(U.6) Oscylator harmoniczny
|
|
- Alojzy Małecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 U.6 Oscylator harmoniczny 47 Rozdział 7 U.6 Oscylator harmoniczny 7. Rozwiązanie przez rozwinięcie w szereg W głównej części wykładu rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego sprowadziliśmy do równania 6.8, tj. do f ξ ξf ξ + E fξ 0, gdzie ξ x. 7. Poszukiwana funkcja fξ jest związana z funkcjami własnymi ψx hamiltonianu wzorem ψx ψ x ψξ exp ξ fξ. 7. Funkcja fξ musi być " przyzwoita", taka aby funkcja falowa ψξ była funkcją normowalną, a więc musi być spełniony warunek dξ exp ξ fξ <. 7.3 Przedstawimy teraz zupełnie inną, choć nie mniej ogólną metodę rozwiązywania równania 7.. Podobne metody matematyczne można stosować również w innych zagadnieniach związanych z poszukiwaniem rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera dla innych układów fizycznych. 7.. Ogólna postać rozwiązań Szukamy rozwiązań równania 7.. Postulujemy jego rozwiązanie w postaci szeregu fξ n0 a n ξ n. 7.4 Wykonując niezbędne różniczkowania, podstawiamy otrzymane szeregi do równania 7. i dostajemy n0 a n nn ξ n + n0 a n [E n] ξ n Zauważmy, że dwa pierwsze n 0 i n wyrazy pierwszego szeregu zerują się. Przenumerowujemy składniki pierwszej sumy. Wprowadzamy nowy indeks sumowania n n, n 0,,,.... Wówczas, zamiast 7.5 mamy n 0 a n +n + n + ξ n + n0 a n [E n] ξ n S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 47
2 U.6 Oscylator harmoniczny 48 W obu sumach występują te same potęgi zmiennej ξ. Wobec tego, z 7.6 wynika po opuszczeniu znaku prim [ ] an+ n + n + a n n E ξ n n0 Warunkiem znikania szeregu jest zerowanie się współczynników. To zaś jest równoważne warunkowi a n+ n + n + a n n E, 7.8 który zapiszemy w znacznie wygodniejszej postaci, jako a n+ a n n E n + n Z tego rezultatu mamy następujące wnioski. Relacja 7.9 ma charakter związku rekurencyjnego, z którego możemy po kolei wyznaczać współczynniki rozwiązania 7.4. Zadając a 0, obliczamy a, a 4, itd. A więc za pomocą zadanego a 0, tworzymy szereg o potęgach parzystych. Analogicznie, z a mamy a 3, a 5, itd. W tym wypadku generujemy szereg o potęgach nieparzystych. Równanie różniczkowe 7., które tu rozwiązujemy, jest drugiego rzędu. Jego rozwiązanie musi więc zależeć od dwóch stałych dowolnych. Tymi stałymi mogą być współczynniki a 0 oraz a. Każdy z nich generuje w rekurencyjny sposób rozwiązanie o określonej parzystości. Można zresztą tego oczekiwać, bowiem potencjał oscylatora jest funkcją parzystą, więc powinniśmy mieć właśnie takie dwie klasy rozwiązań. A zatem, mamy dwa liniowo niezależne rozwiązania o określonej parzystości ψ p ξ exp ξ a 0 ψ n ξ exp ξ a k0 k0 a k a 0 ξ k, 7.0a a k+ a ξ k+, 7.0b gdzie współczynniki a 0 i a pełnią rolę stałych dowolnych. Wyrazy a k i a k+ obliczamy z relacji rekurencyjnej 7.9. Ogólne rozwiązanie naszego równania jest kombinacją liniową rozwiązań parzystego ψ p i nieparzystego ψ n. 7.. Dyskusja rozwinięć. Kwantowanie energii Rozważmy uzyskane szeregi zarówno dla przypadku parzystego, jak i dla nieparzystego. Dla parzystego n k, k 0,,,..., mamy szereg fξ k0 a k ξ k. 7. Relacja rekurencyjna ma zaś postać a k+ a k 4k + E k + k + k k. 7. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 48
3 U.6 Oscylator harmoniczny 49 Dla nieparzystego n k +, k 0,,,... mamy sytuacja jest podobna. W tym wypadku fξ k0 a k+ ξ k Natomiast relacja rekurencyjna jest postaci a k+3 a k+ 4k + 3 E k + k + 3 k k. 7.4 Widzimy więc, że w obu przypadkach po wyłączeniu pewnej ilości wstępnych wyrazów, oba szeregi zachowują się tak, że spełniona jest relacja a n+ a n k, gdzie k n, 7.5 która jest tym lepszym przybliżeniem, im większa jest liczba k. Aby lepiej zrozumieć sens powyższego zachowania się asymptotycznego otrzymanych szeregów, rozważmy teraz funkcję expξ. expξ n0 ξ n n! k0 b k ξ k gdzie b k k!. 7.6 Wobec tego dla dyskutowanej funkcji expξ mamy b k+ b k b k+ b k k + k k. 7.7 Na podstawie analizy funkcji expξ wnioskujemy, że nasze szeregi 7. oraz 7.3 dla dużych wartości k, dają szeregi funkcji fξ asymptotycznie zbieżne do funkcji expξ. Sytuacja jest niezadowalająca, bowiem zgodnie z 7. dostaliśmy rozwiązania w postaci iloczynu, który asymptotycznie zachowuje się jak ψξ exp ξ expξ exp + ξ, 7.8 a więc jak funkcja nienormowalna. A zatem otrzymane rozwiązanie jest niefizyczne. Jedynym sposobem uniknięcia tej trudności jest żądanie, aby uzyskany szereg urywał się, to znaczy aby funkcja fξ redukowała się do wielomianu. Istotnie szereg się urywa, jeżeli w relacji rekurencyjnej 7.9 otrzymujemy a n+ 0, począwszy od pewnego n. Tak właśnie dzieje się, gdy zażądamy, aby dla pewnego n znikał licznik wyrażenia po prawej stronie ogólnego wzoru 7.9. Wobec tego warunek n E 0 dla pewnego n 0,,, 3, sprawia, że współczynniki o numerach mniejszych lub równych n są różne od zera, zaś te o indeksie większym od n stają się zerami. Funkcja fξ redukuje się do wielomianu stopnia n. Tym samym potwierdza się nasz domysł, wynikający z jakościowej dyskusji rozwiązań. Warunek 7.9 możemy zapisać także w postaci E n + gdzie n 0,,, 3, Powyższe równanie mówi nam, że dozwolone energie tzn. takie, które prowadzą do fizycznie sensownych normowalnych funkcji falowych kwantowo mechanicznego oscylatora harmonicznego przyjmują tylko ściśle określone, a więc skwantowane, wartości. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 49
4 U.6 Oscylator harmoniczny 50 Wracając, do wyjściowych oznaczeń E E/ω, zapisujemy warunek kwantowania energii oscylatora, w postaci E E n ω n + gdzie n 0,,, 3, Warunek kwantowania energii zapewnia, że szeregi się urywają redukują do wielomianów dając rozwiązania naszego problemu ψξ ψ n ξ exp ξ W n ξ, 7. gdzie W n. są wielomianami n-tego stopnia. Tym samym kwantowanie energii prowadzi do funkcji falowych, które są już normowalne, tak jak to być powinno. Na zakończenie dyskusji, zwróćmy uwagę, że warunek kwantyzacji energii 7.9 możemy wykorzystać w relacji rekurencyjnej 7.9, otrzymując a k+ a k k n k + k Jasno więc widać, że współczynniki o numerach k n są niezerowe, zaś dla k > n mamy już same zera. Rzeczywiście więc rozwinięcie 7.4 dla funkcji fξ urywa się i staje się ona wielomianem. Współczynniki a 0 oraz a pełnią rolę stałych dowolnych i wyznaczają rozwiązania odpowiednio parzyste i nieparzyste. Oczywiście z warunku kwantowania 7.9 wynika E n, co po wstawieniu do równania 7. daje f ξ ξf ξ + nfξ przy czym już wiemy, że rozwiązaniami muszą być wielomiany. Tym samym otrzymujemy ten sam rezultat co w głównej części wykładu. Wielomiany Hermite a spełniają powyższe równanie. Wobec tego z 7. wynikają funkcje falowe ψ n ξ N n exp ξ H n ξ. 7.5 Stałą normalizacyjną otrzymamy tak samo jak poprzednio w głównej części wykładu. Kwantowanie energii 7. jest też takie samo. Wszystkie dalsze rozważania przebiegają więc identycznie jak w głównej części wykładu. Stwierdzamy więc, że metoda szukania rozwiązań stacjonarnego równania Schrödingera za pomocą rozwinięcia w szereg prowadzi do tych samych wyników co rozwiązania konfluentnego równania hipergeometrycznego. 7. Alternatywna postać funkcji falowych Lemat 7. Wielomiany Hermite a spełniają wzór H n y exp y y d n exp dy y który jest analogiczny do formuły Rodriguesa 7.6 dn H n x n e x dx n e x. 7.7 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 50
5 U.6 Oscylator harmoniczny 5 Dowód. Można go przeprowadzić na wiele różnych sposobów. Podamy najprostszy przez indukcję matematyczną. Dla n 0 formuła 7.6 oczywiście daje H 0 x, co jest poprawne. Czyli pierwszy punkt dowodu przez indukcję jest gotowy. Zakładamy słuszność wzoru 7.6 dla pewnego n > 0 i badamy je dla n +. H n+ y e y y d dy e y y d dy e y e y y d dy n e y e y H n y. 7.8 gdzie skorzystaliśmy z założenia indukcyjnego. Dalej więc mamy [ ] H n+ y e y y e y H n y e y H n y d dy y H n y e y ye y H n y + e y d H ny dy y H n y d H ny. 7.9 dy Przekształcając dalej otrzymujemy [ H n+ y e y y e y H n y + e d ] y dy H ny [ d e y dy e y H n y + e d ] y dy H ny e d y e y H n y dy Wielomian H n y w ostatnim wyrażeniu wyrazimy wzorem Rodriguesa 7.7, dostając H n+ y e d [ ] y e y n y dn e dy dy n e y n+ y dn+ e dy n+ e y H n+ y, 7.3 co ponownie wynika ze wzoru Rodriguesa. Na mocy zasady indukcji lemat jest udowodniony. Jeżeli teraz w udowodnionej relacji 7.6 dokonamy zamiany zmiennych według przepisu y x /, to wówczas otrzymamy H n x exp x x n/ exp x [ x Stosując to wyrażenie w znanych już funkcjach falowych ψ n x exp π x /4 n n! d dx H n x n exp ] d n exp dx łatwo widzimy, że można je zapisać w dwóch równoważnych postaciach /4 x ψ n x exp H π n n x n! x x 7.3, 7.33 /4 π n n! n/ x d n exp dx x S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5
6 U.6 Oscylator harmoniczny 5 Otrzymane alternatywne wyrażenie dla funkcji falowych kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego jest przydatne w niektórych innych zastosowaniach. 7.3 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczoności Z warunku kwantowania energii E n ωn + oczywiście wynika, że energia stanu podstawowego stanu o najniższej energii wynosi ω/. Pokażemy, że wartość ta jest zgodna z przewidywaniami wynikającymi z zasady nieoznaczoności. Najniższa energia oscylatora klasycznego wynosi E klas 0, co odpowiada oscylatorowi znajdującemu się w spoczynku. Sytuacja taka jest jednak niemożliwa w ramach mechaniki kwantowej. Będziemy starać się oszacować energię kwantowo-mechanicznego oscylatora harmonicznego za pomocą zasady nieoznaczoności. Założymy dla prostoty, że oscylator znajduje się w jednym ze swoich stanów własnych ψ n x danym w Na wstępie przypomnijmy, że zasada nieoznaczoności dla położenia i pędu mówi iż σ x σ p 4, gdzie dyspersje są określone wzorami 7.35 σ x x x x x, 7.36a σ p p p p p. 7.36b A zatem aby obliczyć dyspersje trzeba znaleźć najpierw wartości oczekiwane położenia i pędu. Z założenia oscylator jest w stanie własnym energii ψ n. Na mocy rozważań z części głównej wykładu, wiemy że wartości oczekiwane położenia i pędu znikają x p Wobec tego dyspersje dane są wzorami σ x x σ p p dx ψ n x x ψ n x, dx ψ nx d dx ψ nx. 7.38a 7.38b Funkcje podcałkowe w obu powyższych wyrażeniach są zawsze funkcjami parzystymi. Nie ma więc żadnych powodów oczekiwać, że całki te dadzą zera. Z zasady nieoznaczoności 7.35 płynie wręcz odwrotny wniosek, obie dyspersje muszą być dodatnie. Sytuacja jest więc inna niż w przypadku klasycznym. Dyspersje niepewności, rozmycia położenia i pędu oscylatora, nawet w stanie o najniższej możliwej energii, nie znikają. Mówimy, że kwantowo-mechaniczny oscylator harmoniczny w stanie podstawowym gdy n 0 wykonuje drgania zerowe, przy czym jego energia jest większa niż zero i wynosi ω/. Sprawdzimy, że zasada nieoznaczoności, i to całkiem niezależnie od naszych wcześniejszych obliczeń, pozwala przewidzieć dokładnie taką minimalną energię oscylatora. Rozważmy teraz wartość oczekiwaną energii oscylatora, czyli wartość oczekiwaną hamiltonianu. A zatem mamy E ˆp m + x p m + x σ p m + σ x, 7.39 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 5
7 U.6 Oscylator harmoniczny 53 gdzie wykorzystaliśmy relacje Na mocy zasady nieoznaczoności 7.35 mamy np. σ p σ x Wobec tego w 7.39 szacujemy E od góry, zastępując σ p w/g 7.40 przez coś większego. A więc łącząc te wzory otrzymujemy E 8my + y, 7.4 gdzie dla wygody oznaczyliśmy y σ x. Znajdźmy minimalną wartość prawej strony powyższego oszacowania. Innymi słowy, będziemy manipulować parametrem y σ x > 0, tak aby zminimalizować prawą stronę 7.4. A więc badamy funkcję gy Jej pochodna 8my + y. 7.4 g y 8my Łatwo obliczamy, że pochodna znika dla y ± Ponieważ y jako dyspersja położenia musi być dodatnie, rozwiązanie z minusem odrzucamy. Łatwo widać, że dla y /, druga pochodna funkcji gy jest dodatnia. Zatem gy istotnie ma minimum. Najlepsze oszacowanie energii oscylatora w 7.4 dostaniemy podstawiając za y obliczoną wartość minimalizującą funkcję gy. Elementarne obliczenia prowadzą do wniosku E ω, 7.45 co oczywiście jest zgodne z minimum energii wynikającym z warunku kwantowania. Na zakończenie zauważmy, że równie dobrze moglibyśmy z zasady nieoznaczoności wyliczyć σ x, i następnie wyeliminować tę dyspersję z wyrażenia Postępując dalej w zupełnie analogiczny sposób dostaniemy to samo oszacowanie dla wartości oczekiwanej E, przy czym uzyskane minimum będzie mieć miejsce dla σ p ỹ Zwróćmy także uwagę, że sytuacja opisana przez dyspersje 7.44 i 7.46 odpowiada σ x σ p a więc minimalizacji zasady nieoznaczoności. 4, 7.47 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 53
8 U.6 Oscylator harmoniczny Operatory anihilacji i kreacji. Oscylator harmoniczny 7.4. Operatory anihilacji i kreacji ogólna teoria Postulujemy istnienie pewnej przestrzeni Hilberta być może nieskończenie wielewymiarowej w której działać będzie operator â i jego sprzężenie â. Operatory â i â są niehermitowskie. Dla tych dwóch operatorów postulujemy fundamentalną relację komutacyjną [ â, â ] ââ â â Na podstawie przedstawionych postulatów skonstruujemy przestrzeń Hilberta i zbadamy szereg bardzo ważnych własności operatorów â oraz â. Zrobimy to udowadniając serię lematów i twierdzeń. Lemat 7. Operator N â â ma pewien wektor własny z odpowiadający rzeczywistej wartości własnej z, tzn. N z â â z z z, przy czym z R Dowód. Wynika natychmiast z faktu, że operator N â â jest hermitowski. Uwaga: Wektor z jest wektorem własnym operatora hermitowskiego. Wektor ten można więc zawsze unormować. W dalszych rozważaniach przyjmiemy, że wektor z jest unormowany z, lub z z Lemat 7.3 Wartość własna operatora ˆN jest rzeczywista nieujemna. z R +. Dowód. Ponieważ z oznacza unormowany wektor własny operatora ˆN, zatem z z z z z z z z â â z z â â z â z â z â z. 7.5 Widzimy więc, że z jest równe normie pewnego wektora, wobec tego jest to liczba rzeczywista i nieujemna. Lemat 7.4 Obowiązują następujące relacje komutacyjne [ ] â â, â â, 7.5a [ â â, â â. 7.5b Dowód. Proste rachunki, w których korzystamy z kanonicznej relacji komutacyjnej 7.48, prowadzą do : [ ] [ ] â â, â â [ â, â ] + â, â â â 0 + â. [ [ â â, â â â, â + â, â â â + 0 â, 7.53 co kończy dowód. Lemat 7.5 Ket â z jest stanem własnym operatora z, to jest ˆN â â, odpowiada wartości własnej ˆN â z z â z S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 54
9 U.6 Oscylator harmoniczny 55 Dowód. Jeżeli â z 0, to wówczas mamy ˆN â z â â â z Ze względu na relację komutacyjną 7.5a możemy napisać â â â â â â â, a zatem ˆN â z â â â z â z z â z z â z Wektor â z jest więc stanem własnym operatora ˆN z wartością własną z. Lemat 7.6 Ket â z jest stanem własnym operatora ˆN â â i odpowiada wartości własnej z +, to jest ˆN â z z + â z Dowód. Dowód jest analogiczny do dowodu poprzedniego lematu, w tym przypadku jednak korzystamy z relacji komutacyjnej 7.5b zamiast 7.5a. Lemat 7.7 Normy wektorów â z oraz â z są dane jako â z z, â z z Dowód. Pierwsza norma wynika automatycznie z dowodu lematu 7.3, patrz relacja 7.5. Drugą relacją dowodzimy analogicznie â z â z â z z â â z Z kanonicznej relacji komutacyjnej mamy â â â â +, wobec tego â z z â â + z z â â z + z z â z + z +, 7.60 co wynika stąd, że wektor z jest unormowany i â z z, a więc mamy drugą relację 7.58, co kończy dowód. Lemat 7.8 Jeśli wektor â n z 0, to jest on wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n: ˆN â n z z n â n z 7.6 Dowód. Dowód przeprowadzamy przez indukcję. Przypadek n wykazaliśmy w Zasadniczą rolę w dowodzie odgrywa relacja ˆNâ â ˆN â, która wynika z 7.5a. Otrzymujemy wtedy [ ] ˆN â n+ z ˆNâ [â n z ] â ˆN â [â n z ] â ˆN [â n z ] â n+ z 7.6 Na mocy założenia indukcyjnego dalej uzyskujemy [ ] ˆN â n+ z âz nâ n z â n+ z z n â n+ z skąd wynika treść lematu. Lemat 7.9 Istnieje taka liczba całkowita, że â n z 0, lecz â n+ z 0, 7.64 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 55
10 U.6 Oscylator harmoniczny 56 Dowód. Z poprzedniego lematu wynika, że â n z jest wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n. Lemat 7.3 mówi, że wartości własne ˆN są nieujemne. dla dostatecznie dużego n będziemy mieli z n < 0. Jest to sprzeczne z lematem 7.3. Wobec tego, musi istnieć taka liczba całkowita dodatnia, że warunki 7.64 będą spełnione, co kończy dowód. Twierdzenie 7. Wartości własne z operatora ˆN zdefiniowane w 7.49 są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Co więcej, istnieje unormowany wektor własny 0 operatora ˆN, taki że â 0 0, 7.65 który nazwiemy stanem próżni. Dowód. Wektor â n z jest wektorem własnym operatora ˆN odpowiadającym wartości własnej z n, możemy więc go unormować i zapisać w postaci z n ân z â n z Niech n będzie liczbą całkowitą taką, że spełniony jest warunek Oznacza to, że â z n 0, 7.67 więc norma uzyskanego wektora wynosi â z n A zatem, z pierwszej z relacji 7.58 wynika, że â z n z n Implikuje to, że z n. Wartości własne z operatora ˆN â â są więc nieujemnymi liczbami całkowitymi. Ponadto, wnioskujemy, że istnieje unormowany wektor 0, dla którego relacja 7.64 jest spełniona i to dla n 0. Twierdzenie 7. Zgodnie twierdzeniem 7., przez n oznaczamy unormowany stan własny operatora ˆN, który odpowiada wartości własnej n nieujemnej liczbie całkowitej. Wówczas, wektory n â n n, oraz n + â n n +, 7.70 są stanami własnymi operatora ˆN. Relacje te pozwalają na skonstruowanie wszystkich stanów własnych operatora ˆN, przy założeniu, że przynajmniej jeden ze stanów n jest dany znany. Formuły 7.70 można zapisać równoważnie jako â n n n 7.7a â n n + n + 7.7b Dowód. W lemacie 7.5 wykazaliśmy, że wektor â n jest stanem własnym ˆN należącym do wartości własnej n. Oznacza to, że zgodnie z wprowadzoną notacją â n jest wektorem S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 56
11 U.6 Oscylator harmoniczny 57 proporcjonalnym do wektora n. Pozostaje ustalić współczynnik proporcjonalności. Z lematu 7.7 wynika, że norma â n n. Wobec tego wektor â n â n â n n, 7.7 jest unormowanym wektorem własnym ˆN z wartością własną n. A zatem jest on równy wektorowi n. Pierwsza część twierdzenia jest więc dowiedziona. Drugą część dowodzimy w ten sam sposób. Lemat 7.0 Stan własny n operatora ˆN â â można skonstruować jako n n! â n 0, 7.73 jeśli tylko stan próżni 0 zdefiniowany w 7.65 jest znany lub dany. Dowód. Dowód przeprowadzamy przez indukcję z relacji 7.7b. Dla n mamy! â 0!, 7.74 tak jak to być powinno. Dalej dla n + dostajemy n + n +! â n+ 0 n + n! â â n 0 â n + n n + n + n + n gdzie wykorzystaliśmy założenie indukcyjne przy przejściu od pierwszej do drugiej linii. Lemat ten jasno określa sposób konstrukcji stanów własnych operatora ˆN â â. Musimy najpierw zbudować znaleźć stan podstawowy stan próżni 0, który powinien być wyznaczony jednoznacznie. Jeśli tak nie jest, to musimy dodatkowo dysponować zupełnym zbiorem komutujących obserwabli, które będą klasyfikować stany próżni za pomocą dodatkowych liczb kwantowych. Znajdując w ten sposób odpowiedni unormowany stan próżni, możemy następnie zbudować stany n stosując operator kreacji zgodnie z przepisem Lemat 7. Stany własne n określone w 7.73 są ortonormalne, to jest n m δ nm Dowód. Ortogonalność wynika z faktu, że stany n są stanami własnymi hermitowskiego operatora ˆN, a więc tylko potrzeba wykazać ich unormowanie. Bez straty ogólności możemy przyjąć n m. Wówczas, z 7.73 dostajemy n m n! m! 0 â n â m Z drugiej strony mamy relacje operatorowe [ ] [ ] â â m â m â â, â m â â, â m + [ ] â, â â m â [ â, â m ] + â m Wielokrotnie stosując takie rozumowanie, w końcu otrzymamy â â m â m â m â m, 7.79 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 57
12 U.6 Oscylator harmoniczny 58 co można też wykazać stosując indukcję matematycznej. Idąc dalej stwierdzamy, że n m [ ] 0 â n mâ m + â m â 0 n! m! n! m! m 0 â n â m 0, 7.80 bowiem â 0 0. Powtarzając taką procedurę m-krotnie, uzyskamy w rezultacie relację m! n m 0 â n m n! Dla n > m mamy więc â n m 0 0, co wynika z definicji stanu próżni. Gdy n m, to dostaniemy n m 0 0. A zatem stany n są ortogonalne co nie jest nieoczekiwane i unormowane, tak jak to być powinno, porównaj Operatory anihilacji i kreacji podsumowanie Operatory anihilacji i kreacji niehermitowskie są określone przez relację komutacyjną [ â, â ]. 7.8 Stany n są stanami własnymi operatora ˆN â â, to jest ˆN n â â n n n, przy czym n 0,,, Stan 0 nazywamy stanem próżni. Stan ten spełnia warunek â 0 0. Stany n są ortonormalne stany własne operatora hermitowskiego ˆN m n δ mn. Działanie operatorów anihilacji i kreacji na stany n określone jest wzorami â n n n, 7.86a â n n + n b Zauważmy, że relacje te są w pełni konsystentne z poprzednimi. Wzór 7.86a zgadza się z definicją 7.84 stanu próżni. Co więcej, mamy â â n â n n n â n n n + n n n, 7.87 jak to być powinno, zgodnie z definicją Elementy macierzowe operatorów anihilacji i kreacji łatwo wynikają z równania 7.86 i warunków ortonormalności. Bez trudu otrzymujemy formuły m â n n m n n δ m,n, 7.88a m â n n + m n + n + δ m,n b Praktyczna konstrukcja przebiega w następujących zasadniczych krokach: budujemy operatory anihilacji i kreacji â oraz â, a potem sprawdzamy relację komutacyjną odtwarzającą relację kanoniczną 7.8; znajdujemy konstruujemy stan próżni 0. konstruujemy stany n za pomocą relacji n â n n! S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 58
13 U.6 Oscylator harmoniczny Zastosowanie do oscylatora harmonicznego Zastosujemy tutaj przedstawioną powyżej teorię do konkretnego przypadku. Operatory anihilacji i kreacji dla oscylatora harmonicznego Hamiltonian kwantowo-mechanicznego oscylatora to Ĥ ˆp m + ˆx Operatory położenia i pędu spełniają kanoniczną relację komutacyjną [ ˆx, ˆp ] i. 7.9 Budujemy teraz dwa operatory pomocnicze ˆx oraz ˆp, 7.9 i bez kłopotu sprawdzamy, że są one bezwymiarowe. Twierdzenie 7.3 Dwa bezwymiarowe, niehermitowskie operatory ˆb oraz ˆb zdefiniowane wzorami ˆb ˆx + iˆp ˆb ˆx iˆp spełniają relację komutacyjną [ ˆb, ˆb ]. ˆx + iˆp, ˆx iˆp, Zatem ˆb możemy uznać za operator anihilacji, zaś ˆb za operator kreacji. 7.93a 7.93b 7.94 Dowód. Niehermitowskość i bezwymiarowość zdefiniowanych operatorów jest ewidentna. Trzeba jedynie wykazać relację komutacyjną A zatem z definicji 7.93 [ ˆb, ˆb ] [ ] ˆx + iˆp, ˆx iˆp { m ω [ˆx, ˆx ] i [ˆx, ˆp ] + i [ˆp, ˆx ] + [ˆp, ˆp ] } i { [ˆx, ˆp ] + [ˆp, ˆx ] } i { i + i } Ponieważ operatory ˆb i ˆb spełniają relację komutacyjną typową dla operatorów anihilacji i kreacji, więc posiadają one wszystkie niezbędne własności. Identyfikacja nazewnictwo wprowadzone w treści twierdzenia jest więc poprawne i uzasadnione. Relacje 7.93 można łatwo odwrócić i wyrazić operatory położenia i pędu przez operatory anihilacji i kreacji ˆx ˆb + ˆb, 7.96a ˆp i ˆb ˆb, 7.96b S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 59
14 U.6 Oscylator harmoniczny 60 Za pomocą tych związków możemy teraz wyrazić hamiltonian oscylatora przez operatory anihilacji i kreacji. Otrzymujemy Ĥ i ˆb ˆb + m ˆb + ˆb ω ˆb ˆb + ω ˆb + ˆb 4 4 ω ˆbˆb 4 ˆbˆb ˆb ˆb + ˆb ˆb + ω ˆbˆb + 4 ˆbˆb + ˆb ˆb + ˆb ˆb ω ˆb ˆb + ˆb ˆb Z relacji komutacyjnej 7.94 wynika ˆb ˆb + ˆb ˆb, a zatem w końcu mamy Ĥ ω ˆb ˆb + ω ˆb ˆb + ω ˆN gdzie, jak poprzednio, wprowadziliśmy operator ˆN ˆb ˆb. Twierdzenie 7.4 Stany własne energii kwantowego oscylatora harmonicznego są stanami n stanami własnymi operatora ˆN ˆb ˆb. Wartości własne energii wynoszą E n ω n Dowód. Dowód wynika natychmiast z relacji 7.98 i z własności operatora ˆN omówionych powyżej. Konstrukcja stanu próżni Powyższe rozważania miały dość formalny charakter. Aby nadać im bardziej przejrzystą postać, będziemy teraz budować stany własne energii oscylatora w reprezentacji położeniowej, to jest będziemy szukać funkcji ϕ n x x n. Pierwszy krokiem, według nakreślonej uprzednio procedury, musi być konstrukcja stanu próżni, szukamy więc funkcji ϕ 0 x x 0. Stan próżni jest zdefiniowany równaniem 7.65 lub Posługując się więc operatorem anihilacji ˆb danym w 7.93a, dostajemy 0 ˆb 0 ˆx + iˆp W reprezentacji położeniowej równanie to przyjmuje postać 0 x ˆx + iˆp 0 [ x + i i d ] ϕ 0 x. 7.0 dx Ostatni wzór stanowi elementarne równanie różniczkowe pierwszego rzędu 0 λx + d ϕ 0 x, gdzie λ dx. 7.0 Rozwiązanie tego równania jest bardzo proste i ma postać ϕ 0 x A 0 exp λx, 7.03 S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 60
15 U.6 Oscylator harmoniczny 6 gdzie A 0 jest stałą normalizacyjną. Jej obliczenie daje A 0 dx exp λx π A 0 λ Wybierając dowolną fazę stałej A 0 jako równą zeru otrzymujemy funkcję falową stanu podstawowego oscylatora. Innymi słowy mamy stan próżni w reprezentacji położeniowej λ /4 ϕ 0 x exp λx, 7.05 π który jest właściwie unormowany. Konstrukcja stanów n Mając już stan próżni w reprezentacji położeniowej, możemy iść dalej i konstruować dalsze stany. Posłużymy się w tym celu relacją 7.89, którą zapisujemy w reprezentacji położeniowej ϕ n x x n n! x ˆb n Rozważmy teraz bra formę dualną x ˆb. Na mocy 7.93b otrzymujemy x ˆb x ˆx iˆp x ˆx i ˆp [ λ ˆx + i ] [ ˆp λ x x + ] d x. dx Ponieważ operator różniczkowy d/dx jest antyhermitowski, więc x ˆb λ x d x λ dx Stosując n-krotnie ten fakt w 7.06 n-krotnie, otrzymujemy λ n/ ϕ n x x d n x n! λ dx Wstawiając funkcję falową 7.05 stanu próżni 7.05, konstruujemy równanie różniczkowe określające n-ty stan własny energii oscylatora harmonicznego λ /4 ϕ n x π n λ n/ x d n exp λx n! λ dx Jest to równanie funkcjonalne podobne do wzoru Rodriguesa 7.6 dla wielomianów Hermite a, zaś parametr λ jest określony w 7.0. Stosując relację 7.3 otrzymaliśmy alternatywną postać funkcji falowych oscylatora.powtarzając analogiczne rozważania odnośnie formuły 7.09 dostaniemy ψ n x /4 π n n! /4 π n n! n/ x exp x H n x d n exp dx x. 7.0 Możemy więc stwierdzić, że metoda wykorzystująca operatory anihilacji i kreacji prowadzi do tych samych funkcji falowych funkcji własnych energii co standardowe rozwiązanie zagadnienia własnego dla hamiltonianu stacjonarnego równania Schrödingera. S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6
16 U.6 Oscylator harmoniczny 6 Inne zastosowania W głównej części wykładu w pracochłonny sposób całkując obliczaliśmy elementy macierzowe k x n, k x n, k p n oraz k p n. Obliczenia te wymagały dość skomplikowanych całek. Pokażemy teraz, że za pomocą operatorów anihilacji i kreacji można przeprowadzić odpowiednie rachunki nieomal błyskawicznie. I tak na przykład z 7.96a mamy k x n Dalej, na mocy 7.86 dostajemy k x n k ˆb + ˆb n. 7. Skąd, z ortonormalności stanów n wynika k x n n k n + n + k n n δk,n + n + δ k,n Wynik ten jest oczywiście identyczny z odpowiednim elementem macierzowym liczonym w zasadniczej części wykładu przez skomplikowane całki. Analogicznie możemy obliczyć element macierzowy k x n. Musimy jednak przy tym pamiętać, że operatory anihilacji ˆb i kreacji ˆb nie komutują. Dostajemy wówczas k x n k ˆb + ˆb n k ˆbˆb + ˆbˆb + ˆb ˆb + ˆb ˆb n nn k n + n + k n + n k n + n + n + k n + nn δ k,n + n + δ kn + n + n + δ k,n+, 7.4 co znowu zgadza się z wynikiem z głównej części tekstu. Powtarzamy podobne obliczenia dla operatora pędu. Ze wzoru 7.96b otrzymujemy w zupełnie ten sam sposób k p n i k ˆb ˆb n i n k n n + k n + i n δk,n n + δ k,n S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 6
17 U.6 Oscylator harmoniczny 63 I wreszcie dla kwadratu operatora pędu mamy k p n k ˆb ˆb n k ˆbˆb ˆbˆb ˆb ˆb + ˆb ˆb n nn k n n + k n n + n + k n + n k n + nn δ k,n n + δ kn + n + n + δ k,n Widzimy więc, że również dla operatora pędu elementy macierzowe są identyczne z relacjami wyprowadzonymi w głównym wykładzie. Prostota powyższych obliczeń jasno pokazuje jak bardzo pożyteczne są operatory anihilacji i kreacji. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * S.Kryszewski MECHANIKA KWANTOWA 63
Wykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.
Bardziej szczegółowo(U.14) Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym
3.10.2004 35. U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 131 Rozdział 35 U.14 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym 35.1 Niezmienniczość ze względu na W rozdziale 16 wspominaliśmy jedynie o podstawowych
Bardziej szczegółowoWielomiany Legendre a, itp.
3.0.2004 Dod. mat. D. Wieomiany Legendre a, itp. 25 Dodatek D Wieomiany Legendre a, itp. Wieomiany Legendre a i stowarzyszone z nimi funkcje są szeroko omawiane w wieu podręcznikach fizyki matematycznej.
Bardziej szczegółowo(U.13) Atom wodoropodobny
3.10.200 3. U.13 Atom wodoropodobny 122 Rozdział 3 U.13 Atom wodoropodobny 3.1 Model Bohra przypomnienie Zaznaczmy na wstępie o czym już wspominaliśmy w kontekście zasady nieoznaczoności, że model Bohra
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 2 Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na
Bardziej szczegółowoPOSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny
POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ cd i formalizm matematyczny Funkcja Falowa Postulat 1 Dla każdego układu istnieje funkcja falowa (funkcja współrzędnych i czasu), która jest ciągła, całkowalna w kwadracie,
Bardziej szczegółowoPostulaty mechaniki kwantowej
3.10.2004 11. Postulaty mechaniki kwantowej 120 Rozdział 11 Postulaty mechaniki kwantowej Mechanika kwantowa, jak zresztą każda teoria fizyczna, bazuje na kilku postulatach, które przyjmujemy "na wiarę".
Bardziej szczegółowo5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa
5 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 5.1 Reprezentacja położeniowa W poprzednim rozdziale znaleźliśmy jawną postać operatora Ĥ w przedstawieniu położeniowym. Co to znaczy? W przedstawieniu położeniwym
Bardziej szczegółowoMechanika Kwantowa. Maciej J. Mrowiński. 24 grudnia Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki ma następującą postać: 2 x 2 )
Mechanika Kwantowa Maciej J. Mrowiński 4 grudnia 11 Zadanie MK1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = ma następującą postać: A(a Ψ(x,) = x ) gdy x [ a,a] gdy x / [ a,a] gdzie a +. Wyznacz
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa Schrödingera
Fizyka 2 Wykład 2 1 Mechanika kwantowa Schrödingera Hipoteza de Broglie a wydawała się nie zgadzać z dynamiką Newtona. Mechanika kwantowa Schrödingera zawiera mechanikę kwantową jako przypadek graniczny
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoWielomiany Hermite a i ich własności
3.10.2004 Do. mat. B. Wielomiany Hermite a i ich własności 4 Doatek B Wielomiany Hermite a i ich własności B.1 Definicje Jako postawową efinicję wielomianów Hermite a przyjmiemy wzór Roriguesa n H n (x)
Bardziej szczegółowo4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.
Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,
Bardziej szczegółowoII. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU. Janusz Adamowski
II. POSTULATY MECHANIKI KWANTOWEJ W JĘZYKU WEKTORÓW STANU Janusz Adamowski 1 1 Przestrzeń Hilberta Do opisu stanów kwantowych używamy przestrzeni Hilberta. Przestrzenią Hilberta H nazywamy przestrzeń wektorową
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych
Równania różniczkowe zwyczajne o rozdzielonych zmiennych Definicja. Równaniem różniczkowym o rozdzielonych zmiennych nazywamy równanie postaci p(y) = q() (.) rozwiązanie równania sprowadza się do postaci
Bardziej szczegółowoCałki nieoznaczone. 1 Własności. 2 Wzory podstawowe. Adam Gregosiewicz 27 maja a) Jeżeli F (x) = f(x), to f(x)dx = F (x) + C,
Całki nieoznaczone Adam Gregosiewicz 7 maja 00 Własności a) Jeżeli F () = f(), to f()d = F () + C, dla dowolnej stałej C R. b) Jeżeli a R, to af()d = a f()d. c) Jeżeli f i g są funkcjami całkowalnymi,
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoRównanie Schrödingera
Równanie Schrödingera Maciej J. Mrowiński 29 lutego 2012 Zadanie RS1 Funkcja falowa opisująca stan pewnej cząstki w chwili t = 0 ma następującą postać: A(a Ψ(x,0) = 2 x 2 ) gdy x [ a,a] 0 gdy x / [ a,a]
Bardziej szczegółowoZasada nieoznaczoności
3.10.2004 5. Zasada nieoznaczoności 63 Rozdział 5 Zasada nieoznaczoności 5.1 Formalna zasada nieoznaczoności 5.1.1 Średnie i dyspersje. Pojęcia wstępne Niech Â, ˆB oraz Ĉ będą operatorami hermitowskimi
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Metoda faktoryzacji (rozdzielania zmiennych)................ 5 1.2 Metoda funkcji Greena.............................
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE ZWYCZAJNE A. RÓWNANIA RZĘDU PIERWSZEGO Uwagi ogólne Równanie różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego zawiera. Poza tym może zawierać oraz zmienną. Czyli ma postać ogólną Na przykład
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona, podstawowe wiadomości
Całka nieoznaczona, podstawowe wiadomości Funkcją pierwotną funkcji w przedziale nazywamy funkcję taką, że dla każdego punktu z tego przedziału zachodzi Różnica dwóch funkcji pierwotnych w przedziale danej
Bardziej szczegółowoNotacja Diraca. Rozdział Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu
3.10.2004 7. Notacja Diraca 84 Rozdział 7 Notacja Diraca 7.1 Abstrakcyjna przestrzeń wektorów stanu Do tej pory posługiwaliśmy się postulatem, że stan układu fizycznego jest w mechanice kwantowej w pełni
Bardziej szczegółowoReprezentacje położeniowa i pędowa
3.10.2004 9. Reprezentacje położeniowa i pędowa 103 Rozdział 9 Reprezentacje położeniowa i pędowa 9.1 Reprezentacja położeniowa Reprezentacja położeniowa jest szczególnie uprzywilejowana i najczęściej
Bardziej szczegółowoWykład z równań różnicowych
Wykład z równań różnicowych Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp. Definicja 1. Operatorem
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowo1 Całki funkcji wymiernych
Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...
Bardziej szczegółowoRÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU
X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne
Bardziej szczegółowoWażną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)
Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i
Bardziej szczegółowoPostulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6
Postulaty interpretacyjne mechaniki kwantowej Wykład 6 Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice http://kk.us.edu.pl 19 września 2014 Karol Kołodziej Postulaty interpretacyjne mechaniki
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowo(U.16) Dodawanie momentów pędu
.0.004 7. (U.6) Dodawanie momentów pędu 5 Rozdział 7 (U.6) Dodawanie momentów pędu 7. Złożenie orbitalnego momentu pędu i spinu / 7.. Przejście do bazy sprzężonej W praktycznych zastosowaniach potrzebujemy
Bardziej szczegółowoNieskończona jednowymiarowa studnia potencjału
Nieskończona jednowymiarowa studnia potencjału Zagadnienie dane jest następująco: znaleźć funkcje własne i wartości własne operatora energii dla cząstki umieszczonej w nieskończonej studni potencjału,
Bardziej szczegółowoZ52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoMatematyczne Metody Fizyki II
Matematyczne Metody Fizyki II Mariusz Przybycień Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Akademia Górniczo-Hutnicza Wykład M. Przybycień (WFiIS AGH) Matematyczne Metody Fizyki II Wykład / 6 Ortonormalne
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowo15 Potencjały sferycznie symetryczne
z ϕ θ r y x Rysunek : Definicje zmiennych we współrzędnych sferycznych r, θ, ϕ) 5 Potencjały sferycznie symetryczne 5. Separacja zmiennych Do tej pory omawialiśmy problemy jednowymiarowe, które służyły
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowoPrzykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:
Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Sobolewa
Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością
Bardziej szczegółowoWykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną. 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja
Wykład I.2 1 Kłopoty z mechaniką klasyczną 2 Postulaty mechaniki kwantowej 1. Stan układu funkcja falowa ψ(x), ψ(x) 2 interpretacja probabilistyczna 2. Wielkości fizyczne operatory hermitowskie (obserwable)
Bardziej szczegółowo1. Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia
1 Matematyka Fizyki Kwantowej: Cześć Trzecia Piotr Szańkowski Ćwiczenia nr 3 : Podstawowy aparatu matematycznego mechaniki kwantowej I OPERATORY Operator to odwzorowanie  : V V, które działa na stan,
Bardziej szczegółowoB jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.
8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą
Bardziej szczegółowoFormy kwadratowe. Rozdział 10
Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 7/15 Rachunek różnicowy Dobrym narzędziem do obliczania skończonych sum jest rachunek różnicowy. W rachunku tym odpowiednikiem operatora
Bardziej szczegółowoRozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej
Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Równania optyki półklasycznej Posłużymy się teraz równaniem (2.4), i Ψ t = ĤΨ ażeby wyprowadzić
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Notatki z wykładu.
Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowo8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoNormalizacja funkcji falowej
Normalizacja funkcji falowej Postulaty mechaniki kwantowej Zadanie. Wyznacz stałą normalizacyjną i podaj postać funkcji unormowanej: Ψ = Ncosαx) dla x [, a] Opis sposobu rozwiązania zadania krok po kroku:.
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowox 2 = a RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych 2. Proste równania kwadratowe Równanie kwadratowe typu:
RÓWNANIA KWADRATOWE 1. Wprowadzenie do równań kwadratowych Przed rozpoczęciem nauki o równaniach kwadratowych, warto dobrze opanować rozwiązywanie zwykłych równań liniowych. W równaniach liniowych niewiadoma
Bardziej szczegółowoWstęp do Modelu Standardowego
Wstęp do Modelu Standardowego Plan (Uzupełnienie matematyczne II) Abstrakcyjna przestrzeń stanów Podstawowe własności Iloczyn skalarny amplitudy prawdopodobieństwa Operatory i ich hermitowskość Wektory
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe wyższych rzędów
Równania różniczkowe wyższych rzędów Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Istnienie rozwiązań............................... 1 1. Rozwiązanie ogólne............................... 1.3 Obniżanie rzędu
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowo(U.11) Obroty i moment pędu
3.10.2004 32. U.11) Obroty i moment pędu 96 Rozdział 32 U.11) Obroty i moment pędu 32.1 Wprowadzenie Obroty w przestrzeni R 3 są scharakteryzowane przez podanie osi obrotu, którą określa wektor jednostkowy
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz
Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym
Bardziej szczegółowoDefinicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowo4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne
Równania w postaci Leibniza 4 1 4 Równania różniczkowe w postaci Leibniza, równania różniczkowe zupełne 4.1 Równania różniczkowe w postaci Leibniza Załóżmy, że P : D R i Q: D R są funkcjami ciągłymi określonymi
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoPochodne wyższych rzędów definicja i przykłady
Pochodne wyższych rzędów definicja i przykłady Pochodne wyższych rzędów Drugą pochodną funkcji nazywamy pochodną pochodnej tej funkcji. Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej; itd. Ogólnie, -ta
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła.
Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła 13 1 13 Równanie struny drgającej. Równanie przewodnictwa ciepła. 13.1 Równanie struny drgającej Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu typu
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoMechanika kwantowa ćwiczenia, 2007/2008, Zestaw II
1 Dane są następujące operatory: ˆD = x, ˆQ = π 0 x, ŝin = sin( ), ĉos = cos( ), ˆπ = π, ˆ0 = 0, przy czym operatory ˆπ oraz ˆ0 są operatorami mnożenia przez opowienie liczby (a) Wyznacz kwarat oraz owrotność
Bardziej szczegółowoWażny przykład oscylator harmoniczny
6.03.00 6. Ważny przykła oscylator harmoniczny 73 Rozział 6 Ważny przykła oscylator harmoniczny 6. Wprowazenie Klasyczny, jenowymiarowy oscylator harmoniczny opowiaa potencjałowi energii potencjalnej:
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo21 Symetrie Grupy symetrii Grupa translacji
21 Symetrie 21.1 Grupy symetrii Spróbujmy odpowiedzieć sobie na pytanie, jak zmienia się stan układu kwantowego pod wpływem transformacji układu współrzędnych. Najprostszą taką transformacją jest np. przesunięcie
Bardziej szczegółowoCałki niewłaściwe. Całki w granicach nieskończonych
Całki niewłaściwe Całki w granicach nieskończonych Wiemy, co to jest w przypadku skończonego przedziału i funkcji ograniczonej. Okazuje się potrzebne uogólnienie tego pojęcia w różnych kierunkach (przedział
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego
Rozwiązywanie zależności rekurencyjnych metodą równania charakterystycznego WMS, 2019 1 Wstęp Niniejszy dokument ma na celu prezentację w teorii i na przykładach rozwiązywania szczególnych typów równań
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 6/14 Sumy Oto dwie konwencje zapisu skończonych sum wyrazów: (notacja Sigma, Fourier, 1820) Czasami stosowana jest ogólniejsza notacja,
Bardziej szczegółowoWielomiany podstawowe wiadomości
Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i
Bardziej szczegółowo