FAQ ANALIZA R c ZADANIA

FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe przy rozwi zywaiu (a) ( + 3)e (caªkowaie przez cz ±ci lub zgadywaie); (b) si 3 (podstawieie); (c) si cos 4 (suma Fouriera); ( ) (d) arcsi (caªkowaie przez cz ±ci, podstawieie); + (e) 3 log( + ) (caªkowaie przez cz ±ci, podstawieie, albo podstawieie i po drodze uªamki proste...) Zadaie. Caªkowaie fukcji wymierych: rozkªadamy a uªamki proste postaci A ( a) k, A + B ( + a ) k. Trudiejsze jest tylko caªkowaie wyra»e«z wielomiaem kwadratowym w wy»szej pot dze w miaowiku 4 + (a) ; 3 ( ) (b) ( + ) 3 ( 4) ; (c) 4 ; 4 + + 4 (d) ; ( + ) 3 3 + (e) ( + ) ; Zadaie 3. Fukcje wymiere od trygoometryczych: + si (a) si ( + cos ) ; (b) si si ; ta + 3 (c) si + cos ; Zadaie 4. podstawieia trygoometrycze i hiperbolicze dla caªek z pierwiastkami. Gdy fukcja podcaªkowa ma posta f() = R(, a + b + c) mo»a spróbowa pozby si pierwiastka stosuj c podstawieia trygoometrycze Data: 8 wrze±ia 6 r.

FAQ ANALIZA R c ZADANIA lub hiperbolicze. Obliczcie poi»sze caªki u»ywaj c wskazaych podstawie«i zastaówcie si w jaki sposób powio si decydowa, którego z podstawie«moza i warto u»y w kokretym przypadku: ( + a ) + b = b ta t, dwa przypadki < a < b, < b < a;, + + + = ta t; caªka jak wy»ej, + = sih t; 5 + 3, = si t. Jako zadaie dodatkowe prosz zapisa fukcje odwrote do sih i cosh z u»yciem logarytmów. Zadaie 5. Obliczy caªki ieozaczoe: () (4) (7) () (3) (6) (9) () (5) (8) ( + 3)e () arcsi + (5) si 3 (3) (log ) 3 log log( + ) (6) 4 ( arcta ) (8) + (9) ( + ) () 4 + ta () arcsi (4) 3 (5) (7) + 4 (8) cos () cos + cos (3) 3 + (6) + (9) si(log ) () si cos 3 + si + + + e + e + 4 (4) (7) + ( ) 4 + ( + ) ( + + )( + 4 + 5) + 3 + ta 3 cos e! + Caªki ozaczoe

FAQ ANALIZA R c ZADANIA 3 Zadaie 6. Obliczy poi»sze caªki ozaczoe () (3) (5) (7) π π arcta π/ ( + ) () + (4) 3 + cos (6) log 3 si si, N (8) 4 + ta p dla p R 3 + e ( + ) + (9) () (3) b a π ( a) m (b ), m, N, a < b () + 4 () + si (si + cos ) (4) π π π ( ), N + si cos cos Zadaie 7. Podstawieie Eulera sªu» do zajdowaia fukcji pierwotych do fukcji postaci f() = R(, a + b + c), gdzie R jest wymier fukcj dwóch zmieych. Chodzi o to,»eby fukcj zawieraj c pierwiastek sprowadzi do fukcji wymierej. Je±li ozaczymy y := a + b + c sprowadza si to do sparametryzowaia fragmetu krzywej (, a + b + c) R dla y > parametrem t w taki sposób, aby (t) i y(t) byªy wymiere. () Pierwsze podstawieie Eulera dziaªa gdy a >, podstawiamy y = a + t. Wyzaczamy (t), y(t) i = (t)dt; () Drugie podstawieie Eulera dziaªa gdy c >, podstawiamy y = t + c; (3) Trzecie podstawieie Eulera dziaªa gdy ªatwo jest wybra pukt (, y ) a krzywej, y = a + b + c, podstawiamy y y = t( ). Prowadz c rachuki warto zapisa y w pot gach zamiast. Zadaie polega a obliczeiu trzema sposobami caªki ieozaczoej + + Zadaie 8. Wyrazi F + () przez F (), je±li: (a) F () := ( +) ; (b) F () := ( +) (c) F () := p log, p R; (wyliczy F 4 ()); oraz jej wersji ozaczoej (d) F () := p e, p [, [ ; (e) F () := (+) (wyprowadzi wzór a F ()). Zadaie 9. Zale¹ wzór rekurecyjy, wyra»aj cy F + () przez F (), je±li: (a) F () := cos ; (b) F () := si ; (c) F () := ( +) (zale¹ wzory a F k() i F k+ ()); (d) F () := ; + (e) F () := cos. + +.

4 FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zadaia ró»e Zadaie. Dla k Z + ozaczmy c k := a k cos, gdzie a := π. Wykaza,»e: (a) c = ( ) ()! ( ) k a k k= (k)! ; ( ) (b) c + = ( ) ( ) ( + )! k a k+ k= (k+)! ; a (c) (k+)(k+) c k k!a3 a k+ (k+4)! ; k (d) lim k c a k+ k = a = π. Zadaie. Dowie±,»e je±li fukcja f : R R jest ci gªa oraz speªia waruek R : + f(t)dt =, to jest okresowa. Zadaie. Niech f : [, [ R b dzie fukcj ci gª. Wykaza,»e fukcja ˆf : [, [ R, zadaa wzorami ˆf() := f(), ˆf() := f(t)dt dla >, te» jest ci gªa, przy czym je±li f jest iemalej ca, to ˆf jest tak»e iemalej ca. Zadaie 3. Wykaza,»e je±li f : [a, b] R jest ró»iczkowala, to ξ ]a, b[ : b a f() = (b a)f(a) + (b a) f (ξ). Zadaie 4. Niech dae f : [a, b] R i N. (a) Poda iterpretacj (pole wielok ta ograiczoego ªama... ) wielko±ci [ S (f) := b a f(a) + f (a + k ) ] (b a) + f(b). (b) Dowie±,»e dla f C [a, b]. Wywioskowa st d,»e k= lim S (f) b a f() = ( log + + ( π 4 + + + ) 4, ) 4. Zadaie 5. Rozwa»aj c sumy Riemaa odpowiedio dobraej caªki wykaza,»e: (a) lim k= +k = ( π 4 ; ) (b) lim + + + + + k = log k dla k N; (c) lim k= k + k = log. Zadaie 6. Dla ustaloych < a < b iech H i G ozaczaj, odpowiedio, ±redi harmoicz i geometrycz z + liczb a + k (b a), k,. Wykaza,»e ab lim H b a = log b log a lim G = ( ) b b b a e a a a + b Zadaie 7. Dowie±,»e je±li fukcja f : [a, b] R jest (sªabo) ros ca, to jest caªkowala w sesie Riemaa a [a, b]. Zadaie 8. Dowie±,»e je±li fukcja f : [a, b] R jest ci gªa i ieujema, to lim b a (f()) = sup f([a, b]).

FAQ ANALIZA R c ZADANIA 5 Zadaie 9. Niech f() := e e t dt dla R. Dowie±,»e: (a) Dla N zachodzi wzór f() = k= k (k )!! + r (), gdzie r () := e (b) lim r () = dla R, sk d wyika wzór f() = k= k (k )!!. Caªki iewªa±ciwe Zadaie. Zbada (w zale»o±ci od p, q R) zbie»o± caªki iewªa±ciwej: (a) (d) (g) (j) (m) ( ) p e log (b) / (cos π )p+q e si ( e ) p si + si (e) (h) (k) p log q arcta(si ) e si si( p ) + (c) (f) (i) (l) π ( )!! t e t dt; log( ) p log q ( + p cos ) (5 + 4 cos ) + p si si( p ) Zadaie. Wykaza zbie»o± i wyliczy caªk iewªa±ciw : (a) (d) (g) (j) (m) (p) ( + ) ( + ) 3// (b) ( + log ) ( + ) ( ) log (e) log ( + p ) + (h) e 6 3 + + 3 + (k) () ( e ) + log + p (c) (f) log 3 4 + (i) 4 + (l) 4 8 + (o) e // log + e// log ( + ) + 3 + ( + ) + Zadaie. Dowie±,»e je±li fukcja f : [, [ [, [ jest (sªabo) malej ca, to caªka [f(e()) f()] jest zbie»a. () () e ( 4 + 7); () 3 ( + si ) cos ; (3) 7 3/ (9 log log + 8); (4) ( + ) arcsi + ; (5) log ( + ) log( + ); Rozwi zaia

6 FAQ ANALIZA R c ZADANIA (6) [( ) log log + k ]; k (7) arcta + arcta ; k= (8) arcta + 3 3 ; (9) 4 log + + +, podstawi t = + ; () arcta, podstawi t = ; () ta ; () 7 arcta ( ) + 7 3 arcta( + ); (3) arcsi + log ; (4) 3 arcsi(3/ ); (5) log + + ; (6) / arccos( / ); (7) log( + + 4 ); ( ) (8) arcta + 3 3 6 log( + ) log( + ); 3 (9) ta + log cos ; () (si log cos log ); (8) () 4 log ta ; () arcsi( si ); 3 (3) 3 log( + si ) si ; (4) e k= k k! ; (5) 5 3 (8 4 + 5) + ; (6) + + log( + + + ); (7) log( + ) arcsi( ); 4 (8) arcta + 3 arcta (zast. 3. podst. E.); 3 (9) q + log(q e 4) + log(q + e + ), gdzie q := e + e + 4. (a) F + () = + ( +) + + (b) F + () = ( +) (c) F + () = p+ log + p+ F (); (d) F + () = p (F () p ); F (); + F (), F 4 () = log + + 64 +5 + ( +) 3 ; (e) F + () = F (), F () = ( ) log + + k= (9) (a) F + () = + cos+ si + + + F (); cos (b) F + () = (+) si + + + F (); (c) F + () = (+) + k ( ) k l l= ; l l ( ) k k k. F (), F k () = ( ) k arcta k l= ( (d) F + () = + + + ( + )F () ) ; ( ) k l (l ) l, F k+ () = ( ) k log +

FAQ ANALIZA R c ZADANIA 7 (e) F + () = + ( si + ( + ) cos ) ( + )( + )F (). (3) Wyrazi wzorem Taylora F (b) F (a) dla F () := a f(ξ)dξ. (5) (c) Sprawdzi,»e k + k > k dla k. (6) H i log G s sumami Riemaa dla caªek log b log a a+(b a) = b a i log (a + (b a)) = + b log b a log a b a. (7) Je±li S (f, P) i S (f, P) ozaczaj gór i dol sum Riemaa odpow. podziaªowi P = {a = < < < = b}, to S (f, P) S (f, P) = k= ( k k )(f( k ) f( k )) δ(p) k= (f( k) f( k )) = δ(p)(f(b) f(a)), co d»y do przy δ(p) := sup k ( k k ). (8) Dla dowolego < K < M := sup f([a, b]) zbiór f ( ]K, [ ) jest i otwarty w [a, b], wi c f() > K a pewym przedziale P [a, b]; zatem (b a)m b a f P K, sk d... (9) (a) Idukcja, (b) r () e / ( )!! t dt = + (+)!! e /. () Wskazówki: (a) log[( )f()] = log [(p + ) log( ) log ]; (b) podst. = e t ; (c) lim + log( ) (d) lim (e) kr. Dirichleta; (f) g p := 5p 4 6 g() log =, lim f() f() ( ) =, lim p+q + (+) = ; p q = ; skorzysta z (b); +p cos 5+4 cos jest okresowa i π g p () = π 3 ( p), wi c π + p 6 ; g () jest zb. (kr. Dirichleta), za± gp() (g) a := π ( )π f() π e π si = π/ π/4 π/4 e = ( e π/ ), bo si π a [, π 4 ]; (h) a := (+)π f() π// π π (i) ϕ(r) := π e π si π +r si = π +r, wtedy (+)π f() (j) p > lim p (k) p > podst. t = p daje p bezwzgl. zb. () Rozwi zaia e 4 /π = C 3/, gdzie C := π e t dt; = f() [c π +, c ], gdzie c = ϕ((π) p ) C p// dla p > ; =, p < podst. t = p daje ( p ) si t t dt; f(t) f() t dt; p < lim = ; (m) spr.»e si (f() p ) jest (a) rozb. p R (b) zb. (p < ) lub (p =, q > ) (c) zb. p <, q < (d) zb. q < + p (e) zb. (f) zb. p = (g) rozb. (h) zb. (i) zb. p > (j) zb. < p < (k) zb. p (l) zb. p (m) zb. () Wskazówki: (b) lim f() =, lim ( + )f() =, lim ( + )f() =, sk d wyika zbie»o± ; podst. = y daje I = ( e e ) +, wi c... (c) podst. t = log log (zal. ros ca, = ( + t )dt) daje sum dwoch zb. caªek, z których jeda jest = ; (e) podstawi = t i porówa z wyj±ciow postaci I; t +4 (f) podst. = p t ; (g) spr. wzór 4f () ( )f () = d + ( +) ; (h) podst. = p t daje I = I +... ; (i) podst. = t ; (j). podst. E.; (l) 4 + = ( + ) ( ) ; d (m) ( 4 +) =... ; (). podst. E.: + + = t, ast pie u = t daje I = I = (+ ) 4 + 4, wi c mo»a podst. = u; (u+)du (3u )(u u+3) ; (o) podst. = t daje (!)

8 FAQ ANALIZA R c ZADANIA (p) podst. t = () Rozwi zaia (a) ; (b) I = π ; (c) π 4 ; (e) ; (f) π p log p ; +. k k! (g) I k+ = (k+)!!, I k = k π (k )!! (h) p I log p, gdzie I jest z (g); (i) ; (j) log( + ); (k)!; (l) π ; (m) 3 6 π; () ( 5 4 π + log 9 ); (o) π 4 ; (p) π ; (q) π 3 3. (k)!! ; () + [f() f()] f() f( + ).