Twierdzenie Bezouta i liczby zespolone Javier de Lucas. Rozwi azanie 2. Z twierdzenia dzielenia wielomianów, mamy, że

Transkrypt

1 Twerdzene Bezouta lczby zespolone Javer de Lucas Ćwczene 1 Ustal dla których a, b R można podzelć f 1 X) = X 4 3X 2 + ax b przez f 2 X) = X 2 3X+2 Oblcz a b Z 5 jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam o wspó lczynnkach w Z 5 Rozw azane 2 Z twerdzena dzelena welomanów, mamy, że f 1 X) = gx)f 2 X) + rx), dla pewnych welomamów gx) rx) gdze rx) ma stopeń jeden, czyl rx) = c 1 X+c 0 dla c 1, c 0 R Aby zagwarantować, że f 1 jest podzelny przez f 2, to musmy szukać a, b takch, że rx) = 0 Wdać, że weloman f 2 ma wszystke swoje perwastk, tj 1, 2, w R Wȩc, jeżel weloman f 1 można podzelć przez f 2, czyl f 1 X) = gx)f 2 X), to f 1 1) = f 1 2) = 0 Odwrotne, jeżel f 1 1) = f 2 1) = 0, to r1) = r2) = 0 rx) = 0 Krótko mów ac, f 1 X) jest podzelny przez f 2 X) f 1 1) = f 1 2) = 0 w naszym przypadku musmy oblczyć wartośc a, b, żeby f 1 1) = f 1 2) = 0 Korzystaj ac ze schemata Hornera, czyl psz ac f 1 X) = a n X n +a n 1 X n 1 +, a 1 X+a 0 = a n X+a n 1 )X+a n 2 )X+ +a 1 )X+a 0, można oblczyć wartość welomanu f 1 dla pewnej wartośc ξ szybcej nż przez oblczena wszystkch wyrazów f 1 W laśne, oblczena wartość welomanu stopna n dla X = ξ wymaga n + 1)n + 2)/2 oblczeń Natomast, schemat Hornera wymaga 2n + 1 W naszym przypadku f 1 X) = X 2 3)X + a)x b Wȩc, Z tego a = 6, b = 8 f 1 1) = 2 + a b, f 1 2) = 2a + 4 b f 1 1) = 2 + a b = 0, f 1 2) = 2a + 4 b = 0 a b = 2, 2a b = 4

2 Jeżel zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam o wspó lczynnkach w Z 5, musmy najperw sprawdzć, czy perwastk f 2 należ a do Z 5 Aby to zrobć, trzeba zauważyć, że wzór perwastków welomanu drugego stopna o wspó lczynkach w cele F jest tak sam jak dla lczb rzeczywstych: ξ ± = b ± b 2 4ac 2a Można sprawdzć, że perwastk welomanu f 2 s a tak samo jak w poprzednym przypadku Z tego, procedura jest taka sama jak wcześnej Na samym końcu dostajemy a = 4, b = 2 Ćwczene 3 Dane welomany o wspó lczynnkach z ca la R wzorem f 1 X) = X b)x a + 5b)X 3 + 5a 6b + ab)x 2 a6 + 5b)X + 6ab, f 2 X) = X 3 X 2 + X 1, ustal dla których a, b R można podzelć f 1 przez f 2 Rozw azane 4 Z twerdzena dzelena welomanów, mamy, że f 1 X) = gx)f 2 X) + rx), dla pewnych welomanów gx) rx) gdze rx) ma stopeń mnejszy od f 2 X) Wȩc, rx) ma stopeń dwa, czyl rx) = c 2 X 2 + c 1 X + c 0 dla pewnych c 2, c 1, c 0 R Aby zagwarantować, że f 1 jest podzelny przez f 2, to musmy szukać a, b takch, że rx) = 0 Wdać, że weloman f 2 ma tylko jeden perwastek, tj 1, w R Wȩc, jeżel weloman f 1 można podzelć przez f 2, to f 1 1) = 0 To warunek koneczny, ale ne wystarczaj acy, aby zagwarantować, że rx) = 0 W naszym przypadku, musmy oblczyć wartośc a, b, żeby f 1 1) = 0 Korzystaj ac ze schematu Hornera, f 1 1) = 2ab 2a 2b + 2 = 2b 1)a 1) = 0 Wȩc, a = 1 lub b = 1 Natomast, to ne wystarczy Aby zagwarantować, że f 1 jest podzelny przez f 2 możemy skorzystać z nastȩpuj acej metody Zak ladamy, że f 1 f 2 s a welomanam o wspó lczynnkach w cele F, 1,, +, ), które spe lna, że R F dzalana ca la F s a tak samo na R jak dza lana R mów sȩ, że R jest podca lem ca la F) Na przyk lad, R jest podca lem C Zalet a ca la C jest to, że każdy weloman jest rozk ladalny jako mnożene welomanów perwszego stopna o wspó lczynnkach w C Ponadto, jeżel f 1 f 2 maj a wspó lczynnk w R można podzelć f 1 przez f 2 jako welomany o wspó lczynnkach w R to też można podzelć je jako welomany o wspó lczynnkach w C

3 Teraz mamy, że f 2 ma perwastk Twerdzene nerozk ladalnośc Abla twerdz, że jeżel weloman f o wspó lczynnkach w cele F jest podzelny przez nerozk ladalny weloman g maj a wspólny perwastek, to wtedy f ma wszystke perwastk g Wȩc, jeżel można podzelć f 1 przez f 2, to f 2 ) = 0 z tego wynka, że f 2 ) = 0 f) = 5 b 5a 6b + ab) + 6ab a + 5b) a6 + 5b)) = 0 Skoro a, b R, to a + 1)b 1) = 0, b + 1)a + 1) = 0 Z f ) = 0 wynkaj a te same równana Wȩc, mamy, że a = 1 b = 1 Ćwczene 5 Za pomoc a algorytmu Eukldesa dla welomanów, podaj najwȩkszy wspólny dzelnk welomanów f 1 X) = X 5 2X 4 + X 3 X 2 X 2, f 2 X) = X 2 3X + 2 f 3 X) = X 5 + X 4 X 3 + X 2 X + 1, f 4 X) = X 2 4X + 3 o wspó lczynnkach z ca la R Rozw azane 6 Aby oblczyć najwȩkszy wspólny czynnk za pomoc a algorytmu Eukldesa, trzeba oblczyć podzelene z reszt a f 1 przez f 2 Można udowodnć, że wtedy najwȩkszy wspólny czynnk mȩdzy f 1 f 2 jest tak sam jak najwȩkszy wspólny czynnk mȩdzy f 2 reszt a dzelena f 1 przez f 2 Z twerdzena dzelena welomanów wynka, że ta reszta ma stopeń jeden Wȩc, ma postać rx) = c 1 X + c 0, gdze c 1, c 0 R f 1 X) = gx)f 2 X) + rx) dla pewnego welomanu gx) Skoro dla ξ = 1 ξ = 2 mamy, że f 1 1) = r1), f 2 2) = r2), to c 1 + c 2 = 4, 0 = 2c 1 + c 2 = c 1 = 4, c 2 = 8 Teraz trzeba podzelć f 2 przez resztȩ Wdać, że wspólny czynnk to 2 Mamy, że f 2 X) = g 2 X)4X 8) + c 0 Wdać, że f 2 2) = 0 Wȩc, c 0 = 0 4X 8 jest najwȩkszy wspólny czynnk mȩdzy f 1 f 2

4 Aby oblczyć najwȩkszy wspólny czynnk za pomoc a algorytmu Eukldesa welomanów f 3 f 4, trzeba oblczyć podzelene z reszt a f 3 przez f 4 Z twerdzena dzelena welomanów wynka, że ta reszta ma stopeń jeden Wȩc, ma postać rx) = c 0 X + c 1 f 3 X) = gx)f 4 X) + rx) dla pewnego welomanu gx) Skoro dla ξ = 1 ξ = 3 mamy, że f 3 1) = r1), f 3 3) = r3), to 3c 1 + c 2 = 182, 0 = c 1 + c 2 = c 1 = 91, c 2 = 91 Teraz trzeba podzelć f 4 przez resztȩ Mamy, że f 4 X) = 91g 2 X) X + 1) + c 0 Wdać, że c 0 = f 4 1) = 0 Wȩc, X + 1 jest najwȩkszym wspólnym czynnkem mȩdzy f 3 f 4 Ćwczene 7 Udowodnj, że dla lczby zespolonej z z mamy, że z = ± z z + z z + z, gdze z to modu l lczby zespolonej z = a + b, gdze a, b R, czyl z = a 2 + b 2 Korzystaj ac z tego, oblcz rozw azana równań z 4 = , z )z = 0, z )z )z = 0 Rozw azane 8 Wdać, ze z + z z = ± z z + z, z = ± z z + z ) 2 z + z ± z z + z ) 2 z + z )2 = z z + z z + z = z z2 + 2 z z + z 2 2 z + z ) z + z ) = z z2 + 2 z z + z 2 2 z 2 + z + z) z Skoro z z, to z 0 ± z z + z ) 2 = z2 + 2 z z + z 2 z + z 2 z + z + z) = zz + 2 z + z) 2 z + z + z) = z Trzeba zauważyć, że skoro z + z 0 to Rez + z ) 0 z + z + 2 z 0

5 a) Zdefnujemy w = z 2, wȩc, w 2 = Korzystaj ac z powyższego wzoru, mamy, że w = ±5 = ±5 = ±3 + 4) Wȩc, z 1) ± = ± = ± z 2) ± = ± = ± = ±2 + ) = ±1 2) b) Aby rożw azać z )z = 0 korzystamy z wzoru Wȩc, z = b ± b 2 4ac 2a z ± = ± = ± 2 2 z + = 2 +, z = = ± + 1) 2 Wzory Veta s a zawsze prawdzwe dla lczb zespolonych Lepej sprawdzć za pomoc a tych wzorów czy pomyllśmy sȩ c) Mamy z )z )z = 0 Istnej a wzory aby oblczyć pertwastk welomanów trzecego czwartego stopna Natomast, jeżel to możlwe, lepej korzystać z nnej metody, skoro take wzory s a ogólne bardzo skomplkowane Na przyk lad, możemy szukać perwastków postac z = p/q gdze p q s a lczbam ca lkowtym wzglȩdnym perwszym Jeżel stneje tak perwastek dla welomanu fx) = n a kx k, to 0 = fz) = n p a k q ) k n a k p k q n k = a 0 q n

6 Skoro p, q Z lczby a k C maj a postać a R k + ai k, gdze ar k, ai k R, to wdać, że lewa strona jest podzelna przez p To prawa strona też Poneważ q n ne jest podzelny przez p to a 0 ma być To oznacza, że cześć rzeczywsta urojona s a podzelne przez p Tak samo można powedzeć, że q podzel czȩść rzeczywst a urojon a a n Powyższy wynk sugeruje nam, że perwastek p/q dla naszego welomanu ma p = 3 q = 1 W laśne, wdać, że czȩść urojona rzeczywsta lczby s a podzelne przez p = 3 Korzystaj ac z tego, z )z )z = z + 3)z )z )) = 0 Perwastk z )z )) można oblczyć za pomoc a poprzednej metody z = 3 + 2, z = 2 3 Ćwczene 9 Nech z 1, z 2, z 3, bȩd a lczbam zespolonym takm, że z 1 = z 2 = z 3 = 2 Udowodnj, że z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 2 z 1 + z 2 + z 3 = z z dla dowolnej lczby ze- Rozw azane 10 W dowodze wykorzystamy, że z 2 spolonej z Poneważ z 1 = z 2 = z 3 = 2, wȩc z 1 z 1 = z 2 z 2 = z 3 z 3 = 4 St ad mamy, że z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 2 = z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 ) z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 ) = z 1 z 1 )z 2 z 2 ) + z 1 z 1 )z 2 z 3 + z 1 z 2 z 2 ) z 3 + z 1 z 1 )z 3 z 2 + z 1 z 1 )z 3 z 3 ) + z 1 z 2 z 3 z 3 ) + z 2 z 2 )z 3 z 1 + z 2 z 1 z 3 z 3 ) + z 2 z 2 )z 3 z 3 ) = z 2 z 3 + z 1 z 3 + z 3 z 2 + z 1 z 2 + z 3 z 1 + z 2 z 1 ) Ponadto, 4 z 1 + z 2 + z 3 2 = 4z 1 + z 2 + z 3 ) z 1 + z 2 + z 3 ) = 4z 1 z 1 + z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 1 + z 2 z 2 + z 2 z 3 + z 3 z 1 + z 3 z 2 + z 3 z 3 ) = z 2 z 3 + z 1 z 3 + z 3 z 2 + z 1 z 2 + z 3 z 1 + z 2 z 1 )

7 Sk ad, Zatem z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 2 = 2 z 1 + z 2 + z 3 ) 2 z 1 z 2 + z 1 z 3 + z 2 z 3 = 2 z 1 + z 2 + z 3 Ćwczene 11 Oblcz przedstaw w postac kanoncznej 1 + ) k, 0 1 k + )k 1 + ) Rozw azane 12 Najperw, 1 + ) k to szereg geometryczny lczb zespolonych o loraze 1 + Dla dowolnego szeregu geometrycznego n S n = q k k=k 0 o wspó lczynnkach z ca la, to dla q 1 qs n S n = q n+1 q k 0 S n = qn+1 q k 0 q ) k = Wdać, że 1 + ) 2 = ) 1 + ) = 1 + ) ) 100 ) 1 + ) k = 1 + ) 1 2) 50 ) = 1 + ) ) = 1) ) Mamy, że k + )k 1 + ) = 1 k ) k + =