J. Wyrwał Wyłady z mechan materałów.. STAN ODKSZTAŁCENA STRONA GEOMETRYCZNA... Wetor przemeszczena Rozważmy bryłę (cało materalne) o dowolnym ształce meszczoną w prostoątnym ładze odnesena Ox xx (rys. ) Rys. gdze x oznacza położene (mesce) pnt materalnego w tym ładze x x x są ego współrzędnym wersoram (wetoram ednostowym) os ład odnesena. Bryła neobcążona zame w trówymarowe przestrzen obszar B zwany onfgraca początową (neobcążoną). Pod wpływem sł zewnętrznych (powerzchnowych masowych) bryła odształca sę zamąc nowy obszar B zwany onfgracą ońcową (odształconą). Pnt materalny bryły (cząsta materalna) zamący w onfgrac początowe położene x znadze sę na ste odształcena bryły w położen x. Wetor o począt w pnce x ońc w pnce x nazywamy wetorem przemeszczena [m]. Poneważ przemeszczene ażdego pnt materalnego bryły est w ogólnośc nne zatem wetor ten est fncą położena ( ) ( x) ( x) ( x) ( x) ( x ) x () Współrzędne wetora przemeszczeń w zagadnenach nżynersch oznacza sę ao v w.... Tensor odształceń Rozpatrzymy przemeszczene dwóch dowolne wybranych pntów materalnych bryły znadących sę nesończene blso sebe. Nech perwszy z nch zame w onfgrac początowe położene x zaś drg x. Pod wpływem obcążena pnty te przemeszczą sę odpowedno o d zamąc w onfgrac ońcowe
(odształcone) nowe położene czyl x (rys. ). x d x równeż nesończene blso sebe Rys. Z rysn tego wyna że d x d ' ' d () Sąd otrzymemy d x d () Poneważ ( x ) zatem () d x w onsewenc ( δ ) δ (5) Jao marę odształcena bryły w danym pnce x możemy przyąć różncę odległośc mędzy rozważanym pntam po odształcen przed odształcenem lb co est wygodnesze różncę wadratów tych odległośc czyl. Poneważ d x d oraz δ zatem x δ (6) Poneważ z (5) wyna że ( δ )( δ ) ( δ δ δ δ ) ( δ ) (7) zatem podstawaąc (7) do (6) względnaąc że otrzymemy
( ) e (8) Powyższą zależność można przedstawć w neco nne łatwesze w nterpretac postac a manowce ( e δ ) e e δ (9) Poneważ e E oraz δ gdze δ est tensorem ednostowym zatem Tensor ( E ) () E e nazywamy tensorem odształceń. Z () wyna że tensor ten przyporządowe wetorow d x w onfgrac początowe (neodształcone) wadrat dłgośc d x ( ) wetora w onfgrac ońcowe (odształcone). Poneważ welość ta w ażdym pnce bryły est zależna od ern wetora d x zatem tensor odształceń E oreśla stan odształcena w pnce. Z (8) wyna że współrzędne równanam geometrycznym e E tego tensora oreślone są następącym ( ) () e Z równań tych wyna że tensor odształceń est nelnową fncą pochodnych przemeszczeń (nelnowość geometryczna). Powode to dże trdnośc oblczenowe. Poneważ edna w przypad węszośc onstrc bdowlanych pochodne przemeszczeń są bardzo małe zatem zwąz () można zlnearyzować. Z przyład P w rozdzale. wyna że w przypad bel twerdzone o dłgośc l sztywnośc E obcążone równomerne obcążenem q masymalne gęce w ( x l) obrót (pochodna gęca) ( x l) sztywnośc wymaga aby ql zaś masymalny 8E max ql ϕ max. Wyna stąd że ϕ max w max. Poneważ warne 6E l l max ϕ max x l wmax.7.. 5 l 5 w zatem ( ) 7 Możemy zatem przyąć że << w zależnośc () pomnąć loczyny Otrzymamy w ten sposób wyrażene ( ). () oreślaące tensor małych odształceń CAUCHY EGO tóry est lnową fncą pochodnych przemeszczeń. Tensor ten est tensorem drgego rzęd ma 9
współrzędnych. Jedna z () wyna że tensor odształceń est symetryczny a węc lczba ego nezależnych współrzędnych wynos sześć. Powyższe zlnearyzowane zwąz łączące współrzędne tensora odształceń z pochodnym współrzędnym wetora przemeszczeń zwane są równanam geometrycznym CAUCHY EGO. Po rozpsan ch względem wsaźnów otrzymamy sześć następących równań salarnych: ( ) ( ) ( ) ()... nterpretaca geometryczne współrzędnych tensora odształceń W przypad małych odształceń zależność (8) można zapsać ao gdze ( ) ( ) ( )( ) () d x natomast różnca est przyrostem dłgośc w następstwe odształcena. Poneważ w przypad małych odształceń możemy przyąć zatem zależność () przyme postać ( ) Dzeląc (5) stronam przez ( ) otrzymemy (5) (6) Lewa strona powyższego wzor przedstawa względny przyrost dłgośc na ste odształcena. Nech d x oznacza wetor równoległy w onfgrac początowe do os Ox (rys. ). Poneważ zatem (6) przyme postać (7) z tóre wyna że est względnym przyrostem dłgośc element tóry w onfgrac początowe był równoległy do os x na ste ego odształcena.
Rys. Podobna est nterpretaca współrzędnych. Dlatego współrzędne te nazywamy odształcenam lnowym. Przedstawaąc pnt materalny w postac sześcan o ednostowych rawędzach możemy współrzędne tensora odształceń nterpretować ao przyrosty dłgośc ego rawędz. Rozważmy z ole dwa elementy lnowe d x oraz d x o wspólnym począt leżące w płaszczyźne Ox x przy czym perwszy z nch w onfgrac początowe est równoległy do os Ox zaś drg do Ox (rys. ). Rys. W tam przypad zależność () przyme postać d d d d (8) Ze wzor () wyna że d d d d ( ) ( ) (9) Podstawaąc (9) do (8) dostaemy () 5
Dzeląc perwszą z powyższych relac przez zaś drgą przez. otrzymemy n n () gdze n oraz n są wetoram ednostowym o ern zwroce zgodnym z wetoram d x oraz d x. W () przyęto że wag na małe odształcena. loczyn salarny powyższych wetorów est równy cosθ n n ( ) ( ) δ δ δ () gdze z wag na małe odształcena przyęto ż. Jeśl γ Π Θ oznacza zmanę ąta prostego medzy rozważanym elementam d x d x to z wag na małe odształcena możemy napsać że snγ γ sn( Π Θ ) cos Θ γ cos Θ () Oblczaąc zmanę ąta medzy nesończene małym wetoram leżącym w płaszczyznach Ox x oraz Ox x otrzymamy podobne wyrażena. Czyl cos cos cos Θ Θ Θ γ γ γ () Powyższe współrzędne tensora odształceń nazywamy odształcenam ątowym (postacowym). Przedstawaąc pnt materalny w postac sześcan o ednostowych rawędzach możemy współrzędne nterpretować ao zmany ąta prostego mędzy ego rawędzam (sześcan stae sę równoległoścanem).... Warn nerozdzelnośc W równanach geometrycznych () do wyznaczena trzech fnc opsących pole przemeszczeń słży sześć fnc opsących pole odształceń. Wyna stąd że współrzędne tensora odształcena ne mogą być nezależne mszą spełnać dodatowe warn. 6
Warn te otrzymemy różncząc dwrotne równana () zmenaąc oleno wsaźn l l l l ( ) l ( ) l ( ) l ( ) l l l l l (5) Dodaąc dwa perwsze równana stronam a od wyn odemąc dwa pozostałe otrzymemy następące zwąz mędzy współrzędnym tensora odształceń: (6) l l l l zwane warnam (równanam) nerozdzelnośc (cągłośc). Chocaż równań tych est 8 to edna tylo sześć z nch est nezależnych (różn sę medzy sobą). Otrzymemy e przymąc w powyższych równanach l. Czyl ostateczne (7) Spełnene powyższych równań oznacza że ośrode cągły przed odształcenem est równeż cągły po odształcen zaś ażdem pntow materalnem bryły w onfgrac początowe odpowada doładne eden pnt w onfgrac ońcowe z zachowanem sąsedztwa elementów. Dae to zatem gwarancę że po odształcen w ośrod ne powstaną pst a myślowo wycęte elementy cała ne będą sę przenały...5. Macerz odształceń Współrzędne [ ] tensora odształceń możemy zapsać w postac macerzy wadratowe [ ] x γ γ yx zx γ γ y xy zy γ xz γ yz z (8) zwane macerzą odształceń (obo oznaczeń elementów macerzy odształceń wyorzystywanych w naszych rozważanach powyże przedstawono równeż oznaczena lasyczne wyorzystywane w zagadnenach nżynersch). Na główne przeątne te macerzy leżą odształcena lnowe natomast poza główna przeątną odształcena ątowe (postacowe). 7
..6. Odształcena główne Wartośc główne tensora odształceń oblczamy z równana charaterystycznego (9) gdze () są nezmennam macerzy odształceń. Z wag na symetrę macerzy odształceń powyższe równane ma trzy perwast rzeczywste ; ażdem z tych perwastów (odształceń głównych) przyporządowany est erne główny oreślony wetorem normalnym n n n czyl n n n ( n n n ) ( n n n ) ( n n n ) () przy czym współrzędne ernów głównych tensora odształceń wyznaczamy z równań ( ) n n n n ( ) n n n n ( ) n () Wetory główne są ortonormalne czyl mszą spełnać warn n n δ n n n n n n n n n () W ładze odnesena oreślonym przez ern główne macerz odształceń ma postać [ ] () 8
9 zaś e nezmenn dane są zależnoścam (5)..7. Względna zmana obętośc Rozpatrzmy sześcan tórego rawędze o dłgośc ednostowe są w onfgrac początowe równoległe do ernów głównych (rys. 5). Rys. 5 Obętość tego sześcan wynos V. Po odształcen ształt sześcan sę ne zmen zaś ego obętość będze równa ( )( )( ) V. Względna zmana obętośc tego sześcan wynos ( )( )( ) V V V (6) Z wag na założene o małych odształcenach w powyższym wyrażen pomnęto loczyny odształceń głównych Porównąc () (5) (6) otrzymemy V V V (7) Wyna stąd że względna zmana obętośc ednostowego sześcan zwana dylatacą est równa perwszem nezmennow macerzy odształceń.
..8. Asator dewator odształceń Tensor odształceń można przedstawć ao smę dwóch tensorów (8) a d Perwszy z nch czyl δ (9) a m nazywamy asatorem odształceń (tensorem lstym) przy czym m () est średnm odształcenem lnowym natomast drg a węc d δ () m dewatorem odształceń. Asator odształceń opse zmanę obętośc elementarnego sześcan natomast dewator zmanę ego postac (ształt). Współrzędne tych tensorów przedstawaą macerze a [ ] m m m () d [ ] m m m () Ja łatwo sprawdzć perwszy nezmenn asatora odształceń est równy perwszem a nezmennow tensora odształceń czyl natomast perwszy nezmenn d dewatora odształceń est równy zer a węc. m..9. Płas stan odształcena Płas stan odształcena występe wtedy gdy w ażdym pnce bryły edna współrzędna wetora przemeszczena na płaszczyźne prostopadłe do edne z os ład odnesena est równa zer zaś pozostałe współrzędne tego wetora są fncam tylo dwóch zmennych oreślaących położene pnt na te płaszczyźne. Przymmy zatem że osą tą est Ox natomast płaszczyzną Ox x. W tam przypad natomast pozostałe współrzędne wetora przemeszczeń są fncam x x czyl ( x x ). Poneważ z () wyna że w tam przypad
zatem. W tam przypad płaszczyzna Ox x est płaszczyzną główną na tóre zaś w bryle występą tylo odształcena. Ta stan odształcena występe np. w bardzo dłge ścane równomerne obcążone w płaszczyźne Ox x (rys. 6). Rys. 6 W przypad płasego stan odształcena macerz odształceń można przedstawć w postac () [ ] Wartośc główne te macerzy wyznaczamy z równana charaterystycznego (9) tóre z wag na a tym samym przyme następącą postać: gdze (5) są nezmennam macerzy [ ]. Poneważ wyróżn powyższego równana est zawsze węszy od zera (dodatn) ( ) ( ) ( ) (6) > (7) zatem estremalne wartośc odształceń (perwast powyższego równana) czyl odształcena główne oreślaą następące relace: max mn ( ) ( ) (8)
Każdem z tych odształceń głównych przyporządowany est erne główny oreślony wetorem normalnym n n czyl n n ( n n ) ( n n ) Do wyznaczena ernów głównych wyorzystemy ład równań (9) ( ) n n n ( ) n (5) z dodatowym warnem ortonormalnośc wetorów n n wyznaczaących ern główne n n δ (5) Z warn tego wyna że n n n n n n n n n n n n n n (5) W ładze odnesena wyznaczonym przez ern główne macerz odształceń ma postać zaś e nezmenn oreślaą zależnośc (5) [ ] (5) Przyłady Przyład. Wyznaczyć porównać nezmenn następących dwóch macerzy odształceń: 5 [ ] [ ] 6 Dane: 5 6
Szane: Rozwązane: Kro. Korzystaąc ze wzorów () oblczamy nezmenn perwsze macerzy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 8 5 5 5 6 9 9 5 5 5 5 5 Kro. Korzystaąc ze wzorów (5) oblczamy nezmenn drge macerzy 7 6 5 8 6 6 6 Kro. Porównemy nezmenn ob macerzy. Z porównana tego wyna że Poneważ nezmenn ob macerzy są sobe równe zatem ch elementy są współrzędnym tego samego tensora odształceń w dwóch różnych ładach odnesena (drg z nch tworzą ose główne). Przyład. Wyznaczyć macerz odształceń w przypad bryły tóra w onfgrac początowe (neobcążone) B est sześcanem o ednostowych rawędzach (rys. P.) Rys. P. eśl pole przemeszczeń oreślone est wetorem ( ) bx ax. Wyznaczyć onfgracę ońcową (odształconą) B bryły. Dane: b a bx ax Szane: [ ] B Rozwązane: Kro. Wyznaczamy macerz odształceń
() Oblczamy pochodne wetora przemeszczeń ; a b () Korzystaąc ze wzorów () oblczamy współrzędne macerzy odształceń ; a b () Podstawaąc powyższe współrzędne do macerzy (8) otrzymemy następącą macerz odształceń [ ] a b Z postac powyższe macerzy wyna że w bryle występą tylo odształcena lnowe są to odształcena główne a b. Kro. Wyznaczamy onfgracę ońcową (odształconą) bryły Poneważ zadany wetor przemeszczene est lnową fncą położena (czyl zmennych x x ) to w cel wyznaczena onfgrac ońcowe bryły wystarczy oblczyć przemeszczene werzchołów sześcan Wyorzystemy do tego wzór ax bx O : x A : x B : x C : x D : x F : x E : x G : x x x x x x x x x x x x x x x x x O E A C D b a a G B F a a b b b Konfgracę ońcową (odształconą) bryły przedstawa rys. P. Rys. P. Przyład. Wyznaczyć macerz odształceń w przypad bryły tóra w onfgrac początowe (neobcążone) est sześcanem o ednostowych rawędzach (rys. P.) eśl pole przemeszczeń ax ax. Wyznaczyć onfgracę ońcową (odształconą) bryły. oreślone est wetorem ( ) Dane:
ax ax a Szane: [ ] B Rozwązane: Kro. Wyznaczamy macerz odształceń () Oblczamy pochodne wetora przemeszczeń a ; () Korzystaąc ze wzorów () oblczamy współrzędne macerzy odształceń ; a () Podstawaąc powyższe współrzędne do macerzy (8) otrzymemy następącą macerz odształceń [ ] a a Z postac powyższe macerzy wyna że w bryle występą tylo odształcena ątowe (postacowe) γ γ cos Θ a γ γ a. Kro. Wyznaczamy onfgracę ońcową (odształconą) bryły Poneważ zadany wetor przemeszczene est lnową fncą położena (czyl zmennych x x ) to w cel wyznaczena onfgrac ońcowe bryły wystarczy oblczyć przemeszczene werzchołów sześcan Wyorzystemy do tego wzór ax ax O : x x A : x B : x F : x G : x x x x C : x x D : x x E : x x x x x x x x x x x O E A C D a G B a a ( ) a F a a ( ) Konfgracę ońcową (odształconą) bryły przedstawa rys. P. 5
Rys. P. Zagadnena na egzamn. Zdefnować omówć tensor (macerz odształceń). Podać nterpretacę geometryczną sładowych tensora odształceń.. Zdefnować omówć asator (tensor lsty) dewator odształceń.. Wyprowadzć omówć wzór oreślaący względną zmanę obętośc (dylatacę) ednostowego sześcan.. Wyprowadzć omówć wzory oreślaące naprężena główne w przypad płasego stan odształcena. Zdefnować nezmenn tensora odształceń. Wsazówa: Wyorzystać macerz odształceń y τ yz τ yz z 6