z 1+z 2 4. Następujące liczby przedstawić w postaci wykładniczej oraz zaznaczyć na płaszczyźnie

Transkrypt

1 . Lista. Obliczyć wartości wyrażeń: (2+ 4 ) ( ) 2 i (5+i); (b)(3 i)( 4+2i); (c) 4 +i ; (+i) 4 ; (e)( 2+3i) 3 ; (f) 2+3i i ; (g)(+i)(2 i) ( i) 2. 2.Niechz=x+iy,gdziex,y R.Podanewyrażeniaprzedstawićzapomocąx,y: Re ( z 2) ; (b)e z ; (c) z 2 ; z n ; (e)im ( z 3) ; (f)re ( zz 2) ( ) z ; (g)im ; (h)re z ( +z 2 3. Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone warunkami: Re(iz)<; (b) z i =Rez; (c) z <; 2< z+2i <3; (e) (2+i)z i 5; (f)< i z 2; (g) 2iz+ 2; (h) z i = z ; (i) π 4 <arg(z 3+i) 2 3 π. 4. Następujące liczby przedstawić w postaci wykładniczej oraz zaznaczyć na płaszczyźnie zespolonej: ; (b)i; (c) 4; 6i; (e) 6+ 2i; (f) 2 3 2i; (g)3 3 3i. 5. Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej. Podać interpretację geometryczną: 4 ; (b) 9 8i; (c) 3 27; 3 +i. 6. Rozwiązać równania: z 2 +4z+5=; (c)z 3 4z 2 +6z 4=; z 3 8=. (b)z 2 +(2 4i)z +2i=; 7. Obliczyć granice właściwe lub niewłaściwe ciągów: z n = +n (3+n)ni n 2 ; (b)z n = +in2 2n i ; (c)z n=e iπ n n ; z n =.2 Lista. Obliczyć: sin( 2i); (b)cos(+i); (c)log( 4); log( 4); (e)log ( 3+i ) ; (f)log ( 3+i ). ). ( ) n i. i

2 2 2. Dowieść, że: e z+z2 =e z e z2 ; (b)cos 2 z+sin 2 z=; (c)cos(z +z 2 )=cosz cosz 2 sinz sinz 2 ; ( cos(iz)=coshz; (e)sin(iz)=isinhz; (f)cos z+ π ) = sinz; 2 (g)sin(z+nπ)=( ) n sinzdlan N; (h)sin2z=2sinzcosz. Wskazówka.sinhz= ez e z,coshz= ez +e z Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną funkcji: f(z)=z 2 ; (b)f(z)= z ; (c)f(z)=iz3 +z; f(z)=sinz; (e)f(z)=coshz; (f)f(z)=e z. 4.Podaćprzykładyliczbzespolonychztakich,że: sinz >, cosz >. 5. Rozwiązać równania: e z+i = 4; (b)e z =e Rez ; (c)e 2z +2 3ie z 4=; ctgz= 2i; (e)cosz= 2; (f)sinz=i; (g)e 2z 3ie z+ +4e 2 =; (h)tgz= 2 i 5. 6.Napisaćwzórodwzorowaniaw=f(z),gdziez,gdyfjest: translacjąowektorz ; (b)obrotemokątϕ(wszczególnościdlaϕ=π/2)wokółpunktuz=; (c)jednokładnościąoskalik>iśrodkuz=; odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x. 7.ZnaleźćobrazzbioruDprzyodwzorowaniuw=f(z).NarysowaćzbiórDijego obraz, jeśli: D= z : z +2i } 5, f(z)=(2+i)z+3i; (b)d= z : argz π } 3, z 2, f(z)=z 2 ; (c)d= D= z : π } ( 4 argz π 2, z ), f(z)= 2+ 2i z; z : z 3, π 3 argz }, f(z)=(+i)z 2 ; (e)d=z : Rez, z }, f(z)=iz; (f*)d=z : Rez, Imz }, f(z)=z Znaleźć obraz: i)okręgu z =,ii)prostejy=xbezpunktu(,)przyodwzorowaniuw= z ;

3 (b)i)okręgu z =bezpunktuz=,ii)prostejy=xprzyodwzorowaniuw= z ; (c)zbiorud=z : z,z }przyodwzorowaniuw= z+2i. z 9.Znaleźćobrazprostychx=x,y=y iobrazkwadratu przyodwzorowaniuw=e z. D=z : Rez, Imz } (b)odwzorowaćobszard=z :< z <e, π<argz<π}zapomocąfunkcji w=logz(logarytmgłówny). *.ZnaleźćobrazzbioruD=z :Rez,Imz }przyodwzorowaniu w= z i z+i. Wykonać rysunek. *. Zbadać ciągłość funkcji: Rez f(z)= Rez + z ; (b)f(z)= dlaz, z dlaz=; Wskazówkado(c).Przedstawićz 2 wpostacitrygonometrycznej..3 Lista 3 Re ( z 2) (c)f(z)= dlaz, z dlaz=.. Wykazać, że podane funkcje spełniają równania auchy ego-riemanna: f(z)=e 2iz ; (b)f(z)=cosz; (c)f(z)= z ; f(z)=logz. 2. W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje: f(z)= z e z ; (b)f(z)=z(rez)2 ; (c)f(z)=ze z 2 ; f(z)= z 2 e Rez ; (e)f(z)=z z 2 ; (f)f(z)= e 2iz z; (g*)f(z)=e iz Imz. 3.Znaleźćfunkcjęholomorficznąf(z)=u(x,y)+iv(x,y),wiedząc,że: u(x,y)=2xy+y,f( 2)=i; (b)v(x,y)= x+4xy,f(i)= 3; (c)u(x,y)= 3x 2 +3y 2 2y,f( i)=5 2i; v(x,y)= y x 2 +y 2,f(2)=; (e)v(x,y)=e x siny+2y,f()=5; (f)v(x,y)= 2xy+3x,f(i)= 2.

4 4.4 Lista. Napisać równania parametryczne krzywych: prostejprzechodzącejprzezpunktyz =2i,z 2 = i; (b)odcinkałączącegopunktyz =,z 2 = 2i; (c)odcinkałączącegopunktyz =2+i,z 2 = ; okręguośrodkuz =2 iipromieniur=3; (e)elipsyośrodkuz =ipółosiacha,b; (f)hiperboliy= x ; (g)częściparaboliy=x 2 zawartejmiędzypunktamiz =+i,z 2 = 3+3i. 2.Napisaćrównaniestycznejdokrzywejz(t)=t 2 +isint,gdziet R,wpunkciez odpowiadającymwartościparametrut = π 2. 3.ZnaleźćkątnachyleniadoosiRezstycznejdokrzywejz(t)=t 2 +it,gdziet R, wpunkciez = 3 4 +i Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych z(t)=t+ ti, gdziet R 8 oraz w(t)=t2 + i, gdziet>? t 5. Obliczyć całki: (c) π 2 π 2 (cost+2ti)dt; (b) (cos2t+isin2t)dt; 2 [ +(+i)t 2 ] dt; ( e t i ) dt. 6. Obliczyć całki krzywoliniowe: e z zdz, odcinekopoczątku iikońcu; (b) (3z+)zdz, półokrągz : z =,Rez }opoczątku iikońcui; (c) e z dz, łamanaowierzchołkachkolejno, π 2,π 2 ( i);

5 (z z)dz, łukparaboliy=x 2 opoczątku+iikońcu; (e) zrez 2 dz, ćwiartkaokręguz : z =2,Rez,Imz }opoczątku2iikońcu2. 7.Obliczyćcałkipokrzywejkawałkamigładkiejopoczątkuz ikońcuz 2 : e iz dz, dowolnakrzywa, z =i,z 2 =; (b) 2zcos ( iz 2) dz, dowolnakrzywa, z = π 2,z 2= π 2 i; (c) zsinzdz, dowolnakrzywa, z =,z 2 = π 2 i; zdz z 2 +2, odcinek, z =,z 2 =+i. 8. Korzystając ze wzoru całkowego auchy ego lub jego uogólnień, obliczyć całki: e z dz z(z 2i), okrąg z 3i =2zorientowanydodatnio; (b) ze 2πz dz z 2 +, łamanazamkniętaowierzchołkach,+2i, +2izorientowana dodatnio; dz (c) (z 2 +9) 2, okrąg z 2i =2zorientowanydodatnio; (e) (f) sinzdz (z 2 π 2 2, okrąg z 3 =zorientowanydodatnio; ) e z dz z(z πi) 3, okrąg z πi =zorientowanydodatnio; zsin2zdz (z π) 3, okrąg z π =zorientowanydodatnio; 5

6 6 (g) (h) (i) e πz dz (z 2 2, okrąg z+2i =zorientowanydodatnio; +4) cos(2iz) dz (z πi) 3, okrąg z πi =zorientowanydodatnio; dz (z 2 3, okrąg z i =zorientowanydodatnio. +2) 9. Obliczyć całkę dz (z ) 3 (z+) 3, gdziejestdodatniozorientowanymokręgiemopromieniuriśrodkuz,jeśli: r<2,z =; (b)r<2,z = ; (c)r>2,z = lubz =..5 Lista. Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność szeregów: (e) (i*) (2+i) n 3 n ; (b) n= (n+i) n n n ; (f) n= n= n= n= e in n 2; n(+i) n 2 n ; (g) n= z n,gdzie z. (c) i n n ; n 2 +i in 4 + ; n= n= cosin n 2 ; (h) n= n= e iπ 4 n n ; 2. Znaleźć promienie zbieżności i narysować koła zbieżności szeregów potęgowych: z n n 2; (b) i n z n ; (c) (+i) n z n ; n! (g) (j*) n= n= n= n= (z i) n n 2 (+i) n; (e) n(z i) n ( + 3i ) n ; (h) 2 n (n!) 2 z 2n ; (k*) (2n)! n= n= n= (z 2i) n i n n 2 ; (f) +i n= n= ( 2i) n z 3n n( i) n; (i) n!z n (n+i) n. n= e 2in (z+2i) n ( 2 5i ) n ; (n!) 3 n 3nz3n ;

7 3.Funkcjęf(z)rozwinąćwszeregTaylorawotoczeniupunktuz iznaleźćkoło zbieżności otrzymanego szeregu: f(z)=zsinz 2, z =; (b)f(z)= +z, z =i; (c)f(z)= (d*)f(z)=sinz, z =πi; 6+2iz, z =i; cosz (e)f(z)= dla z, z dla z=, (g)f(z)=e z, z =πi; z =; (f)f(z)= z2 z+2, z =2; (h)f(z)= z z 2 +4, z =. 4. Posługując się rozwinięciem funkcji w szereg Maclaurina wykazać, że dla dowolnegoz e iz =cosz+isinz. 5. Znaleźć wszystkie punkty zerowe podanych funkcji i zbadać ich krotność: f(z)= ( z 3 + ) 2 z 4 ; (b)f(z)=z 2( e iz ) ; (c)f(z)= sinz z ; f(z)= ez sinz ;.6 Lista (e)f(z)=sin2 z e z ; (f)f(z)=sinz ( e iz ).. Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta c n = dla n, 2 n dla n<; n dla n, 2n+ (c*)c n = dla n= 2, dla n<,n 2. n= c n z n,jeżeli: n+ dla n, (b)c n = (2i) i n+ dla n<; 2. Znaleźć rozwinięcie funkcji f(z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P: f(z)=, P=z :< z < }; z( z) (b)f(z)=, P=z :< z <}; z( z) z (c)f(z)=, P=z :4< z+3 < }; (z )(z+3) 7

8 8 z 2 f(z)=, P=z :2< z <3}; (z+2)(z+3) (e)f(z)= z z 2, P=z : z+i >2}; + (f)f(z)= ez z 2, P=z :< z < }; (g)f(z)= 3z+5i z 2, P=z :< z <2}; +3iz 2 i (h)f(z)=(z 2 +2z)e z, P=z :< z < }; z (i*)f(z)=ze, P=z :< z < }. Wskazówkado(i*).Wykorzystaćrównośćz=(z )+. 3. Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegunów zbadać ich krotność: f(z)= z2 z 2 + ; f(z)= ctg2 z z 3 ; (g)f(z)= sinz z (b)f(z)= z 2 π2; (c)f(z)= sinz ; (e)f(z)= z2 e z ; (f)f(z)=zsin z ; ( z 2 z(cosz ) ; (h)f(z)= +π 2) 2 (j*)f(z)= ez ; (k)f(z)= tgz e z z. z z +cos(iz) ; (i)f(z)= e e z ; 4. Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym? (b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem? (c) Niech a będzie dowolną liczbą zespoloną. Podać przykład funkcji, dla której punkt z=jestistotnieosobliwyires f(z)=a. 5. Obliczyć residua funkcji f(z) w punktach osobliwych: f(z)= z+ z2 z 2 ; (b)f(z)= + (z ) 2; (c)f(z)= z 3 z 5; f(z)= z 2 cosz ; (e)f(z)= ez z ; (f)f(z)=ze z ; (g)f(z)= z 8wpunkciez=i. 6. Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach, obliczyć całki: zdz z 2 +2z+2, okrąg z =2zorientowanydodatnio;

9 9 (b) (c) (e) (f) (g) (h) (i) (j) dz (z ) 2 (z 2 +), okrągx2 +y 2 =2x+2yzorientowanydodatnio; e πz dz 2z 2 i, okrąg z =zorientowanydodatnio; dz e 2z, okrąg z 2i =3zorientowanydodatnio; (z+)e z dz, okrąg z = 3 zorientowanydodatnio; 2dz z 4 +4z2, okrąg z i =2zorientowanydodatnio; zdz e iz i, okrąg z 3 2 π = 3 2 πzorientowanydodatnio; e iz dz sinz, okrąg z 2 =3zorientowanydodatnio; dz (z 2 3, okrąg z =2zorientowanydodatnio; +2iz+3) e iz dz sinz+cosz, okrąg z =3zorientowanydodatnio. 7. Obliczyć całki niewłaściwe funkcji wymiernych: x 2 + x 4 + dx; (b) x 2 dx (x 2 +2x+) 2; (e) 8. Obliczyć całki niewłaściwe: sinxdx x 2 +2x+4 ; (b) cosxdx (+x 2 3; (c) ) x 2 dx (x 2 +2)(x 2 +4) ; (c) xdx (x 2 +)(x 2 2x+5) ; (f) xsin5xdx x 2 2x+2. dx (x 2 +2)(x 2 +5) ; dx x 6 +.

10 .7 Lista. Narysować wykres funkcji f(t) i znaleźć jej transformatę Laplace a, jeżeli: dla t<, dla t (,), f(t)= t dla t [,], (b)f(t)= dla t (,2), dla t>; pozatym. 2. Korzystając z własności przekształcenia Laplace a, wyznaczyć transformaty funkcji: f(t)=sinhωt; (b)f(t)=sin 2 ωt; (c)f(t)=cos(ωt δ)(ωt δ); f(t)=e at sin 2 ωt; dlat<, dlat (,), (e)f(t)= tdlat [,], (f)f(t)= dlat (,2), dlat>; pozatym; (g)f(t)=(at t ) n,gdziea>; (h)f(t)=tsinωt; (i)f(t)=t 2 cosωt; (j)f(t)= 2 (sint+tcost); (k*)f(t)= sinωt ; (l*)f(t)= cosωt ; t t (m*)f(t)= t cosωτ τ dτ; (n*)f(t)= t sinτ τ 3. Naszkicować podane oryginały okresowe i znaleźć ich transformaty Laplace a: dla 2n t<2n+, f(t)= gdzien=,,2,...; dla 2n+ t<2n+2, t 2n dla 2n t<2n+, (b)f(t)= gdzien=,,2,...; t+2n+2 dla 2n+ t<2n+2, (c)f(t)=maxsinωt,}. 4*. Wykorzystując całkę Laplace a, obliczyć całki niewłaściwe: (c) e t cosπtdt; (b) ( π ) e 2t sin 3 t dt; (d*) e t 2 ( t 4 2t 2 +4 ) dt; e t te 2t dt. 5. Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginał, gdy: dτ.

11 F(s)= s3 3s 2 7s 8 (s+) 2 (s 2 +4) ; (b)f(s)=4s3 +9s 2 +8s+2 s(s+2)(s 2 +) ; (c)f(s)= 4s2 +2s+26 s(s 2 +6s+3) ; F(s)= 3s3 8s 2 +2s 8 (s 2) 2 (s 2 +2s+5). 6. Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są funkcje: s F(s)= (s 2 +) 2; (b)f(s)= s2 4 (s 2 +4) 2; (c)f(s)= s s(s 2 +2s+2) 2; F(s)=s3 3s 2 7s 8 (s+) 2 (s 2 +4). 7. Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy: F(s)= A s ( e s ) 2 e 2s ; (b)f(s)= e 2s +e 3s s 2 e 3s ; (c)f(s)= e 2πs +e πs s 2 + e 2πs. 8. Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych: y +y=sint,y()=; (b)y y 6y=2,y()=,y ()=; (c)y +4y +3y=2e t,y()=,y ()= ; y 2y +y=,y()=,y ()=; (e)y +2y 8y=6e 2t,y()=,y ()= 2; (f)y +y 2y=3e t,y()= 2,y ()= 3; (g)y +4y=cost,y()=,y ()=; (h)y 2y +5y=3e 2t,y()=,y ()=. 9. Metodą operatorową rozwiązać zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych:

12 2 x = y, x()=, y =2x+2y, y()=; x =3x+2y,x()=, (c) y = x+2y,y()=; x = x 3y+t, x()=, (e) y =3x+ y+2,y()= ; x =y z, x()=, (g) y =x+y, y()=2, z =x+z, z()=3. x +2y=3t, x()=2, (b) y 2x=4, y()=3; x = 2x+5y,x()=, y = x+4y, y()=; x = 3x+2y+6e t,x()=, (f) y = 3x+4y+ e t, y()=;. Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji: t sint; (b)t t 2 ; (c)cost e t.. Korzystając z twierdzenia Borela o splocie, wyznaczyć oryginały, których transformatami są funkcje: 5s F(s)= (s 2 +)(s ) ; (b)f(s)= s 2 (s 2 +) ; (c)f(s)= s (s 2 +4) Dla systemu opisanego równaniem różniczkowym znaleźć transmitancję i odpowiedź na wymuszenie x(t): y +4y=x,x(t)=e t ; (b)y +y=x,x(t)=(t); (c)y +3y +2y=x,x(t)=δ(t)(deltaDiraca); y +3y +2y=x,x(t)=(t); (e)y +2y =3x +x,x(t)=e 2t..8 Lista. Korzystając z definicji przekształcenia Z, znaleźć transformaty podanych ciągów i ich pierścienie zbieżności: dla n=,, dla n=,3,5,... y(n)= (b)y(n)= dla n=2,3,...; pozatym. 2. Korzystając z własności przekształcenia Z znaleźć transformaty ciągów: n+; (b)n 2 ; (c)ncos π 2 n; an sinωn; (e)(n )a n Zastosować twierdzenie o transformacie splotu do znalezienia transformaty ciągów: n x(n)=2 n ( π ) n 2 ksin 2 k ; (b)x(n)= k(n k+). k= k=

13 4. Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć ciągi, których transformatami są funkcje: z (z+)(z 2) ; (b) z 2 +5z (z+3) 2 (z ) ; (c) z 2 ; 2z 2 5z z 2 +2z+2 ; (e) z 2 +4z z 2 4z+5 ; (f) z 2 +8z (z )(z 2 2z+4). 5. Metodą residuów znaleźć ciągi, których transformatami są funkcje z poprzedniego zadania. 6. Zastosować transformatę Z do znalezienia rozwiązań równań różnicowych liniowych o stałych współczynnikach: y(n+) 2y(n)=,y()= ; (b)y(n+2) 5y(n+)+6y(n)=2,y()=,y()= ; (c)y(n+2) 4y(n+)+4y(n)=2,y()=2,y()=; y(n+2) 4y(n+)+4y(n)=n,y()=,y()= 5 6 ; (e)y(n+2) 2y(n+)+2y(n)=,y()=,y()=2; (f)y(n+2) 3y(n+) 4y(n)= ( ) n,y()=2,y()=; (g)y(n+2)+2y(n+)+4y(n)=6 2 n,y()=,y()=; (h)y(n+2)+4y(n+)+6y(n)=7n 5,y()= 8 3,y()=; (i)y(n+2)+9y(n)= 5n,y()=,y()=5; (j)y(n+2)+4y(n)=5 ( ) n,y()=2,y()= 7; (k)y(n+2)+y(n+) 2y(n)=7 3 n,y()= 3,y()= 5; (l)y(n+2) 2y(n)=sin nπ 2,y()=,y()= ; (m)y(n+2) 2y(n+)+y(n)=6,y()=,y()=5. 3