Dokonajmy zestawienia wszystkich równań teorii sprężystości. 1. Różniczkowe równania równowagi (warunki Naviera)

Transkrypt

1 Wyład 4 Blas rówań teor srężystośc Dooamy zestawea wszystch rówań teor srężystośc Gra rówań. Różczowe rówaa rówowag (war Navera Lczba rówań Lczba ewadomych X 6 (. Zwąz geometrycze (rówaa Cachy ego ( 6 9 (. Zwąz ostyttywe λ δ µ lb [( ν ν δ]. 6 Razem: 5 5 Poza tym główym gram rówań mamy eszcze do dysozyc rówaa erozdzelośc (war de Sat Veata. Jest ch sześć. e m e l l m. Te wszyste rówaa ależy eszcze zełć arężeowym rzemeszczeowym waram brzegowym. Na częśc brzeg rozatrywaego ośroda mogą być srecyzowae arężeowe war brzegowe atomast a częśc ematycze war brzegowe gdze (s (s są zaym (zadaym rzemeszczeam częśc brzeg ośroda.

2 Podstawowe tyy zadań teor srężystośc Podstawowe zadae erwszego ty: Polega a wyzacze ola arężeń ( w ażdym ce cała oraz ola rzemeszczeń ( od zadaych sł obętoścowych Te 9 ewadomych oraz zwąz fzycze w rzemeszczeach a X owerzchowych owy sełać rówaa Navera X λ δ µ ( szą też być sełoe arężeowe war brzegowe: Podstawowe zadae drgego ty: Polega a wyzacze ola arężeń ( w ażdym ce cała oraz ola rzemeszczeń ( od zadaych sł obętoścowych X zadaych ( s rzemeszczeń owerzchowych ( a owerzch cała. Poszwae owy sełać rówaa Navera oraz zwąz fzycze w rzemeszczeach X λ δ µ (

3 atomast a częśc brzeg cała mszą być sełoe ematycze war brzegowe (s. Podstawowe zadae trzecego ty albo zadae meszae olega a wyzacze ola arężeń ( w ażdym ce cała oraz ola rzemeszczeń ( od zadaych sł obętoścowych X owerzchowych ( s rzemeszczeń owerzchowych ( a owerzch Poszwae owy sełać rówaa Navera oraz zwąz fzycze w rzemeszczeach X λ δ µ (. Rozwązae ms sełać arężeowe war brzegowe: oraz od zadaych brzeg cała. a oraz ematycze war brzegowe a częśc (s. brzeg cała oża wyróżć dwa odeśca do zadań teor srężystośc. Sformłowae bezośrede albo roste Polega a rozwąza zadaa edego z trzech odaych tyów. Rozwązae zadaa w sformłowa bezośredm est bardzo trde.. Sformłowae odwrote (odwrote zadae teor srężystośc. W tym sformłowa ( lb ( są zae (sądąd a ( obcążea zewętrze wyzacza sę a odstawe rówań Cachy ego ( ( oraz warów brzegowych. Rozwązae zadaa odwrotego est

4 dżo rostsze od rozwązaa zadaa w sformłowa bezośredm. Procedra est szczególe rosta gdy zae są (. Na ch odstawe oblcza sę oleo ( λ δ µ X 4 a (s. a Jeśl chodz o sformłowae bezośrede to wygode est wyelmować część zmeych rzymąc za zmee ezależe bądź to rzemeszczea ( bądź to arężea (. Rówaa teor srężystośc w rzemeszczeach. Z odstawowych gr rówań dooemy elmac zmeych wg schemat oazaego oże X λ δ µ (. Otrzymamy w efece rówaa Lamego (rzemeszczeowe rówaa teor srężystośc gdze θ ν X G θ.

5 Rówaa teor srężystośc w arężeach. Ptem wyśca wyrowadzea tych rówań są rówaa erozdzelośc e m e l l m. Podstawmy do ch zwąz ostyttywe [( ν ν δ]. W rzeształceach t omętych wyorzyste sę oadto rówaa rówowag X. fetem rzeształceń est sześć rówań Beltramego tchela (rówaa teor srężystośc w arężeach Σ ν ν X ν δ X X tóre w rzyad bra sł obętoścowych lb ch stałe wartośc rzymą rostszą ostać Σ ν gdze Σ. Rówaa Beltramego tchela wygode est stosować wtedy gdy war brzegowe są sformłowae w arężeach. Przyład. W ręce a a rys. m ręta. Z rówań rówowag wya ozostałe 5. Wyzaczyć obcążea tego X X X Ta węc sładowe sł obętoścowych są rówe zer. Rozatrzmy arężeowe war brzegowe. X X.

6 Wya stąd że stee tylo eda sładowa obcążeń owerzchowych Na owerzch bocze ręta. Na de górym m Na de dolym ( m Polczmy wyadową rozład a de górym N d m d eśl ose były główym cetralym rzero ręta. Polczmy wyadowe mometowe od rozład a de górym d m d m d m I d. 6 Rozład obcążeń a de dolym (rzeró bryły obcążeń

7 Przyład Rozważmy rozcągae eważego ( est erchomoy w ce. X ręta ryzmatyczego a a rys. Pręt 7 amy do czyea z meszaym waram brzegowym est to węc zadae trzecego ty. Zastosemy t sformłowae bezośrede załadaąc że tylo. Z rówań rówowag (rówań Navera otrzymamy X ϕ(. Z arężeowych warów brzegowych Na ścaach eobcążoych. Narężeowe war brzegowe a tych ścaach są węc sełoe. Śca obcążoe. Ścaa L Otrzymemy. ϕ(.

8 Sąd wya że fca ϕ( est fcą stałą. zatem ϕ( Ścaa. Otrzymemy.. 8 Narężeowy ware brzegowy est sełoy. Przedźmy to zwązów ostyttywych. Otrzymamy z ch ν [( ν ν δ]. ν. ν Zamy węc sta odształcea w ażdym ce ręta Przedźmy do rzemeszczeń. czyl ν ν. (. ν ν. Przemeszczea olczymy orzystaąc z wyrażea a różczę zełą: d ( d d d d.

9 9 d d d d ( ( Potrzebe w tym rach też olczymy z wyrażeń a różczę zełą: d d ( ( ( d. T eda będą otrzebe ochode. Zaważmy rzecz astęącą: ( ( ω. Polczmy ochodą ω. Oblczamy oleo ( ω co możemy zasać też ta ( ( ω dale ( ( ω. Dostalśmy węc ω. Poszwae wyrażee a drgą ochodą rzyme ostać

10 Zaważmy że w rozatrywaym rzyad e zależą od zatem wszyste ochode w osewec wszyste drge ochode. Polczmy oleo. Przymmy że w ce ( ożemy oblczyć. Dostaemy zatem: ( d. ν ν a ozostałe erwsze ochode są rówe zer. ożemy rzystąć do oblczea samych rzemeszczeń. ( Przymmy że ( gdyż te t est erchomy. Oblczmy d d d. d ν

11 d d d ν d d d W szczególośc rzemeszczea wzdłże ońca ręta ( L L. ν

12 Zasada de Sat Veata (zasada ewwaletośc obcążeń Jeśl dzałae sł ład P a loalą owerzchę cała srężystego zastąć dzałaem sł ład statycze rówoważego (to ta ład tóry ma taą samą słę główą ta sam momet główy to sta odształcea ( sta arężea ( wywołae dzałaem sł ład P tym me będą sę różły od staów wywołaych ładem sł P m dale od mesca rzyłożea tych sł. ( ( Dla lstrac te zasady orówamy sta arężea w łasow obcążoym słą soą obcążeem rówomere rozłożoym o tesywośc P q. Z rys wdać wyraźe że w rzero odległym od mesca rzyłożea sły o b (rzeró rozład arężeń róż sę bardzo ezacze od rozład a byśmy otrzymal obcążaąc ręt obcążeem q.

13