2. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI

Transkrypt

1 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI.. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI W metodze sł w celu przyjęca układu podstawowego należało odrzucć węzy nadlczbowe. O lczbe odrzuconych węzów decydował stopeń statycznej newyznaczalnośc (SSN). W metodze przemeszczeń układ podstawowy uzyskamy dokładając węzy (przesztywnając konstrukcję). O lczbe węzów które trzeba dołożyć decyduje stopeń knematycznej newyznaczalnośc (SKN). Jest on sumą wszystkch możlwych nezależnych kątów obrotu węzłów nezależnych przesuwów... Nezależne kąty obrotu węzłów Przy określanu SKN należy najperw określć lczbę węzłów wewnętrznych układu prętowego, w których zbegają sę sprężyśce przynajmnej dwa utwerdzone pręty. Należy zwrócć uwagę, że jeżel na długośc pręta zmena sę sztywność to połączene elementów o różnych sztywnoścach traktujemy jak dodatkowy węzeł wewnętrzny. EJ EJ Drugm etapem jest określene lczby węzów, które należy wprowadzć tak aby układ był neprzesuwny. Sposób określana SKN zlustrujemy na klku przykładach. Przykład Dla ramy przedstawonej na rys.. określć SSN, SKN oraz dobrać układy podstawowe metody przemeszczeń. Rys... Rama płaska Rama jest statyczne knematyczne wyznaczalna zatem SSN SKN Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

2 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Przykład Dla ramy przedstawonej na rys.. określć SSN, SKN. Rys... Zadana rama Stopeń statycznej newyznaczalnośc określamy na podstawe lczby węzów, które należy usunąć aby przyjąć układ podstawowy metody sł: Poneważ odrzucono pęć podpór sztywnych stopeń statycznej newyznaczalnośc wynos: SSN =5 3 =5 W celu określena układu podstawowego metody przemeszczeń zablokowano dwa możlwe obroty węzłów przez dodane do układu dwóch utwerdzeń wewnętrznych. Wobec tego stopeń statycznej newyznaczalnośc wynos: SKN = lub przy nnych oznaczenach: Przykład 3 Określć SSN, SKN dla ramy przedstawonej na rys..3. Rys..3. Rama newyznaczalna Dla ramy (rys..3) określono stopeń statycznej newyznaczalnośc usztywnając przeguby (p=) odrzucając utwerdzena (r=5): Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

3 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 3 SSN =5 3 =3 Natomast układ podstawowy metody przemeszczeń uzyskamy blokując dwa możlwe obroty węzłów przez dodane do układu dwóch utwerdzeń (węzów, które odberają tylko możlwość obrotu, ale pozwalają na swobodny przesuw): SKN = lub przy nnych oznaczenach: Dotychczas analzowalśmy tak zwane układy neprzesuwne, w kolejnych przykładach rozpatrzymy układy przesuwne, take w których po zablokowanu obrotów możlwe są przemeszczena lnowe. Analzując ramę podaną na rysunku.4 Przykład 4 w perwszym etape blokujemy obroty węzłów: Rys..4. Zadana rama lub: Drugm etapem w przyjęcu układu podstawowego jest zablokowane możlwych przesuwów węzłów. Poneważ zakładamy, że pręty ne ulegają skrócenu lub wydłużenu to wstawene węzu po kerunku os rygla unemożlwa pozome przesuwy obydwu górnych węzów. Słupy mają dolne węzły przytrzymane w pone, wobec tego górne węzły też ne mogą sę przesuwać ponowo. Drugm możlwym przesuwem jest pozome przemeszczene podpory lewej. Ostateczne układ podstawowy został zbudowany przez wprowadzene 4 węzów. SKN =4 Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

4 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 4 Dla tej samej ramy (rys..4) określono stopeń statycznej newyznaczalnośc: SSN =.. Łańcuch knematyczny W złożonych układach prętowych lnowe przemeszczena węzłów często są ze sobą powązane. Aby określć stopeń knematycznej newyznaczalnośc trzeba ustalć lczbę nezależnych przesuwów. Aby wyznaczyć lczbę nezależnych przesuwów należy utworzyć dla danego układu, poprzez wprowadzene we wszystkch węzłach przegubów, tak zwany łańcuch knematyczny. Przykład 5 Utworzyć łańcuch knematyczny dla ramy przedstawonej na rys..5. Rys..5. Rama płaska Najperw we wszystkch węzłach wstawamy przeguby: Następne do łańcucha knematycznego wprowadzamy przesuw (Δ) uzależnamy od nego kąty obrotu cęcw prętów (ψ), jak na rys..6. Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

5 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 5 Δ Ψ Ψ Ψ 3 h h Rys..6. Łańcuch knematyczny z wprowadzonym przesuwem Δ Przyjmując, że pręty ne ulegają skrócenu, oraz że dla małych kątów tg, dla powyższego układu możemy zapsać: = h = Poneważ cały rygel przesuwa sę w pozome to: h = 3 h h = 3 h 3 = h h Obroty cęcw wszystkch prętów zostały wyrażone przez jedną newadomą. Wobec tego w rame jest jeden nezależny przesuw. Przykład 6 Innym przykładem może być rama ze słupem skośnym: h h Wprowadzamy we wszystkch prętach przeguby narzucamy przesuw jednego z węzłów (ne podpory) w pozome (rys..7) Δ h Ψ Ψ Ψ 3 h Rys..7. Łańcuch knematyczny z wprowadzonym przesuwem Δ Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

6 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 6 W tym przypadku stwerdzamy, że: 3 = h oraz na podstawe wcześnejszego przykładu określamy = h Natomast do wyznaczena kąta obrotu rygla potrzebna jest szczegółowa analza układu weloprętowego. W przypadku układów weloprętowych występuje klka wartośc kątów obrotu prętów ψ, które ne są nezależne, lecz zwązane ze sobą równanam łańcucha knematycznego. Łańcuch tak podobne jak dla układów o newelkej lczbe prętów, tworzymy przez wprowadzene przegubów w mejscach węzłów: y 0 Rys..8. Łańcuch knematyczny dowolnego układu weloprętowego Układ prętów należy zamenć na układ wektorów (rys..9) którego wypadkowa łączy węzeł początkowy z końcowym: n W = l = n x y 0 l l x α W l y W x n W y Rys..9. Układ prętów zamenony na układ wektorów Wówczas składowe wypadkowej możemy zapsać jako sumy: l x = W x l y = W y Poneważ znany jest kąt nachylena każdego z prętów w konstrukcj, prawdzwe są zależnośc: x Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

7 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 7 l x =l cos l y =l sn Po tych wstępnych założenach należy poddać analze układ, który doznał przemeszczeń. Zajmować sę będzemy przemeszczenam knematyczne dopuszczalnym (łańcuch ne może sę rozerwać) przy założenu, że węzeł początkowy końcowy ne ulegają przemeszczenom. y α' 0 W n x Po wewnętrznej deformacj długośc wektorów zostały nezmenone (założylśmy neskracalność prętów). Nowe pochylene pręta l jest sumą kąta perwotnego położena α kąta obrotu ψ: ' = We wzorze zapsalśmy kąt ze znakem ujemnym, poneważ kąty uznajemy za dodatne skerowane od os x do y (układ prawoskrętny), natomast kąty są dodatne gdy kręcą od os y do x (zgodne z ruchem wskazówek zegara). Po przemeszczenach składowe wypadkowej (która sę ne zmenła) opsują zależnośc: Rozpsując perwsze równane otrzymamy: l cos ' = W x l sn ' = W y l cos = W x l [cos cos sn sn ]= W x Dla bardzo małych kątów można zapsać : co daje: cos = sn = l cos l sn = W x Poneważ składową wypadkowej przed przemeszczenam znamy, to: l cos l sn = l cos Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

8 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 8 Po uporządkowanu otrzymujemy: lub proścej: l sn l y Korzystając z drugego równana możemy przeprowadzć podobną analzę: ostateczne: l sn = W y l [ sn cos cos sn ]= W y l sn l cos = W y = l sn l cos l x W ten sposób otrzymalśmy dwa równana łańcucha knematycznego, które opsują zwązk mędzy wewnętrzne możlwym obrotam prętów przy nezmenonym położenu węzła początkowego końcowego: l y l x Równana te mogą być zapsane dla dowolnej lczby prętów pod warunkem, że przemeszczena skrajnych węzłów 0 n są równe zero (lub mają znaną wartość). Przykład 7 Wyznaczyć kąty obrotów prętów ramy spowodowane przesunęcem jednego z węzłów o wartość (rys..0). a) b) Ψ Δ 0 Ψ Ψ 3 Rys..0 a) Zadana rama, b) Łańcuch knematyczny z wprowadzonym przesuwem Δ Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

9 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 9 Należy zwrócć uwagę, że sumujemy wektory przemeszczeń wewnętrznych przy założenu dodatnch kątów (zgodne z ruchem wskazówek zegara). Dodatn obrót pręta - przytrzymanego w węźle odbywa sę w dół. Wektor przemeszczena węzła jest skerowany w dół (ujemny w przyjętym układze współrzędnych): Ψ Ψ l x Ψ l y Łańcuchy rozpsane od węzła do 3 mają postać: { Obrót pręta -3 możemy wyznaczyć z tangensa kąta 3 = 3 = lub układając równane łańcucha od węzła 3 do węzła w pozome: z równana drugego określamy: wstawamy do równana : co prowadz do wartośc kątów obrotu: 3 3 = = =3 = { = 3 = które mogą być wyrażone przez przemeszczene : = 3 = 9 = = 6 Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

10 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI 0 3 = = 3 W przypadku bardzo rozbudowanych układów (rys..) można zapsać dwa równana łańcucha knematycznego dla różnych śceżek zaczynających sę w jednym węźle zakończonych drugm węzłem. Rys... Przykładowa rozbudowana rama Przykładowo mogą one meć następujące postać: Rys... Łańcuch knematyczny Y Y Przykład 8 Dla ponższych ram określć SKN (lczbę kątów obrotu przesuwów nezbędnych do zablokowana) układu. a) b) c) Rys..3. a) Zadana rama, b) Zablokowane kąty obrotu, c) Zablokowane przesuwy W rame (rys..3.a) w celu określena stopna knematycznej newyznaczalnośc zablokowano dwa możlwe obroty węzłów przez dodane do układu dwóch utwerdzeń wewnętrznych (rys..3.b). Po zablokowanu przesuwu w węźle 3 część ramy 03 mogłaby sę przemeszczać, dlatego należało zablokować możlwość Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

11 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI przesuwu węzła. SKN = =4 a) b) c) Rys..4. a) Zadana rama, b) Zablokowane kąty obrotu, c) Zablokowane przesuwy W rame z rys..5.a najperw zablokowano cztery możlwe obroty węzłów przez dodane do układu czterech utwerdzeń wewnętrznych (rys..4.b) oraz dwa możlwe przesuwy przez dodane do łańcucha knematycznego układu, dwóch podpór lnowych (rys..4.c): SKN =4 =6 a) b) c) Rys..5. a) Zadana rama, b) Zablokowane kąty obrotu, c) Zablokowane przesuwy Podobne w rame z rys..5.a najperw zablokowano cztery możlwe obroty węzłów przez dodane do układu czterech utwerdzeń wewnętrznych (rys..5.b) a następne odebrano możlwość przesuwu w każdym z pęter ramy. SKN =4 3=7 a) b) c) 3 Rys..6. a) Zadana rama, b) Zablokowane kąty obrotu, c) Zablokowane przesuwy W rame (rys..6.a) w celu określena stopna knematycznej newyznaczalnośc zablokowano obroty w dwóch węzłach (rys..6.b) dodano dwe podpory lnowe (rys..6.c): SKN = =4 Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.

12 Część. STOPIEŃ KINEMATYCZNEJ NIEWYZNACZALNOŚCI Tę samą ramę można rozwązać także w nny sposób. Pręt nr z rys..6.a można potraktować jak pręt statyczne wyznaczalny, po czym pozostałą część układu obcążyć słam węzłowym (M), pochodzącym z rozwązana częśc wyznaczalnej (rys..7). M M 3 Rys..7. Rama podzelona na część statyczne wyznaczalną newyznaczalną Wówczas SKN zmnejszy sę o jedną podporę lnową: SKN = =3 Także ramę z podporą ślzgową można rozwązywać dwoma metodam. a) 3 b) c) 4 Rys..8. a) Zadana rama, b) Zablokowane kąty obrotu, c) Zablokowane przesuwy W rame (rys..8.a) w celu określena stopna knematycznej newyznaczalnośc należy zablokować trzy obroty węzłów (rys..8.b) oraz trzy możlwe przesuwy przez dodane podpór lnowych (rys..8.c): SKN =3 3=6 W przypadku gdy znany jest wzór transformacyjny na pręt z podporą ślzgową wystarczy zablokować tylko dwa przesuwy (rys..9) trzy obroty (rys..8.b). Rys..9. Łańcuch knematyczny bez zablokowanego przesuwu w podporze ślzgowej SKN =3 =5 Dobra D., Dzakewcz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mkołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.