Uk lady modelowe II - oscylator

Podobne dokumenty
Uklady modelowe III - rotator, atom wodoru

Czastka swobodna Bariera potencja lu Pud lo jednowymiarowe FEMO Pud la wielowymiarowe. Wyk lad 3. Uk lady modelowe I

i elektronów w czasteczkach (laboratoryjnym) operator Hamiltona dla czasteczki dwuatomowej (jadra 2M b a i b; m -masa elektronu e 2 r ij

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

po lożenie cz astki i od czasu (t). Dla cz astki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)

w jednowymiarowym pudle potencja lu

Niezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny

Podstawowe metody i przybliżenia: metoda wariacyjna, rachunek zaburzeń

Rotacje i drgania czasteczek

Postulaty mechaniki kwantowej

Oddzia lywania miedzycz. jony molekularne lub atomy. edzy A i B:

Chemia kwantowa. Pytania egzaminacyjne. 2010/2011: 1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.

Wyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne

WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3

JEDNOSTKI ATOMOWE =1, m e =1, e=1, ; 1 E 2 h = 4, J. Energia atomu wodoru lub jonu wodoropodobnego w jednostkach atomowych:

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE

Projekt pracy magisterskiej

WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.

Zad Sprawdzić, czy dana funkcja jest funkcją własną danego operatora. Jeśli tak, znaleźć wartość własną funkcji.

SPEKTROSKOPIA IR I SPEKTROSKOPIA RAMANA JAKO METODY KOMPLEMENTARNE

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

Metody Lagrange a i Hamiltona w Mechanice

5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

Wykład 6 Spektroskopia oscylacyjna. Model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego cząsteczki dwuatomowej

Równanie falowe Schrödingera ( ) ( ) Prostokątna studnia potencjału o skończonej głębokości. i 2 =-1 jednostka urojona. Ψ t. V x.

Struktura elektronowa czasteczek. przybliżenie Borna-Oppenheimera. równania Schrödingera dla elektronów przy ustalonym po lożeniu jader

WYKŁAD 2 Podstawy spektroskopii wibracyjnej, model oscylatora harmonicznego i anharmonicznego. Częstość oscylacji a struktura molekuły Prof. dr hab.

FALE MATERII. De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 1924 wysunął hipotezę, że

Mechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )

Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej

Hierarchia baz gaussowskich (5)

Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Wydział Matematyki, Fizyki i Chemii

stany ekscytonowo-fononowe w kryszta lech oligotiofenów

Spis treści. Przedmowa redaktora do wydania czwartego 11

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

(U.6) Oscylator harmoniczny

1. Przesłanki doświadczalne mechaniki kwantowej.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Równanie Schrödingera

Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja

OGÓLNE PODSTAWY SPEKTROSKOPII

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski

Rezonanse magnetyczne oraz wybrane techniki pomiarowe fizyki ciała stałego

Wykład 5 Widmo rotacyjne dwuatomowego rotatora sztywnego

Mechanika kwantowa. Jak opisać atom wodoru? Jak opisać inne cząsteczki?

V. RÓWNANIA MECHANIKI KWANTOWEJ

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

że w wyniku pomiaru zmiennej dynamicznej A, której odpowiada operator αˆ otrzymana zostanie wartość 2.41?

Grupy i cia la, liczby zespolone

15 Potencjały sferycznie symetryczne

Zadania o liczbach zespolonych

Michał Praszałowicz, pok strona www: th- wykład 3 godz. za wyjątkiem listopada Egzamin: esej max.

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

c) prawdopodobieństwo znalezienia cząstki między x=1.0 a x=1.5 jest równe

KARTA PRZEDMIOTU. Informacje ogólne WYDZIAŁ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZY. SZKOŁA NAUK ŚCISŁYCH UNIWERSYTET KARDYNAŁA STEFANA WYSZYŃSKIEGO W WARSZAWIE

Algorytm określania symetrii czasteczek

Drgania i fale II rok Fizyk BC

Fizyka 12. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja

stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv

Spektroskopia molekularna. Spektroskopia w podczerwieni

Wyk lad 8 macierzy i twierdzenie Kroneckera-Capellego

Wyk lad 4 Dzia lania na macierzach. Określenie wyznacznika

Przestrzenie wektorowe, liniowa niezależność wektorów, bazy przestrzeni wektorowych

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Logarytmiczne równanie Schrödingera w obracajacej się pułapce harmonicznej

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Liczby zespolone, liniowa zależność i bazy Javier de Lucas. a d b c. ad bc

Faculty of Applied Physics and Mathematics -> Department of Solid State Physics. dydaktycznych, objętych planem studiów

Podczerwień bliska: cm -1 (0,7-2,5 µm) Podczerwień właściwa: cm -1 (2,5-14,3 µm) Podczerwień daleka: cm -1 (14,3-50 µm)

1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.

Zastosowanie metod matematycznych w fizyce i technice - zagadnienia

WYKŁAD 15. Gęstość stanów Zastosowanie: oscylatory kwantowe (ª bosony bezmasowe) Formalizm dla nieoddziaływujących cząstek Bosego lub Fermiego

Matematyczne Metody Chemii I Zadania

Jak matematycznie opisać własności falowe materii? Czym są fale materii?

Mechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II

Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

Chemia kwantowa - proste modele

Mechanika kwantowa. Erwin Schrödinger ( ) Werner Heisenberg

g liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek

5. Ruch harmoniczny i równanie falowe

WNIOSKOWANIE W MODELU REGRESJI LINIOWEJ

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Fizyka statystyczna Gaz Bosego w wielkim zespole kanonicznym. P. F. Góra

Informacje o kursie. Historia mechaniki kwantowej. Niezb. ednik matematyczny. Wyk lad 1

Wstęp do Optyki i Fizyki Materii Skondensowanej

Podstawy Fizyki IV Optyka z elementami fizyki współczesnej. wykład 26, Radosław Chrapkiewicz, Filip Ozimek

Teoria funkcjona lu g Density Functional Theory (DFT)

5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

c a = a x + gdzie = b 2 4ac. Ta postać wielomianu drugiego stopnia zwana jest kanoniczna, a wyrażenie = b 2 4ac wyróżnikiem tego wielomianu.

Podstawy chemii obliczeniowej

Optyczna spektroskopia oscylacyjna. w badaniach powierzchni

Metody obliczeniowe chemii kwantowej oparte na funkcji falowej. Dla uk ladu N elektronów i K j ader atomowych hamiltonian przyjmuje postać:

21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji

Transkrypt:

Wyk lad 4 Uk lady modelowe II - oscylator

Model Prawo Hooke a F = m d 2 x = kx = dv dt2 dx Potencja l Równanie ruchu V = 1 2 kx2 d 2 x dt 2 + k m x = 0

Obraz klasyczny Rozwiazania k x = A sin t = A sin ωt m Gdzie szukać oscylatorów w mikroświecie? Ruch jader jest zaskakujaco dobrze opisany modelem kulek po l aczonych spreżynkami.

Opis kwantowy Ĥ(x) = ˆp x 2 2m + 1 2 kx2 Rozwiazywać równanie Schrödingera możemy: poszukujac rozwiazań w postaci szeregu potegowego stosujac formalizm drugiego kwantowania Pójdziemy druga ścieżka, ale najpierw uproścmy sobie życie przechodzac do wspó lrz ednych bezwymiarowych.

Wspó lrz edne bezwymiarowe Wspó lrz edne Q = ( ) 1 mk 4 x 2 P = (m ω) 1 2 px Operatory ˆQ = Q ˆP = d i dq Hamiltonian we wspo lrz ednych bezwymiarowych Ĥ = 1 (ˆP 2 ω 2 + ˆQ 2)

Operatory podwyższajace i obniżajace I Wprowadźmy dwa nowe operatory â = 1 ( ) ˆQ + i ˆP 2 â = 1 ( ) ˆQ i ˆP 2 Operatory â i â : nie sa hermitowskie [ nie komutuja: â, â ] = 1 Hamiltonian wyrażony w tych operatorach przyjmuje postać: ( Ĥ = ω â â + 1 ) ( = ω ââ 1 ) 2 2 Wniosek Wektory w lasne hamiltonianu sa jednocześnie wektorami w lasnymi operatorów â â i ââ.

Operatory podwyższajace i obniżajace II Wektor w lasny ψ λ operatora â â do wartości w lasnej λ jest wektorem w lasnym ( ) hamiltonianu odpowiadajacym wartości w lasnej (energii) ω λ + 1 2 ( Ĥ ψ λ = ω λ + 1 ) ψ λ 2 Twierdzenie Operatory â i â dzialaja na wektory w lasne hamiltonianu oscylatora nastepuj aco: â ψ λ = λ ψ λ 1 â ψ λ = λ + 1 ψ λ+1 Operator â jest operatorem obniżajacym zaś operator â operatorem podwyższajacym.

Operatory podwyższajace i obniżajace III Dowód. Weźmy unormowany wektor ψ λ : â â ψ λ = λ ψ λ. Iloczyn skalarny tego wektora z ψ λ daje ψ λ â â ψ λ = âψ λ âψ λ = λ ψ λ ψ λ = λ. Stad znajdujemy, że norma wektora âψ λ wynosi λ. ââ â ψ λ = λ âψ λ ( ) ââ â ψ λ = â â + 1 âψ λ. Wobec tego â â âψ λ = (λ 1) âψ λ

Widmo wartości w lasnych wartość w lasna λ jest jednocześnie kwadratem normy wektora âψ λ λ musi być nieujemne n-krotnie dzia lajac operatorem obniżajacym dojdziemy do λ n dla n > λ sprzeczności unikniemy tylko, jeśli λ jest liczba naturalna sekwencja urywa sie wtedy na λ = 0 â ψ 0 = 0 dopuszczalne ( wartości ) energii: E = ω λ + 1 2, λ = 0, 1,... równoodleg le poziomy energia drgań zerowych: 1 2 ω

Funkcje w lasne Zerowa funkcje w lasna otrzymamy rozwiazuj ac równanie â ψ 0 = 0 Wstawiajac jawna postać operatora otrzymamy ( 1 Q + d ) ψ 0 = 0 ψ 0 = Ne Q2 2 2 dq Normujac, ostatecznie: ψ 0 = π 1 4 e Q2 2 Wyższe funkcje w lasne wygenerujemy dzia lajac na funkcje zerowa odpowiednia ilość razy operatorem podwyższajacym. Czynniki przedeksponencjalne tworza szereg tak zwanych wielomianów Hermite a.

Symetria rozwiazań potencja l jest symetryczny wzgl edem zera: V ( Q) = V (Q) kwadrat modu lu funkcji falowej powinien wykazywać identyczna symetrie przy za lożeniu, że funkcje sa rzeczywiste, możliwe bed a tylko dwie sytuacje: ψ n ( Q) = ψ n (Q) lub ψ n ( Q) = ψ n (Q) funkcje parzyste dla parzystych n funkcje nieparzyste dla nieparzystych n

Kszta lt rozwiazań w stanie podstawowym maksimum gestości prawdopodobieństwa wypada dla x = 0 w granicy wysokich energii (duże n) opis kwantowy zgadza si e z opisem klasycznym

Niezależne oscylatory 2/3-D 2D: Ĥ(x, y) = ˆpx 2 3D: Ĥ(x, y) = ˆpx 2 2m + ˆpy 2 2m + ˆpy 2 2m + ˆpz 2 Hamiltoniany sa separowalne: funkcje iloczyny funkcji energie sumy energii 2m + 1 2 k xx 2 + 1 2 k yy 2 2m + 1 2 k xx 2 + 1 2 k yy 2 + 1 2 k zz 2

Kszta lt rozwiazań

Drgania normalne w rzeczywistych uk ladach (np. czasteczkach chemicznych) oscylacje w rożnych kierunkach sa sprzeżone tensor sta lych si lowych k jest symetryczny, ale nie diagonalny można wykonać transformacj e do nowych wspo lrz ednych, w których tensor k jest diagonalny wspo lrz edne diagonalizuj ace k: wspó lrz edne normalne oscylacje wzd luż wspó lrz ednych normalnych: drgania normalne

Aplikacja modelu czasteczki dwuatomowe ( E = ω n + 1 ) k, ω = 2 µ czasteczki wieloatomowe: drgania normalne

Typy drgań normalnych

Metody doświadczalne spektroskopia w podczerwieni (IR) absorpcyjna regu la wyboru: n = 1 intensywność przejścia zależna od ψ ˆµ i ψ spektroskopia ramanowska (Raman) rozproszenie ze zmiana czestości regu la wyboru: n = ±1 intensywności zależne od elementów tensora polaryzowalności w typowych temperaturach obserowowalne tylko przejścia ze stanu podstawowego w przypadku czasteczek ze środkiem symetrii drganie jest aktywne tylko w Ramanie badź tylko w IR

Cz estości grupowe

Eksperyment

Efekt izotopowy Jak ma sie czestość drgań w czasteczce HD do czestości drgań w czasteczce H 2? k HD k H2 µ HD = µ H2 = m H m D m H + m D m H m H m H + m H µ HD 4 3 µ H 2 3 ω HD 4 ω H 2

Krzywe dysocjacji

Potencja l Morse a V (x) = De αx (e αx 2) Rozwiazania: E n = ( D + ω n + 1 ) ( ω n + 1 2 β 2 2) ( D 2 ω = 2α 2µ)1 ( ) 1 1 2 β = α 8µD Dla energii wyższych od energii dysocjacji mamy do czynienia z widmem ciag lym.

Oscylator Morse a vs oscylator harmoniczny zag eszczenie poziomów rozluźnienie regu l wyboru: nadtony

Efekt izotopowy, os labienie wiazania

In the next episode Rotator sztywny Atom wodoru i jony wodoropodobne