f(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "f(x, y) = arctg x y. f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. x = 1 1 y = y y = 1 1 +"

Amalia Piątkowska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Różnczkowalność pocodne Ćwczene. Znaleźć pocodne cz astkowe funkcj f(x, y) = arctg x y. Rozw azane: Wdać, że funkcj f można napsać jako f(u(x, y)) gdze f(u) = arctg(u), u(x, y) = x y. Korzystaj ac z reg ly lanczucowej mamy, że (x, y) = (u(x, y))(x, y), (x, y) = (u(x, y))(x, y). Aby uproscć notacjȩ, czȩsto sȩ psze bezpośredno =, =. Skoro Z tego wynka, że = + u, = y, = x y. = ( + x y ) y = y y + x, = ( + x y x ) y = x y + x. Ćwczene. Nec z = f(x y ). Udowodnć, że spe lnona jest zależność: x + y

2 Rozw azane: Możemy napsać f(x y ) jako f(u(x, y)), gdze u(x, y) = x y. Korzystaj ac z regu ly lanczucowej mamy, że (x, y) = Jak wczȩśnej, psze sȩ Wȩc, Z tego wynka, że (u(x, y))(x, y), =, = f (x y )x, (x, y) = =. = f (x y )y. (u(x, y))(x, y). x + y = f (x y ) x x f (x y ) y y Ćwczene 3. Sprawdzć, że funkcja { xy, (x, y) (0, 0), f(x, y) = x +y 0, (x, y) = (0, 0) ma w punkce (0, 0) obe pocodne cz astkowe, lecz ne jest w tym punkce c ag la oraz ne stneje pocodna f (0, 0).

3 Rozw azane: Pocodne cz astwoke maj a postać f(, 0) f(0, 0) (0, 0) = lm f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lm = lm = lm = 0 Aby sprawdzć, czy funkcja f jest cģ la w punkce (0, 0), trzeba sprawdzć, czy lm f(x, y) = f(0, 0). Można sprawdzć, że funkcja ne jest c ag la za pomoc a grancy wzd luż ln. Wemy, że jeżel funkcja f jest c ag la w (0, 0) wtedy lm y=λx,x 0 f(x, y) = f(0, 0), lm Natomast, w naszym przypadku, wdać, że Teraz, Mamy, że x=λy,y 0 f(x, y) = f(0, 0). λx lm f(x, y) = lm y=λx,x 0 x 0 ( + λ )x = + λ. f = = lm (, 0) (0, 0). = x(x + y ) xyy = x(x y ), (x, y) (0, 0). (x + y ) (x + y ) 3 (, 0) = = 4, 0. Otrzymalśmy tak wzór za pomoc a twerdzeń rożnczkowana funkcj. Take twerdzena s a prawdzwe w punktac gdze f jest różnczkowalna. Wȩc, ne możemy korzystać z tego w (0, 0). W punkce (0, 0) mamy korzystać z defncj pocodnej: f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lm = lm

4 Korzystaj ac z tego, mamy, że f = = lm Zatem, f/ ne stneje. (, 0) (0, 0) = lm = +. Ćwczene 4. Sprawdzć, że funkcja (x, y) ma w punkce (0, 0) obe pocodne cz astkowe, lecz ne jest w tym punkce różnczkowalna. Rozw azane: Pocodne cz astwoke funkcj f(x, y) = w punkce (0, 0) s a f(, 0) f(0, 0) (0, 0) = lm = f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lm = 0 0 Wȩc, pocodne cz astkowe stnej a. Prawde mów ac, to już wdać w rysunku, funkcja f jest równa zeru dla x = 0 y Skoro / merzy prȩk aść zmanny wartośc f w kerunku x f(x) ma zawsze t a sam a wartośc a dla y = 0, to /(0, 0) Skoro /(0, 0) merzy prȩdk aść zmanny wartośc f w kerunku y w punkce (0, 0), to / Mów sȩ, że funkcja jest różnczkowalna, gdy lm f(x, y) f(0, 0) L(x, y) =, (x, y) gdze L : R R to pewna funkcja lnowa. Krotko mów ac, funkcja f jest różnczkowalna w punkce (0, 0), gdy f(x, y) f(0, 0) blsko (0, 0) jest mnej wȩcej funkcja lnowa, czyl L(x, y). Jeżel funkcja lnowa jest różnczkowalna w pewnej punkce, to rysunek w tym punkce jest lokalne f(0, 0) + L(x, y), czyl p laszczyźna styczna do funkcj. W naszym przypadku, wdać, że f ne jest różnczkowalna.

5 Jeżel funcja jest różnczkowalna w (0, 0), to stnejȩ swoje pocodne cz astkowe w tym punkce L(x, y) = (0, 0)x + (0, 0)y. Korzystaj ac z tego skoro f(0, 0) = 0, /(0, 0) = 0, /(0, 0) = 0, to f(x, y) f(0, 0) L(x, y) lm = (x, y) f(x, y) = lm = (x, y) = = lm f(x, y) = (x, y) = f(x, y) f(0, 0) L(x, y) (x, y) x + y. lm Aby zobaczyć, czy ta granca stneje, korzystamy z granc terowanyc wzdluż ln. lm lm x 0 y 0 x + y = 0 lm lm y x + y Wȩc, jeżel granca stneje, to ma być zero. Natomast x + y = lm y=λx,x 0 λ + λ. Skoro jeżl granca lm x + y stneje wsyzstke poprzedn grance musz a stneć być take same, ale to ne sȩ spe lna, to funkcja f ne jest różnczkowalna.

Jeżel funkcja f jest róznczkowalna, jej pocodne cz atkowe musz a stneć.

6 Ćwczene 5. Zbadać różnczkowalność funkcj f (x, y) = { xy, x +y (x, y) (0, 0), 0, (x, y) = (0, 0), f (x, y) = 3 x 3 + y 3. Rozw azane: Funkcja f jest lorazem funkcj g ladkc. Zatem, poza zerem, gdze manownk se zerujȩ, ta funkcja jest różnczkowalna. Natomast, musmy sprawdzć, czy ta funkcja jest różnczkowalna w punkce (0, 0). Jeżel funkcja f jest róznczkowalna, jej pocodne cz atkowe musz a stneć. Sprawdzamy czy to sȩ spe lna: f (, 0) f (0, 0) (0, 0) = lm f (0, ) f (0, 0) (0, 0) = lm = lm = lm To jest warunek konczne, a ne wystarczaj acy, aby zgwarantować, że f jest różnczkowalana. Aby to sprawdzć, musmy pamȩtać, że funkcja f jest różnczkowalana wtedy tylko wtedy gdy f (x, y) f (0, 0) L(x, y) lm = 0, (x.y) (0,0) (x, y) = 0 gdze L to pewne operator lnowy. W naszym przypadku, operator L ma postać ( (0, 0), ) (0, 0) = (0, 0). Poneważ f (0, 0) = 0, grance ma postać f (x, y) lm (x.y) (0,0) (x, y) = lm (x.y) (0,0) xy (x + y ) 3/.

Aby sprawdzć czy taka granca stneje, sprawdzamy grance terowane Teraz grance wzd luż ln. Wdać, że ne stneje, wȩc, ta funkcja ne ma grancy funkcja ne jest różnczkowalna.

7 Aby sprawdzć czy taka granca stneje, sprawdzamy grance terowane Teraz grance wzd luż ln. Wdać, że ne stneje, wȩc, ta funkcja ne ma grancy funkcja ne jest różnczkowalna. Funkcja f jest perwastlem funkcj g ladkc. Zatem, poza zerem podperwastku, ta funkcja jest różnczkowalna. Natomast, musmy sprawdzć, czy ta funkcja jest różnczkowalna w punktac (x, x) gdze podperwastkem sȩ zeruje. Jeżel funkcja f jest róznczkowalna, jej pocodne cz atkowe musz a stneć. Sprawdzamy czy to sȩ spe lna: f (x +, x) f (x, x) (x, x) = lm 3 3x + 3 (x, x) = lm x + 3 Jednoczesne f (x +, x) f (x, x) (x, x) = lm 3 3x + 3 (x, x) = lm x + 3 To funkcja ne jest różnczkowalna. Ćwczene 6. Zbadaj różnczkowalność funkcj { ( (x + y ) cos f(x, y) = Czy f jest funkcj a typu C? 3 (x + )3 x = lm 3 = lm 3 3x / + 3x/ + = +. 3 (x + )3 x = lm 3 = lm 3 3x / + 3x/ + = +. ) x +y, dla (x, y) 0, 0, dla (x, y)

8 Rozw azane: Ta funkcja jest różnczkowalna poza zerem. Trzeba jeszcze sprawdzć, co sȩdzeje dla (x, y) = (0, 0). Najperw, sprawdzamy pocodne cz astkowe f(, 0) f(0, 0) (0, 0) = lm = lm cos = 0 f(0, ) f(0, 0) (0, 0) = lm = lm cos To jest warunek konczne, a ne wystarczaj acy, aby zgwarantować, że f jest różnczkowalana. Aby to sprawdzć, musmy pamȩtać, że funkcja f jest różnczkowalana wtedy tylko wtedy gdy f(x, y) f(0, 0) L(x, y) lm = 0, (x.y) (0,0) (x, y) gdze L to pewne operator lnowy. W naszym przypadku, operator L ma postać (0, 0), (0, 0) = (0, 0). Poneważ f(0, 0) = 0, grance ma postać f(x, y) lm (x.y) (0,0) (x, y) = lm ( x + y cos x + y Wdać, że ta granca zależe tylko jednej zmennej z = x + y, zatem f(x, y) lm (x.y) (0,0) (x, y) = lm z cos z (0,0) z Wȩc, funkcja f jest różnczkowalna. Natomast, funkcja f ne jest funkcj a klasy C ponważ pocodne ne s a c ag le, np. = x cos + (x + y )x x + y (x + y ) sn. x + y Wȩc, wdac, że [ lm = lm x cos + x ] x + y x + y sn. x + y ).

9 Mamy, lm x cos = lm r cos φ cos = 0 x + y r 0 x + y lm ta granca ne stneje. Wȩc, x x + y sn r cos ϕ = lm sn x + y r 0 r r lm (0, 0).

Podobne dokumenty

Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k

Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k Różnczkowalność, pochodne, ekstremum funkcj Ćwczene 1 Polczyć pochodn a kerunkow a funkcj: 1 1 1 x 1 x 2 x k ϕ(x 1,, x k ) x 2 1 x 2 2 x 2 k x k 1 1 x k 1 2 x k 1 w dowolnym punkce p [x 1, x 2,, x k T