Różniczkowalność, pochodne, ekstremum funkcji. x 2 1 x x 2 k

Transkrypt

1 Różnczkowalność, pochodne, ekstremum funkcj Ćwczene 1 Polczyć pochodn a kerunkow a funkcj: x 1 x 2 x k ϕ(x 1,, x k ) x 2 1 x 2 2 x 2 k x k 1 1 x k 1 2 x k 1 w dowolnym punkce p [x 1, x 2,, x k T w kerunku wektora h [1, 1,, 1 T k Rozw azane: Z defncj pochodnej kerunkowej mamy, że pochodna kerunkowa funkcj f w punkce u R k w kerunk v R k W naszym przypadku, wemy z algebry, że f(u + tv) f(u) ( v f)(u) t t ϕ(x 1,, x k ) Jeżel u [x 1,, x k T v [1, 1,, 1, 1 T, to Natomast, ( v ϕ)(u) t ϕ(u + tv) ϕ(u) t ϕ(x 1 + t,, x k + t) n (x x j ) >j1 ϕ(x 1 + t,, x k + t) ϕ(u) t t n (x + t x j t) ϕ(x 1,, x k ) >j1

2 Wȩc, h ϕ(p) t ϕ(x 1 + t,, x k + t) ϕ(u) t t t Ćwczene 2 W przestrzen V : C([, 1, R) określmy normȩ wzorem v : sup t [,1 v(t) Znaleźć wzór na pochodn a h F (v) zbadać rónczkowalność odwzorowana F : V V zdefnowanego wzorem: (F (v))(t) : v2 : (v(s))2 ds Rozw azane: Z defncj pochonej kerunkowej F (v + wh) F (v) h F (v), w R, v, h V w w Aby to oblczyć, musmy ustalć F (v + wh) V Z defncj F mamy, że [F (v + wh)(t) (v + wh) 2 (s)ds Zatem w 2 t F (h) + 2w h F (v) v(s)h(s)ds w w h F (v) 2 [v 2 (s) + w 2 h 2 (s) + 2wv(s)h(s)ds [F (v)(t) + w 2 [F (h)(t) + 2w [ wf (h) + 2 w v(s)h(s)ds v(s)h(s)ds v(s)h(s)ds Wdac, że F (v) : h V h F (v) V jest odwzorowanem lnowym Ponadto, jest c ag le Przypomnamy, że odwzorowane lnowe T : V V jest c ag le gdy T < Gdy dm V < to zawsze zdarza s a Natomast, gdy dm V +, ne zawsze T + W naszym przypadku skoro t 1, to F (v) sup v 1 2 v(s)h(s)ds sup v 12 v(s) h ds sup v 1 2 h v t sup v 1 2 h v 2 v

3 Skoro v V jest c ag la os agna w [, 1 jej najwȩksz a wartość Wȩc, F (v) jest c ag la Wȩc, to może być L W takm przypadku ps ac v v + h mamy, że Zatem Ponadto, F ( v) F (v) v v F (v) lm v v v v Korzystaj ac z tego F ( v) F (v) v v F (v) lm v v v v F (h) v 2 (s)ds F (v + h) F (v) h F (v) h h lm v v F ( v) F (v) v v F (v) v v Wówczas, funkcja F jest różnczkowalna h F (h) h v 2 ds v 2 t v 2 h F (h) h lm h h Ćwczene 3 Korzystaj ac z defncj rónczkowalnoc odwzorowana zbadać ronczkowalnoć ewentualne oblczyć pochodn a odwzorowa: R 2 (x, y) (x 2, 1 + x + x 2 ) R 2, R 2 (x, y) x+y a g(t)dt R W drugm przyk ladze g jest funkcj a c ag l a na R Ćwczene 4 Znaleźć najwȩksz a wartość funkcj u(x, y) sn x + sn y sn(x + y) w trój ace ogranczonym os a x, os a y prost a x + y 2π

4 Rozw azane: Aby oblczyć najwȩksz a najmejsz a wartość funkcj f, musmy zbadać funkcj a na brzegu wewn atrz obszaru S {(x, y) R 2 x, y, x + y 2π} Wewn atrz musmy znaleźć punkty krytyczne, tj punkty gdze x y Wȩc, w naszym przypadku mamy, że punkty krytyczne spe lnaj a warunk Wdać, że x y cos x cos(x + y), cos y cos(x + y) cos(x) cos(y) Wȩc, x y lub x 2π y Skoro mamy wewn atrz, że 2π > x >, 2π y x + y < 2π, to druga opcja jest nemożlwa x y Dodatkowo, cos x cos(2x) cos 2 x sn 2 x cos x 2 cos 2 x 1 cos x Zdefnuj ac z cos x, to 2z 2 1 z z {1, 1/2} Z tego wynka, że x {π, 2π/3, 4π/3} Skoro y + x < 2π y x, to ostana perwsza wartość s a nemożlwe x 2π/3

5 Wȩc, punkt krytyczne to x y (2π/3, 2π/3) mum, mnmum lub cos nnego Aby to zrobć, musmy zbadać macerz Hessego [ [ x H(f) 2 y x sn x + sn(x + y) + sn(x + y) sn(x + y) sn y + sn(x + y) w punktach krytycznych, czyl [ x y y x ( 2π 3, 2π 3 ) [ sn 2π 3 + sn 4π 3 sn 4π 3 sn 4π 3 sn 2π 3 + sn 4π 3 [ 2 sn 2π 3 sn 2π 3 sn 2π 3 2 sn 2π 3 [ x y y x ( 2π 3, 2π 3 ) Dana macerz Hessego w punkce p postac [ A B B C [ 3 3/2 3/2 3 mamy, że punkt p jest: A > AC B 2 > mnmum, A < AC B 2 > maksmum, Wȩc, w naszym przypadku AC B 2 < punkt sod la mamy maksmum w punkce A 3/2 <, AC B 2 3 3/4 > P ( 2π 3, 2π 3 ) ( 2π, f 3, 2π 3 ) 3 3 2

6 Zobaczymy na brzegu Mamy trzy czȩsc I 1 {(x, ) x 2π}, I 2 {(, y) y 2π}, I 3 {(x, 2π x) x 2π} Na I 3, I 2 na I 1 mamy, że f sȩ zerujȩ Najmejszych najwȩkszych wartośc funkcj f trzeba szukać mȩdzy ekstrema wewn atrz S na brzegu S Z tego wynka, że ektremum P jest maksmum globalne na brzegu mamy mnmum globalne Ćwczene 5 Znaleźć ekstremalne wartośc funkcj f(x, y) (x + y)e ( x 2 +2y) na zborze K : {(x, y) : x, y, x + y 1} Rozw azane: Musmy zbadać funkcjȩ na brzegu K, czyl K wewn atrz K, czyl K Wewn atrz musmy znaleźć punkty krytyczne, tj punkty gdze Wȩc, punkty krytyczne spe lnaj a warunk x y Wdać, że x x e 2 2y 1 2 (x + x y)e 2 2y 1 2 (2 x x y)e 2 2y, y x e 2 2y 2(x + y)e x 2 2y (1 2(x + y))e x 2 2y 2 x + y, 1 2 x + y Wȩc, uk lad jest sprzeczny ne ma ekstrema wewn atrz Zobaczymy na brzegu Mamy trzy czȩsc I 1 {(x, ) x 1}, I 2 {(, y) y 1}, I 3 {(x, 1 x) x 1}

7 Na I 3 mamy, że g 3 (x) f(x, 1 x) e 3x 2 2 To funkcja jednej zmennej Wȩc, dg 3 dx e 3+ 2 x Wȩc, ta funkcja ne ma ekstrema dla x 1 Na I 2 mamy, że g 2 (y) f(, y) ye 2y To funkcja jednej zmennej Wȩc, dg 2 dy (1 2y) e 2y Wȩc, y 1/2 ta funkcja ma jedno ekstremum Poneważ dg 2 /dy > dla y < 1/2 dg 2 /dy < dla y > 1/2, to jest maksmum Na I 1 mamy, że g 1 (x) f(x, ) xe x 2 To funkcja jednej zmennej Wȩc, dg 1 dx (1 12 x ) e 1 2 Wȩc, x 2 ta funkcja ne ma ekstrema, poneważ x 1 Aby ustalć najwȩksz a najmejsz a wartość funkcj f, trzeba sprawdzć punkty krytyczne w K funkcj a na K Wewnatrz ne mamy puntów krytycznych Ponadto, w K tylko mamy jeden punkt krytyczne Dodatkowo, trzeba sprawdzć co sȩ dzejȩ w I 1, I 2 I 3, czyl f(, ), f(, 1) e 2, f(1, ) 1 e, f(, 1/2) 1/(2e) Wdać, że < 1 e 2 < 1 1 2e < 1 e Wȩc, najwȩksza wartość, 1/ e, znajduje sȩ w (1, ), najmejsza,, w (, ) Ćwczene 6 Znaleźć wszsytke ekstrema lokalne funkcj f(x, y) x 4 + y 2 2x 2 y y2 + b 2 Ćwczene 7 Dla danych a, b, c > znaleźć x, y, z > spe lnaj ace warunek: x2 a 2 z 2 1, dla których prostopad loścan o werzcho lkach (±x, ±y, ±z) [wpsany w elpsodȩ c 2 o pó losach a, b, c ma najwȩksz a molw a objȩtość Ćwczene 8 Wsród trójk atów o danym obwodze 2p znaleźć tak, dla którego bry la obrotowa powsta la przez obrót dooko la jednego z boków ma najwȩksz a objetość