1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania

Transkrypt

1 1 Caªki nieoznaczone: caªkowanie jako operacja (prawie) odwrotna do ró»niczkowania 1.1 Podstawowe denicje Def. Funkcj F nazywamy funkcj pierwotn funkcji f, okre±lonej w przedziale otwartym P (sko«czonym lub niesko«czonym), je±li F () = f() dla ka»dego P. Przykªady. Funkcja sin jest funkcj pierwotn funkcji cos, bo (sin ) = cos. Równie» funkcja sin + C, gdzie C jest dowoln staª, jest funkcj pierwotn funkcji cos. Funkcj pierwotn dla e jest ta sama funkcja e. Je±li funkcja f jest okre±lona w przedziale domkni tym a b, to funkcj F nazywamy jej funkcj pierwotn, je±li F () = f() dla a < < b oraz zachodzi: F +(a) = f(a) i F (b) = f(b). Tw. Je±li dwie funkcje F i G s funkcjami pierwotnymi funkcji f w przedziale P (otwartym lub domkni tym), to te dwie funkcje ró»ni si mi dzy sob o staª. Dow. Poniewa» zachodzi: F () = G (), to na mocy twierdzenia które byªo przy pochodnych (wniosek z wz. Lagrange'a o wart. ±redniej) funkcje te ró»ni si o staª : F () = G() + C. I odwrotnie, funkcja, która powstaje przez dodanie staªej do funkcji pierwotnej funkcji f, jest te» funkcj pierwotn funkcji f. Tak wi c wyra»enie: F () + C jest ogóln postaci funkcji pierwotnej funkcji f. To ostatnie wyra»enie oznaczamy symbolem f(), CBDO czytamy: "caªka f() po " i nazywamy je caªk nieoznaczon funkcji f. Mamy wi c: f() = F () + C, gdzie F () = f(), (1) d f() = f(), (2) df () = F () + c. (3) 1

2 Znajdowanie caªki nieoznaczonej danej funkcji f lub innymi sªowy znajdowanie funkcji pierwotnej funkcji f nazywamy caªkowaniem funkcji f. Caªkowanie jest wi c procesem (prawie) odwrotnym 1 do ró»niczkowania. 1.2 Funkcje pierwotne funkcji elementarnych Jak wynika z samej denicji caªki nieoznaczonej, ka»dy wzór na pochodn jakiej± funkcji daje automatycznie wzór na caªk funkcji otrzymanej po zró»- niczkowaniu. Mamy np.: Z wzoru otrzymujemy (sin ) = cos cos = sin + C. Ze znanych wzorów na pochodne otrzymujemy nast puj ce wzory na funkcje pierwotne: 0 = C, bo C = 0 (4) a = a + C, bo (a + C) = a (5) n = 1 n + 1 n+1 + C, n N, (6) cos = sin + C, (7) sin = cos + C, (8) 1 = tg + C; cos 2 (9) 1 sin 2 = ctg + C, (10) e = e + C (11) = ln + C, (12) = arcsin + C, 1 2 (13) = arctg + C, (14) a = 1 a + 1 a+1 + C, a R, a 1 (15) 1 Dlaczego prawie? Otó» je±li we¹miemy jak ± funkcj f, scaªkujemy j, a nast pnie zró»niczkujemy to otrzymamy t sam funkcj f. Natomiast je±li najpierw funkcj f zró»niczkujemy, a potem scaªkujemy, to otrzymamy funkcj f plus dowolna staªa wi c co± bardzo podobnego, ale jednak nie to samo. 2

3 1.3 Ogólne wzory na caªkowanie Zaªó»my,»e funkcje f i g s ci gªe. Zachodz wówczas nast puj ce wzory. Tw. (f() + g()) = f() + g(). Dow. Mamy bowiem Tw. d ( f() + af() = a ) g() = f() + g(). f(), gdziea staªa. CBDO Dow. ( d ) a f() = a d f() = af(). Tw. : (Wzór na caªkowanie przez cz ±ci:) Dla f, g takich,»e f, g s ci gªe zachodzi f()g () = f()g() f ()g() Dow. Zróz«iczkujmy obie strony powy»szej równo±ci. Mamy: f()g () = f ()g() + f()g () f ()g(). CBDO Przykª. e = (e ) = e e = e e = e e. Przykª. ln = ln = ln (ln ) = ln 1 = ln +C. Tw. (wzór na caªkowanie przez podstawienie, lub na zamian zmiennych w caªce): g(f()) df() = g(y)dy y=f() Uwaga. Krócej ten wzór mo»emy zapisa, oznaczaj c y = f() i z = g(y). Wtedy mamy: z dy = zdy. 3

4 Dow. Dowód opiera si na odwróceniu wzoru na ró»niczkowanie funkcji zªo-»onej. Oznaczmy G(y) = g(y)dy. Mamy: [G(f())] = G (f()) f () = g(f()) f (); bior c teraz funkcj pierwotn od obu stron, mamy g(f()) f () = [G(f())] = G(f()) = G(y) y=f() = g(y)dy y=f() CBDO Przykª. g(a) = 1 a g(y)dy, gdzie y = a. Przykª. f( + a) = f(y)dy, gdzie y = + a. Przykª. Obliczmy caªk : Zrobimy to za pomoc podstawienia y = 2. Mamy: = y = 2, = 1dy = dy 1 + y = 1 2 ln(1 + y) = 1 2 ln(1 + 2 ). Przykª. W nast puj cej caªce podstawimy = sin t, zakªadaj c,»e t [ π 2, π 2 ]: 1 2 = = sin t, = cos tdt = cos 2 tdt; t caªk liczymy caªkuj c przez cz ±ci: cos 2 tdt = sk d mamy 1 2 = (sin t) cos tdt = sin t cos t = sin t cos t + dt sin t(cost) dt = sin t cos t+ cos 2 tdt, cos 2 tdt = 1 2 (sin t cos t + t) = 1 2 ( arcsin ). sin 2 tdt Uwaga. Poprawno± caªkowania mo»emy sprawdzi, ró»niczkuj c wynik; po zrobieniu tego powinni±my otrzyma funkcj podcaªkow. Uwaga. Funkcj elementarn nazywamy funkcj wymiern, trygonometryczn, wykªadnicz, lub jedn z odwrotno±ci tych»e. Rozpatrzmy teraz zbiór funkcji, powstaªych z elementarnych przez branie ich sumy, iloczynu, ilorazu, zªo»enia albo kombinacji tych»e. Pochodn ka»dej z tych funkcji 4

5 mo»na znale¹, posªuguj c si wzorami na pochodn sumy, iloczynu, ilorazu b d¹ zªo»enia funkcji. Z caªkami jest inaczej: Gdy musimy znale¹ funkcj pierwotn funkcji z powy»szej klasy, to taka pochodna mo»e si ju» nie da wyrazi przez funkcje elementarne. Tak jest np. z caªkami: e 2 czy 1 + k2 sin 2, k 2 1. Podkre±lmy,»e obie te funkcje pierwotne istniej zgodnie z powy»szym twierdzeniem,»e ka»da funkcja ci gªa posiada funkcj pierwotn. Powy»sze funkcje pierwotne istniej, tyle»e si nie wyra»aj przez funkcje elementarne: Pierwsza caªka to tzw. funkcja bª du, a druga to caªka eliptyczna. Tak wi c nie dla ka»dej funkcji da si funkcj pierwotn wyrazi przez funkcje elementarne. W pozostaªej cz ±ci tego rozdziaªu b dziemy rozwa»a te klasy funkcji, dla których da si to zrobi. 1.4 Rekurencyjne metody obliczania caªek Zaªó»my,»e mamy jaki± ci g funkcji {f n }() i»e chcemy obliczy caªki I n = fn () Metoda rekurencyjna polega na obliczeniu caªki dla n = 1 (lub n = 0) i na umiej tno±ci sprowadzenia liczenia n tej caªki do caªki o numerze n 1 (lub wcze±niejszej). To byª ogólny (tak ogólny,»e ogólnikowy) przepis; przyjrzyjmy si, jak to si przekªada na praktyk. Przykª. Obliczy caªk I n = e n. We wzorze na I n wykonajmy caªkowanie przez cz ±ci w nast puj cy sposób: I n = = e n ( ) e n = ( )(e ) n e n n 1 = e n + ni n 1 ; aby snalizowa liczenie caªki, potrzebujemy jeszcze wyra»enia na I 0 : Ostatecznie wi c I 0 = e = e. I n = e n + ni n 1 = e n ne n 1 n(n 1)I n 2 =... = e [ n + n n 1 + n(n 1) n n!] + I 0 = n!e ! + + n + C. n! 5

6 Przykª. We¹my teraz: Mamy: Teraz policzmy: I n = I 1 = I n = (1 + 2 ) n. = arctg (1 + 2 ) = n (1 + 2 ) n = (1 + 2 ) n ( n) 1 (1 + 2 ) n 2 (1 + 2 ) n+1 = (1 + 2 ) + 2n n (1 + 2 ) n+1 = (1 + 2 ) + 2nI n n 2nI n+1, sk d mamy I n+1 = 2n 1 2n I n + 1 2n (1 + 2 ) n. (16) 1.5 Caªki z funkcji wymiernych Nazywamy w ten sposób caªk, gdzie funkcj podcaªkow jest funkcja wymierna: f() = P () Q() gdzie P (), Q() wielomiany. Liczenie caªki wykonujemy w kilku krokach. B dziemy zakªada,»e stopie«licznika jest ni»szy od stopnia mianownika. Gdyby tak nie byªo, to I. wykonujemy dzielenie wielomianów (z reszt ) i mo»emy zapisa : P () = w() Q() + r(), gdzie w() wynik dzielenia, a r() reszta, przy czym deg r < deg Q. Mamy w ten sposób: P () Q() = w() + r() Q(), gdzie w() jest wielomianem, który umiemy scaªkowa, za± w r() Q() stopie«licznika jest mniejszy od stopnia mianownika tak jak dalej potrzeba. 6

7 II. Rozkªadamy mianownik na czynniki. Mamy twierdzenie z algebry, które mówi,»e: Tw. Dowolny wielomian o wspóªczynnikach rzeczywistych rozkªada si na czynniki stopnia co najwy»ej drugiego, tzn. postaci: a (czynniki liniowe) oraz 2 + b + c (kwadratowe), dla których < 0. Dow. Uwaga. Liczba a z czynnika liniowego jest pierwiastkiem wielomianu; z tw. Bézout mamy,»e je»eli a jest pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli si przez a bez reszty, tzn. mo»na zapisa : Q() = Q()( a), gdzie Q() jest wielomianem stopnia o 1 ni»szego ni» Q(). Oraz dokªadniej: Je±li a jest k krotnym pierwiastkiem wielomianu Q(), to wielomian Q() dzieli si przez ( a) k bez reszty, tzn. mo»na zapisa : Q() = Q()( a) k, gdzie Q() jest wielomianem stopnia o k ni»szego ni» Q(). Dla trójmianów kwadratowych nierozkªadalnych jest analogicznie, tyle»e w liczbach zespolonych. III. Trzecim krokiem jest rozkªad na uªamki proste. Def. Uªamkiem prostym nazywamy wyra»enie postaci A ( a) k lub gdzie A, a; C, D, α, β R. C + D (( α) 2 + β 2 ) m, Uwaga: W mianowniku ostatniego wyra»enia wyst puje posta kanoniczna trójmian kwadratowego, który nie ma pierwiastków rzeczywistych. I teraz!! IV. Tw. Funkcja wymierna P ()/Q() jest sum uªamków prostych, których mianowniki s czynnikami wielomianu Q(). Tw. (o rozkªadzie na uªamki proste): Ka»da funkcja wymierna: P () Q(), gdzie deg P < deg Q, daje si zapisa jako suma uªamków prostych, których mianowniki s czynnikami wielomianu Q(). Dokªadniej: Je»eli w rozkªadzie Q() na czynniki pojawia si wyra»enie ( a) k, to w±ród uªamków prostych znajduj si wyrazy: A 1 a, A 2 ( a) 2,..., A m ( a) k ; 7

8 je»eli za± w rozkªadzie Q() na czynniki pojawia si (( α) 2 + β 2 ) m, to w±ród uªamków prostych znajd si wyrazy: C 1 + D 1 ( α) 2 + β 2, C 2 + D 2 (( α) 2 + β 2 ) 2,... C m + D m (( α) 2 + β 2 ) m. Wyznaczenie konkretnych warto±ci wspóªczynników stoj cych przy uªamkach prostych odbywa si przez porównanie obu postaci funkcji wymiernej: Postaci wyj±ciowej: f() = P () Q(), oraz otrzymanej z rozkªadu na uªamki proste.2 "Jak to dziaªa", zobaczmy na przykªadach. Przykª. Rozªó»my na uªamki proste funkcj wymiern f() = 1 ( 2) 2 ( 3) (17) Zgodnie z powy»szym twierdzeniem, rozkªad na uªamki proste b dzie miaª posta : 1 ( 2) 2 ( 3) = A 2 + B ( 2) + C 2 3. Wspóªczynniki A, B, C wyznaczamy, sprowadzaj c praw stron do wspólnego mianownika. Mamy: 1 ( 2) 2 ( 3) co daje równania: = A( 2)( 3) + B( 3) + C( 2)2 ( 2) 2 ( 3) = (B + C)2 + ( 5A + B 4C) + 6A 3B + 4C, ( 2) 2 ( 3) A + C = 0; 5A + B 4C = 1; 6A 3B + 4C = 1. Rozwi zanie tego ukªadu równa«daje: A = 2, B = 1, C = 2. Przykª. We¹my teraz: f() = posta : ( 2)( 2 +1) 2. Rozkªad na uªamki proste ma f() = ( 2)( 2 + 1) = A B + C D + E ( 2 + 1) 2. (18) 2 Gdy wszystkie uªamki proste s odwrotno±ciami wielomianów pierwszego stopnia, to wspóªczynniki mo»na wyznaczy znacznie pro±ciej. 8

9 Wspóªczynniki A, B, C, D, E wyznaczamy z porównania obu stron po sprowadzeniu prawej do wspólnego mianownika, co daje: = A( 2 + 1) 2 + (B + C)( 2)( 2 + 1) + (D + E)( 2) sk d otrzymujemy ukªad równa«na wspóªczynniki: wsp. przy 4 : A + B = 0 wsp. przy 3 : 2B + C = 0 wsp. przy 2 : 2A + B 2C + D = 2 wsp. przy 1 : 2B + C 2D + E = 2 wsp. przy 0 : A 2C 2E = 13. Rozwi zuj c ten ukªad równa«, dostajemy: A = 1, B = 1, C = 2, D = 3, E = 4 co daje rozkªad na uªamki proste: f() = ( 2)( 2 + 1) = ( 2 + 1) 2. (19) Twierdzenie o rozkªadzie na uªamki proste sprowadza caªkowanie funkcji wymiernej do caªkowania uªamków prostych. Zobaczymy zaraz, jak oblicza funkcje pierwotne z takich uªamków prostych. A 1. Zacznijmy od uªamków prostych postaci ( a). Podstawiaj c y = a, k mamy A ( a) = A dy k y = k A ln( a) dla k = 1, A 1 k 1 ( a) k 1 dla k > 1. C+D 2. Gdy mamy uªamek prosty: (( α) 2 +β 2 ), to caªka nieoznaczona z tego m wyra»enia sprowadza si do obliczenia dwóch caªek: (( α) 2 + β 2 ) m oraz ( α) (( α) 2 + β 2 ) m Przy pierwszej caªce podstawiamy y = α i otrzymujemy caªk dy (y 2 +β 2 ), w której z kolei podstawiamy y = βz i po tym podstawieniu dostajemy caªk dz m (z 2 +1). Dla m = 1 funkcj pierwotn m jest arctg z, za± dla m > 1 wyprowadzili±my ju» na t caªk wzór rekurencyjny (16). 9

10 2.2. Przy caªce drugiego typu, podstawiamy: y = ( α) 2. Mamy: dy = 2( α), sk d otrzymujemy: = 1 2 dy (y + β 2 ) m = ( α) (( α) 2 + β 2 ) m 1 2 ln(( α)2 + β 2 ) dla m = 1, 1 2(k 1) 1 (( α) 2 +β 2 ) dla k > 1. k 1 Tymi to sposobami zawsze mo»emy obliczy caªk z funkcji wymiernej. (Oczywi±cie, do podania jawnego wyniku musimy umie znale¹ pierwiastki mianownika Q()). Obliczmy teraz dla naprzykªadu caªki z f. wymiernych (17) i (18). Przykª. (17), cd: 1 ( 2) 2 ( 3) = 2 2 Przykª. (18), cd: = ( 2) = ln 2 + ln C ( 2)( 2 + 1) 2 = ( + 2) (3 + 4) ( 2 + 1) 2 ( 2 + 1) 4 2 ( 2 + 1) 2 = ln ln(2 + 1) 2arctg ( 2 + 1) 2. Ostatni caªk liczymy wykorzystuj c wzór rekurencyjny (16); dla n = 2 mamy: I 2 = Ostatecznie (1 + 2 ) 2 = I 1 = ( 2)( 2 + 1) 2 = ( 2)2 ln arctg arctg + C. Uwaga. Analizuj c metod caªkowania funkcji wymiernych widzimy,»e caªka z funkcji wymiernej jest postaci: R() + A ln U() + Barctg V (), gdzie A, B staªe, za± R(), U(), V () s funkcjami wymiernymi. 10

11 1.6 Caªki z funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych Niech R(u, v) oznacza funkcj wymiern dwóch zmiennych u, v. Rozwa»my caªk : R(sin, cos ). Okazuje si,»e caªk tego typu mo»na sprowadzi do caªki z funkcji wymiernej poprzez podstawienie trygonometryczne. Podstawieniem, które dziaªa zawsze (aczkolwiek cz sto nie jest sposobem optymalnym ze wzgl du na ilo± rachunków) jest podstawienie uniwersalne: t = tg 2. Zobaczmy, 'jak to dziaªa'. Musimy wyrazi sin, cos, przez t. Mamy: sin cos2 2 = 1, sk d tg = 1 cos 2 Mamy dalej Ponadto: co daje cos = 2 cos = t 2 1 = 1 t2 1 + t 2. sin 2 2 = 1 cos2 2 = sin = 2 sin 2 cos 2 = Wreszcie, z równo±ci: = 2arctg t mamy dt = t 2. 2, co daje cos 2 2 = t 2 t2 1 + t 2, 2t 1 + t 2. Ostatecznie mamy wszystko co jest potrzebne do podstawienia: Przykª. I = sin = 2t 1 t2 1 + t2, cos = 1 + t, = t 2dt. sin = 1 + t 2 2 2t 1 + t 2dt = dt t = ln t = ln tg 2 Uwaga. Powy»sze podstawienie uniwersalne dziaªa zawsze. Prowadzi jednak cz sto do funkcji wymiernej o du»ych stopniach licznika i mianownika. Z tego. 11

12 wzgl du nale»y je stosowa tylko w ostateczno±ci, je±li inne podstawienia trygonometryczne nie dadz si zastosowa. Te inne podstawienia to: t = sin, t = cos t = tg. Istniej przepisy, kiedy takie podstawienia stosowa. S one nast puj ce: 1. Gdy wyra»enie podcaªkowe jest antysymetryczne w cosinusie (tzn. R( cos, sin R(cos, sin )) to za now zmienn bierzemy sinus: t = sin. Uzasadnienie: Skoro R jest antysymetryczne w cos, to znaczy,»e mo»- na je zapisa w postaci: R(cos, sin ) = cos R(cos 2, sin ) i wtedy caªka przyjmuje posta : R(cos, sin ) = cos R(cos 2, sin ) R(1 sin 2, sin ) cos R(1 t 2, t)dt a wi c otrzymali±my caªk z funkcji wymiernej od zmiennej t. 2. Gdy wyra»enie podcaªkowe jest antysymetryczne w sinusie (tzn. R(cos, sin ) R(cos, sin )) to za now zmienn bierzemy cosinus: t = cos. Uzasadnienie jest analogiczne jak w poprzednim przypadku. Przykª. sin 5 cos 4 ; wyra»enie jest antysymetryczne w sinusie, podstawiamy cosinus. 3. Spotyka si te» czasem sytuacj, gdy mamy: R( sin, cos ) = R(sin, cos ). Podstawiamy wtedy tangens: t = tg. Uzasadnienie jest tu nieco dªu»- sze: Zapiszmy najsampierw funkcj podcaªkow w postaci: R(c, s) = R (c, s c ); mamy: R (c, s c ) = R ( c, s c ) = R ( c, s c ) 12

13 i skoro mamy niezmienniczo± wzgl dem zmiany znaku w pierwszym argumencie, to mo»emy napisa,»e funkcja w pierwszym argumencie zale»y od kwadratu zmiennej c, tzn. tzn. R (c, s c ) = R (c 2, s c ) R(sin, cos ) = R (cos 2, sin cos ) = 1 R ( 1 + tg 2, tg ) i podstawiaj c t = tg, mamy: = Przykª. R(sin, cos ) = tg 3 dt 1+t 2 i dalej R 1 ( 1 + t 2, t) dt 1 + t Caªki z wyra»e«typu R(, n α+β γ+δ ) Rozpatrzmy teraz caªki postaci R(, α + β n γ + δ ), (zakªadamy tu,»e α+β γ+δ const, bo inaczej problem byªby trywialny), gdzie R(u, v) jest funkcj wymiern swoich argumentów. Okazuje si,»e takie caªki mo»na sprowadzi do caªek z funkcji wymiernych. Realizuje si to za pomoc nast puj cego podstawienia: t = α + β n γ + δ. tzn. tn = α + β γ + δ, co znaczy,»e wyra»a si wymiernie przez t i w ten sposób otrzymujemy w zmiennej t caªk z funkcji wymiernej, któr liczymy znanymi nam ju» metodami. Konkretnie, mamy tutaj: = β δtn γt n α, = n(αδ βγ) t n 1 (γt n α) 2dt Przykª. I = = ( 1)( + 1)

14 Zgodnie z powy»szym przepisem, podstawiamy: t = , = t3 + 1 t 3 1, = 6t2 dt (t 3 1) 2 i nasza caªka przyjmuje posta I = 3dt t 3 1. Powy»sze podstawienie sprowadziªo wi c caªk do caªki wymiernej. Po policzeniu, wynik jest nast puj cy: I = 1 2 ln t2 + t + 1 (t 1) arctg 2t C. 1.8 Caªki z wyra»e«typu R(, a 2 + b + c); podstawienia Eulera Ostatni z omawianych teraz klas caªek b d caªki R(, a 2 + b + c), (20) gdzie R(u, v) jest funkcj wymiern. Caªki powy»szego rodzaju tak»e wyra»aj si przez funkcje elementarne. Istniej zasadniczo dwa sposoby obliczania caªek (20); my omówimy tu podstawienia Eulera. Drugi z tych sposobów to podstawienia trygonometryczne lub hiperboliczne; b d one przedstawiane na wykªadzie. Odno±nie trójmianu kwadratowego a 2 + b + c zakªadamy, i» nie jest on peªnym kwadratem, gdy» w tym przypadu mogliby±my wyci gn ze«pierwiastek i mie caªk wymiern. 1. Pierwsze podstawienie Eulera mo»na stosowa w przypadku, gdy a > 0. Podstawiamy wówczas: a2 + b + c = t a (21) (lub, aby t wyst powaªo tylko po jednej stronie równo±ci: t = a 2 + b + c+ a. Po podniesieniu do kwadratu równo±ci (21) wyraz a 2 skasuje si po obu stronach i zostanie sk d mamy = b + c = t 2 2 at t2 c b + 2 at, a2 + b + c = 14 at 2 + bt + c a 2, at + b

15 at 2 + bt + c a = 2 (b + 2 dt. at) 2 Wida,»e przy tym podstawieniu zarówno (oraz oczywi±cie, jak i a2 + b + c wyra»aj si wymiernie przez t; w ten sposób doprowadzili±my caªk (20) do caªki z funkcji wymiernej. 2. Drugie podstawienie Eulera mo»na stosowa w przypadku, gdy c > 0. Wówczas bierzemy: a2 + b + c = t + c. (22) Je±li podniesiemy obie strony równo±ci (22) do kwadratu, odejmiemy po obu stronach c i podzielimy przez, to otrzymamy: i mamy: a + b = t ct = 2 ct b ct 2 bt + ca, a2 + b + c =, a t 2 a t 2 ct 2 bt + ca = 2 dt. (a t 2 ) 2 Znów wi c, oraz a 2 + b + c wyra»aj si wymiernie przez t; w ten sposób znowu doprowadzili±my caªk (20) do caªki z funkcji wymiernej. 3. Wreszcie, trzecie podstawienie Eulera mo»na stosowa w przypadku, gdy trójmian kwadratowy a 2 + b + c ma dwa ró»ne pierwiastki rzeczywiste; oznaczmy je λ oraz µ. Wiemy,»e w takim przypadku trójmian ten rozkªada si na czynniki liniowe: a 2 + b + c = a( λ)( µ). (23) Wtedy podstawiamy: a2 + b + c = t( λ). (24) Podnosz c równo± (24) do kwadratu i korzystaj c z (23), skracamy przez wspólny czynnik ( λ) i otrzymujemy znów równanie pierwszego stopnia na : a( µ) = t 2 ( λ) 15

16 sk d dostajemy: = λt2 aµ t 2 a, = a2 + b + c = 2ta(µ λ) (t 2 a) 2 dt a(λ µ)t t 2 a, Uwaga. Mo»e si zdarzy,»e do jakiej± caªki mo»na zastosowa wi cej ni» jedno podstawienie Eulera! Poka»emy teraz, w dowolnej caªce postaci (20) mo»na zastosowa które± z podstawie«eulera (konkretnie, pierwsze lub trzecie). Otó» je±li trójmian kwadratowy a 2 + b + c ma pierwiastki rzeczywiste, to mo»na zawsze zastosowa podstawienie trzecie. Je±li natomiast trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych, tzn. b 2 4ac < 0, to znaczy to,»e 4ac > b 2 0, czyli mog si zdarzy dwie sytuacje: albo a > 0, c > 0, albo a < 0, c < 0. W pierwszym przypadku mo»na stosowa pierwsze lub trzecie podstawienie Eulera. W przypadku za±, gdy zachodzi druga mo»liwo±, mamy: a < 0, < 0, czyli trójmian kwadratowy przyjmuje zawsze ujemne warto±ci, czyli (w interesuj cym nas tu zakresie liczb rzeczywistych) pierwiastek z trójmianu kwadratowego nie istnieje. Przykª. I. Obliczmy caªk I I = za pomoc pierwszego podstawienia Eulera. Zgodnie z (21) mamy = t, sk d wyliczamy = t t + 4, = 2t2 + 8t 8 (2t + 4) 2 dt, i wstawiaj c do caªki wyj±ciowej, mamy I I = = t = t2 + 4t 4 2t + 4 dt t T caªk ju» ªatwo policzy, dostaj c (zach cam Czytelnika, aby uzupeªniª te rachunki) I I = arctg [2( )] + C. 16

17 Przykª. II. Obliczmy caªk I II = za pomoc drugiego podstawienia Eulera. Zgodnie z (22) mamy = t + 1; sk d = 2t t 2, = 2(t2 + t + 1) (t 2 1) 2 dt, i w zmiennej t caªka przybiera posta = t2 + t t 2, 2(t 2 + t + 1) I II = dt t t 2 a wi c otrzymali±my jak trzeba caªk z wyra»enia wymiernego. Czytelnika zach cam do doko«czenia i sprawdzenia rachunku. Przykª. III. Przetestujmy wreszcie trzecie podstawienie Eulera na caªce I III = (2 3) 4 2. Zgodnie z (24) bierzemy 4 2 = t, sk d wyliczamy = 4 t 2 + 1, = 8 tdt (t 2 + 1) 2, 4 2 = t = 4t t 2 + 1, i w zmiennej t caªka przyjmuje posta I III = 2 dt 3t t2 2 3 = t wi c znów w postaci wymiernej, tak jak powinno by. Znów wykªadowca zach ca Czytelnika do doko«czenia i sprawdzenia rachunków. 17