Wykład 2: Stan naprężeń i odkształceń

Transkrypt

1 Wykład : Stan naprężeń odkształceń Leszek CHODOR, dr nż. bud, nż.arch. leszek@chodor.pl ; leszek.chodor@polske-nwestycje.pl Lteratura: [] Tmoschenko S. Gooder A.J.N., Theory of Elastcty Mc Graw Hll, nd, Oxford, 95 [] Pechnk S., Wytrzymałość materałów dla Wydzałów budowlanych,, PWN, Warszaw-Kraków, 98 [3] Rakowsk J., Teora sprężystośc, Almamater, Poltechnka Poznańska, 3/4 [4] Bower A., Lnear Elastcty,, Lecture Notes, Dvson of Engneerng Brown Unversty Sprng 5, [5] Lebedev L.P., Cloud M.J., Tensor Analyss wth Applcatons n Mechancs, World Scentfc, [6] Chodor L., publkacje własne - różne. [7] Strony www [dostępne luty ] - różne

2 Równana równowag Navera - Postawene zadana Bryła określona w układze (x ) jest obcążona układem sł zewnętrznych pozostających w równowadze (Z==). Z wnętrza tej bryły o objętośc V wycnamy dowolny element o objętośc V powerzchn S. Na każdy punkt powerzchn S dzałają sły wewnętrzne o gęstośc pu, a na każdy punkt wewnątrz elementu V dzałają sły masowe o gęstośc P (wcześnej oznaczalśmy G). [] Zgodne z twerdzenem o równoważnośc układów sł wewnętrznych zewnętrznych układ sł dzałających na wycęty element objętoścowy jest układem równoważnym układow zerowemu. Spełnone węc muszą być warunk: S= M= S S S p r p ds ds Warunk te możemy zapsać w postac: V V (5) Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc PdV r M PdV

3 Równana równowag Navera Przydatne twerdzena matematyczne Przydatne twerdzena matematyczne: Tw. o współrzędnych loczynu wektorowego: Tw.. Greena-Gaussa-Ostrogradzkego ( o zamane całk powerzchnowej na objętoścową): Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 3

4 S S Równana równowag Navera dowód {} Korzystając z tw., rozwjając loczyny wektorowe ds PdV M e x ds e x P dv V S jk j k V jk j k (6) Warunek ten możemy przedstawć w postac (korzystamy z (8) ) j j (8) S j j ds Poneważ : V PdV cos(, x (7) ) węc z wykorzystanem zapsu sumacyjnego, otrzymalśmy Warunek M== (6) zapszemy w postac Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 4

5 Równana równowag Navera dowód {} Z tw.. Poneważ równośc muszą zachodzć dla dowolnego elementu V, to funkcje podcałkowe muszą być tożsamoścowo równe zero, węc: Równane (9), to właśne równana równowag Navera: x Po rozpsanu (9) otrzymujemy układ trzech równań różnczkowych: x x x 3 x x x 3 x 3 3 x x j j P P P 3 P Równana Navera są różnczkowe w klase funkcj, a ne skalarów,,, (, j,,3) Uzyskalśmy też wynk poboczny (9) Równane powyżej potwerdza twerdzena o równośc naprężeń stycznych do sebe prostopadłych Przez analogę do statyk budowl możemy powedzeć, że zadane jest statyczne newyznaczalne, albowem mamy tylko trzy równana równowag, a szukanych jest sześć funkcj ZBTS. Brakujące równana są natury geometrycznej fzycznej. Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 5

6 Statyczne warunk brzegowe [] [] W równanu (3): s j,j-ty element macerzy naprężeń w punkce na powerzchn bryły a uj j-ta współrzędna wersora normalnego do powerzchn w punkce q u -ta współrzędna wektora gęstośc obcążena zewnętrznego w punkce Wszystke welkośc, występujące w (3) są w ogólnym przypadku funkcjam dwóch zmennych (zmenne x,x,x 3 ne są nezależne, bowem są zwązane równanem powerzchn F(x,x,x 3 )=).Rolę warunków brzegowych pokażemy na przykładach 3 q 3 Z rozważanej bryły wycnamy element, zwerający część Powerzchn zewnętrznej Składamy warunek S= oraz M=. Postępując podobne jak ( do (8), otrzymujemy statyczne warunk brzegowe j 3 j (3) 3 Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 6 q q q

7 Statyczne warunk brzegowe przykład. Funkcje statyczne dopuszczalne Przykład: Dla danej bryły napsać SWB. Równane płaszczyzny ścany: Kosnusy kerunkowe płaszczyzny ścany: Obcążena powerzchn SWB. x3 h /,, 3 q, q q 3, q ( x ( x 3, x, x ( x, x q, h / ), h / ), h / ) [] Na pozostałych płaszczyznach SWB wyznaczymy analogczne: Uwaga: Funkcje naprężeń, które znajdzemy dla rozpatrywanej bryły, muszą być take, aby spełnały wyppsane warunk brzegowe w każdym punkce na powerzchn bryły! - funkcje statyczne dopuszczalne. Spełnene przez elementy macerzy naprężeń równań Navera statycznych warunków Brzegowych ne oznacza jeszcze, że macerz naprężeń przedstawa rzeczywste naprężena w bryle, jest to jedyne warunek koneczny, ale ne wystarczający. Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 7

8 Równana geometryczne {} Pole wektorowe przemeszczeń Odchodzmy od zasady zesztywnena przemeszc ( x, x, x 3 zene: u AA pole _ przemeszczeń _ u u )... (,,3) [ u ', u r, u 3 ' r ]( r) Można wykazać, np. [], że różnca kwadratów odległośc punktów po deformacj A B przed deformacją AB wynos: A' B' AB e kr x k x r (3) [] gdze z defncj Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 8

9 Równana geometryczne {} Deformacja zorentowanego prostopadłoścanu Korzystając z (3) oblczamy różnce kwadratów odległośc medzy punktem A, a punktam B przed pod deformacj Przykładowo mamy: Z wykorzystanem podobnych zależnośc można otrzymać, np. []: Znajomość odległośc mędzy punktem A punktam B, a także znajomość kątów bj ne daje pełnych nformacj o deformacj prostopadłoścanu, potrzeba znajomośc zależnośc pomędzy położenam tych punktów początkowego końcowego włókna, a położenam pozostałych punktów materalnych na tych krawędzach prostopadłoścanu. Otrzymane jednak rezultaty pozwolą na wyznaczene względnych wydłużeń włóken, przechodzących przez punkt A oraz zmany kątów mędzy tym włóknam po deformacj. Take względne wydłużena nazwemy odkształcenam, które są funkcją przemeszczeń ważne odróżnć odkształcene przemeszczena! Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 9 []

10 Równana geometryczne {3} Odkształcene lnowe przechodzące przez dany punkt, to względna zmana odległośc (wydłużene) na skutek przyłożonych sł [oznaczamy e z dwoma jednakowym wskaźnkam] Można wykazać, np. [], że Ne ma sumowana względem Odkształcene kątowe jest to połowa kąta, o jak zmen sę kąt prosty mędzy dwoma włóknam przechodzącym przez wspólny punkt wzajemne prostopadłym przed przyłożenem obcążena[oznaczamy e j z dwoma różnym wskaźnkam, będącym wskaźnkam os, do których włókna w konfguracj początkowej były równoległe ] Przykład: j ( j) -połówka kąta, o jak zmen sę kąt prosty mędzy dwoma włóknam przechodzącym przez wspólny punkt z których w konfguracj początkowej jedno było równoległe do os x, a x, a druge do os xj Ze stosownym zwązkam analtycznym można zapoznać sę np. pracy [] Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc

11 Równana geometryczne {4} Równana geometryczne zwązk mędzy odkształcenam, a przemeszczenam. Otrzymane wcześnej zwązk po rozpsanu mają postać: [] Zależnośc te są równanam nelnowym. Zagadnena, w których stneje koneczność posługwana sę tym równanam nazywamy zagadnenam geometryczne nelnowym. Poneważ wększość zagadneń nżynerskch jest ogranczona do małych przemeszczeń, w których pochodne tych przemeszczeń stanową welkość jeszcze mnejszego rzędu, to zwązk te możemy zlnearyzować: Ćwczene: rozpsać wskaźnkowe zwązk Cuchy ego Równana Cuchy ego zlnearyzowane zwązk mędzy odkształcenam, a przemeszczenam. j u ( x j u x j ),...(, j,,3) (3) Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc

12 Macerz tensor odksztalceń Równana geometryczne zwązk mędzy odkształcenam, a przemeszczenam. Otrzymane wcześnej zwązk po rozpsanu mają postać: ε 3 [ ] (33) Można udowodnć, np. [] że macerz odkształceń jest tensorem, tzn jej współrzędne transponują sę zgodne z prawem tensorowym (9). Jeśl jest tensorem, to pozwala to od razu na rozwązane szeregu zadań z analzy stanu odkształcena, np. Ćwczena: ) znaleźć odkształcena włókna, którego kerunek wyznacza wektor v odnesony do układu (x), ) Spośród wszystkch włóken przechodzących przez punkt A znaleźć te, które odkształcają sę ekstremalne. Kerunk te wyznaczają kerunk główne, a odpowadające odkształcena, to odkształcena główne. 3) Znaleźć macerz główną danej macerzy odkształceń [] Interpretacja geometryczna macerzy odkształceń: odkształcena lnowe wydłużena krawędz sześcanu; odkształcena kątowe połowa kąta, o jak zmeną sę kąty proste mędzy krawędzam sześcanu, czyl /, / 3, / 3 Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc

13 Knematyczne warunk brzegowe Knematyczne warunk brzegowe (KWB) są to warunk jake narzucają na przemeszczena węz knematyczne. Każdą funkcję przemeszczeń, która spełna KWB nazywamy funkcją knematyczne dopuszczalną. Węz knematyczne ogranczają lczebność rodzny wszystkch rozwązań przemeszczeń. Z uwag na róźnorodność typów węzów, KWB ne da sę ująć generalną formułą, jak to było w przypadku statycznych warunków brzegowych. Zaps KWR pokażemy na przykładach. Przykład: Dala danych węz knematycznych podać zaps KWB Utwerdzene bryły przestrzennej: ) Nemożność przemeszczena punktu O (,,) ) Nemożność obrotu względem os x w punkce O 3) Nemożność obrotu względem os x w punkce O (skręcene) [] 4) Nemożność obrotu względem os x3 w punkce O Zadane: Znaleźć zmanę objętośc sześcanu, jeśl dna jest macerz odkształceń e=dag[ e,e,e3] Rozwązane: DV= e+ e+ e3= e= e+ e33 Ćwczene: Wykazać powyższy zwązek na DV (patrz []) Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 3

14 Warunk nerozdzelnośc odkształceń Warunk nerozdzelnośc odkształceń są to warunk defnujące zależnośc, które pownny być spełnone pomędzy przemeszczenam odkształcenam, by stnało rozwązane [ w sense ścsłym]. Nestety znalezene rozwązana, które w sposób ścsły spełna warunk nerozdzelnośc odkształceń jest zadanem bardzo trudnym w praktyce rzadkm Wychodząc z równana Cauchy ego [] Różnczkując dwukrotne stronam w wynku nnych operacj matematycznych [], uzyskamy Zwązk te dla,j,k,r=,,3 są szukanym warunkam, Jest ch 3^4=8, z których nezależnych jest tylko sześć: I dalej []: Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 4

15 Równana fzyczne a równana Hooke a Równana fzyczne są to zależnośc mędzy odkształcenam naprężenam. Ustalene zależnośc jest najtrudnejszym zadanem MCO odbywa sę eksperymentalne, a w ogólnej postac Zapszemy ją formułą Wskazując, że odkształcene jest funkcją ne tylko naprężeń, ale równeż prędkośc przyśpeszene naprężeń, a także funkcją czasu temperatury. W zależnośc od potrzeb w drodze formalnych przekształceń można sformułować klka postac prawa Hooke a [] Rodzaj przyjętego zwązku wyznacza gałąź MCO: reologę, teorę sprężystośc, teorę plastycznośc, Mechankę całą sztywnego (e=) W teor sprężystośc zwązek fzyczny przyjmuje postać prawa Hooke a (zwązk ne zależą w sposób jawny od t T), a ponadto założena: fzykalnej lnowośc, sprężystośc materału, zotrop, jednorodnośc materału. Przy tych założenach równane fzyczne przyjmuje postać [] sześcu równań Hooke a: j G j rr j,...(, j G l są funkcjam punktu noszą nazwę współczynnków Lame go. Istneje zależność:,,3) Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc (E,n)=(moduł Younge a, współczynnk Posson a); G- moduł Krchoffa 5

16 Prawo zmany postac prawo zmany objętośc Ds. dewator As aksjator naprężeńto składowe macerzy naprężeń, ustalone jak następuje: Analogczne dla macerzy odkształceń Prawo zmany objętośc Prawo zmany postac Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 6

17 Zagadnene brzegowe lnowej teor sprężystośc (ZBTS) Równana TS, umożłwające postawene ZBTS, oraz stanowące formalny, matematyczny zaps służący do rozwązana tego zadana. Równana równowag (Navera) wraz ze statycznym warunkam brzegowym na Aq Równana geometryczne (Cauchy ego) wraz knematycznym warunkam brzegowym na Au Równana fzyczne (Hooke a) x q j j j j P u ( x,(, j j j u x j G j,,3) ),...(, j rr j,...(, j j,,3),,3) w ZBTS poszukujemy: 6 funkcj naprężeń; 6 funkcj odkształceń, 3 funkcje przemeszczeń= 5 funkcj. Wykazano [] stnene jednoznaczność rozwązana tak postawonego zadana. Mamy trzy podstawowe metody elmnacj newadomych w równanach ZBTS: metoda sł (rozwązane w naprężenach) metoda przemeszczeń ( rozwązane w przemeszczenach) metoda meszana, Sposoby rozwązywana ZBTS: ) bezpośredne rozwązane, ) półodwrotne: a) podejśce statyczne ( w statyczne dopuszczalnych funkcjach naprężeń) lub b) podejśce knematyczne( w knematyczne dopuszczalnych funkcjach przemeszczeń). Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 7

18 Zasada sup[erpozycj de Sant-Venanta Zasada superpozycj: jeśl dana jest bryła o określonych lnowych węzach knematycznych jeśl znamy dla tej bryły rozwązane ZBTS dla konfguracj obcązena () znamy dla konfguracj obcążena (), to rozwązane ZBTS dla obu konfguracj jednocześne jest sumą rozwązań prostych. Uwaga: zasada słuszna wyłączne dla cał lnowo sprężystych z lnowym węzam knematycznym. [] De Sant-Venanta: Intucyjne sformułowana przez de Sant-Venanta welokrotne potwerdzona dośwadczalne. Jeśl do bryły na małej powerzchn w porównanu z całą powerzchną (DS <<S) przyłożone jest obcążene wywołujące pewen stan naprężena, odkształcena przemeszczena jeśl na powerzchn DS. obcążene zastąpmy nnym, ale statyczne równoważnym, to wartośc naprężeń, odkształceń przemeszczeń wywołane drugm obcążenem, w dostatecznej odległośc od mejsca przyłożena sł, będą róż nć sę od sebe dowolne mało różnły Zwróćmy uwagę, że teora sprężystośc zasady tej ne akceptuje, natomast akceptuje ją wytrzymałość materałów). Skorzystane z tej zasady ne jest czystym podejścem teor sprężystośc, choć m oże być akceptowane z punktu wdzena nżynerskego. Poltechnka Śwętokrzyska, Leszek CHODOR Teora sprężystośc plastycznośc 8