Reprezentacje grup symetrii. g s

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Reprezentacje grup symetrii. g s"

Daria Dudek
7 lat temu
Przeglądów:

1 erezentace ru ymetr Teora rerezentac dea: oeracom ymetr rzyać oeratory dzałaące w rzetrzen func zwązać z nm funce, tóre oeratory te rzerowadzaą w ebe odobne a zb. untów odcza oerac ymetr rozważmy rzeztałcene ymetr tóre tranformue uład wółrzędnych yz w nowy uład y z w zczeólnośc unt o wółrzędnych, 2, 3 ma w nowym uładze wółrzędne, 2, 3 w ene weźmy dowolną funcę ma ewną otać funcyną, oznacza 3 wółrzędne - ao funca, et nną funcą, tzn.

2 tę nową funcę można tratować ao otrzymaną z dzałanu na ewnym oeratorem zależnym od o ' n. fe- 2 rzy - - a, rzechodz w e--a 2, nacze: rzeuwaąc uład o a to ta abyśmy w tarym uładze zmenl funcę f na touąc oleno wzyte oerace ruy G, do func otrzymamy h func, 2, 3,..., h z tórych n nech będze lnowo nezależnych tworzą one rzetrzeń funcyną n-wymarową z wybraną bazą dzałane na dae c otrzymuemy macerzowe rerezentace, a tym amym macerzowe rerezentace oerac ymetr otać macerzy ch wymar, n, zależy od wyboru func

3 może dzałać też na funce wetorowe, 2, 3, 3 funce, rzymuące wartośc wółrzędnych untu, F, F2 2, F3 3 rzy tam wyborze, łatwo oazać, że q q, dla q dla oeratorów: ' q q q q q dla macerzy rerezentac, q - zodne z rawem mnożena macerzy amętaąc, że q def. Jeśl ażdemu elementow z ruy G rzyorządowana et macerz wadratowa rzędu n, z wyże zdefnowanym loczynem, to zbór macerzy tworzy n-wymarową rerezentacę ruy G. Oznaczamy ą.

4 zbór oeratorów tworzy rerezentacę oeratorową zbór lnowo nezależnych func tworzy bazę rerezentac dale rzymuemy, że zawze mówmy o baze ortonormalne elementy macerzy rerezentac ą: d tranformaca untarna ortoonalna dla rzeczywtych S + T S S ozwala rześć z bazy d bazy... rzyomnmy, że dla macerzy untarne zachodz: A S S ortoonalność ze wzl. na olumny werze dyż + + S S SS I Tw. dla bazy ortonormalne, macerze ą untarne dowód amętamy, że zachowue dłuośc wetorów a zatem tez element ob. l d l l d l l d d l

5 bo to et warune A. orzytałem z fatu, że aoban tranformac, bo obętość [dłuośc zachowane] ddydz ne ulea zmane łatwo oazać co et oczywte, że rzy rześcu z bazy do bazy B S S ' tae rerezentace nazywaą ę równoważnym ślad macerzy oraz wyznaczn ne uleaą zmane rzy rzeztałcenach untarnych B eśl wzyte macerze rerezentac ą różne to rerezentaca et w e r n a eśl ne, to mamy homomorfzm ruy G ruy macerzy F macerze ne tworzące werne rerezentac G, tworzą werną rerezentacę ruy lorazowe G, utworzone z wartw ruy G erezentace rzywedlne reduowalne eśl tranformaca untarna zmana bazy rzerowadz wzyte macerze rerezentac do otac 2 z utalonym wymaram to rerezentaca et reduowalna, rzywedlna eśl ne można uż doonać dalze reduc za omocą tranformac untarne,

6 to - nazywaą ę rerezentacam nerzywedlnym nereduowalnym reduowalność rerezentac oznacza, że można ta rzetranformować e bazę, że odbazy tranformuą ę tylo w ebe od wływem oerac ruy G w oólnośc, netóre moą być wzaemne równoważne Włanośc rerezentac nerzywedlnych def. charater, χ, rerezentac dla elementu ruy G : χ czyl ślad macerzy rerezentac. rozważmy dwe rerezentace a b ruy G w oólnośc macerze wadratowe o różnym wymarze; załóżmy, że tnee macerz A, taa że A a dla wzytch G A b Lemat Schura I eżel nerzywedlne rerezentace a b ą tożamoścowo obe równe to A ci, c lczba I ednotowa. Inacze: edyną macerzą rzemenną ze wzytm macerzam rerezentac nerzywedlne et macerz A będąca rotnoścą macerzy ednotowe owód: z założena a b, zachodz to dla wzytch weźmy odowadaącą dowolnemu A A, a o hermtowm rzężenu A A +

7 mnożąc z rawe lewe rzez, orzytaąc z untarnośc mamy 2 A + A +, z 2 wyna, że mu być ełnone też dla hermtowch ombnac A A + A ½ A + A + A 2 A - A + ale macerz hermtową mżna rowadzć do otac daonalne, za omocą untarne tranformac S, S - A S a dze a et daonalna, zatem mnożąc z lewe rzez S -, z rawe rzez S wtawaąc I S - S mamy: A A > S - SS - A S S - A SS - S > a a dze S - S albo nacze a - a 3 3 na elementach macerzowych ma otać l a a ll,,l,2,..., h a to oznacza, że albo wzyte a ą ednaowe onec dowodu albo część elementów a < r ne et równa ozotałym dla > r, ale to mlue, że l, l a to oznacza bloową otać co et rzeczne z założenem

8 eżel dla dwu różnych rerezentac a b macerz A et A w, to rzynamne edna z nch mu być rzywedlna; eśl rerezentace a b ą równoważne, tzn.: a S - b S to A mu być rotnoścą untarne S, A c S. Lemat Schura II dla dwu różnych rerezentac nerzywedlnych a b edyną macerzą ełnaącą a A A b dla wzytch G a b, et A. dowód: nech a ma dm, a b ma dmr, z untarnośc, mamy o hermtowm rzęnęcu 4 A + a - b - A + mnożąc z lewe trony rzez A dotaemy 4b AA + a - A b - A + amętaąc, że założene et ełnone też dla -, tzn.: A b - a - A dyż - G o omnożenu tym razem z rawe rzez A + orównuąc z 4b mamy AA + a - a - AA +

9 ale AA + et macerzą wadratową o wymarze, zatem z erwzeo lematu Schura, AA + c I, det AA + c. la C > det A ; zatem eśl r, to A et macerzą wadratową > tnee A - a to, rzy założenu oznacza, że a b ą równoważne, co rzeczy założenu; a zatem dla r c, tzn. AA +, l + 2 Al Al AlAl Al l l a to oznacza A. eśl < r, to A można uzuełnć do wadratowe zeram do macerzy A, ale wówcza det A, ale A A + AA + to det A A + det AA + det A det A +, bo tała c mu wtedy być zeru tym amym A, dyż a wyże. a to oznacza, że AA + z II-o lematu Schura wyna: ważna relaca ortoonalnośc O a b l dla a b tzn. dla nerównoważnych rerezentac nerzywedlnych, dowolnych,,,l

10 dowód: A utwórzmy macerz µ tu ndey rerezentac ą u dołu dze B et dowolną macerzą; rawdźmy, że A ełna µ '' ' A µ '' B µ ' '' µ B ' A ' B µ ' [ ] [ ] [ ] a zatem A, tzn. µ B 'l' ' l ao l-ty element A µ B ' l 'l ' ' ale B była wybrana dowolne, to weźmy B tylo z ednym elementem różnym od zera, B l l w rezultace ' µ l a to et to amo co O natomat dla a b a a l c l żeby oblczyć c ładzemy l umuemy o, uma o rawe trone da nerzywedlne a, a z lewe: n a - wymar rerezentac

11 O2 a a h zatem c h n a O O2 można razem zaać ao: O3 h a b l n a to rzyomna relacę ortoonalnośc dla wetorów ednotowych n. w 3 : a b e a e b e e ab ab dze: a,b,2,3 numerue ortoonalne wetory,,2,3 numerue wółrzędne; rzy czym, wetory oreślone ą rzez rerezentace, olumny werze... welość na h 2 a l można uważać za -tą ładową wółrzędną ewneo wetora oreśloneo rzez ndey a,, ; lczba tach wetorów rzy utalonym ab wyno n a 2 elementów macerzy rerezentac a ; a wymar rzetrzen h - rząd ruy, czyl lość ładowych; ale lczba wzaemne ortoonalnych wetorów et ne węza - lczba

12 tzn. od h -wymaru rzetrzen dla zboru zuełneo et równa h zatem B N a 2 n a h... edna z naważnezych relac... bez dowodu, że zachodz N lczba nerównoważnych rerezentac nerzywedlnych B twerdzene Burnde a

Podobne dokumenty

Diagonalizacja macierzy kwadratowej

Diagonalizacja macierzy kwadratowej Dagonalzacja macerzy kwadratowej Dana jest macerz A nân. Jej wartośc własne wektory własne spełnają równane Ax x dla,..., n Każde z równań własnych osobno można zapsać w postac: a a an x x a a an x x an