),tores z0 fz)= lim[z z 0 )fz)]. z z 0 1 d k 1 [ ] Jeśliz 0 jestbiegunemk-krotnmfunkcjifz),tores z0 fz)= lim k 1)! z z 0 dz k 1 z z 0 ) k fz). 7.4. Obliczć residua funkcji fz) w punktach osobliwch: a)fz)= z+1 z 2 +1 ; b)fz)= z 2 z 1) 2; c)fz)= 1 z 3 z 5; d)fz)= 1 z 2 cosz ; g)fz)= 1 1 z 8wpunkciez=i. Twierdzenie całkowe o residuach 1 e)fz)=ez z ; f)fz)=ze z ; Jeśli funkcja fz) jest holomorficzna w obszarze jednospójnm D z wjątkiem co najwżej punktów z 1,z 2,...,z n,ajestkrzwązamkniętąkawałkamigładką,dodatniozorientowaną,leżącąwtmob-

szarze i zawierającą wskazane punkt w swoim wnętrzu, to fz)dz=2πi n res zk fz). 7.5. Korzstając z twierdzenia całkowego o residuach obliczć podane całki: zdz a) z 2 +2z+2, okrąg z =2zorientowandodatnio; b) c) d) dz z 1) 2 z 2 +1), okrąg2 + 2 =2+2zorientowandodatnio; k=1 e πz dz 2z 2 i, okrąg z =1zorientowandodatnio; dz e 2z 1, okrąg z 2i =3zorientowandodatnio. Obliczanie całek niewłaściwch Jeżelifz)jestfunkcjąwmiernąpostacifz)= Pz) Qz),gdziePz)iQz)sąwielomianamiowspółcznnikach rzeczwistch, prz czm mianownik nie ma pierwiastków rzeczwistch oraz jego stopień jest co najmniej o 2 większ od stopnia licznika, to f)d=2πi n res zk fz), gdziez 1,z 2,...,z n,sątmizeramimianownika,dlaktórchimz k >0,gdziek=1,2,...,n. 7.6. Obliczć podane całki niewłaściwe: a) 2 +1 4 d; b) +1 d 1+ 2 ) 3; c) k=1 d 2 +2) 2 +5). List zadań do wkładów od pierwszego do czwartego oparto na książce M.Gewert, Z.Skoczlas Element analiz wektorowej, a pozostałe na książce J.Długosz Funkcje zespolone.